CONSORZIO NETTUNO POLITECNICO DI TORINO DIPLOMI UNIVERSITARI TELEDIDATTICI

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1 CONSORZIO NETTUNO POLITECNICO DI TORINO DIPLOMI UNIVERSITARI TELEDIDATTICI Eugeo BRUSA Crst DELPRETE Polo GAY Tutorto d CALCOLO NUMERICO Settembre.

2 Quest rccolt d esercz e ote, prodott d uso tero, vee utlzzt per tutort dell segmeto d Clcolo Numerco de Cors d Dplom Uverstro Teleddttco Igeger Automtc e Iformtc, Igeger Elettrc, Igeger Elettroc e Igeger Meccc. Nel corso dell stesur s è ftto rfermeto l testo G. MONEGATO, Pge d... Elemet d Clcolo Numerco, Levrotto & Bell, Toro, 996. Il mterle proposto o vuole lcu modo sostture l lbro d testo, cu s f rfermeto per quto rgurd le bs teorche e l mpostzoe formle dell segmeto, m vee forto esclusvmete ttolo d supporto ddttco volto fcltre l pprocco ll mter. Eugeo Brus Crst Delprete Polo Gy Toro, settembre Vette l rproduzoe e qulss form d commerclzzzoe..

3 TUTORATO DI CALCOLO NUMERICO Coteut Fodmet del clcolo scetfco. Sstem d umerzoe e sstem rtmetc. Errore ssoluto ed errore reltvo. Cfre decml corrette e cfre sgfctve corrette. Error d rrotodmeto. Trocmeto semplce e rrotodmeto smmetrco. Ccellzoe umerc. Esercz svolt. Esercz propost. Rchm sul clcolo mtrcle. Mtrc e operzo tr mtrc. Mtrce trspost. Mtrce smmetrc. Determte. Mtrce smmetrc deft o semdeft postv. Mtrce o sgolre. Rgo. Mtrce vers. Norm. Esercz svolt. Esercz propost. Sstem d equzo ler. Geerltà su metod d soluzoe: drett e tertv. Soluzoe d sstem trgolre superor e feror. Algortmo Bcksost. Metodo d Guss: procedur, decomposzoe GAU, fttorzzzoe PALU, lgortmo Fctor e lgortmo Solve. Metodo d Cholesk: procedur e lgortmo. Esercz svolt. Esercz propost. Ce sul codzometo de sstem ler. Metod tertv: procedur e ce sull covergez. Metodo d Jcob. Metodo d Guss-Sedel e lgortmo Gsedel. Ce sul metodo SOR. Autovlor e utovettor. Autovlor d mtrc. Metodo delle poteze: utovlore d modulo mssmo e mmo. Algortmo Pow. Metodo delle poteze verse: utovlore d ot pprossmzoe. Algortmo Ivpow. Ce sulle trsformzo d smltude. Ce sul metodo QR per l clcolo d tutt gl utovlor. Approssmzoe d fuzo e dt spermetl. Clss delle fuzo terpolt. Crter d scelt dell fuzoe terpolte. Iterpolzoe polomle: metodo d Lgrge e metodo d Newto. Algortmo Dfdv e lgortmo Iterp. Iterpolzoe polomle trtt. Sple e sple cubc. Algortmo Sple e lgortmo Vlspl. Approssmzoe d dt. Mm qudrt. Regressoe lere. Esercz svolt. Esercz propost. Equzo o ler. Metodo d bsezoe e lgortmo Bsez. Regul fls. Metodo d Newto o delle tget. Metodo delle sect e lgortmo Sect. Cofroto tr dvers metod. Crter d rresto. Esercz svolt. Esercz propost. Qudrtur. Geerltà. Formule d qudrtur d bse (Newto-Cotes): rettgolo, puto medo, trpezo, d Smpso. Formule d qudrtur Gusse. Formule d qudrtur composte. Tecche d qudrtur utomtc. Esercz svolt. Esercz propost. Equzo dfferezl ordre. Geerltà. Codzo d Lpschtz. Metod esplct psso sgolo e psso multplo. Metodo d Eulero. Metod d Ruge-Kutt. Tem d esme. È forto l testo d tre prove d esoero. Testo d rfermeto G. MONEGATO, Pge d Elemet d Clcolo Numerco, Levrotto & Bell, Toro, 996..

4 SOMMARIO SISTEMI NUMERICI Sstem d umerzoe poszole Sstem rtmetco tero Sstem rtmetco rele Errore ssoluto ed errore reltvo Cfre decml corrette Cfre sgfctve corrette Error d roud-off Trocmeto semplce Arrotodmeto smmetrco Precsoe d mcch 4 Ccellzoe umerc 4 Cosderzo fl 5 Esercz svolt 5 Esercz propost 9 OPERAZIONI TRA MATRICI Operzo elemetr Mtrce trspost Mtrce smmetrc Determte d mtrce Mtrce smmetrc deft (o semdeft) postv Crtero d Sylvester Mtrce dgole domte 4 Vettor lermete dpedet 4 Mtrce o sgolre 4 Rgo d mtrce 4 Mtrce vers 4 Norm d vettor e mtrc 5 Norm d vettore 5 Norm d mtrce 6 Comptbltà d orm 6 Esercz svolt 7 Esercz propost 8 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Itroduzoe Sstem trgolr Metodo d Guss Osservzo sul Pvotg Decomposzoe GAU Fttorzzzoe PALU Utltà dell fttorzzzoe 4 Metodo d Cholesk 5.

5 Codzometo d sstem ler 6 Metod d soluzoe tertv 7 Covergez 8 Metodo d Jcob 8 Metodo d Guss-Sedel 9 Metodo SOR 9 Algortm Esercz svolt Esercz propost 6 AUTOVALORI DI MATRICI Itroduzoe 8 Metodo delle Poteze 8 Metodo delle Poteze Iverse 4 Trsformzo d smltude 4 Metodo QR 4 APPROSSIMAZIONE DI DATI E FUNZIONI Itroduzoe 44 Clss d fuzo pprossmt 44 Crter d scelt dell fuzoe 45 INTERPOLAZIONE DI DATI Crter d terpolzoe polomle d dt 46 Metodo d Lgrge: polom fodmetl d Lgrge 46 Esercz svolt 48 Metodo d Newto: dffereze dvse 48 Esercz svolt 5 Algortm 5 Esercz propost 5 Iterpolzoe polomle trtt 54 Iterpolzoe lere trtt 54 Iterpolzoe co fuzo sples 54 Defzoe d sple 55 Numero d cogte per defre l sple 55 Numero d equzo dspobl 55 Equzo supplemetr 55 L sple cubc turle 56 Esercz svolt 57 Algortm 59 Esercz propost 6 APPROSSIMAZIONE DI DATI Approssmzoe d dt 6 Regressoe lere 6 Mm qudrt: clcolo dell pprossmzoe 6.

6 Elborzoe del rsultto 6 Iterpretzoe geometrc del rsultto 64 Errore qudrtco 64 Esempo: trovre u rett pprossmte 65 Esercz propost 66 EQUAZIONI NON LINEARI Itroduzoe 67 Metodo d bsezoe 67 Geerltà su Regul Fls e metod delle tget e sect 68 Regul Fls 69 Metodo delle tget 69 Metodo delle sect 7 Cofroto tr dvers metod 7 Crter d rresto 7 Esercz svolt 7 Esercz propost 7 CALCOLO DI INTEGRALI MEDIANTE FORMULE DI QUADRATURA Itroduzoe 7 Formule d qudrtur d bse (Newto-Cotes) 76 Formule d qudrtur composte 77 Polom ortogol 79 Formule d qudrtur Gusse 8 Formule d qudrtur utomtche 8 Esercz propost 8 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (ODE) Itroduzoe 8 Soluzoe umerc d ODE 8 Codzoe d Lpschtz 8 Metod oe-step e mult-step 8 Metodo d Eulero 84 Metod d Ruge-Kutt 84 Covergez d u metodo oe-step e orde d covergez 85 TEMI D ESAME Esoero del 5 mggo Esoero del luglo Esoero del 4 luglo

