1 Matrici. 1. Generalità.
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- Letizia Forti
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1 rc.. Geerlà. D m e, umer er posv s dce mrce d m rghe e d coloe, o mrce d po ( m,, d eleme rel u seme d m umer rel ) ( =,,..., m;,,..., ) dspos secodo l seguee bell regolre Gl m umer rel Nell'elemeo = m m m s dcoo eleme dell mrce; ess h m rghe e coloe. l'dce deo l rg cu esso ppree, mere j deo l colo, pero s dce dce d rg e j dce d colo. Se s deo co l mrce sudde llor l -esm rg s dc co ed è d d =. e l j-esm colo s dc co j ed è d d j = j j mj Esse vegoo chme che veore rg e veore colo rspevmee. e mrc d po (,) e (m,) s dcoo mrce rg e mrce colo rspevmee. Se m l mrce s dce regolre, se m = s dce qudr d orde oppure qudr dell' -esmo orde. U solo umero rele, R, s può cosderre l'uco elemeo dell mrce che, pero, e d po (,) e s deo co. Esse che l mrce zero: e quell cu = per og e j e s scrve e modo seguee
2 . 'seme dell mrc d po (m,) s deo co mrc qudre d orde s deo co. m, mere l'seme delle e mrc j =,,... e s scrve = B. = e = b B dello sesso po (m,) soo ugul se =,,...,m e = b Defzoe.. D u mrce d po (m,), s dce mrce rspos d, e T s deo co o o -, l mrce oeu d scmbdo le rghe co le coloe. Pero S osserv che ) ( ) =, è u mrce d po (,m). ) l rspos d u mrce qudr d orde è cor mrce qudr dello sesso orde. Defzoe... D u mrce qudr d orde, s dce dgole prcple d l -pl ord (,,..., ). Defzoe..3 U mrce qudr d orde vee u ull gl eleme l d soo (o l d sopr) dell dgole prcple s dce mrce rgolre superore (o rgolre ferore):,. I smbol ell prm mrce è = per > j, ell secod = per < j. e suddee mrc s deoo geerlmee co T.
3 Defzoe..4 U mrce qudr d orde s dce dgole se j e s deo geerlmee co D. = per Defzoe.5. mrce dgole d orde vee u gl eleme dell dgole prcple ugul s dce mrce ur o mrce dec e s deo co I. Defzoe.6. U mrce qudr s dce smmerc se cocde co l su rspos, coè =. 3
4 . Operzo sulle mrc. Defzoe. De due mrc =, B = b ermbe d po (m,) s dce somm d e B e s scrve + B l mrce d po (m,) l cu elemeo sull - m rg e sull j - m colo è + b coè + B = +. b Proposzoe. Se,B,C, è l mrce ull d po (m,) e s deo co - l mrce DI. So ) + B = B +, - ) ( + B) + C = + (B + C), 3) + = = +, m, m, m,, essedo = llor m, 4) + (-) = = (-) +. =, = b + B = + b. ) Poché B e C = c. vrù dell propreà commuv dell'ddzoe de umer rel, s h + b = b + e qud ) + ( B + C) = + ( b + c ) Poché + + b = b + + B = B +. ( b + c) = ( + b) + c vrù dell propreà ssocv dell'ddzoe de umer rel, s h e qud + ( b + c) = ( + b) + c + (B + C) = ( + B) + C. 4
