Calcolo di autovalori

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1 lcolo d utolor Dt l trce deterre l uero e ettore o ullo tl che l l utolore utoettore Esepo 9 9 b 8 b 8 b geerle o è ultplo d. Se però oero c soo due dreo lugo le qul fuo coe se fosse oltplcto per uo sclre. ooscere le dreo lugo le qul gsce coe sclre seplfc proble lcolo d utolor Dt l trce deterre l uero e ettore o ullo tl che l : Esepo 6 l utolore utoettore o è 7 utoettore Se è u utoettore che og ultplo d lo è. I Mtlb: eg resttusce gl utolor delll trce

2 lcolo d utolor Dt l trce deterre l uero e ettore o ullo tl che l l utolore utoettore I prtc cercho l e tl che - l I E possble che u sste lere oogeeo bb u soluoe o ull solo se è sgolre oero det - l I equoe crtterstc Gl utolor soo le rdc del poloo crtterstco 9 Esepo det I det 8 Soluo: 7± 9 Iftt s h:

3 Esepo lcolre gl utolor delle seguet trc: 6 8 olteplctà I Mtlb: eg resttusce gl utolor delll trce 6 Lo spettro d è l see degl utolor d. Il rggo spettrle d è ρ Dt S trce o sgolre B S - S è sle d Mtrc sl ho gl stess utolor. D: S S Isersco l trce dettà I S S - S S S S S poe S S S B B.. c t

4 è dgolble se S - S D dgole S o sgolre t.c. Gl utolor d u trce dgole D soo gl eleet sull dgole è dgolble se e solo se possede utoettor lerete dpedet Gl utoettor ssoct d utolor dstt soo lerete dpedet Se gl utolor d soo dstt llor è dgolble 7 Locloe degl utolor Per og or turle le che ρ ρ coè gl utolor s troo el cercho d cetro l orge e rggo. Iftt gl utolor soo: 6 8

5 9 Locloe degl utolor - eore d Gerschgor S l u utolore d... c t S l dce dell copoete d sso odulo dell utoettore. r Qud { } r c t.. Poché o è oto pror

6 eore d Gerschgor l è u utolore che d e qud: { c c c t.. cptoldo: eore d Gerschgor r... c... { } r c t.. { } c c t..

7 - eore d Gerschgor - esepo { } 8 { } 8 eore d Gerschgor - esepo Esepo: 8 { } { } { } { } { } 8 { } { } { } { } { } 8

8 { } { } { } eore d Gerschgor - esepo { } { 8 } { } { } { } { } { 8 } eore d Gerschgor - esepo

9 eore d Gerschgor Il teore oltre stblsce che d og copoete d o oero d og uoe coess ssle d cerch o pprtegoo tt utolor qut soo cerch che costtuscoo l copoete cotdo utolore e cercho co l su olteplctà D quest potes dscede che è rele d olteplctà uo. Suppoo che corrspodet utoettor Metodo delle potee lcolo dell utolore d sso odulo. Suppoo che l utolore d odulo s uco so lerete dpedet Scelgo t.c.... l > successoe d ettor copoete -s 8

10 9 Metodo delle potee t.c. Dostroe Se l < Metodo delle potee L utolore d o odulo d è l recproco dell utolore d sso odulo d - poché se l è u utolore d llor l - è u utolore d -.

11 Metodo delle potee Ipleetoe Fssto for.. ed Le copoet d possoo crescere olto odulo!!! orloe... for.. w ed w w w OSSEVZIONI geere d og teroe s scegle l dce coe l posoe dell pr copoete d odulo sso d w. utlre u opportuo crtero d rresto! Metodo delle potee Ossero sull coerge: l eloctà d coerge dpede dl rpporto / : quto pù è pccolo tto pù rpdete coerge qudo l coerge può rsultre eccessete let. I quest stuoe l etodo ee usto per otteere solo u st le d glorre successete co u etodo pù eloce d esepo l etodo delle potee erse. Se è rele ed h olteplctà l coerge è geerlete let. Se gl utolor soo rel e dstt ed ho lo stesso odulo geere l etodo o coerge.

12 utolore d o odulo E l recproco dell utolore d sso odulo d - / utolore d utolore d o odulo d sso odulo d -... for.. w w w w P LU... for.. rsol w w Ipleetoe w w ed ed N.B. geere d og teroe s scegle l dce coe l posoe dell pr copoete d odulo sso d w. Metodo delle potee erse Sere per glorre l pprossoe p d u utolore l p I p p Qud l - p è u utolore d - p I. Qud l -p - è u utolore d - p I - Se p p µ è utolore d - p I - Qud clcolto µ d es co l etodo delle potee p µ