7 E. Brus, C. Delprete, P. Gy SISTEMI NUMERICI Rfermeto l testo: Cp. I SISTEMA DI NUMERAZIONE POSIZIONALE Quluque umero tero N > può essere scelto come bse del sstem d umerzoe e, sstem poszole co bse N, qulss rele s può scrvere come m m ( ) ( N N N. N ) ±. N ± m m m m dove le cfre soo umer ter pprteet ll tervllo [, N ]: Esemp 45.7 N ) ( ) ) ( ) ( ) I sstem rtmetc d u clcoltore soo precsoe ft (spzo d memor fto) ed effettuo operzo co precsoe ft (operzo d mcch:,...); le bs utlzzte soo N o N 6. I umer d mcch soo umer rppresetbl esttmete ello spzo d memor dspoble SISTEMA ARITMETICO INTERO È u sottoseme fto dell seme fto degl ter Z: I Z I ( N, l) { } co N. m Nello spzo d memor s uso bt per l sego e 7 bt per l umero (l7). S h Overflow o Uderflow sugl ter qudo Z, m I, coè > m o < m. Esempo ) N, l qud m 99 6 ( 5 ( 4) ) 6 7 ( 6 5) ( 4) Overflow propretà ssoctv NO m m l SISTEMA ARITMETICO REALE È u sottoseme dell seme fto de rel R: F R Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

8 F q t ( N, t, q) { p N, N p <, q q q } m E. Brus, C. Delprete, P. Gy dove p è l mtss (umero rele p.p p p...) e q è l crtterstc o espoete (umero tero). q L rppresetzoe p N è flotg pot ormlzzt (fp) se l prm cfr decmle dell mtss è dvers d zero (p.p p p... co p ). L codzoe d ormlzzzoe è: N p <. Nello spzo d memor s uso bt per l sego, 8 bt per l crtterstc (r8) e bt per l mtss (t) el cso d sgol precsoe (SP bt) oppure bt per l crtterstc (r) e 5 bt per l mtss (t5) el cso d dopp precsoe (DP64 bt). S h Overflow o Uderflow su rel qudo R, m F. Esemp 4) (.5).5.5e rppresetzoe fp 5) (.784) e rppresetzoe fp 6) ()..e rppresetzoe fp m ERRORE ASSOLUTO ED ERRORE RELATIVO Dto l vlore estto e l su pprossmzoe ( ε) ssoluto e reltvo rspettvmete come:, per s defscoo gl error coè ER è EA sclto co. EA & ER & EA EA ed ER qutfco l botà dell pprossmzoe e forscoo rspettvmete l umero d decml corrett e l umero d cfre sgfctve corrette. CIFRE DECIMALI CORRETTE P) Se è u pprossmzoe d co p decml corrett llor EA < p Esemp 7) , corrett decml, EAe < 8) , corrett decml, EA9e9 < 9) , corrett 7 decml, EA9e89 8 < 7 P) Se e soo umer ter co le ultme p cfre dverse, llor EA - < p Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

9 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Esempo ) 45976, s h EA.9e.9 < CIFRE SIGNIFICATIVE CORRETTE P) Se è pprossmzoe d co p cfre sgfctve, llor ER < Esemp ) e. cfr sgfctv;.45 5 cfre sgfctve ) , corrett 9 cfre sgfctve, ER.e. ) , corrett 5 cfre sgfctve, ER.e5. 5 4) , corrett 5 cfre sgfctve, ER.e5. 5 p ERRORI DI ROUND-OFF Per memorzzre u umero rele, o d mcch, è ecessro lmtre l su mtss lle t cfre dspobl. Le tecche d roudoff utlzzte soo due. TRONCAMENTO SEMPLICE Le mtsse p comprese tr due mtsse d mcch cosecutve p e p, dstt tr loro N t, vegoo trocte ll mtss d mcch ferore: p p. Dt q pn e fl () pn s h T EAell mtss EAd roud - off : ER d roud - off : q : p p <N t p p N q p p N q p N <N q qt < N t epsn t Esemp 5) t4, N, p p.478 6) t6, N, p. p. ARROTONDAMENTO SIMMETRICO Le mtsse p comprese tr due mtsse d mcch cosecutve p e p, dstt tr loro N t, vegoo così lmtte: se l mtss p cde prm del puto medo tr le due mtsse d mcch p e p, s rrotod quell ferore: p p; Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

10 E. Brus, C. Delprete, P. Gy se l mtss p cde dopo l puto medo tr le due mtsse d mcch p e p, s rrotod quell superore: p p. Dt q q pn e fla ( ) pn s h EA ell EA d ER d mtss roud - off roud - off Esemp 7) t4, N, p p.4784 t4, N, p p.478 : : : t N p p 8) t6, N, p. p. t6, N, p. p. qt q N p p N q p p N N q p N t t N eps L tecc d rrotodmeto smmetrco è pù precs dell tecc d trocmeto semplce quto gl error d roudoff rsulto dmezzt. PRECISIONE DI MACCHINA L precsoe d mcch è u costte crtterstc dell rtmetc flotgpot e dell tecc d roudoff utlzzte. È l mssm precsoe d clcolo rggugble. È l pù pccolo umero mcch (potez d : eps t ) tle che ( eps ) (vle l sego el cso d trocmeto semplce (fl T ), l sego > el cso d rrotodmeto smmetrco (fl A )). { ε F ; fl( ε) } eps m CANCELLAZIONE NUMERICA È u coseguez dell rppresetzoe co precsoe ft de umer rel e cosste ell perdt d cfre sgfctve el rsultto dell dfferez tr due umer qus ugul. So dt due umer flotg pot p N q e bp N q ; le mtsse p e p bbo pù d t cfre, m so rppresetbl soltto co t cfre. Se le mtsse p e p ho le prme s cfre cocdet, l mtss p dell operzoe b, sottrzoe tr due umer rrotodt t cfre, h soltto le prme ts cfre sgfctve, quto provegoo d p e p, metre le restt s cfre soo prve d sgfcto. Esempo 9) t6, N, rrotodmeto smmetrco p p e p p.475 qud Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4.

11 E. Brus, C. Delprete, P. Gy p(p -p ).584 p ( p p ). tre zer fl o soo sgfctv, ftt s e qud ts6 cfre sgfctve p. L ccellzoe umerc è u problem sto egl operd, metre l operzoe d sottrzoe mplfc soltto gl error d roudoff degl operd stess. Per evtre l ccellzoe umerc volte s può rformulre l problem modo d o effetture sottrzo vere e propre. Esempo e ) L equzoe d secodo grdo b h soluzo b b ; se b <<, coè b<<, l soluzoe subsce ccellzoe umerc quto b. L ccellzoe umerc può essere evtt rformuldo le due soluzo el modo seguete: sg( ) b b CONSIDERAZIONI FINALI U geerco problem umerco può essere scrtto form esplct come yf().. Ne dt è presete u errore d roudoff cu corrspode u errore fle e f()f( ) dovuto l codzometo del problem;. L lgortmo è soltmete u pprossmzoe f pù semplce del problem umerco e qud comport u errore e f( )f ( ) dovuto ll dscretzzzoe dell lgortmo;. Le operzo d mcch ho precsoe ft, qud zché f ( ) s vlut f ( ) co u errore e f ( )f ( ) dovuto ll stbltà dell lgortmo. L errore complessvo rsult ef()f ( )e e e Obettvo del Clcolo Numerco è lo svluppo, co error d dscretzzzoe e ull o rbtrrmete pccol, d lgortm stbl (coè co e pccol). ESERCIZI SVOLTI. I umer rel e b. vegoo trodott u clcoltore dove soo rppresett rtmetc flotg pot ormlzzt co bse N, t7 cfre rservte ll mtss e tecc d trocmeto semplce (fl T ). _ Determre l rsultto c b fp( fp( ) fp( b) ) e cofrotre c _ co l rsultto estto cb, dcdo l umero d cfre sgfctve preset d c _. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 5.

