La regressione Lineare

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1 L regressoe Lere Als dell Dpedez L Regressoe Lere Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Qudo tr due vrl c è u relzoe d dpedez, s può cercre d prevedere l vlore d u vrle fuzoe del vlore ssuto dll ltr. Questo h sgfcto seso stretto qudo s potzz u relzoe d cusltà tr l vrle dpedete, su cu s gsce, e quell dpedete, su cu s vuole produrre u effetto. Voledo costrure u sttstco per prevedere Y fuzoe d X, s poe l questoe d qule relzoe fuzole potzzre tr l vrle dpedete X e l vrle dpedete Y. Il pù semplce d relzoe tr due vrl è quello lere d prmo grdo, rppresetto d u rett, l cu equzoe è : U volt determt l rett, l permetterà d stmre l vlore dell vrle Y sull se del vlore ssuto dll X Per otteere u uo, e qud delle uoe prevso, occorre determre l rett che meglo descrve put osservt: prtc, s trtt d determre due coeffcet e che compoo ell equzoe dell rett:

2 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Rpssmo u po d geometr e d trgoometr... : l prmetro è l tercett dell rett co l sse delle ordte l prmetro èl coeffcete golre: msur l clzoe dell rett è l tgete dell golo α formto dll rett co l sse delle scsse I prtc: c dce quto vle Y qudo X vle c dce d quto umet Y ll umetre d u utà d X α Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Se put fossero solo due, o fossero tutt llet, determre l rett terpolte sree fcle per due put pss u sol rett, m sfortutmete ell reltà dt osservtv o soo m esttmete llet Per determre l rett d regressoe che meglo descrve dt osservt è llor ecessro stlre u crtero sttstco d vlutzoe dell otà del : ε L errore che s commette prevededo cscu Y osservto co l, può essere msurto come dfferez tr l dto rele e quello prevsto: ε ε coè, per cscu osservzoe, s commette u errore ε

3 Als dell Dpedez Il Metodo de Mm Qudrt Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Il crtero detto de mm qudrt prevede d vlutre l otà del sull se dell somm de qudrt d tutt error d stm commess: ε m L rett mglore, secodo questo crtero, è quell che mmzz l somm de qudrt degl scrt de vlor stmt d quell osservt, dett che resdu dell regressoe. Perché propro l qudrto de resdu? per evtre che resdu postv e egtv s compeso l vlore ssoluto è mtemtcmete pù scomodo d gestre e o sempre port d u soluzoe uvoc l qudrto dà peso mggore gl scrt pù grd, che soo che quell che c dsturo d pù: è meglo fre tt pccol error che o u errore molto grosso Als dell Dpedez Rcerc del mmo d u fuzoe Il prolem è determre coeffcet e del modo d mmzzre l quttà : m Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 f L soluzoe d questo prolem mtemtc è semplce: s trtt d trovre l mmo d u fuzoe f L soluzoe d u prolem d rcerc del mmo d u fuzoe s determ trovdo put d svolt dell fuzoe, cu l curv cm dmeto cocvtà : u puto d svolt, l rett tgete ll curv rsult orzzotle L clzoe dell rett tgete d u curv u puto è dt dll dervt prm dell f quel puto, dct come: f Qud el puto d svolt l dervt prm f dell fuzoe f s ull Allor per determre put d mmo d u fuzoe f è ecessro mporre che vlg zero l su dervt prm rspetto, f questo modo s determ l puto cu vle: f

4 Mtemtc L Dervt d u Fuzoe L dervt d u fuzoe rele d vrle rele f el puto è deft come l lmte per h tedete del rpporto cremetle: Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 f lm h f h h f coè dell cremeto descrtto dll fuzoe qudo l vrle X vr d d h, dvso l'cremeto h stesso Il rpporto cremetle rppreset l coeffcete golre dell rett secte che tersec l curv dell fuzoe f e put e h Qudo l'cremeto h tede, l rett secte tede coè s vvc fo cocdere co l tgete ll curv el puto : qud l lmte del rpporto cremetle c forsce l coeffcete golre dell rett tgete el puto L dervt, coè propro questo lmte, rppreset duque l clzoe dell rett tgete ll fuzoe f el puto Dervte Elemetr d d d d d d d d d d d d Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 d e e d d l > d d l > d d s cos d d cos s d

