Sistemi Intelligenti di Supporto alle Decisioni Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Introduzione agli Insiemi Fuzzy e alla Logica Fuzzy

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1 Sstem Itellget d Supporto lle Decso Corso d Lure Igeger Gestole Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Dprtmeto d Igeger dell Iformzoe V Dotslv 56 PIS

2 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Isem clssc crsp U seme crsp è u collezoe d elemet deft su u certo uverso X. U seme crsp s può rppresetre: - elecdoe gl elemet { } - defedo l propretà che deve essere soddsftt dgl elemet dell seme { > } :X {0} Fuzoe crtterstc se 0 se Rsult X 0 Spesso s scrve vece d. Operzo sugl sem crsp uoe B { or B} tersezoe B { d B} complemeto { } dfferez B { d B} commuttvtà ssoctvtà Propretà degl sem crsp B B B B B C B C B C B C dstrbutvtà B C B C dempotez dettà trstvtà doppo complemeto B C B C X X X Se B C llor C legge del mezzo escluso X legge d o cotrddzoe legg d De org B B B B 3 4

3 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prodotto crteso B { b b B} Esempo: { 3} B {45} B { } Usmo gl sem crsp per descrvere l seme delle persoe lte sull uverso X [60 00]: 0 per per 80 < 80 Relzoe U relzoe tr e B è u sottoseme del prodotto crteso B. Essedo u sottoseme può essere descrtt co gl stess metod ust per gl sem cm Descrzoe o soddsfcete. Occorre trodurre gl sem fuzzy. Isem fuzzy U seme fuzzy è u seme d coppe ordte: { X [0]} è dett fuzoe d pprteez e specfc l grdo co cu l elemeto pprtee ll seme fuzzy. S può che scrvere X [0] l brr orzzotle è u delmttore e o sgfc dvsoe che questo cso spesso s scrve vece d. U seme crsp è u prtcolre seme fuzzy co tutt grd d pprteez ugul d. 5 6

4 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Iseme fuzzy ormlzzto U seme fuzzy s dce ormlzzto se esste lmeo u tle che. Fuzzy sgleto U fuzzy sgleto è u seme fuzzy per cu esste u solo tle che > 0. Supporto d u seme fuzzy Il supporto supp d u seme fuzzy è l sottoseme crsp d X tle che > 0 supp. Rppresetzoe degl sem fuzzy Iseme fuzzy defto su u uverso dscreto e fto X:... spesso s us l posto d. Iseme fuzzy defto su u uverso cotuo e fto X: I etrmbe le otzo l brr orzzotle o è u quozete besì u delmttore. I smbol e sgfco uoe. {0./ 0.6/ 0.4/3 /4 0.5/5} Esemp seme de umer rel prossm

5 C Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy seme delle persoe lte Isem fuzzy covess U seme fuzzy defto su R s dce covesso se tutt suo α -cut α 0] soo sem crsp covess ormlzzto α o ormlzzto α -cut S dto l seme fuzzy. S 0 α. L seme crsp α { α} è detto α -cut. L seme α -cut defsce u sogl che può essere terprett come u lvello d cofdez α u decsoe o cocetto rppresett medte u seme fuzzy. Possmo usre tle sogl per scrtre dll ostr cosderzoe quegl elemet che ho grdo d pprteez d < α. Co rfermeto ll seme delle persoe lte d esempo sceglere 0. 6 sgfc o predere cosderzoe persoe co ltezz ferore 84 cm. 0 0 Isem fuzzy o covess ormlzzto α o ormlzzto 9 0

6 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Operzo sugl sem fuzzy clusoe B se B X. I prtcolre è sottoseme propro d B coè tle che B se B UNIONE B < B. uoe B m B tersezoe B m B complemeto B B INTERSEZIONE etre le operzo sugl sem clssc cluse le legg d De org vlgoo che per gl sem fuzzy le due legg del mezzo escluso e d o cotrddzoe o vlgoo per gl sem fuzzy coè: X

7 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy X Osservmo che u vlore d pprteez d 0.5 dc mssm fuzzess poché l elemeto pprtee ll seme fuzzy tto quto pprtee l suo complemetre. NUERI FUZZY U umero fuzzy è u seme fuzzy covesso e ormlzzto defto sull seme R de umer rel. D solto s uso umer fuzzy trgolr e trpezodl. 3 4