12 E. Brus, C. Delprete, P. Gy N, t7, trocmeto semplce t eps N b. _. 54 _ b. Le mtsse ho s cfre ugul e qud l rsultto vrà ts4 cfre sgfctve: 6 c b.465 _ c b.4 zer fl o ho sgfcto. Poché due operd soo qus ugul e cotegoo error (perché soo stt troct t cfre d mtss), l sottrzoe d mcch mplfc gl error; l rsultto preset u perdt d cfre sgfctve dovut ccellzoe umerc.. S cosder u elbortore co rtmetc flotg-pot ormlzzt co bse N, t8 cfre rservte ll mtss e tecc d rrotodmeto per trocmeto semplce (fl T ). Dt umer d mcch.758 4, b e c.6778, clcolre le somme ( b c) e y ( b) c. Cofrotre rsultt otteut co l rsultto estto sbc e spegre l dverso comportmeto delle due somme d mcch. N, t8, trocmeto semplce t eps N b c Prm somm: ( ) b cd. 68 d Gl ultm 5 zer d d ho sgfcto perché gl operd b e c soo prv d errore (soo umer mcch) e qud el clcolo d d o s verfc ccellzoe umerc. Il rsultto fle è quello estto, trocto t8 cfre. 7 Secod somm: y( b) c bd _ d d c. 64 y. 64 L operdo d _ è u pprossmzoe d d (mtss troct t8 cfre) e qud cotee error, oltre d _ h le prme 4 cfre dell mtss cocdet co quelle d c (.67). Nel corso dell operzoe Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 6.

13 E. Brus, C. Delprete, P. Gy successv, qud, s verfc ccellzoe umerc: soltto le prme ts844 cfre soo sgfctve (gl ultm 4 zer d y o ho sgfcto).. Suppoedo d lvorre rtmetc flotg-pot co t4 cfre rservte ll mtss e tecc d rrotodmeto smmetrco (fl A ), sommre seguet umer prm orde scedete (dl pù pccolo l pù grde) e po orde dscedete..58,.65,.58,.498,.666,.7555,.7889,.7767, Cofrotre rsultt otteut co l rsultto estto.7 5. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 7.

14 E. Brus, C. Delprete, P. Gy orde scedete orde dscedet e o cot.7 y o cot o cot o cot o cot s. 7 5 E pù corretto effetture l somm orde scedete (rsultto ); ftt el cso d somm orde dscedete (rsultto y) vlor pù pccol o coto e vegoo pers. 4. Rformulre l problem y δ, modo d evtre l ccellzoe umerc. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 8.

15 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 9. S rzolzz modo d elmre l sottrzoe effettv: ( ) y δ δ δ δ δ ESERCIZI PROPOSTI. Scrvere le rppresetzo flotg-pot ormlzzte de seguet umer: 5.75;.754;.475 e. [.575 e;.754 e;.475 e]. Clcolre l soluzoe de seguet grupp d sstem e cofrotre rsultt (S ot l effetto dl codzometo del problem). ) y. y y. y y. y b) y. y. y. y y. y [) 5 y667; 664 y; 775 y889] [b) 4 y; y;.5 y.5]

16 E. Brus, C. Delprete, P. Gy OPERAZIONI TRA MATRICI Rfermeto l testo: Cp. II U mtrce A è u tbell ordt d umer, geerle co m rghe e coloe. Il geerco elemeto j è poszoto ell csell tersezoe tr l rg -esm ( dce) e l colo j-esm ( dce) m, A R m m m A secod de vlor ssut dll dce d rg m e d colo s dstgue tr: vettore rg (,..., ) se m; vettore colo (,..., ) T se ; mtrce qudrt se m. Nel seguto s frà rfermeto mtrc A R,, coè rel e qudrte, che potro essere: pee: elemet j qus tutt o ull; sprse: gr prte degl elemet j ull; strutturte: elemet dspost modo prtcolre; dgol: j per j; trdgol: j per j > ; dettà: j per j e j per j ( j δ j delt d Kroecker); zero: j per, j; bd (mpezz k): j per j > k (mpezz m. elemet su rg/colo); trgolr superor: j per >j; trgolr feror: j per <j. L somm (e l dfferez) d mtrc soo defte soltto tr mtrc dello stesso orde (stesso umero d rghe e stesso umero d coloe). Il rsultto è u mtrce cu elemet s ottegoo sommdo o sottredo gl elemet corrspodet A, B R m, C A± B ; c ± b Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO. j j j Esempo ) A B C A B Vle l propretà commuttv: ABBA; vle l propretà ssoctv (AB)CA(BC);

17 E. Brus, C. Delprete, P. Gy l propretà dstrbutv vle mteedo l orde: A(BC)ABAC, (AB)C ACBC. Il prodotto d u mtrce per uo sclre è u mtrce otteut moltplcdo cscu elemeto per lo sclre m, A R k R B ka ; b k Esempo ) A B 5 5 k Il prodotto tr due mtrc è defto se e solo se l umero d coloe dell prm mtrce (quell d sstr) è ugule l umero d rghe dell secod (quell d destr). Il rsultto è u mtrce cu elemet s ottegoo effettudo l prodotto rghe coloe m, p p, m, A R, B R C AB R ; c b j, j p j k kj k Esempo ( ) ) A B C AB ( ) L propretà commuttv del prodotto o vle: AB BA; l propretà dstrbutv vle mteedo l orde: (AB)C A(BC). MATRICE TRASPOSTA Dt u mtrce A, l su mtrce trspost A T s ottee scrvedo le rghe d A, ell orde, come coloe (coè scmbdo le rghe co le coloe): j T j. Vlgoo le seguet propretà: (A T ) T A, (k A) T k A T ; (AB) T A T B T ; (AB) T B T A T (s verte l orde!). Esempo 4) A A T MATRICE SIMMETRICA U mtrce A è smmetrc se A T A (l rflessoe dell mtrce rspetto ll dgole prcple l lsc ltert). L mtrce A è ecessrmete qudrt, co elemet j j. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

18 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Esempo 5) A è smmetrc. DETERMINANTE DI MATRICE Il determte det(a) o A è uo sclre ssocto og mtrce qudrt A R,. Nel cso d mtrce, l determte s clcol come: Esempo 6) Nel cso d mtrce, l determte s clcol come: Og elemeto dell prm rg rsult moltplcto per l determte dell sottomtrce otteut ccelldo l prm rg e l colo coteete l elemeto stesso; tr dvers term s deve rspettre l seguete successoe de seg: Fcedo rfermeto u rg qulss (rg o rg ) s ottee ovvmete lo stesso rsultto Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

19 E. Brus, C. Delprete, P. Gy È qud coveete fre rfermeto ll rg che cotee pù elemet ull (fre ttezoe ll sequez de seg d pplcre!) Esempo - - 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) Nel cso d mtrce, l estesoe è ovv; s rcord d mteere l sequez de seg. Vlgoo le seguet propretà: det(a)det(a T ); se A h u rg (colo) ull det(a); se A h due rghe (coloe) ugul det(a); se A è trgolre (sup. o f.) det(a). MATRICE SIMMETRICA DEFINITA (O SEMIDEFINITA) POSITIVA U mtrce qudrt e smmetrc A R, è deft postv (semdeft postv) se T A > ( T A ) per og vettore o ullo R. Pochè lo sclre T A h l sgfcto fsco d u eerg, è ovvo che s sempre postvo. CRITERIO DI SYLVESTER È u crtero per stblre se u mtrce smmetrc A è deft postv o meo. L mtrce smmetrc A R, è deft postv se e solo se det(a k )> per k,..., dove gl A k soo mor prcpl dell mtrce che s ottegoo dll tersezoe delle prme k rghe e coloe dell mtrce stess. Due cosegueze d tle crtero ffermo che: se A è deft postv llor gl elemet sull dgole prcple soo tutt postv ( > per,..., ); se A è deft postv llor l elemeto d modulo mssmo s trov sull dgole prcple e oltre j < jj per j. Esempo 4 8) A det( A) 4 det( A) det( A) 4 A è smmetrc deft postv. 8 Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

20 E. Brus, C. Delprete, P. Gy MATRICE A DIAGONALE DOMINANTE j j j U mtrce A R, è dgole domte per rghe se e solo se > per,...,. Se A è smmetrc dgole domte e co elemet dgole tutt postv llor l mtrce A è ecessrmete deft postv. VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI k vettor, rg o colo, soo lermete dpedet se l uc combzoe lere ull è quell che s ottee utlzzdo coeffcet tutt ull. Se α α...α k k co α α...α k llor vettor (,..., k) soo LI fr loro. MATRICE NON SINGOLARE U mtrce A R, è o sgolre se e solo se le sue rghe (coloe) soo vettor lermete dpedet, coè se e solo se det(a). Vcevers se det(a) llor l mtrce A è sgolre. RANGO DI MATRICE Il rgo d u mtrce A R, corrspode l mssmo umero d vettor rg (colo) lermete dpedet. Se det(a), coè se A è o sgolre, llor rgo(a); se det(a), coè se A è sgolre llor rgo(a)< e bsog cosderre mor fchè se e trov uo, d orde r, o sgolre (rgo(a)r). Esemp 9) A 4 det( A) 4 6 rgo( A), vettor rg soo tutt LI ) A 4 det( A) 4 4 rgo( A) <, ftt r r e qud due vettor rg r e r soo LD tr loro. MATRICE INVERSA Se A R, è o sgolre, coè se det(a), llor esste u e u sol mtrce vers A - R, o sgolre tle che A A A AI (mtrce dettà). Vlgoo le seguet propretà: (AB) B A ; (A T ) (A ) T ; Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4.