5 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Regole d Dervzoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Stm de prmetr mm qudrt Nel ostro cso voglmo mmzzre u fuzoe f, rspetto d e : dovremo mporre che so ulle le dervte prme przl dell fuzoe rspetto d e : Dervdo l fuzoe prm rspetto d e po rspetto, e poedo zero tl dervte, s ottee u sstem d due equzo d prmo grdo due cogte e : Rsolvedo l sstem rspetto d e, s determo le stme mm qudrt de prmetr dell rett d regressoe m Sstem d equzo orml d regressoe

6 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Soluzoe del sstem d equzo orml, Cov,, M V M Cov Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez I coeffcet d regressoe I prmetr del vegoo chmt che coeffcet d regressoe: Equzoe dell rett d regressoe: Bsog clcolre prm l vlore d e po quello d. Il cppello sopr e sottole che s trtt delle stme, mm qudrt, de prmetr del. Il metodo d clcolo pù veloce per è utlzzre l espressoe che compre ell ultmo pssggo dell soluzoe del sstem d equzo orml: che h l vtggo d o rchedere l clcolo d scrt prtc utlzz le formule drette per l vrz e l covrz,, M M Cov

7 Als dell Dpedez Iterpretzoe de coeffcet d regressoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Il sego del coeffcete d regressoe dpede d quello dell covrz: e dc qud se l relzoe è drett o vers Rcordmo che, ell equzoe dell rett rppreset l coeffcete golre, coè l clzoe dell rett > < relzoe drett, coè cresce l crescere d ssez d relzoe lere, o vr l vrre d relzoe vers, coè dmusce ll umetre d l rett è crescete, clzoe postv l rett è orzzotle, clzoe ull l rett è decrescete, clzoe egtv Il vlore ssoluto d dc d quto vr l Y l vrre d u utà dell X Il coeffcete rppreset l tercett dell rett co l sse Y: dc quto vle Y qudo X vle ; qudo, l rett pss per l orge degl ss crtes, coè per l puto d coordte, Als dell Dpedez Propretà dell regressoe mm qudrt Stmt prmetr, possmo produrre vlor prevst dl corrspodez degl osservt: Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 ε L rett d regressoe pss per l rcetro del sstem, ftt qudo ssume l vlore medo: Per cscu possmo or clcolre che l errore commesso prevededo Y co l, come scrto tr l vlore osservto e quello stmto: quest error soo dett resdu d regressoe ε I resdu soo mportt per l vlutzoe dell otà del, coè l su cpctà d dttrs dt osservt

8 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Eserczo. Determmo l rett d regressoe mm qudrt per l relzoe tr le vrl Yltezz e Xpeso: Osservmo che tutto quello che c serve per determre coeffcet d regressoe dell rett, lo mo reltà gà clcolto per l coeffcete d correlzoe Als dell Dpedez Rpredmo l prospetto d clcolo del coeffcete d regressoe: Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 -M -M [-M]² [-M]² -M-M , -4, 69, 96, 8, ,,,,, , -, 49, 4, 4, ,,,,, , 4, 9, 6,, ,, 5, 4,, , 4, 8, 6, 36, , 6, 96, 36, 84, Totle , 7, 338, Med 75, 78, 8,5 34, 4,5 8,5 34 4,5,5 8,5 4,5 78, Il vlore d c dce che, l vrre d u utà d, l vlore d vr d,5 Or possmo dsegre l rett d regressoe, determdoe due put scelt