5 3) + = + = = S prov modo logo che l lr uguglz. 4) + (-) = + (- ) = =. S prov modo logo che l lr uguglz. Defzoe. D l mrce = d po (m,) e u umero rele h, s dce prodoo d h per e s scrve h l mrce d po (m,) l cu elemeo o sull -m rg e sull j-m colo è, coè h h =. h Proposzoe. Se,B,C e h, k soo umer rel llor ) h ( + B) = h + hb, ) ( h + k) = h + k, 3) h ( k) = ( hk). DI. So =, = b m, B e s h,k R ) ( + B) = h + b = h( + b ) h, poché h ( + b) = h + hb vrù dell propreà dsrbuv del prodoo de umer rel rspeo ll somm, s h h ( + b) = h + hb = h + hb e duque h( + B) = h + hb; ) ( h + k) = ( h + k) = ( h + k) = h + k = = h + k = h + K ; 3) h( k) = h( k ) = h k = h( k ) = ( hk) = 5
6 ( hk) = ( hk) = ( hk) =. Proposzoe.3. Se, B e h R llor ) ( ) + B = + B, ) ( ) h =h. DI. So =, = b ) poché s h m, B e s h R, + B = + b ( ) + B = + b = + b = + B ; j j j j ) poché s h h = h ( ) h = h = h =h. j j Defzoe.3 So = mrce d po (m,) e = b jk B mrce d po (,p), s dce prodoo rghe per coloe d e B e s scrve B l mrce po (m,p) ove =,,...,m e k =,,..., p. c k = b jk = b k + bk b k c k d Osservzoe. Per esegure le prodoo l umero delle coloe dell mrce deve essere ugule l umero delle rghe dell mrce B e l mrce prodoo B h lo sesso umero d rghe d e lo sesso umero d coloe d B. Osservzoe.. Se,,..., soo veor rg de l mrce e B,B,..., veor colo dell mrce B, l'elemeo c dell mrce B s Bp può scrvere ell form m B k e qud k 6
7 B = B m B B B m B B B m B B p p p. Osservzoe.3 No esse l prodoo d B per meo che o s = p e l cso B è mrce qudr d orde, mere B è mrce qudr d orde m. Se e B soo ermbe mrc qudre dello sesso orde esse s l prodoo B che l prodoo B m, geere, è B B. Defzoe.4 Due mrc e B, qudre dello sesso orde, s dcoo permubl se B = B. Osservzoe.4 Og mrce qudr d orde è sempre permuble co mrce dec I e co l mrce ull, coè I = = I e = = pero s dce che I è elemeo euro rspeo l prodoo d mrc qudre e che l mrce ull d orde ull sempre u prodoo d mrc. Proposzoe.4 So, B, C re mrc per cu s possble l prodoo B e C, l somm B+C e l prodoo (B+C). Se h è u quluque umero rele ( geere uo sclre), s h ) (B+C) = B + C, ) (hb) = h( B). DI. S l -m rg d e so B k e C k le k-me coloe rspevmee d B e C, llor Bk + C k Bk è l k-m colo dell mrce B+C. Poché elemeo d poso k delle mrc B, C e (B + C) è rspevmee B k, Ck e ( Bk + C k ), ) d ( ) Bk + Ck = Bk + Ck segue l ), ) d ( ) ( hbk = h Bk ) segue ). 7
8 Proposzoe.5. So,B,C re mrc per cu è possble l prodoo d e B e prodoo d B e C, llor è possble l prodoo d B e C e l prodoo d e B C e s h ( B) C = (B C). Proposzoe.6 Se e B soo mrc che s possoo molplcre llor che e B s possoo molplcre e s h ( ) B = B. DI. S = d po (m,) e s = b mrce B è mere ( B ) D'lro co l mrce B d po (,p). 'elemeo d poso k dell B k = j=, rspos d B, h l predeo elemeo l poso k. b jk, rspos d, è d po (,m) e h logmee l mrce B, rspos d B, è d po (p,) e h b' =. Osservo che s può fre solo prodoo poso k rsul B' k ' = kj b jk ' = ; j B, che è u mrce d po (p,m), l'elemeo d kj j jk b ' ' = b = b jk = Bk. Defzoe.5. Se è u mrce qudr d orde s dce che è verble se esse u mrce qudr B pure d orde le che B = I = B. Osservzoe.4 Se è verble, l mrce B d cu ll defzoe.5 è uc. If s C u'lr mrce le che s h B = I C = I = C, B = ( C ) B = C ( B) = C I = C. Tle mrce B s chm vers d e s deo co -. I seguo s dro lcu meod per deermrl. Il prodoo d co se sess, coè, s dc che co ; S può fre che m m... m vole e s scrve. llor per og ero m> è l prodoo d m for ugul d. 8