8 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Numer fuzzy trgolr 0 per per 0 ltrmet U umero fuzzy trgolre è tpcmete deotto. Nell prtc rsult spesso coè s h u umero fuzzy trgolre cetrle: 0 U umero fuzzy trgolre cetrle è dtto descrvere l cocetto vco vco d. Opertvmete dovedo defre u vlore certo s può cosderre come l pù pccolo vlore possble come l pù grde vlore possble ed come l vlore pù plusble. U umero fuzzy trgolre cetrle è smmetrco rspetto ll sse se - d cu dtto d esprmere l prol pccolo. U umero fuzzy l è detto umero trgolre sstro. U umero trgolre sstro è dtto descrvere postvo grde PL o sml d esempo grosso proftto lto rscho ecc ell potes che s u umero grde. U umero fuzzy r è detto umero trgolre destro. I prtcolre u umero trgolre destro r 0 0 può essere usto per descrvere postvo pccolo PS d esempo scrso proftto bsso rscho ecc. 5 6

9 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Numer fuzzy trpezodl Nell prtc rsult spesso [ b ] [b ] per cu l umero trpezodle b b è smmetrco rspetto ll le. Tle umero è detto umero fuzzy trpezodle cetrle. È dtto rppresetre l tervllo [b b ] ed umer rel vc tle tervllo. 0 b b b b 0 per b per b b per b ltrmet 0 b b b b U umero fuzzy l b b b è detto umero trpezodle sstro. l b b b è dtto rppresetre grde ell potes che b s u umero grde. U umero fuzzy r b b b è detto umero trpezodle destro. r 0 0 b è dtto rppresetre pccolo. U umero fuzzy trpezodle è tpcmete deotto b b. Se b b l umero trpezodle s rduce d u umero trgolre ed è deotto. D coseguez u quluque umero trgolre può essere scrtto sotto form d umero trpezodle coè. 7 8

10 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy RELZIONI FUZZY Dt gl sem crsp e B deft rspettvmete sugl uvers X e Y u relzoe fuzzy R tr e B è l seme R { yr y y B R y [0]} dove Ry dett fuzoe d pprteez defsce l grdo d pprteez dell copp ordt y d R ovvero l grdo co cu è relzoe co y. Qud u relzoe fuzzy è u seme fuzzy defto sul prodotto crteso B. Ry descrve u superfce. Formlmete l relzoe fuzzy R è u relzoe crsp terr coè u seme d trple ordte. L defzoe d relzoe fuzzy è u geerlzzzoe dell defzoe d seme fuzzy d uo spzo bdmesole d uo spzo trdmesole yry. Rppresetzoe d relzo fuzzy U relzoe fuzzy s può rppresetre: - elecdoe gl elemet R { y 0. y 0.6 } - defedo l propretà che deve essere soddsftt dgl elemet d R R {y y > X y Y} - defedo u mtrce R 3 y y y defedo u grfo fuzzy og rco è etchettto co R y j y y 3 y 3 9 0

11 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy LOGIC CLSSIC Nell logc clssc o logc due vlor u proposzoe frse dchrtv è ver o è fls. {0} è l seme de vlor d vertà per u proposzoe. Il mercto zoro è dpedete d tss d flzoe proposzoe fls L mss moetr è u dctore ecoomco proposzoe ver Le precedet proposzo soo semplc. Due o pù proposzo semplc possoo essere combte trmte coettv logc per formre proposzo composte. I coettv logc soo: egzoe coguzoe dsguzoe e mplczoe. I prtcolre l proposzoe p q è ver eccetto qudo p è ver e q è fls. U modo per esprmere l vlore d vertà dell mplczoe è qud: p q m q p p q p - p Tbelle d vertà p q mpq p q mpq p q mq-p Tutologe U tutolog è u proposzoe compost che è ver dpedetemete d vlor d vertà delle proposzo compoet. Esempo: legge del mezzo escluso p p. Cotrddzoe U cotrddzoe è u proposzoe compost che è fls dpedetemete d vlor d vertà delle proposzo compoet. Esempo: legge d o cotrddzoe p p. p p p p p p Nell prte dell logc clssc ot co l ome d clcolo delle proposzo og proposzoe è vst come u ettà uc e dvsble. L estesoe d quest logc è l clcolo de predct. U predcto frse dchrtv cotee u o pù vrbl. ssegdo vlor lle vrbl u predcto dvet u proposzoe. Qud el clcolo de predct u proposzoe può essere ver o fls secod de vlor ssegt lle vrbl. Corrspodez tr logc clssc e teor degl sem C è corrspodez tr coettv logc e le operzo su sem: logc teor degl sem