9 Als dell Dpedez Flmete scrvmo l equzoe dell rett d regressoe:, , Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8, 65 Per dsegre l rett d regressoe, è suffcete determre due put scelt: uo reltà lo cooscmo gà: è l puto medo rcetro del sstem per l ltro sceglmo d es. 5, d cu 39,5 * 5 65 A vederl così o semr che l tercett s 39: questo dpede dl ftto che put soo molto lot dll orge e o mo tglto l fgur Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Se dsegmo l grfco e l rett d regressoe prtre dll orge degl ss, vedmo che tutto tor: 39, 5 L rett tersec l sse delle ordte propro el puto 39 L clzoe pprete dell rett el dsego dpede dll scl degl ss: mo usto due scle dverse per l sse X e per l sse Y Avevmo gà clcolto l coeffcete d correlzoe ρ, , U coeffcete d correlzoe pr,8 c dce che put soo stz e llet lugo l rett, m or vedmo meglo come vlutre l cpct del d descrvere dt osservt

10 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Vlutzoe del L otà dell terpolzoe fort dl s gudc sull se dell dspersoe de put osservt toro ll rett d regressoe: l terpolzoe è estt qudo l rett pss per tutt put osservt, che devoo essere qud perfettmete llet pù put osservt s dscosto dll rett -> more è l vldtà del, che dvet sempre meo effcce, fo perdere prtcmete d sgfcto Il stmto può essere vlutto, coeretemete co l crtero che è stto utlzzto per costrurlo, sull se dell somm de qudrt degl scrt tr vlor osservt e vlor stmt, coè l somm de qudrt de resdu d regressoe: I resdu dell regressoe lere mm qudrt godoo d 4 mportt propretà: tutte queste propretà dervo dlle equzo orml, ovvero dlle codzo che soo stte mposte per determre prmetr dell rett d regressoe, modo d mmzzre l somm de qudrt de resdu stess ε Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Le 4 Propretà de Resdu d Regressoe Le prme due propretà dervo drettmete, z o soo ltro che le codzo mposte dlle equzo orml d regressoe: ε ovvero ε ε

11 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Dmostrmo le ltre due: soo propro le prme due propretà quest è l terz propretà Temole preset: fr u ttmo c torero utl Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Eserczo. Verfc emprc delle 4 propretà de resdu d regressoe mm qudrt per l ppe stmto: ^ ^-M -^ -^ -^ ^ -^^-M ,4-6,76-7,4-448,88-39, , ,8-5,7 5,7 366,8 985,446-3, ,36-3,64,64,5 85,954-5, ,,,,,, ,56,56,44 9,3 438,64 3, ,6,6 -,6-48, -8,36 -, ,68 4,68 -,68-57, -4,4-3, ,8 7,8 -,8-3,9-37,584-9,384 Totle ,,,,, Med 75, 78, 78, 5, 39

12 Als dell Dpedez Devz e Vrz Resdu Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Il vee vlutto sull se dell somm de qudrt degl scrt tr vlor osservt e vlor stmt: ε Quest quttà è dett devz resdu, quto è l devz de resdu d regressoe che rcordmo ho med ull Il terme devz dc semplcemete l vrz o dvs per, qud tutto quello che dcmo per l devz vle che per l vrz L quttà: M M M M M prede vece l ome d devz spegt dl o devz d regressoe, quto devz de vlor stmt dl : rppreset l prte d vrltà dell Y descrtt dl d regressoe Devz spegt e devz resdu soo legte tr loro e co l devz totle dell vrle dpedete Als dell Dpedez Scomposzoe dell Devz e dell Vrz d Y Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 L devz dell vrle Y può essere scompost due compoet: coè come somm dell devz resdu e dell devz spegt dl Devz spegt e resdu soo qud due quttà complemetr e l loro somm è pr ll devz totle dell Y. Lo stesso vle che per l vrz, st dvdere tutto per : Cpmo l sgfcto dell scomposzoe: resdu ε

13 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Dmostrzoe: Lo stesso vle ovvmete che per l vrz, st dvdere tutto per, qud possmo scrvere che l scomposzoe dell vrz totle d Y: I vrtù d quest scomposzoe, s può costrure u dce stdrdzzto compreso tr e per vlutre l otà del d regressoe ] [ per l qurt propretà de resdu d regressoe devz resdu devz spegt dl resdu Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Il Coeffcete d Determzoe R² Per vlutre l otà del s troduce l coeffcete d determzoe R² rpporto tr l devz del e l devz totle dell : R² msur l frzoe d vrz o d devz dell Y spegt dl R² s può scrvere che come: Assume vlor compres tr e : vle qudo l speg completmete l vrz dell Y: resdu soo tutt ull, coè put soo perfettmete llet vle qudo l vrz descrtt dl è ull: questo ccde qudo l rett d regressoe rsult prllel ll sse X, coè R resdu resdu R