9 S poe, po, = I (I mrce dec dello sesso orde) e =, scché rsul vld l regol r+s per og copp d er o egv r e s. = Proposzoe.7 Se è verble che l su vers - è verble e l su vers è. DI. Se è verble e - è l su vers, rsul ovvero r - = I = - - = I = - pero - è verble e l su vers è. Proposzoe.8 Se e B soo mrc qudre dello sesso orde ed ermbe verbl, llor l mrce B e verble e rsul ( B) - = B - -. DI. S l orde d e B. Essedo esse verbl, s h duque e - = B B - = I I s = -, = B - B, ( B) (B - - ) = (B B - ) - = I - = - = I (B - - ) ( B) = B - ( - ) B = B - I B = B - B = I duque l mrce B è verble e l su vers B - -. Proposzoe.9 Se è u mrce verble, l su rspos è verble e s h ( ) - = ( - ). DI. Poché l mrce è verble, rsul d cu - = I = - ( - ) = I = ( - ) I vrù dell proposzoe.5 ed essedo I = I, s h ( - ) = I = ( 9 - )
10 pero è verble e l su vers ( ) - è ( - ). Defzoe.7. U mrce qudr d orde s dce orogole se = =. Proposzoe. Se è mrce orogole, l su rspos è orogole. DI. S mrce d orde orogole, llor I ovvero Poché = ( pero l mrce ) s h = I = ( ) è orogole. = I = = I =. ( ) ; Osservzoe.5. Se è mrce orogole, ess è verble e rsul - =. Cò segue dll defzoe.5 e dll osservzoe.4.
11 3. Deerme d u mrce qudr. D u mrce qudr d orde = s dce deerme d e s dc co de o o umero rele e relvo che s oee el modo seguee: se =, = (), =, l se =, =, = = -, se = 3, =, = = 3 = Ques'ulmo clcolo v soo l ome d regol d Srrus e s pplc solo deerm delle mrc d orde 3. Se = 4, coè s scegle u rg (rbrrmee) o u colo, per esempo l rg, s sopprme v v cscu elemeo d ess oeedo, così, u mrce d orde 3; s clcol d =, 34
12 cscu l deerme (co l regol d Srrus) prededolo col sego + o - secodo che l somm d e j, dc dell'elemeo, s pr o dspr. llor de è l somm de prodo degl eleme dell rg (o colo) scel, queso cso l, per sudde deerm. I smbol = I geerle per 4 s procede el modo descro per = Osservzoe 3.. Per =, de è u form (polomo) d grdo omogee; per =, de è u form d grdo omogee; per = 3, de è u form d 3 grdo omogee; per = 4, de è u form d 4 grdo omogee; geerle per quluque de è u form d grdo omogee. Osservzoe 3.. I og ddedo dell form gl eleme d compoo u sol vol e u l form compoo (complessvmee) u gl eleme d. Osservo che è uso comue prlre d orde, d eleme, d rghe, d coloe, d dgol d deerme rferedos lle corrspode dell mrce relv, susssoo le Proposzoe 3. Il deerme dell rspos d u mrce è ugule deerme d, coè de = de. S omee l dmosrzoe. = d orde Proposzoe 3. Se u mrce d orde s verfc u delle segue crcosze: ) gl eleme d u rg (o colo) soo u ull; b) essoo due rghe (o coloe) proporzol ( prcolre ugul); c) esse u rg (o colo) che è combzoe lere delle lre rghe (o coloe); llor de =. S omee l dmosrzoe.