21 E. Brus, C. Delprete, P. Gy se A è dgole domte llor A è o sgolre (det(a) ) e qud esste A ; se A è smmetrc deft postv llor A è o sgolre e qud esste A smmetrc deft postv. Le seguet ffermzo soo tr loro equvlet: A è vertble; rgo(a); le rghe (coloe) d A soo vettor tutt LI (lermete dpedet). NORMA DI VETTORI E MATRICI L orm è u fuzoe che og vettore o mtrce ssoc u umero rele e postvo, che s dc co, e che msur u dstz. S può qud utlzzre per vlutre l covergez, term d dstz, del vettore soluzoe dell lgortmo l vettore soluzoe estt. Dt due vettor u,v R, l lughezz o orm- del vettore u, dct qudrt del prodotto sclre: L dstz tr vettor u e v s clcol qud come T u u u u u. u, è deft come rdce Esempo u - v T ( u v) ( u v) ( u v ) ( u v ) ) u(, 7), v(6, 5) u v ( 6) ( 7 5) NORMA DI VETTORE L orm d u vettore, o, è u fuzoe R R (coè d R R) co le seguet propretà: > e se e solo se (o esstoo dstze egtve); k k k R ; y y (dsuguglz trgolre); y y (deducble dlle precedet). Le orme d vettore pù uste soo l orm-, l orm- e l orm- (o orm euclde): m Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 5. T

22 E. Brus, C. Delprete, P. Gy L orm- gode dell propretà ptgorc Schwrz T y y. y y e dell dsuguglz d Cuchy- Esempo ) u(, 7) u m,7 7 u 7 8 u 7 5 NORMA DI MATRICE L orm d u mtrce A, o A, è u fuzoe R, R co le seguet propretà: A > A e A se e solo se A (o esstoo dstze egtve); k A k A R ; k A B A B (dsuguglz trgolre); A B A B. Le orme d mtrce pù uste soo l orm-, l orm- e l orm- (o orm spettrle): A A m ρ j A m j j j T T ( A A) λ d( A A) m dove λ m è l utovlore d modulo mssmo dell mtrce A. L orm- è l vlore mssmo clcolto fcedo l somm degl elemet sulle rghe; l orm- è l vlore mssmo clcolto fcedo l somm degl elemet sulle coloe. Esempo ) Dt l mtrce A A s h m j j m ( { ) ( ) ( ) } m{ 4 5 } 5 {( ) ( ) ( ) } m{ 4 4} 4 A m j m j COMPATIBILITÀ DI NORMA L codzoe d comptbltà tr orm d mtrce e orm d vettore è che A A. Le orme utlzzte (, e ) soo comptbl e l codzoe d comptbltà vee soltmete ust elle mggorzo. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 6.

23 E. Brus, C. Delprete, P. Gy ESERCIZI SVOLTI A. Clcolre l prodotto ( y) C R, soo mtrc qudrte. B D ( y)t spedo che, y R soo vettor rg e A, B, C, D A ( y) C B D ( A y)t ( y) C B D y T T A ( y) C T T By Dy T T A T By T yc T ydy T R. Verfcre che l prodotto d mtrc trgolr superor è u mtrce trgolre superore. b d c e d e bf f cf verfcto.. Svluppre l lgortmo per clcolre l prodotto sclre tr vettor T yz dove, y R metre z R. Algortmo. Vetvet(,,y,z) Commeto. L lgortmo clcol l prodotto sclre vettore vettore T y y j z Prmetr. Iput:,, y Output: z. z. Cclo :,...,. zz y 4. Fe Cclo 4. Svluppre l lgortmo per clcolre l prodotto mtrce vettore A y dove A R, metre, y R. Algortmo. Mtvet(,A,,y) Commeto. L lgortmo clcol l prodotto mtrce vettore A y co y Prmetr. Iput:, A, Output: y. Cclo :,..., j j j dove, Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 7.

24 E. Brus, C. Delprete, P. Gy. y. Cclo : j,..., 4. y y j j 5. Fe Cclo 6. Fe Cclo 5. Dt u mtrce A dmostrre che l mtrce BA T A è semdeft postv. Bsog dmostrre che T B. T B T A T A(A) T (A)y T y y y y sempre. (cvd) A B 6. S dt l mtrce T deft postv. Dmostrre che che le mtrc A e C lo soo. B C Alogmete ll eserczo. s h: A B B A By T T T T T A By y B y Cy T C y > > B Cy T T T T ( y ) T ( y ) Poché vettor e y possoo essere scelt qulss: se llor y T Cy> e qud C è deft postv; se y llor T A> e qud A è deft postv. (cvd) ESERCIZI PROPOSTI. Verfcre che l prodotto d mtrc trgolr feror è u mtrce trgolre ferore.. Svluppre l lgortmo per clcolre l prodotto mtrce trdgole vettore Ay co A R, trdgole e,y R. Utlzzre esclusvmete vettor. [Trdvet]. Svluppre l lgortmo per clcolre l prodotto mtrce mtrce ABC co A,B,C R,. Ottmzzre qud l lgortmo el cso d mtrc trgolr superor. [Mtmt] 4. Clcolre rsultt delle seguet operzo tr mtrc. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 8.

25 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 9. B A C B A C A B A k k B AB C B A C 5. Clcolre l determte delle seguet mtrc. 5 A B C [det(a), det(b)4, det(c)] 6. Clcolre l rgo delle seguet mtrc. A B C [rgo(a), rgo(b), rgo(c)] 7. Dt l mtrce dgole b A clcolre l mtrce vers A. /b / A - 8. Clcolre l dstz tr vettor u(, 5, 4) e v(6,, ) e tr vettor (5,,, 4, ) e y(,,, 7, ). [ 8 v u, 47 y ] 9. Clcolre le orme, e del vettore v(6, 5). [ 6 v, v, 6 v ].Clcolre le orme e dell mtrce A [ 4 A, 8 A ]

26 E. Brus, C. Delprete, P. Gy SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ( Rfermeto l testo: Cp. III ) INTRODUZIONE U sstem d equzo ler cogte (, ) può essere scrtto form mtrcle come:... b b b A b dove A R, è l mtrce de coeffcet (dmesoe (, )), R l vettore delle cogte (dmesoe (, )), b R l vettore de term ot (dmesoe (, )). L soluzoe del sstem d equzo ler esste ed è uc se e solo se l mtrce A è o sgolre, coè le sue coloe (rghe) soo vettor lermete dpedet. I questo cso det(a) (ovvero rgo(a) ) e qud esste l mtrce vers A tle che A b. I metod d soluzoe s dvdoo : METODI DIRETTI Guss (decomposzoe GAU e fttorzzzoe LU) Cholesk s pplco mtrc A dese e d orde o elevto (, ) effettuo u umero fto d operzo su A e su b che trsformo l sstem zle u sstem equvlete pù semplce co mtrce de coeffcet trgolre occorre memorzzre tutt gl elemet dell mtrce A soo ffett soltto d error d roud-off METODI ITERATIVI Jcob Guss-Sedel SOR s pplco mtrc A sprse e d orde elevto ( 4, 6 ) opero esclusvmete co l mtrce A zle e geero u successoe (ft) d vettor covergete ll soluzoe è suffcete memorzzre soltto gl elemet o ull dell mtrce A soo ffett s d error d roud-off s d error d trocmeto ltco (dscretzzzoe) Nel seguto s ffrotero per prm metod d soluzoe drett e successvmete quell tertv. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