14 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Osservmo che per clcolre R² è ecessro clcolre tutt gl stmt per og osservto, e tutt gl scrt tr vlor stmt e M R resdu Oppure, co l secod formulzoe, domo clcolre tutt gl scrt tr gl stmt e quell osservt coè resdu Possmo però svluppre R² che u ltro modo: R V V V V V V 4 Il coeffcete d determzoe R² solo per l lere d prmo grdo coè per l rett d regressoe è ugule l qudrto del coeffcete d correlzoe ρ² Qud l qudrto del coeffcete d correlzoe c forsce l frzoe d vrz spegt dl, sez clcolre resdu e emmeo gl stmt ρ Als dell Dpedez Cosderzo sull pplcltà d u lere Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Qudo R² è sso sgfc che l lere o resce descrvere degutmete l feomeo, o s dtt ee dt, e qud che le ostre prevso sro poco ffdl. Qudo R² è elevto, dcmo prossmo, l descrve ee dt emprc, spegdo gr prte dell vrltà osservt dell vrle dpedete. L cpctà descrttv del è duque uo, lmeo reltvmete dt osservt. S può llor rteere utlzzle l scop prevsv? Il pssggo dll descrzoe de dt osservt ll prevsoe d uov dt e comportmet è u prolem d geerlzzltà de rsultt d u vldtà ester L possltà d operre geerlzzzo s s su ssuzo rgoevol come: orde dell tur: se le cose soo dte u certo modo for o c è rgoe che o fuzoo così che futuro e pssto: ttulsmo determsmo degl evet: essu eveto vvee per cso, m è determto d precedet evet; ovvero, se le cose fuzoo u certo modo, l rgoe c è sempre, e qud cotuero Quest prcp soo plusl, m o sscurt: essuo può grtre che che le prossme osservzo s comportero llo stesso modo.

15 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Cosderzo sull pplcltà d u lere Ass pù zzrdto è utlzzre u per fre prevso per vlor ester l cmpo d vrzoe de dt osservt, su qul l è stto stmto: questo tpo d prevso, dette estrpolzo, porto spesso cocluso errte es. soprvvlutre u tred d cresct postvo Rrmete feome soo ler, oppure lo soo solo su u prte lmtt del loro cmpo d esstez: utlzzre u lere è qus sempre u semplfczoe del feomeo rele, che può rsultre ccettle per determte pplczo I rsultt del o devoo essere ccettt cecmete: 7 occorre sempre cosderre crtcmete le possl lmtzo Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Eserczo. Tormo l ostro esempo, per vlutre l otà del stmto: determmo put stmt e clcolmo l vrz spegt e l vrz resdu Totle 6 44 Med 75, 78, ,5 39 R, Il speg crc l 65% dell vrz complessv dell Y: possmo rteerc soddsftt? Nelle sceze socl e comportmetl dffclmete s trovo modell che spego molt vrz, perché feome soo compless e dpedoo d molt fttor dvers, oltre le relzo possoo essere o ler

16 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Prospetto d clcolo del coeffcete d determzoe R²: ^ ^-M -^ -M [^-M]² [-^]² [-M]² ,4-6,76-7,4-4, 45,7 5,4 96, ,8-5,7 5,7, 3,7 3,7, ,36-3,64,64 -, 3,5,69 4, ,,,,,,, ,56,56,44 4,,43 5,95 6, ,6,6 -,6, 6,76,36 4, ,68 4,68 -,68 4,,9,46 6, ,8 7,8 -,8 6, 53,,64 36, Totle ,,, 75,76 96,4 7, Med 75, 78, 78,,97,3 34, R,97 resdu,3,97, oppure R resdu resdu,3, Cooscedo gà l vlore del coeffcete d correlzoe, potevmo rsprmrc tutt quest clcol: R ρ,839,646 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Eserczo. Rtormo ll esempo d due vrl legte d u relzoe qudrtc estt: Y, ² 3,8 5, 3 3 6, 4 4 6, , , 8 8 5, 9 9 3,8 Totle 45 5 Med 5, 5,67 Dl grfco s evdez chrmete l relzoe qudrtc tr le due vrl, che dseg u prol co l cocvtà rvolt verso l sso Come rsult l rett d regressoe? , 4 6 8