13 Proposzoe 3.3 Se de = llor esse u rg (o colo) che è combzoe lere delle lre rghe (o coloe). S omee l dmosrzoe. Proposzoe 3.4 Se u mrce = s gguge u rg (o colo) u combzoe lere delle lre rghe (o coloe) l mrce deerme ugule quello d, coè de ' = de. S omee l dmosrzoe. Proposzoe 3.5 Se u mrce ' oeu h l = s scmbo r loro due rghe (o due coloe ) l mrce ' oeu h l deerme ugule ll opposo d quello d, coè de ' = -de. S omee l dmosrzoe. Proposzoe 3.6 Se ell mrce l rg -m è del po = ' + '' j,,...,, = dee ' e '' le mrc oeue d, sosuedo l rg -m rspevmee gl e gl '', s h S omee l dmosrzoe. de = de '+ de '' ' Proposzoe 3.7 Se e B soo due mrc qudre ermbe d orde s h de( B) = de de B Pù geerle deerme dl prodoo d pù mrc è ugule l prodoo de deerm delle mrc. S omee l dmosrzoe. Proposzoe 3.8 Se è u mrce verble s h de ( - ) =. de DI. Se è u mrce verble e - è l su vers, llor - = I e qud, de de( - ) = d cu ssero. Defzoe 3.4 U mrce, qudr d orde, s dce o sgolre se l suo deerme è o ullo. 3
14 E d fcle dmosrzoe l seguee Proposzoe 3.9 U mrce, qudr d orde, è verble se e se è o sgolre. Defzoe 3.5 S = u mrce qudr d orde s dce more complemere ( o semplcemee more) dell'elemeo el deerme de e s dc co de l deerme dell mrce d orde - oeu d sopprmedo l - m rg e l j - m colo. + j 'espressoe = (-) de s dce complemeo lgebrco o cofore dell'elemeo D. Susssoo le segue Proposzoe 3. (I Teorem d plce) S = u mrce qudr d orde ( ), l deerme d è ugule ll somm de prodo degl eleme d u rg (o colo) d per rspev compleme lgebrc, coè de = D, =,,... (o de D, = =,,... ) Proposzoe 3.. (II Teorem d plce). S = u mrce qudr d orde ( ), l somm d prodo degl eleme d u rg (o colo) per compleme lgebrc d u lr rg (o colo) è ull, coè =,, h =,,... co h ( o =, D hj = D k j, k =,,... co j k ) S omee l dmosrzoe delle suddee Proposzo, m s f ore che l prm è d oevole uo per l clcolo d u deerme d orde quo lo rcoduce v v quello d deerm d orde more so d oeere solo deerm d orde 3 o d orde. Osservzoe 3.. Se = è mrce rgolre d orde, rsul de =
15 Proposzoe 3. S = u mrce qudr d orde verble, llor l su vers è - = D j de D j DI. S pog B =, essedo de quo è verble, e s b l de k geerco elemeo dell mrce prodoo B pero b = ( D + D D ) k k k. k de Teedo coo dell Proposzoe 3. e dell Proposzoe 3. rsul b k = se = k, b k = se k, duque B = I e qud B= -. S rcv, llor, l seguee regol per clcolre l vers d u mrce, che s verble: s scrve l rspos ; s sosusce og elemeo d co l suo complemeo lgebrco (s oee così l mrce D j ; 3 s dvde l mrce oeu ( D j ) per de. Proposzoe 3.3 Se è u mrce orogole d orde, llor de = ±. DI. Se è u mrce orogole, dll defzoe, s h de( ) = de I d cu, essedo de I = e de = de, ( de ) = e qud de = ±. Proposzoe 3.4 Se e B soo mrc qudre orogol dello sesso orde, llor che l mrce B è orogole. S omee l dmosrzoe. Proposzoe 3.5. U mrce qudr d orde e orogole se e solo se l somm de qudr degl eleme d cscu rg (e logmee per le coloe) 5
16 è ugule, mere l somm de prodo degl eleme corrspode d due rghe dverse (o d due coloe) è ugule. DI. S mrce orogole, llor = I =, coè (dll secod uguglz) e qud k = j = Vcevers se per l mrce rsulo s può scrvere, per l prm, jk ( ) =, kj =. ( ) =, kj =. = = δ e qud rssumere ermbe ell formul pù comp coè pero è mrce orogole. j = jk = δ, k = I =, k 6