27 E. Brus, C. Delprete, P. Gy SISTEMI TRIANGOLARI Se l sstem d equzo ler h mtrce de coeffcet trgolre superore, prtre dll ultm equzoe s rsolve l sstem rtroso co tecc d bck-sosttuto: dll ultm equzoe s rcv l vlore dell cogt e, per sosttuzoe progressv elle equzo v v precedet, s rcvo tutte le ltre. Le equzo qud s dsccoppo v v e le soluzo s rcvo medte l formul rcorsv rportt el seguto. Dto l seguete sstem lere co mtrce de coeffcet trgolre superore: b b b co, coè A o sgolre l su soluzoe s rcv co l formul rcorsv d bck-sosttuto (crf. Algortmo: Bcksost): k b (b Esemp ) k kk kj j k j ) co d cu s rcvo: k,,..., r4: r: r: r: I modo logo se l sstem d equzo ler h mtrce de coeffcet trgolre ferore, prtre dll prm equzoe s rsolve l sstem co tecc d forwrd-sosttuto: dll prm equzoe s rcv l vlore dell cogt e, per sosttuzoe progressv elle equzo v v successve, s rcvo tutte le ltre. Il costo per rsolvere u sstem trgolre (ferore o superore) è pr crc / operzo. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

28 E. Brus, C. Delprete, P. Gy METODO DI GAUSS L de d bse cosste el trsformre, co u umero fto d combzo ler ed evetul permutzo d equzo (coè scmb d rghe), l sstem zle deso A b :... b b b ~ u sstem equvlete U b co mtrce de coeffcet U trgolre superore, che s rsolve medte tecc d bck-sosttuto. Procedur ) S effettu l elmzoe delle vrbl () pss. Al geerco psso k-esmo (k,..., ): ) s dvdu l rg pvot (coè l rg l cu elemeto sull dgole prcple d A è ) e l colo d ullre (operzoe d pvotg) b) s clcol l moltplctore m k come m / k,...,, d pplcre gl k elemet dell colo d ullre che seguoo quello esme c) s trsformo gl elemet j (k) e b j (k) dell mtrce de coeffcet e del vettore de term ot (co e j > k, coè pprteet lle rghe sottostt quell esme) come (k) k (k) kk b (k ) j (k ) b (k) j (k) m m k k b (k) kj (k) k k,..., jk,..., L elemeto (k ) kk è l pvot. Il costo dell elmzoe è pr / operzo. ) S rsolve l sstem trgolre superore equvlete medte bck-sosttuto. Il costo d soluzoe ( / operzo crc) è molto ferore l costo dell elmzoe e qud l costo complessvo del metodo d Guss è crc pr / operzo (cot soltto l processo d elmzoe delle vrbl). OSSERVAZIONI SUL PIVOTING ) L scelt dell elemeto pvot vee soltmete effettut co tecc d pvotg przle. S scegle come pvot l elemeto d modulo mssmo dell colo d ullre modo d vere tutt moltplctor mor d modulo. S scegle coè r pr l pù pccolo tero mggore o ugule d k e tle che scmb l rg k-esm co l rg r-esm. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO. ( k ) ( k ) k rk m e s k

29 E. Brus, C. Delprete, P. Gy (k ) ) Se l pvot kk è ullo, l metodo d Guss s blocc perché è mpossble clcolre moltplctor m k (dvsoe per ). S deve qud sceglere l elemeto pvot o ullo scmbdo d posto due equzo, p.e. l k-esm co u delle successve. Questo è possble perché l sstem è o ( k sgolre e qud se ) kk ecessrmete qulche ltro elemeto dell colo k-esm è. ) S mglor l stbltà del metodo permutdo le rghe che se l elemeto pvot è pccolo modulo rspetto gl ltr elemet (u pvot pccolo potrebbe dervre dll dfferez d due umer qus ugul e qud essere ffetto d ccellzoe umerc). 4) L elmzoe delle vrbl o ecesst d permutzo d equzo el cso d mtrc (k ) dgole domte o smmetrche defte postve, purché gl elemet pvot kk so tutt o ull. DECOMPOSIZIONE GAU Il metodo d Guss può essere terpretto come u successoe ft d trsformzo d A e b, coè come moltplczoe d A e b per u umero fto d mtrc opportue. Questo tpo d terpretzoe cosete d rformulre l metodo due prt dstte: l prm (crf. Algortmo: Fctor) determ u mtrce o sgolre G tle che GAU è u mtrce trgolre superore, l secod (crf. Algortmo: Solve) utlzz l mtrce G e rsolve l sstem Ab. Il sstem lere zle Ab può essere rscrtto come: co: G GAGb U ~ b M P... M P M P Scmb d rghe - Lo scmbo d due equzo del sstem Ab, p.e. l rg -esm co l rg j- esm, equvle moltplcre (d sstr) etrmb membr del sstem per l mtrce P che è u mtrce dettà co le rghe e j scmbte. Combzo ler - L sosttuzoe el sstem dell rg -esm co l medesm pù l rg j- esm moltplct per m j, equvle moltplcre (d sstr) l sstem per l mtrce M che h dgole prcple utr e poszoe (, j) l moltplctore m j. FATTORIZZAZIONE PALU L decomposzoe GAU può essere rformult potzzdo d effetture prm tutt gl scmb d rghe e successvmete tutte le combzo ler. Le mtrc che cotegoo moltplctor m j sro ovvmete ordte modo dverso perchè gl scmb d rghe vro gto che su d esse; qud vece d vere: ( M P... M P M P ) A U GA Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

30 E. Brus, C. Delprete, P. Gy or s h: ( M... M M )( P... P P ) A U GA M PA U GA dove M è l mtrce trgolre ferore, dgole utr, de moltplctor co le rghe rordte dl vettore pvot. I prtcolre s può scrvere: PA M U coè PALU dove L M è u mtrce trgolre ferore co dgole utr ed elemet fuor dgole pr moltplctor m j cmbt d sego e rordt come detto dl vettore pvot. L lgortmo Fctor forsce drettmete le mtrc L e U se s effettuo le seguet modfche pss: 6. kj j j,..., (scmbo d rghe che ell prte ferore d A che v v cotee moltplctor) 9. k m k k (s memorzz l moltplctore cmbto d sego) kk. j j k kj, jk,..., (cmb l sego dell combzoe lere) Not l fttorzzzoe PALU, per rcvre l soluzoe del sstem zle Ab è suffcete rsolvere csct sstem trgolr: U y Ly Pb Iftt d Ab s rcv PAPb (moltplcdo mbo membr per P), coè LUPb (perchè PALU) d cu U y e Ly b. b UTILITÀ DELLA FATTORIZZAZIONE L fttorzzzoe PALU, come che l decomposzoe GAU, possoo essere utlzzte per:. Clcolre l mtrce vers A PALU (PA) (LU) U L A P U L Dto che P P (c soo soltto e ) s h A (U L )P A BP Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4.

31 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Fre l prodotto PA sgfc esegure su A gl scmb d rghe rportt el vettore pvot; logmete l prodotto BP corrspode esegure gl stess scmb sulle coloe. A b A b. Rsolvere p sstem ler multpl A p bp l cu soluzoe medte decomposzoe GAU e soluzoe de sstem trgolr costerebbe ( ) p operzo. L fttorzzzoe PALU (costo ) vee clcolt u sol volt perché le mtrc L, U e P soo le stesse per tutt p sstem ler. S ottegoo qud seguet sstem trgolr: Ly U Ly U b * y p p b * p y p costo costo... l cu costo d soluzoe è p ( ) p Il costo complessvo (fttorzzzoesoluzoe de sstem trgolr) è qud pr ed è decsmete ferore l costo d sosteere co l decomposzoe GAU. p METODO DI CHOLESKI Se l mtrce A è dgole domte o smmetrc deft postv, l metodo d Guss procede sez ecesstà d effetture scmb d rghe. L coseguete fttorzzzoe ALU può essere terprett come prodotto d prtcolr mtrc trgolr, u ferore e l ltr superore, AL L T. L fttorzzzoe ALU può ftt essere rscrtt come: ALDU dove Ddg(U), L e U soo trgolr (superore e ferore) co dgole utr. Pochè l mtrce A è smmetrc llor U L T e qud ALDL T. L mtrce A è che deft postv e qud gl elemet dgole (D) soo tutt postv; s può trodurre D scrvedo ALD / D / L T Poché l mtrce D è dgole llor D T D e qud A(LD / ) ((D / ) T L T )L L T co L LD /. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 5.