17 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Esempo. U cso prtcolre d rett d regressoe s verfc qudo l stm d rsult ugule : L rett tersec l sse delle ordte el puto M L stm è sempre pr M, 6 per quluque vlore d L vrz spegt dl 5 è ull 4 L vrz resdu è mssm, coè ugule ll vrz totle d Y Il coeffcete d determzoe R²: R regress resd ρ 3 3,5 R Als dell Dpedez L Collertà Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 U prolem, detto collertà, s verfc qudo vlor d X soo molto vc tr loro: questo cso l determzoe dell rett d regressoe rsult cert Vedmo cos succede ell stuzoe lmte cu tutt gl vego cocdere esttmete: Cov, Cov k, k L stm d ssume u form determt Cò equvle dre che quluque rett psste per l puto medo del sstem è l rett terpolte mm qudrt No dmetchmo ftt che resdu vegoo clcolt prllelmete ll sse Y I prtc o s verfcherà m l cso lmte dell cocdez d tutt vlor d X, m st che so molto vc perché l clcolo d rsult molto stle, e qud l s prvo d sgfcto Sgfcto: se l X osservt o vr, o può eche spegre l vrltà d Y 4 6 8

18 Als dell Dpedez L ltr Rett d regressoe Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Cmmo le crte tvol, e quest volt stmmo, sempre sugl stess dt ust for, l per prevedere X fuzoe d Y: c d Totle 6 44 Med 75, 78, 46,9, Y Il grfco rsult rovescto rspetto prm, ftt quest volt trovmo l vrle Y sull sse delle scsse e l X sull sse delle ordte Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Rportdo vlor stmt d due modell su uo stesso grfco, c ccorgmo che l uov rett d regressoe o cocde co quell stmt precedez Come s speg? 9 46,9, 46 Il metodo de mm qudrt vlut resdu lugo l sse 85 dell vrle dpedete 8 I resdu clcolt lugo l sse Y rsulto geerle dvers d quell clcolt lugo l sse X 75 7 Qud s ho sempre due rette d regressoe, che geerle o cocdoo L rett d regressoe per stmre Y fuzoe d X è 65 6 stt otteut mmzzdo l somm de qudrt de resdu d Y, clcolt prllelmete ll sse Y 39, L rett d regressoe per stmre X fuzoe d Y s ottee mmzzdo l somm de qudrt de resdu d X, clcolt prllelmete ll sse X

19 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Cosdermo le due rette d regressoe e vedmo cos ho comue: Le rette regressoe mm qudrt rsulto dverse, m l coeffcete d determzoe R² o cm, essedo l qudrto del coeffcete d correlzoe, che è u quttà smmetrc L frzoe d vrltà d Y spegt dll regressoe d Y fuzoe d X è pr ll frzoe d vrltà d X spegt dll regressoe d X fuzoe d Y C è u relzoe tr due coeffcet d regressoe e d: Le due rette d regressoe cocdoo qudo put osservt soo perfettmete llet: quest stuzoe r e qud: d d c d qud d ρ ρ d d / ρ R ρ ρ Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Il Modello sez tercett Tormo ll stm d Y fuzoe d X, e cosdermo l rdotto elmdo l prmetro, ovvero u rett sez tercett: L stm d rsult dvers d quell del completo : Totle 6 44 Med 75, 78, L stm d questo è molto semplce: domo mmzzre l somm de qudrt de resdu, che questo cso soo u fuzoe d u sol vrle Per determre l puto d mmo, dervmo l fuzoe rspetto, otteedo u sol equzoe: d cu: m ε