17 4. Rgo d u mrce Defzoe 4. S u mrce d po (m,). S dce more d orde p (s dcherà co ), esro d, l deerme d u qulss mrce qudr d p orde p oeu d sopprmedo m-p rghe e -p coloe. S chm rgo d l orde mssmo de mor o ull esr dll mrce. Osservzoe 4. Se è u mrce ull s covee che l rgo s zero. Osservzoe 4. Il rgo d u mrce o ull è u umero urle p dverso d zero che o può superre é m é. Osservzoe 4.3 Se l rgo dell mrce è p, esse lmeo u more o ullo esro d d orde p e og eveule more d orde p+ esro d è ullo. Osservzoe 4.4 Se B e u mrce esr d, l rgo d B o può superre quello d. I mor o ull d orde mssmo esrbl dll mrce vegoo de che mor fodmel d. U procedmeo cosglble per sblre l rgo d u mrce è quello che ulzz l eorem degl orl o d Kroecker che vee esposo d seguo. Defzoe 4. S u mrce d po (m,) e s { } u more d orde p esro d (p > e p < m m, ). S dce orlo d og more d orde p+ esro d e coeee l more p. p Sussse l seguee: Proposzoe 4.. ( Teorem degl orl o d Kroecker ). U mrce d po (m,) h rgo p se e solo se esse lmeo u more d orde p dell mrce o ullo vee u gl orl ugul zero. S omee l dmosrzoe. I coclusoe per deermre l rgo d u mrce o ull e cosglble procedere come segue: ) s cerc u more d orde esro dll mrce che s dverso d zero; può ccdere che 7 p p
18 ) esso o esse (occorre pero clcolre u mor del secodo orde esrbl d ), llor s dce che l rgo d è, ) esso esse e s pss l puo b); b) s procede l clcolo d suo orl del erzo orde; può ccdere che ) ess soo u ull, llor s dce che l rgo d è ; ) esse uo o ullo e s pss l puo c); c) s procede l clcolo de suo orl de quro orde può ccdere che ) ess soo u ull, llor s dce che l rgo d è 3; ) esse uo o ullo e s pss l puo d); d) s procede l clcolo de suo orl del quo orde ecc. uso d queso eorem è scurmee,vggoso quo ev l clcolo d u mor d do orde esrbl dll mrce. Proposzoe 4. So e B due mrc d po rspevmee (m,) e (,p) e s C = B, llor rgc rg e rgc rgb. S omee l dmosrzoe Proposzoe 4.3 Il rgo d u mrce o cmb se ess vee molplc desr o ssr per u mrce o sgolre. DI. S u mrce d po (m,) d rgo p e s P u mrce o sgolre d orde m. Poso C = P, rsul rgc p. olplcdo ssr mbo membr per P -, s h = P - C d cu p rgc. Dlle due relzo s rcv rgc = p. 8
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LCUNE TECNCHE di NTEGRZONE D riordre: f( ) d F( ) F ( ) f( ) F ()d F() fi: ()d f()d F() D f()d f() fi: D f()d DF() F() f() f ()d g() d f() d f () f()d g() d d e d e d e log l d ( g ) d g os d ( o g ) d
Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0)
Massm e Mm Fuzo d pù varabl Massm e Mm Dezoe: Sa z = (, ) ua uzoe deta u seme E U puto (, E s dce puto d massmo (rsp mmo) relatvo per (, ) se esste δ > tale che ((, ) B((, ), δ ) E (, ) (, ) (rsp (, )
Calcolo di autovalori
lcolo d utolor Dt l trce deterre l uero e ettore o ullo tl che l l utolore utoettore Esepo 9 9 b 8 b 8 b geerle o è ultplo d. Se però oero c soo due dreo lugo le qul fuo coe se fosse oltplcto per uo sclre.
Integrazione di funzioni
tegrzoe d uzo l prolem dell tegrzoe umerc d u uzoe cosste el clcolre l vlore dell tegrle deto d prtre d umeros vlor dell uzoe tegrd l clcolo umerco d u tegrle semplce v sotto l ome d qudrtur meccc quello
X Algoritmi numerici
Iormc per l Memc Gorgo Me X Algorm umerc Prerequs: successo umerche coverge e dverge equzo lgebrche e rscede geomer lc dell re e dell prbol ssem ler e mrc derv d u uzoe e uzo derve eorem relv lle uzo coue
Matematica elementare art.1 di Raimondo Valeri
Matematca elemetare art. d Ramodo Valer I questo artcolo voglamo provare che esste ua formula per calcolare l umero de dvsor d u dato umero aturale seza cooscere la scomposzoe fattor prm del umero stesso.