12 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy LOGIC PIÙ VLORI Nell logc due vlor o è possble ssegre vlor d vertà proposzo reltve d evet futur. d esempo dom poverà. U possble soluzoe cosste ell trodurre u terzo vlore oltre d e 0 per dcre vero e flso rspettvmete. secod d come è defto l terzo vlore s possoo vere dverse logche tre vlor. d esempo ell logc tre vlor d Luksewcz u proposzoe h 3 vlor d vertà: vero deotto d flso deotto d 0 determto deotto d ½. L seme de vlor d vertà è {0 ½ }. I coettv logc soo gl stess dell logc clssc m loro vlor d vertà pprtegoo {0 ½ }. Vlor d vertà per p p e p p : U ulterore geerlzzzoe permette d u proposzoe d vere pù d 3 vlor d vertà. d esempo se è u umero turle 3 vlor d vertà possoo essere {0 }. I quest logc vlor le defzo de coettv logc rmgoo le stesse. Se vlor d vertà soo rppresett d tutt umer rel [0] s h u logc ft vlor. C è u corrspodez tr l teor degl sem fuzzy e l logc ft vlor. p p p p p p 0 0 / / / / 0 0 Come s vede dll tbell p p e p p o soddsfo rspettvmete l legge d o cotrddzoe e l legge del mezzo escluso. Potremmo dre che p p esprme u legge pù geerle d qus o cotrddzoe e p p è u qus tutolog. L logc tre vlor è u geerlzzzoe dell logc due vlor. 3 4

13 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy LOGIC FUZZY L logc fuzzy è u estesoe dell logc ft vlor quto troduce gl sem fuzzy e le relzo fuzzy el sstem dell logc ft vlor. L logc fuzzy us vrbl lgustche cu vlor soo espresso del lguggo turle e proposzo mprecse llo scopo d rprodurre l rgometo pprossmto. sem clssc corrspodez somorfsmo logc clssc VRIBILI LINGUISTICHE Tempertur è u vrble lgustc cu vlor soo prole come lt med bss. Quest vlor dett term soo rppresett d sem fuzzy prtcolre umer fuzzy su u uverso che è u sottoseme de rel. Tle uverso rppreset l vrble bse tempertur. Tempertur VRIBILE LINGUISTIC geerlzzzoe sem fuzzy corrspodez somorfsmo geerlzzzoe logc ft vlor bssssm bss med lt ltssm TERINI logc fuzzy C tempertur VRIBILE BSE 5 6

14 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy L fuzoe d pprteez dell seme fuzzy med è: med 0 0 per 0 0 per 0 30 ltrmet Qud d esempo u tempertur d 8 o è med co u grdo d pprteez pr 0.8. Le vrbl lgustche goco u ruolo mportte elle pplczo fzre ed ecoomco-gestol. d esempo etrte proftt flzoe rscho vestmeto ecc. soo tutte vrbl lgustche. ODIFICTORI LINGUISTICI Idchmo co m u modfctore lgustco per esempo molto pù o meo o ecc. D solto s h: o molto [] pù_o_meo [] / Esempo Suppomo che buoo s l seme fuzzy che descrve l vlore lgustco credto buoo. L fuzoe d pprteez d buoo è buoo dove è u vrble bse sull uverso { } obuoo moltobuoo pù_o_meobuoo

15 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Osservmo che dto u seme fuzzy ed u modfctore lgustco m l rppresetzoe d m dovrebbe esprmere degutmete l sgfcto del modfctore. No esste u uco modo per fr cò. Per esempo l modfctore molto può essere espresso oltre che el modo vsto precedetemete che d uo shft destr dell fuzoe d pprteez: molto c co c costte pproprt. Il modfctore pù o meo può essere espresso vece co uo shft sstr. Osservzoe: l seme fuzzy molto o sempre è vsto come u modfctore molto pplcto d u seme fuzzy m s che molto possoo essere deft come term d u vrble lgustc. Per esempo el cso dell tempertur vremmo potuto scrvere seguet term: molto bss bss med lt molto lt. PROPOSIZIONI FUZZY etre ell logc clssc u proposzoe è ver o fls ell logc pù vlor e ell logc fuzzy u proposzoe è ver co u certo grdo ell tervllo [0]. L vertà d u proposzoe logc fuzzy è espress medte u seme fuzzy e qud dll su fuzoe d pprteez. Esemp d proposzo e B soo sem fuzzy deft rspettvmete sugl uvers X e Y; geerle X Y: s form coc s m proposzoe modfct f s the y s B proposzoe codzole 9 REGOLE DI COPOSIZIONE DI PROPOSIZIONI FUZZY Dte due proposzo p s q y s B l operzoe d composzoe cosste el combre p e q medte coettv logc. e By rppreseto vlor d vertà delle due proposzo. Se d esempo è u prtcolre vlore dell uverso d defzoe d è l vlore d vertà dell proposzoe s. coguzoe p q t p q m By y B dove t dsguzoe p q è l vlore d vertà d p q p q. t p q m By y B mplczoe p q t p q m -By y B Esstoo ltr mod per esprmere l mplczoe fuzzy. Le regole vste dervo dll logc clssc e dll logc pù vlor d Luksewcz. Il lto destro delle tre formule vste precedetemete è reltà l fuzoe d pprteez d u relzoe fuzzy poché y pprtee l prodotto crteso B. Qud vlor d vertà delle proposzo composte soo rppresett d relzo fuzzy. Osservmo fe che le fuzo d pprteez d e d B elle formule precedet ho rgomet dvers. Questo sgfc prtcolre che le operzo d m e m che esprmoo rspettvmete l coguzoe e l dsguzoe d proposzo soo dverse dlle operzo m e m che bbmo usto per rppresetre rspettvmete l tersezoe e l uoe d sem fuzzy. 30