20 Als dell Dpedez Prospetto d clcolo del coeffcete d regressoe: ² Totle Med 75, 78, Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 M 738,3469 M 4565,3469 E fcle verfcre che quest rett d regressoe NON pss per l puto medo del sstem :, , 78 Adesso voglmo d vlutre l otà del : clcolmo duque l vrz resdu e quell d regressoe spegt dl, e vedmo cos succede... Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Prospetto d clcolo del coeffcete d determzoe R²: ^ ^-M -^ -M [^-M]² [^-]² [-M]² ,5-3,49 8,49-4, 55,57 34,86 96, , -7,8 7,8, 77,59 77,59, ,59-8,4 6,4 -, 338,85 69, 4, , -,98,98, 3,9 3,9, ,6 5,6 -,6 4, 5,6,3 6, ,76 9,76-7,76, 95,7 6,5 4, ,4 9,4-5,4 4, 366,47 9,3 6, ,88 3,88-4,88 6, 953,45 68,9 36, Totle ,7-5,83 5,83, 36,63 97, 7, Med 75, 78, 76, 45,45 87,4 34, R 45,45 resdu resdu 87,4 ρ 34 resdu L vrz resdu è mggore dell vrz totle d Y... R² perde og sgfcto, perché o vle pù l scomposzoe dell vrz!!

21 Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Rspetto l sstem d equzo orml dervte per l stm de prmetr del completo, prtc o è stt mpost l prm codzoe : Come coseguez mmedt, o vle pù l prm propretà de resdu: l somm de resdu d regressoe del rdotto o rsult ugule o è ull emmeo l somm degl scrt de vlor stmt dll M l med de vlor stmt o cocde co l med d Y l rett o pss per l rcetro del sstem L secod propretà cotu vlere perché è l codzoe mpost dll uc equzoe ormle, dervt per l stm mm qudrt del rdotto Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Als dell Dpedez Propretà de resdu d regressoe el sez tercett No vledo l qurt propretà, o vle pù emmeo l scomposzoe dell devz totle, perché l doppo prodotto o s ull: ε ε ε

22 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Esempo. Verfc emprc delle 4 propretà de resdu d regressoe mm qudrt: ^ ^-M -^ -^ -^ ^ -^^-M ,5-3,49 8,49 46, ,47-6, , -7,8 7,8 778, ,84-77, ,59-8,4 6,4 5,733 68,5567-3, , -,98,98 48, ,3785-3, ,6 5,6 -,6-8,88-94,346-5, ,76 9,76-7,76-6, ,439-75, ,4 9,4-5,4-7, ,48-89, ,88 3,88-4,88-4, , ,845 Totle ,7-5,83 5,83,, -88,3658 Med 75, 78, 76, -35,957 Verfchmo che l vrz totle d Y è ottele come: resdu 8 45,45 87,4 78 5,83/ 8 45,45 87,4 35, Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Il rdotto, per l mcz dell tercett, olg l rett pssre per l orge degl ss:, 3469 L troduzoe d questo vcolo peggor l cpctà del d dttrs dt osservt, rspetto l completo I geerle, l troduzoe d u vcolo u e peggor sempre l cpctà d dttmeto 39, Possmo dre che, prtà d predttor, l umeto d u prmetro mglor sempre o lmeo o peggor l cpctà descrttv d u, metre l elmzoe d u prmetro l rduce Per mglorre l dttmeto e descrvere che relzo o ler, potremmo d esempo pssre d u d secodo grdo, co tre prmetr: c

23 Als dell Dpedez Prof. Cludo Cplupp - Fcoltà d Sceze dell Formzoe - A.A. 7/8 Stmmo mm qudrt u d regressoe qudrtco su dt gà lzzt precedez co l d prmo grdo rett c 3,8 5, 3 3 6, 4 4 6, , , 8 8 5, 9 9 3,8 Totle 45 5 Med 5, 5, , -, R I questo cso dovremo mmzzre l somm de qudrt de resdu del rspetto tre prmetr,, c otteedo u sstem d 3 equzo orml Rsolvedo l sstem, trovmo u che s dtt perfettmete dt osservt: R²