32 E. Brus, C. Delprete, P. Gy L l l l l j l l l l l j l l l l Gl elemet l j s clcolo co l seguete formul rcorsv: l l l j j j lk k l jj l - lk k jk /,..., j,..., Il costo è pr 6, coè l metà dell fttorzzzoe LU ver e propr. CONDIZIONAMENTO DEI SISTEMI LINEARI L sestvtà dell soluzoe d u sstem lere lle vrzo de coeffcet dell mtrce A e de term ot del vettore b vee esmt ttrverso lo studo del codzometo. S el cso d perturbzoe del solo vettore de term ot b s el cso d perturbzoe del vettore de term ot b e dell mtrce de coeffcet A, s defsce dce d codzometo del problem l umero: K ( A) A A che rppreset l fttore d mplfczoe delle perturbzo reltve (coè degl error reltv) trodotte el vettore b e ell mtrce A. Se K(A)>> l sstem lere Ab è ml codzoto; K(A) è tto mggore quto pù l mtrce de coeffcet A tede essere sgolre. Tpc esemp d ml codzometo soo l mtrce d Hlbert H e l mtrce d Vdermode V : Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 6.

33 E. Brus, C. Delprete, P. Gy H / / / / / ( ) / / 4 / ( ) / / ( ) / ( ) V METODI DI SOLUZIONE ITERATIVI Quest metod s pplco mtrc de coeffcet A sprse e d orde elevto ( 4, 6 ). Opero esclusvmete co l mtrce zle A e geero u successoe ft d vettor che coverge ll soluzoe (vettore delle cogte ). Procedur L mtrce de coeffcet A può essere pest come somm d due mtrc rel, qudrte d orde : ACD I questo modo s h: Ab (CD)b C Db DbC Dd co b, R e d fuzoe d. Il procedmeto tertvo è costtuto d seguet put:. s ssume qule vettore soluzoe zle u vettore qulss () (p.e. () vettore ullo). s costrusce l vettore d () bc (). s rsolve l sstem lere D () d () rcvdo l vettore () 4. s costrusce l vettore d () bc () 5. s rsolve l sstem lere D () d () rcvdo l vettore () 6.. e così v 7. s cosder rggut l covergez qudo l dfferez tr due vettor soluzoe successv è more d u prefssto vlore d sogl Assuto l vettore zle (), l procedmeto tertvo vee qud espresso dlle formule: ( k) d D b C ( k) d ( k) ( k) co k,,,..., umero d terzo (k ) ( ) ( k) Per clcolre l vettore soluzoe s deve qud rsolvere l sstem lere D k d. L mtrce de coeffcet D deve percò essere o sgolre ed è coveete se h struttur doe d cosetre clcol rpd e gevol. E oltre ecessro che l successoe de vettor soluzoe coverg ll soluzoe : l mtrce D deve essere scelte modo d grtre tle covergez (l mtrce CAD vee d coseguez). Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 7.

34 E. Brus, C. Delprete, P. Gy CONVERGENZA ( k ) ( k ) U metodo tertvo è covergete se l errore ssoluto e tede zero ll umetre del umero k d terzo. L scelt dell mtrce D (e qud dell mtrce C) che grtsce l covergez vee ftt propro rgodo sull errore ssoluto. Dll scrttur D e ( k) BBe d b C s rcv ( k ) ( k) d D ( b C ( k ) ) e qud: ( k) ( k ) ( k ) ( k ) ( k) D ( k) ( k) ( b C ) D ( bc ) D C( ) k () k ()... BB e B e D Ce ( k ) Be dove e () è l errore ssoluto zle e BD C è l mtrce d terzoe che, og terzoe, moltplc l errore. L mtrce d terzoe BD C rme costte el corso d tutt l soluzoe perché dpede dll mtrce de coeffcet zle A che su volt o vee modfct d metod tertv. Il processo tertvo d soluzoe è certmete covergete se: ID A < L mtrce D scelt deve rspodere seguet requst:. D o sgolre, coè det(d). l seme delle mtrc A per cu ID A < o deve essere vuoto (orm turle,, ). D dgole o trgolre (clcol rpd) A secod dell scelt dell mtrce D I metod tertv d soluzoe de sstem d equzo ler s prtcolrzzo quell llustrt el seguto. ( k) METODO DI JACOBI Scelto u vettore zle () e ordt l mtrce de coeffcet A modo che tutt gl elemet so o ull (co reltvo ordmeto del vettore oto b), s costrusce l successoe de vettor ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) pprossmzoe, d compoet,,..., medte l seguete formul tertv: ( ) b, ( k ) j, j,..., j ( k ) j dove tutte le compoet del uovo vettore pprossmzoe (k) precedete. ( k ) dpedoo dll pprossmzoe Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 8.

35 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Il metodo d Jcob corrspode sceglere u mtrce D dgole e pr ll dgole prcple dell mtrce de coeffcet A (Ddg(A)) co, evetulmete vedo effettuto u rordmeto delle rghe. METODO DI GAUSS-SEIDEL ( k ) A dfferez del metodo precedete d Jcob, le compoet del uovo vettore pprossmzoe m mo clcolte, soo subto utlzzte per determre le compoet successve; l formul tertv rsult qud: b j ( k ) j ( k ) j j,..., Il metodo d Guss-Sedel corrspode sceglere u mtrce D trgolre ferore e pr ll prte trgolre ferore dell mtrce de coeffcet A (Dtrg f.(a)) co, evetulmete vedo effettuto u rordmeto delle rghe. L covergez del metodo d Guss-Sedel o mplc ecessrmete l covergez del metodo d Jcob e vcevers. Qudo etrmb metod covergoo, l metodo d Guss-Sedel è pù veloce d Jcob. j ( k) j METODO SOR Il metodo SOR (d sovr o sotto-rlssmeto ) è u metodo d Guss-Sedel ccelerto medte u prmetro d ccelerzoe ω che s troduce ello sdoppmeto dell mtrce ACD modo che l mtrce d terzoe BD CID A veg dpedere d ω (se ω llor SOR cocde co Guss-Sedel). Al prmetro ω s sseg vlore tle d mssmzzre l veloctà d covergez del metodo. Dll formul tertv d Guss-Sedel, sommdo e sottredo ( k) secodo membro, s rcv: coè: b j ( k ) j ( k ) ( k) ( k ) j j,..., ( k) b ( k ) ( k) j j,..., j ( k ) j j ( k) j j ( k ) j Pesdo l vettore pprossmzoe (k) d u vettore correzoe r : ( k ) dto dll somm dell pprossmzoe precedete r ( k ) ( k) ( k ) Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 9. (k) e

36 E. Brus, C. Delprete, P. Gy e pesdo l vettore correzoe (k) r co l prmetro ω s rcv l formul tertv del metodo SOR: ( k ) ( k ) ω b ( k ) j j j j j ( k) j ( k) ωr ( k ),..., I term d mtrc s può rscrvere form pù comptt pesdo l mtrce de coeffcet A come somm d tre mtrc (ADLU) co Ddg(A), Ltrg f.(a) prv dell dgole prcple e U trg sup.(a) ch ess prv dell dgole prcple. L mtrce d terzoe del metodo SOR è fuzoe del prmetro ω: S dmostr che se ω oppure ω l metodo SOR o coverge. Se l mtrce de coeffet A è smmetrc deft postv l metodo SOR coverge per qulss ω compreso tr e ; se ω è compreso tr e l metodo è detto sotto-rlssto, se ω è compreso tr e l metodo è detto sovr-rlssto. ALGORITMI Algortmo: Bcksost (, U, b, ) Commeto. Rsolve l sstem trgolre superore Ub medte tecc d bck-sosttuto. Prmetr. Iput:, A, b Output:. b /. Cclo :,..., (step ). b 4. Cclo : j,..., 5. u j j 6. Fe Cclo 7. /u 8. Fe Cclo 9. Et Ed Algortmo: Fctor (, A, pvot, det, er) Commeto. L lgortmo per determ l decomposzoe GAU d u mtrce A d orde ; vee utlzzto l pvotg przle. L mtrce trgolre superore U vee memorzzt ell prte superore d A metre moltplctor m j (>j) soo memorzzt elle corrspodet poszo d A. Il vettore pvot, d dmeso, cotee tutt gl scmb d rg effettut durte l processo d Guss. Se l rg k-esm o vee rmoss pvot(k)k; se vece llo stdo k-esmo l rg k-esm vee scmbt co l rg -esm, pvot(k). L vrble det cotee l vlore det(a). Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