16 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy EDI STTISTIC r ~ r... r r dove r soo umer rel che rppreseto msure o stme. Le msure s cosdero d ugule mportz. ltertvmete s possoo usre de umer rel λ per dcre grd d mportz dvers d ssocre lle msure. S ottee l med pest: ~ λ r... λr rw wr... wr λ... λ I w dett pes soo dt d: w r λ w... w... w λ... λ Il cocetto d med crsp può essere geerlzzto sosttuedo umer fuzzy l posto de umer rel r. Itroducmo qud le operzo rtmetche su umer fuzzy. DDIZIONE DI NUERI TRINGOLRI L somm può fclmete essere estes umer trgolr. Esempo: L fgur precedete può essere terprett come segue: se descrve umer rel vc e descrve umer rel vc 4 llor rppreset umer rel vc 4. OLTIPLICZIONE E DIVISIONE DI UN NUERO TRINGOLRE PER UN NUERO RELE Dt umero fuzzy trgolre ed r umero rele s h: r r r r r L dvsoe d per r è deft come moltplczoe d per r ovvmete deve essere r 0. DDIZIONE DI NUERI TRPEZOIDLI b b b b b b b b L somm può fclmete essere estes umer trpezodl. 3 3

17 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy 33 OLTIPLICZIONE E DIVISIONE DI UN NUERO TRPEZOIDLE PER UN NUERO RELE r rb rb r r r 0 r r r b r b r r r. SO DI NUERI TRINGOLRI E TRPEZOIDLI Cosdermo l umero trgolre che può essere rppresetto come umero trpezodle ed l umero trpezodle b b. S h: b b EDI FUZZY EDI TRINGOLRE Cosdermo umer trgolr : ~ che è l umero trgolre ~ m m m. Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy 34 EDI TRINGOLRE PEST Se umer rel λ rppreseto l mportz d bbmo ~ w w w w w w w w w w w w w w w λ λ λ λ Ovvero ~ w w w w. EDI TRPEZOIDLE Se b b soo umer trpezodl s h: ~ b b m m m m EDI TRPEZOIDLE PEST ~ w w w b w b w DEFUZZIFICZIONE DELL EDI FUZZY Defuzzfcre u med fuzzy sgfc trovre l vlore crsp che meglo rppreset tle med. Cosdermo l med trgolre ~ m m m. ppre rgoevole sceglere l vlore m come vlore che meglo rppreset tle med. m h ftt l pù lto grdo d pprteez pr d d ~. Coè ~ ottee l suo vlore mssmo m m. L operzoe d defuzzfczoe può comuque essere deft ltr mod d esempo:

18 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy m m m m 3 m m m m 4 3 m 4m m m. 6 dfferez dell prm formul m m le ultme tre formule predoo cosderzoe cotrbut d m e m m do u peso dverso m. L formul d usre deve essere scelt fuzoe dell specfc pplczoe. Ovvmete le formule precedet possoo essere uste per defuzzfcre che u med trgolre pest. ~ Reltvmete ll med trpezodle m m m m l defuzzfczoe s ottee medte u estesoe delle formule precedet cu s cosder vece d m l puto medo del segmeto m m. D coseguez s h: m m m m m m m m 3 m m m 4 m m m 3 m m m 6 Le formule precedet possoo essere uste per defuzzfcre che u med trpezodle pest. m ETODO DELFI FUZZY PER LE PREVISIONI Il metodo Delf fuzzy è u estesoe del metodo Delf clssco usto per combre le prevso d lugo perodo ftte d pù espert. Il metodo Delf cosste de seguet pss. Gl espert esprmoo modo seprto ed dpedete l loro opoe sull dt cu s verfcherà u certo eveto d esempo gl espert è stto rchesto d prevedere lo stto geerle del mercto dell ecoom ecc.. S clcol l med sttstc delle opo e l s comuc gl espert. 3 Gl espert rcosdero le propre rsposte e forscoo uove stme che soo lzzte sttstcmete e vte d uovo gl espert. 4 Il processo è rpetuto fchè l rsultto coverge d u soluzoe rgoevole. Spesso due o tre rpetzo del processo soo suffcet. Le prevso lugo terme covolgoo geerle formzo mprecse ed complete. Ioltre le decso prese dgl espert soo soggettve. Qud covee usre umer fuzzy zché umer crsp. I prtcolre umer trgolr soo molto dtt llo scopo quto s possoo costrure co fcltà specfcdo tre vlor: l mmo l mssmo e quello pù plusble. Ivece d usre u med crsp s userà u med fuzzy. Il metodo Delf fuzzy cosste de seguet pss. Gl espert E prevedoo le possbl dte d relzzzoe d u certo eveto: l prm dt possble l dt pù plusble e l ultm dt possble. Le opo degl espert soo rppresette medte umer trgolr. ~ S clcol l med m m m d tutt gl. Per og esperto E s clcol l devzoe 35 36