13 Metodo delle potee erse Ipleetoe p: pprossoe d u utolore glore pprossoe: Se l pprossoe le p o è suffceteete buo l coerge del etodo rsult ss let. doe µ è utolore d -pi - p p µ e qud /µ è utolore d -pi P pi LU... p p; for rsol piw p p w w w ed N.B. geere d og teroe s scegle l dce coe l posoe dell pr copoete d odulo sso d w. Mtetc del web: Google e Pge Lrr Pge e Serge Br specld Ifortc Stford ho etto l otore d rcerc pù foso. Pge creò u progr per spere qul st coteeo u l d u cert pg Bcub. Pesdo ll bbloetr lutoe d u rtcolo sull bse delle sue cto Pge e Br deroo u progr per surre l port d u pg web cotdo qute ltre pge rdo d ess. Proble: ordre le pge preset sul web bse ll loro port pge r Per ulteror fo stre l sto web del Prof. B: 6

14 Pge L port d u pg è legt lle sue coesso e o l suo coteuto L port d u pg è trsfert lle pg cu ess put L port d u pg è dt dll so delle fro d port delle pge che d ess puto oero Io soo portte se frequeto persoe portt Se o soo portte llor che le persoe che frequeto soo portt 7 Pge cotu Nuero le pge del web d e defo l trce d coetttà G g co g se c è u l dll pg ll pg g ltret. Idcho co l port dell pg ; r l uero d l che prtoo dll pg dto dll so de lor sull rg dell trce d coetttà; c l uero d l che puto ll pg dto dll so de lor sull colo dell trce d coetttà; 8

15 Pge cotu Per l port dell pg rsult Sste lere sprso: le soluo forscoo l lello d port delle sgole pge L equoe d Google è: g g g r r dg g g d r r r co d pretro tr e d solto d.8 Il Pge ee clcolto u olt l ese su 9 pge r 9 Pge cotu S l trce cu eleet soo d r g d o è sprs è l odfc d u trce sprs; l ggor prte de suo eleet h u lore pccolsso tr e ; l so d cscu colo è Dll teor è oto che l utolore d sso odulo d u trc sfftt è e l corrspodete utoettore soddsf d clcolre er tert col etodo delle potee

16 Metod bst su trsforo d sltude Il clcolo s bs su u successoe d trsforo d sltude edte trc ortogol oero s deter u successoe t. c. Q Q co Q Q I Og è sle d stess utolor eore: rele setrc esste Q ortogole t.c. D Q Q dgole l trsforoe o ee u uero fto d pss eore: rele esste Q ortogole t.c. Q Q è d Hesseberg trdgole se è setrc l trsforoe ee u uero fto d pss Fttoroe Q d trce eroe. S dt u trce Q Q ortogole Q trgolre superore S deter usdo rflettor eleetr. ost / opero. Il codo Mtlb è qr. S potrebbe usre per rsolere sste ler b Q b è pù costos dell eloe d Guss

17 rsforo d Householder U rflettore eleetre è u trce del tpo U I uu u u u U è setrc U U ortogole U U I olutor U I S uso per trodurre er u ettore h: ettore o ullo U I uu u σ e π σ ± π u è t.c U σ e e E possble costrure l rflettore eleetre U tle che U oero U o lter le pre - copoet d ed troduce er dll. copoete Posso costrure u successoe d rflettor eleetr t.c. U troduce er ell pr colo ftt ecceoe per l pro eleeto; U troduce er ell secod colo ftt ecceoe per l secodo eleeto; etc. U U U trgolre superore Q Q

18 lgorto Q per l clcolo degl utolor S costrusce u successoe d trc sl d utldo l fttoroe Q d og teroe che coergoo ll for trgolre lt co utolor sull dgole oppure d u for qustrgolre el cso d utolor copless for. [Q ]qr Q ed e soo sl. Iftt Q qud Q Q Q Q usdo d esepo l codo le d tlb Se l trce h utolor rel per l coerge ll for trgolre s rchede che: > >... > Ioltre gl eleet sotto l dgole prcple coergoo ero co eloctà: O Doe è l -es teroe del etodo. 6

19 lgorto Q co trsloe shft E u cceleroe del etodo bse el cso bb utolor c odulo. Dto µ : for. [Q ] qr µ I ed Q µ I L trce è sle. L eloctà d coerge è: O / µ µ 7 ggoreto dello shft µ lgorto Q co trsloe shft Lo shft può essere fsso oppure ggorto d og teroe. d esepo s può sceglere for. [Q ] qr µ I ed Q µ I µ è l st dell utolore. Qudo s oto co l ccurte desdert l etodo Q prosegurà sull sotto-trce : : e così fo trore tutt gl utolor. 8

20 lgorto Q co trsloe shft rtero d rresto per trc co utolor rel S cotroll l lore dell eleeto sottodgole: toll Se l codoe è soddsftt predo pprossoe dell utolore. coe toll è u toller fsst geere dell orde dell precsoe cch. 9 Utlo dell fttoroe Q el proble de qudrt Sste sordetert << Proble: Dt c c deterre tle che o Detero l fttoroe Q d esste che per le trc rettgolr: Q co Q * Q

21 Le trc ortogol o ltero l or due d u ettore: Prtoo *: * Q c Q c Q Q c * c c c c c rsult o qudo c Il proble de qudrt s rcoduce qud ll rsoluoe d u sste trgolre superore