37 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Prmetr. L vrble er è u dctore d errore. Se er l processo d Guss è stto portto terme e A s trovo le mtrc G e U; se er l mtrce A è sgolre. Iput:, A Output: A, pvot, det, er. det. Cclo : k,...,. m m k ; s l pù pccolo dce k tle che k m; po pvot(k) k 4. se m po det, er; Et 5. se k v l puto 8 6. kj j jk,..., (scmbo d rghe ell prte superore d A: pedc de term scmbt) 7. det det 8. Cclo : k,..., 9. k m k k (s memorzz l moltplctore) kk. j j k kj, jk,..., (combzoe lere co elmzoe delle vrbl). Fe Cclo. detdet kk. Fe Cclo 4. se po det, er; Et 5. detdet 6. er 7. Et Ed Algortmo: Solve (, A, pvot, b) ~ Commeto. L lgortmo rsolve l sstem o sgolre, d orde, U b ; prtcolre s h ~ b M P... MPMPb, (U) j (A) j, j, e m j (A) j, >j. L mtrce put A è stt otteut dll lgortmo Fctor. Il vettore pvot cotee gl scmb d rg effettut d Fctor. Al terme l vettore b cotee l soluzoe. Prmetr. Iput:, A, pvot, b Output: b. Cclo : k,...,. jpvot(k). se j k, b j b k 4. Cclo : k,..., 5. b b k b k 6. Fe Cclo 7. Fe Cclo 8. b b / 9. Cclo :,..., Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

38 E. Brus, C. Delprete, P. Gy. b b lbl / l. Fe Cclo. Et Ed Algortmo: Gsedel (, A, b, toll, km,, er) Commeto. L lgortmo, utlzzdo l processo tertvo d Guss-Sedel, mglor l pprossmzoe zle () dell soluzoe del sstem o sgolre d orde Ab. Le successve pprossmzo vegoo memorzzte el vettore. Se l precsoe rchest toll è rggut co u umero d terzo km, s poe er, ltrmet er. Prmetr. Iput: A,, b, toll, km, Output:, er. Cclo : k,...,km. y. b j j j 4. erm y 5. Cclo :,..., 6. y 7. b jj j j j j 8. er y- 9. se erm < er, ermer. Fe Cclo. se erm < toll, er; Et. Fe Cclo. er 4. Et Ed ESERCIZI SVOLTI. Rsolvere l sstem lere proposto medte l decomposzoe GAU e co tecc d pvotg przle. 4 4 Idcre oltre le mtrc U e M (mtrce trgolre e mtrce de moltplctor) e vettor b ~ (terme oto trsformto) e pvot (coteete gl scmb d rghe) e clcolre det(a). Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

39 E. Brus, C. Delprete, P. Gy psso : e d pù grde degl ltr elemet dell prm colo qud l ^ rg o s scmb (rme l suo posto) e pvot() 4 ^ ^ s zzer l colo: ^ m otteedo / / 4^ 4^ ^ m4 psso : m è pù pccolo ( modulo) d : s effettu lo scmbo ^ rg ^ rg e qud pvot() / / ^ ^ ^ m s zzer l colo: otteedo 4 4 / / ^ ^ ^ m4 / / psso : : s effettu lo scmbo ^ rg 4^ rg e qud pvot()4 / / / / l colo è gà zzert: m 4 All fe del processo d elmzoe delle vrbl s è gut : ~ U b pvot(,,4) T / / / 4 / Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO.

40 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4. / / / M det(a) ) ( ) ( Rsolvedo U ~ b co bck-sosttuto: k u u b /u b kk j k j kj k k,,,, ,,, (,,, ) T. Rcvre l fttorzzzoe LU dell mtrce A propost ell eserczo, oto l vettore Pvot. A Pvot 4 4 r k r r k r r k o scmb (psso ) (psso ) (psso ) Rspetto ll decomposzoe GAU è suffcete pplcre le seguet modfche: - cmbre d sego moltplctor m j ; - effetture gl scmb memorzzt el pvot che sull prte ferore d A. psso : Pvot() qud l rg r o s scmb. S zzer l colo e s memorzz m / e m 4 elle rspettve poszo d A / / psso : Pvot() qud s scmb ^ rg ^ rg

41 E. Brus, C. Delprete, P. Gy / / S zzer l colo e s memorzz m / e m 4 / elle rspettve poszo d A / / / / / / psso : Pvot()4 qud s scmb ^ rg 4^ rg / / / / / / L colo è gà zzert; s memorzz m 4 ell rspettv poszoe d A All fe del processo d elmzoe delle vrbl s è gut : L U / / / / / / S può verfcre che PALU.. Svluppre l lgortmo d soluzoe del sstem lere Ab, co A trdgole (s può elmre l pvotg) d orde, utlzzdo esclusvmete vettor. Algortmo: Trdgsolu (, c, d, f, b, l, u, ) Commeto. Clcol l soluzoe d Ab co A trdgole. Utlzz soltto vettor ddg., ccodg. f. e fcodg. sup. d A. Rcv l fttorzzzoe LU term d vettor lcodg. f. d L, udg. d U e fcodg. sup. d U (cocde co l codg. sup. d A). L soluzoe è effettut come csct d sstem trgolr. Prmetr. Iput:, c, d, f, b Output:. u d. Cclo :,..., (fttorzzzoe LU d A trdgole). l c /u 4. u d l f Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 5.

42 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO Fe Cclo 6. y b 7. Cclo :,..., (soluzoe sstem trgolre Ly b) 8. y b l y 9. Fe Cclo. y /u. Cclo :,..., (soluzoe sstem trgolre U y). y f /u. Fe Cclo 4. Et Ed ESERCIZI PROPOSTI. Svluppre l lgortmo per l soluzoe d u sstem dgole Db d orde. [Dgsolu]. Svluppre l lgortmo per l soluzoe d u sstem trgolre ferore Lb d orde. [Forwsost]. Rsolvere seguet sstem ler trgolr superor co tecc d Forwrd-sosttuto. 4 4 [(.5,.5, 6,.5) T ] [(,,, ) T ] 4. Rcvre l fttorzzzoe LU dell seguete mtrce A, oto l reltvo vettore Pvot. A Pvot / / / / / / U / / / / / L

43 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO Rcvre l fttorzzzoe LU dell seguete mtrce A, oto l reltvo vettore Pvot. A Pvot / / / / / U / / / / / L 6. Rcvre l fttorzzzoe LU dell seguete mtrce A, oto l reltvo vettore Pvot. A Pvot / / / / / / U / / / / / / L

44 E. Brus, C. Delprete, P. Gy AUTOVALORI DI MATRICI Rfermeto l testo: Cp. IV INTRODUZIONE Molt problem dell geger soo descrtt d sstem d equzo ler co fuzo che dpedoo, oltre che dlle cogte, che d u prmetro λ. Il sstem mmette soluzoe dvers dll soluzoe ull per prtcolr vlor λ dett utovlor e le corrspodet soluzo soo dette utovettor f( ξ,..., ξ ; λ)... f ( ξ,..., ξ ; λ) form mtrcle s h A λ coè (A-λI) λ R è utovlore dell mtrce A R, se e solo se l mtrce [A-λI] è sgolre, coè se e solo se det(a-λi) A-λI (equzoe crtterstc). Se A R, è smmetrc llor λ R e corrspodet R soo u sstem d vettor ortogol. Se A è smmetrc deft postv llor suo λ R e soo tutt postv. Se λ è utovlore d A llor /λ è utovlore d A -. A e A T ho gl stess utovlor. L equzoe crtterstc det(a- λi) è u polomo d grdo ( det(a- λi) coè ) λ α λ... α λ α L soluzoe drett dell equzoe crtterstc o vee effettut quto s trtt spesso d problem ml codzoto. Gl utovlor λ s clcolo utlzzdo dvers metod umerc e successvmete s rsolve cscu sstem lere omogeeo ssocto (A-λ I) per clcolre corrspodet utovettor. METODO DELLE POTENZE Serve per clcolre l utovlore d modulo mssmo o quello d modulo mmo dell mtrcea R,. Autovlore d modulo mssmo Dt u mtrce A s vuole clcolre l utovlore λ d modulo mssmo (e l corrspodete utovettore ). Vegoo ftte due potes. Hp: esste u solo λ R d modulo mssmo ( λ > λ λ λ )..., coè λ λ Hp: A è dgolzzble (coè X - A XL co Ldg(λ,..., λ )) e qud tutt gl utovettor soo lermete dpedet tr loro. Grze ll Hp, l geerco vettore v può essere scrtto come combzoe lere degl utovettor. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 8 <.