19 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy ~ m j j m m j j 37 j j ~ L devzoe è sottopost ll esperto E. 3 Og esperto E preset u uovo umero trgolre B b b b. S tor l psso clcoldo l med trgolre B ~ e così v fchè due mede successve soo rgoevolmete vce. 4 Successvmete l processo descrtto può essere reterto qulor s dspog d uove formzo che gustfcho u resme dell prevsoe. ETODO DELFI FUZZY PESTO È l metodo precedete cu s ssoco pes dvers lle opo degl espert. Le mede cosderte soo qud mede peste. PROCESSO DECISIONLE IN BIENTE FUZZY Predere u decsoe decso mkg sgfc sceglere uo tr pù mod ltertv d rsolvere u problem. Il processo decsole è pù dffcle qudo s h che fre co formzoe complet mprecs e soggettv ovvero qudo l formzoe è fuzzy. Itroducmo desso due metod per predere decso bst sugl sem fuzzy e sull logc fuzzy. Nel prmo metodo u decsoe è deft dll tersezoe d obettv e vcol descrtt medte sem fuzzy. Il secodo metodo vece comb obettv e vcol usdo l med fuzzy.. INTERSEZIONE DI OBIETTIVI FUZZY E VINCOLI FUZZY Suppomo che l obettvo gol d rggugere s descrtto d u seme fuzzy G ed l vcolo costrt d rspettre s descrtto d u seme fuzzy C. I due sem soo descrtt rspettvmete dlle fuzo d pprteez G e C essedo u elemeto dell seme crsp lt delle possbl ltertve. L decsoe è u seme fuzzy D rsultte dll tersezoe d G e C: D G C { D [ d d] D [0 h ]} d esempo suppoedo che lt R e G e C bbo fuzo d pprteez cotue mootoe: h C D 38 G d m d Dm G C lt L decsoe dvdu l seme crsp [d d ] che è u sottoseme delle ltertve lt. D dc l grdo co cu [d d ] pprtee ll decsoe D. Spesso l decsore vuole u rsultto crsp coè u vlore ell tervllo [ d d] lt che meglo rppreset l seme fuzzy D. Questo s ottee defuzzfcdo D. U scelt turle è cosderre l vlore co mssmo grdo d pprteez ll seme D: m m G C. m Le formule precedet possoo essere fclmete estese l cso d obettv G ed m vcol C j j m. L decsoe è: D G... G C... l fuzoe d pprteez è C m D G... G C... Cm

20 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy e m è l ltertv cu D ssume l vlore mssmo. Esempo: Dstrbuzoe de dvded Suppomo che l cosglo d mmstrzoe d u zed propog d dstrbure u dvdedo gl zost che s ttrete per gl zost e l tempo stesso modesto. Dvdedo ttrete è u vlore lgustco che rppreset l obettvo ed è descrtto d u seme fuzzy defto su u certo seme d ltertve { 0< } co msurto euro. lt L fuzoe d pprteez G è crescete ell tervllo lt. Dvdedo modesto è u vcolo C descrtto d u seme fuzzy defto su lt co fuzoe d pprteez C decrescete. Per le fuzo d pprteez s possoo usre umer trgolr o trpezodl oppure curve cmp. Suppomo che dvdedo ttrete s rppresetto dll seme fuzzy G defto sull seme delle ltertve lt { 0< 8} come segue: 0 G 4 per 0< per 5 per 5 8 e che dvdedo modesto s rppresetto dll seme fuzzy C defto sull seme delle ltertve lt come segue: 6 C 4 0 per 0< per 6 per 6 8 h C D G L seme crsp [d d ] è l tervllo [6]. Il puto d tersezoe delle rette 6 e è qud m 3.5 e h md Il dvdedo d pgre è qud 3.5 euro.. PROCESSO DECISIONLE BSTO SU EDI FUZZY Descrvmo obettv e vcol medte umer trgolr o trpezodl ed usmo l med fuzzy evetulmete l med pest el cso cu s posso ssocre grd d mportz dvers vr obettv e vcol. Il rsultto è u umero trgolre o trpezodle D terpretto come decsoe. Per trovre l decsoe mglore cosdermo l vlore ell tervllo che rppreset l supporto d D el qule D h vlore mssmo. Esempo: Dstrbuzoe de dvded medte med fuzzy Rcosdermo l problem precedete reltvo ll dstrbuzoe de dvded tr gl zost d u zed. Rsolvmo l problem due mod

21 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Dpprm suppomo che l obettvo e l vcolo bbo lo stesso grdo d mportz coè lo stesso peso ed usmo qud l med fuzzy. bbmo vsto che gl sem G dvdedo ttrete e C dvdedo modesto soo umer trpezodl sstro e destro rspettvmete. Iftt: G 588 C 006. Clcoldo l med ottemo: G C D che rppreset l decsoe Rsolvmo desso lo stesso problem co l med fuzzy pest. Suppomo d ssegre pes dvers G e C per esempo w G 0.4 e w C 0.6. Questo sgfc che l vcolo dvdedo modesto è u po pù mportte dell obettvo dvdedo ttrete. Ottemo: D 0.4G 0.6C che rppreset u umero trpezodle co tervllo d pprteez mssm [4.4]. Il puto medo d tle tervllo forsce l decsoe mglore: m 3. Come c spettvmo questo vlore è more del precedete. C G D m Proettdo sull sse l segmeto cu l fuzoe d pprteez D dell decsoe h vlore mssmo pr d ottemo l tervllo [.55]. Cosdermo come decsoe mglore l puto medo d tle tervllo coè: m 3.75 Nel cso precedete cu vevmo usto l metodo dell tersezoe l rsultto er m 3.5. Spett ovvmete l cosglo d mmstrzoe dell zed decdere qule vlore dottre. 4 4

22 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy CONTROLLO FUZZY: USO DELL LOGIC FUZZY NEL PROCESSO DECISIONLE Il processo decsole può bsrs sull uso e sull ggregzoe d regole d ferez f the. U sstem complesso cotee spesso vre sorget d fuzzess d esempo formzo complete certe o precse ed è dffcle se o mpossble costrure u modello mtemtco precso. S rcorre llor ll uso d sem fuzzy prtcolre umer fuzzy per descrvere feome compless e mprecs e ll logc fuzzy per rrvre d u coclusoe. I prtcolre mtdo l processo tpco del rgometo umo s uso vlor lgustc ll tero d regole f the. d esempo co rfermeto ll vlutzoe d prte d cosulet fzr del rscho fzro reltvo propr clet potremmo dre: se l troto ule del clete è bsso e l ptrmoo totle è lto llor l tollerz del clete l rscho fzro è modert. Nell regol precedete le vrbl lgustche troto ule e ptrmoo totle soo gress; l vrble lgustc tollerz l rscho è l usct; bsso lto e modert soo vlor d vrbl lgustche. Occorre svluppre u bse d cooscez coteete regole f the. Le regole soo eurstche dervte dll esperez dell esperto umo. L obettvo del sstem d cotrollo è produrre u rspost che può essere secod de cs u cosglo u suggermeto u vlutzoe u prevsoe etc. Il cotrollo fuzzy è effcce qudo s vuole u buo soluzoe e questo ccde ell mggorz de cs o è vece utlzzble per trovre l soluzoe ottm. I quest ultmo cso ftt è ecessro rcorrere modell mtemtc. LE VRIBILI DI CONTROLLO Cosdermo u sstem co due gress e B ed u usct C. Gl gress e le uscte soo vrbl lgustche che soo rppresette medte sem d term B j C k : } { B { B... B j... B m } C C... C k... C } { l I term B j e C k soo sem fuzzy deft rspettvmete sugl uvers U U U 3. È qud ecessro: determre gl uvers U U U 3 d defzoe delle vrbl bse y e z reltve lle tre vrbl lgustche; sceglere l form delle fuzo d pprteez degl sem B j e C k ; 3 stblre vlor d m e l d solto vro tr e 7; 4 specfcre le fuzo d pprteez. Esempo: modello d tollerz l rscho fzro I cosulet fzr s trovo dover vlutre l rscho fzro reltvo propr clet. Descrvmo u semplce modello dell cpctà d tollerz l rscho del clete che dpede dll troto ule e dl ptrmoo totle d quest ultmo. L obettvo del cotrollo è forre per og copp d vrbl d gresso troto ule ptrmoo totle l corrspodete vlore d usct ovvero u lvello d tollerz l rscho. Suppomo d descrvere le vrbl goco come segue: troto ule: { 3 } {B } ptrmoo totle: B {B B B 3 } {B } tollerz l rscho: C {C C C 3 } {B O } dove B bsso medo O moderto e lto. Qud l umero d term è ml3. 44