45 E. Brus, C. Delprete, P. Gy v α α... α v, Nel metodo delle poteze s scegle u vettore zle v qulss (p.e. v (,,,..., ) T ) e qud s geer l seguete successoe d vettor: v A v A A λ α α α λ α λ λ α λ α λ λ α v A v A Av λ α λ α λ λ α λ... α... λ λ... m m m m λ λ m v A v A... Av αλ... α λ λ α α... α λ λ m m R α Al psso m l vettore v m, per effetto dell moltplczoe progressv per l mtrce A, tede dspors prllelmete ll utovettore. Ioltre, grze ll Hp ( λ λ < ) s h: m λ lm lm m m m qud λ λ v α m. L utovlore d modulo mssmo cercto s ottee come rpporto tr le geerche compoet k de vettor v m e v m : ( v ) m k ( ) k λ α term ( v ) ( ) λ α term m k k Algortmo. Pow(, A, toll, mm, λ, y) Commeto. Determ l utovlore d modulo mssmo dell mtrce A e l utovettore corrspodete. Se l precsoe reltv rchest toll vee rggut co u umero d terzo mm l vrble er ssume l vlore, ltrmet er. Prmetr. Iput:, A, toll, mm Output: λ, y. y (,,..., ) T. Cclo : m,..., mm. w m A y m ( ) ( m ) k 4. λ w m (pprossmzoe dell utovlore d modulo mssmo cercto) ( y ) 5. y m m k w m (ormlzzzoe dell utovettore per evtre overflow o uderflow.) w m 6. er ( m λ ) λ ( m ) 7 se er toll 8. Fe Cclo ( ) λ m oppure er toll llor po er e v l puto. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 9

46 E. Brus, C. Delprete, P. Gy 9. er. yy m. λ λ ( m ). Et Ed Osservzo Se α e λ > λ, teor l metodo delle poteze dovrebbe covergere sull utovlore λ. Però, cus degl evtbl error d roud-off, dopo poch pss s h α e l metodo rcde su λ. Se λ λ l covergez può essere eccessvmete let llor s utlzz l metodo delle poteze per vere u stm zle p d λ e po s rff co l metodo delle poteze verse. Autovlore d modulo mmo Dt u mtrce A s vuole clcolre l utovlore λ d modulo mmo (e l corrspodete utovettore ). Vegoo uovmete ftte potes. Hp: esste u solo λ R d modulo mmo ( λ < λ λ λ ) Hp: Tutt gl utovettor soo lermete dpedet tr loro..... Poché se λ è utovlore d A, l utovlore d A - è pr /λ (crf. Pg. 7-), per clcolre l utovlore d modulo mmo dell mtrce A è suffcete clcolre l utovlore d modulo mssmo dell mtrce vers A - e qud clcolre l recproco. Lo schem d clcolo è l seguete - A B µ λ metodo delle poteze per clcolre µ λ m utovlore d modulo qud s clcol µ m d B A Ovvmete zché clcolre esplctmete l mtrce vers A - (costo ) covee effetture l fttorzzzoe LU (costo /) e rsolvere due sstem trgolr rsultt (costo / cscuo). ( m ) ( m) ( m ) Il metodo delle poteze vee portto vt fché µ µ ε µ ; questo puto s ssume ( m ) µ qule mglore pprossmzoe cerct e se e clcol l recproco.. y (,,..., ) T. Fttorzzzoe PALU (lgortmo Fctor). Cclo : m,..., mm Lz m Pym 4. LUw m Py m Uw m zm Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4

47 E. Brus, C. Delprete, P. Gy ( m ) 5. µ ( wm ) k ( y ) m k (pprossmzoe d µ utovlore d modulo mssmo d A - ) 6. y m wm wm (ormlzzzoe utovettore) 7. Fe Cclo 8. λ (utovlore d modulo mmo d A cercto) µ METODO DELLE POTENZE INVERSE E u geerlzzzoe del metodo delle poteze e serve per clcolre u prtcolre utovlore λ d cu s coosc u stm p. Utlzzdo l stm p, l sstem Aλ può essere rscrtto come (ApI)Apλp(λp) coè(λp) è utovlore dell mtrce (ApI) e l utovettore corrspodete è sempre. Se (λp) è utovlore dell (ApI) llor /(λp) è utovlore dell mtrce vers (ApI) - ; oltre se p è u buo stm d λ (p è vco λ) llor /(λ p) è l utovlore d modulo mssmo dell mtrce (ApI) - che può essere clcolto co l metodo delle poteze. Lo schem d clcolo è l seguete - ( A pi) B µ co µ λ p λ p µ metodo delle poteze per clcolre utovlore d modulo m d B ( A pi) qud s clcol λ p µ Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4

48 E. Brus, C. Delprete, P. Gy Algortmo. Ivpow (, A, toll, mm, p,, er) Commeto. Utlzz l metodo delle poteze verse per determre l utovlore dell mtrce A, d orde, pù vco l umero p stmto e l corrspodete utovettore. Se l precsoe reltv rchest toll vee rggut co u umero d terzo mm s poe er, ltrmet er. Se l mtrce (ApI) è sgolre, llor er. Prmetr. Iput:, A, toll, mm, p Output: p,, er. ( A) ( A) p,,...,. rchm l lgortmo Fctor (, A, pvot, det, er). se er Et 4. T y o (,,... ) 5. λ () p p 6. Cclo : m,..., mm 7. U w m G y m w m 8. w ; s k m l poszoe dell prm compoete d modulo mssmo d w m m 9. y m w ( ) y m. λ (m) k o p p ( ). er λ w m k o ( m) ( m ) p λp. se er toll λ ( ). Fe Cclo 4. er 5. y m 6. (m) pλ p 7. Et Ed p (ormlzzzoe del vettore w m ) oppure er toll po er e v l puto 5 TRASFORMAZIONI DI SIMILITUDINE Soo ecessre lcue defzo prelmr.. Due vettor soo ortogol se e solo se l loro prodotto sclre è ullo ( T y y ).. U sstem d vettor è ortoormle se vettor,..., soo ortogol due due.. U mtrce è ortogole se e solo se le sue rghe (coloe) formo u sstem d vettor ortoormle. 4. Se A è ortogole s h A T AAA T I, A - A T ; se A è ortogole e smmetrc llor A - A T A. U rflettore elemetre U è u mtrce d orde o sgolre e ortogole (U - U T ). U trsformzoe d smltude è u trsformzoe che ssoc u mtrce A l mtrce smle U - AUU T AU. Essere sml sgfc che l mtrce zle e quell trsformt ho gl stess utovlor λ e utovettor semplcemete trsformt. Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4

49 E. Brus, C. Delprete, P. Gy METODO QR Serve per clcolre tutt gl utovlor λ d u mtrce A. Poché l clcolo d tutt gl utovlor rsult estremmete costoso se pplcto mtrc dese, l metodo trsform l mtrce zle A u mtrce smle, d form pù semplce (trdgole se l A è smmetrc), d cu clcol utovlor e utovettor. Dt l mtrce A s costrusce u mtrce R trgolre superore come prodotto d () rflettor elemetr U U - U -...U AR che s scrve che come Q T AR dove Q T Q -, ortogole quto prodotto d mtrc ortogol. Qud s può scrvere AQR dove l mtrce R, smle ll mtrce zle A, è trgolre superore e h gl utovlor poszot sull su dgole prcple. Gl utovlor dell mtrce zle A soo gl elemet sull dgole prcple dell mtrce smle A otteut dll seguete successoe d trsformzo. A A. Cclo :,..., m. A Q R (fttorzzzoe QR) 4. A R Q 5. Fe Cclo 6. ldg(a m ) Il processo tertvo vee fermto qudo gl elemet fuor dgole dell A, che dovrebbero covergere zero dopo ft pss, soo suffcetemete pccol. Per ccelerre l covergez s utlzzo prmetr d ccelerzoe t opportumete scelt e modfcre l metodo e pss. (A t I)Q R (fttorzzzoe QR) 4. A R Q t I Il costo dell fttorzzzoe QR è doppo rspetto ll fttorzzzoe LU ( / cotro / operzo ), però è pplcble che se l mtrce è sgolre (l cotrro dell fttorzzzoe LU) o rettgolre (s utlzz el metodo de mm qudrt). Poltecco d Toro CALCOLO NUMERICO 4