23 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Le tre vrbl lgustche soo rppresette come segue. B B O troto ule gresso tollerz l rscho usct z B ptrmoo totle gresso y 0 4 REGOLE f d the Il psso successvo cosste ello scrvere le regole d ferez dette che regole d cotrollo o regole d produzoe. Il umero d regole è m coè l prodotto del umero de term d cscu vrble lgustc d gresso e B. Le regole produrro l m uscte dverse essedo l l umero d term dell vrble d usct C. Le regole soo rppresette medte u mtrce rettgolre m dett tbell d decsoe. I tle tbell C j j m soo rdeomzo d elemet dell seme {C C l }

24 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy B B j B m C j Il sgfcto dell geerc regol f.. d the è l seguete: f s d y s B j the z s C k C k rdeomto C j è stuto ell cell ll tersezoe tr l rg -esm e l colo j-esm. L prte d d u regol è l coguzoe d due proposzo. È u relzoe fuzzy B U U co fuzoe d pprteez dt d m Bj y y B U U regol d ferez f the è u mplczoe. Esstoo vr mod per esprmere l mplczoe. Suppomo d dottre l mplczoe d md che s relzz co l operzoe d mmo tr l premess coè l prte f e l coclusoe coè l prte the. L regol può qud essere rppresett come m Bj y Cj z y z B C U U Nel cso questoe bbmo 9 regole e l umero d uscte dverse è 3. Suppomo che gl espert fzr bbo selezoto le regole rppresette dll seguete tbell d decsoe: U U 3 Il sgfcto dell tbell è l seguete: Regol : f l troto ule del clete è bsso B e l ptrmoo totle del clete è bsso B the l tollerz l rscho fzro è bss B.. Regol 9 :. VLUTZIONE DELLE REGOLE Se gl gress l sstem fuzzy soo vlor crsp 0 e yy 0 dobbmo trovre l vlore corrspodete dell usct z. I umer rel 0 e y 0 possoo essere otteut come rsultto d msurzo osservzo stme etc. S oper come segue. S cofrot og sgolo vlore d gresso co le fuzo d pprteez che rppreseto term delle vrbl lgustche PTRIONIO TOTLE B B B B O INTROITO NNULE O O O 47 48

25 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Bjy0 Bjy0 Bj- S 0 che y 0 pprtegoo co grdo d pprteez > 0 solo due sem fuzzy. L tbell d decsoe s rduce ll seguete tbell d decsoe dott cu solo quttro celle cotegoo term dvers d zero. Tl celle soo dette celle ttve. Per come bbmo defto l d ell prte tecedete delle regole ftt se lmeo u delle fuzo d pprteez è zero l opertore d mmo produce zero. B j y 0 B j y 0 49 Bj y0 Bj C j z C j z C j z C j z GGREGZIONE DELLE REGOLE L tbell d decsoe dott mostr che vegoo pplcte solo quttro regole: Regol : f s d y s B j the z s C j y Regol : f s d y s B j the z s C j Regol 3: f s d y s B j the z s 50 C j Regol 4: f s d y s B j the z s C j L prte d d cscu regol rppreset l forz dell regol. Le forze delle regole soo le seguet: α j m 0 B j y0 α j m 0 Bj y0 α α m 0 Bj 0 j y m 0 Bj 0 j y Producmo l tbell delle forze delle regole: B j y 0 B j y j 0 0 j α j α 0 α j α che quest tbell bbmo solo quttro celle ttve. Usmo gl elemet elle quttro celle ttve delle due tbelle per trodurre l ozoe d usct d cotrollo. L usct d cotrollo d cscu regol è deft dll operzoe d coguzoe pplct ll su forz e ll coclusoe come segue: usct d cotrollo dell regol m α j C j z usct d cotrollo dell regol m α j C j z usct d cotrollo dell regol 3 m α j C j z usct d cotrollo dell regol 4 m α j C j z

26 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Le uscte delle quttro regole devoo po essere combte o ggregte modo d produrre u uc usct d cotrollo co fuzoe d pprteez. gg z È turle usre per l ggregzoe l opertore or espresso dl m: gg z m{m αj Cj zm α j C j zm α j C j z m α C z} j j Osservmo che ell formul precedete l operzoe d mmo è esegut tr u umero ed u fuzoe d pprteez d u seme fuzzy. Dto u umero rele α ed u seme fuzzy C defmo: m α C z m α z α C z dove α z α è u le rett prllel ll sse z; geometrcmete questo sgfc trocre l form d Cz. d esempo: che l fuzoe d pprteez ggregt gg z rppreset u seme o ormlzzto costtuto d fuzo d pprteez come quell mostrt ell fgur precedete. Tordo l ostro esempo suppomo d vere e y bbmo l seguete stuzoe: /3 /3 B B40 /3 40 /3 α Cz 5/6 B m α C z z /6 5 y 0 4 Il rsultto è qud u umero fuzzy o ormlzzto. B5 5/6 5 /6 L tbell d decsoe dott è: 5 5

27 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy B55/6 5/6 B40/3 Bz Bz 0 40/3 Oz Oz 0 B /3 Clcolmo l forz delle regole: α mb40 B5 m/35/6 / z α mb40 5 m/3/6 /6 α m40 B5 m/35/6 /3 α m40 5 m/3/6 /6 B L tbell delle forze delle regole è qud: B55/6 5/6 B40/3 /3 /6 0 40/3 /3 /6 0 / z Per l usct d cotrollo delle regole ottemo: usct dell regol : m α Bz m/3bz usct dell regol : m α Bz m/6bz /3 O usct dell regol 3: m α Bz m/3oz usct dell regol 4: m α Oz m/6oz z L usct d og regol è qud u trpezo o ormlzzto. Pù precsmete le uscte delle quttro regole soo le seguet: 53 54

28 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy O etodo del cetro dell re o cetrode o cetro d grvtà È l metodo pù usto. Suppomo che l ggregzoe delle regole d cotrollo produc l seguete fuzoe d pprteez z z z ]: [ 0 q gg z / z p D u puto d vst geometrco ggregre tl uscte sgfc sovrpporre quttro trpez uo sull ltro ello stesso sstem d coordte z. Ottemo: q 0 gg z z0 z z... zq- zq z /3 /3 B 0 O gg z z DEFUZZIFICZIONE che questo cso è ecessro rcvre u umero ~ z che rppreset modo deguto l fuzoe d pprteez gg z. Esstoo vr mod per esegure l operzoe d defuzzfczoe. Nel seguto e vegoo descrtt tre. 55 Suddvdmo l tervllo [z 0 z q ] q sottotervll ugul o qus ugul medte put z z z q-. Il vlore crsp ~ z cercto è l med pest de umer z k questo cso l peso è z : gg k ~ z q z k k q k L terpretzoe geometrc è che ~ z è l scss del cetro ~ z ~ dell re sotto l curv z gg lmtt bsso dll sse z. L terpretzoe fsc è l seguete: se tle re fosse otteut d esempo rtgldol d u pezzo d lego o d metllo l cetro dell re srebbe l cetro d grvtà. 56 gg gg z z etodo dell med de mssm Cosdermo l stess fuzoe d pprteez precedete k k gg z z [ z 0 z q ]. Tle fuzoe h due segmet prllel ll sse z. Proettmo

29 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy l segmeto P P ll mssm ltezz sull sse z e clcolmo z ~ come puto medo del segmeto proezoe [p p ]. p q 0 Q P Q P q p q p p p z ~ etodo dell med pest È u geerlzzzoe del metodo precedete. Cosder le proezo d tutt segmet prllel ll sse z: p p q q p q ~ p p q q z w w p q coè ~ z è l med pest de put med de segmet [p p ] e [q q ] co p q pes w e w dove p e q soo le ltezze de due segmet. p q p q Ovvmete l formul precedete è fclmete estedble l cso d pù d due segmet prllel ll sse z. Rtordo l ostro esempo clcolmo l usct del sstem utlzzdo tre metod d defuzzfczoe descrtt. z L usct ggregt del sstem ved fgur successv cosste d quttro 0 segmet Q Q QP P P e P P pprteet lle rette z z e rspettvmete. Le proezo d Q P e P sull sse z 3 30 soo e 60. L fuzoe d pprteez è qud: gg per 0 z 30 3 z 0 per 30 z 40 z 30 per 40 z z per 60 z /3 /3 B O 0 P Q Q Q gg z etodo del cetro dell re P P gg z z Suddvdmo l tervllo [080] 8 prt ugul d lughezz 0. Ottemo: z z gg /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 Qud: 57 58

30 Prof. Betrce Lzzer Itroduzoe gl Isem Fuzzy e ll Logc Fuzzy ~ z etodo dell med de mssm bbmo [p p ] [4060] qud: ~ z 50 etodo dell med pest I segmet P P e Q Q ho proezo [4060] e [040] e ltezze e 3 3 rspettvmete. Qud: ~ z I rsultt otteut co tre metod d defuzzfczoe soo molto vc tr loro. Tl rsultt s terpreto come segue. Gl espert fzr stmo che l tollerz l rscho fzro d u clete che h troto ule pr ed u ptrmoo totle d è pr 43 su u scl d 0 00 se dotto l prmo metodo ovvero 50 o 40 se dotto l secodo o terzo metodo rspettvmete. 59