Corso di Matematica - Algebra. Algebra
Corso d Mtemtc - Alger Alger Oerzo Algerche Tell de Seg Proretà Algerche delle Oerzo Somm e d Prodotto tr Numer Assoctvtà dell dvsoe Uguglze Pssgg lgerc Regole memoche Prodotto croce Rduzoe Fttor Rduzoe
Capitolo 24. Elementi di calcolo finanziario
Cpiolo 24 Elemei di clcolo fizirio 24. Le divere forme dell ieree Cpile (C, ock di moe dipoibile i u do momeo) Ieree (I, prezzo d uo del cpile) Sggio o o di ieree (r) (ieree muro dll uià di cpile,, ell
Formule di Integrazione Numerica
Formule d Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc: geerltà Prolem: vlutre l tegrle deto: I d F F utlzzo opportue tecce umerce qudo: l prmtv d o e esprmle orm cus d esempo s/, ep- ; dcoltà el clcolre ltcmete l prmtv
Lezione 24. Campi finiti.
Lezoe 4 Prerequst: Lezo 0,,, 3 Rfermet a test: [FdG] Sezoe 86; [H] Sezoe 79; [PC] Sezoe 63; Cam ft Nelle lezo recedet abbamo vsto dvers esem d cam ft: ess erao tutt del to oure [ x ]/( f ( x )), dove f
Elettronica dei Sistemi Digitali LA
Eleroc de Ssem Dgl LA Uversà d Bolog, II Fcolà d Igeger, Sede d Cese Armec Compuzole F.Cmp, A. Rom A.. 7-8 Armec Compuzole S sudo possbl rcheure hrdwre per relzzre operzo memche su segl compos d srghe
INFORMATICA 3 LEZIONE 10 FONDAMENTI DI MATEMATICA
INFORMATICA 3 LEZIONE FONDAMENTI DI MATEMATICA Isem e relzo Iseme: collezo d membr o elemet dstt d u tpo d bse. U membro può essere u elemeto prmtvo d u tpo d bse oppure u seme. U seme o cotee elemet duplct.
Sistemi lineari di m equazioni in n incognite
Sste ler d equo ogte U sste lere d equo ogte è u srttur del geere seguete: ove s tede he l-pl X* * * * è u soluoe del sste se sosttuedo l posto d rspettvete * * * s ottegoo ugugle. tre è dett tre oplet
13. Determinante di una matrice quadrata
Determite di u mtrice qudrt Defiizioe Dti umeri reli,,,,, (-), (-), col simbolo i idiceremo l loro somm ( + + + + + (-) + (-) + ) Quidi, i i := + + + + + (-) + (-) + i Esempio y i = y + y + y + y + + y
Variabili Aleatorie vettoriali
Vrbl letore vettorl Vrbl letore vettorl Vrbl letore vettorl: Itroduzoe Vrbl letore dpedet Idc d poszoe per V vettorl rsorzo d V vettorl Idc d dspersoe: Moet Mtrce d Covrz Propzoe dell Covrz V.. VORILI
La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100)
ESERCIZIO Il Moblty Maager d u azeda ha rlevato l umero d chlometr percors settmaalmete da 60 mpegat. I dat soo rportat ello schema successvo. 67 4 93 58 66 87 5 53 86 8 7 47 56 70 54 86 48 43 60 58 5
LE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =
LE SUCCESSIONI Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez
Dove la suddivisione dell intervallo [a,b] è individuata dai punti
![Dove la suddivisione dell intervallo [a,b] è individuata dai punti](/thumbs/89/98520294.jpg "Dove la suddivisione dell intervallo [a,b] è individuata dai punti")
04//205 Clcolo itegrle per fuzioi di u vriile Clcolo itegrle Itegrle defiito Si f:[,] R, limitt ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 0 = 2 3 4 5 = Costruimo l somm di Cuchy-Riem S f f Dove l suddivisioe dell itervllo [,]
APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO
PPUNTI DI CLCOLO NUMERICO Rchm d lger lere Sstem ler Cosdermo mtrc qudrte U mtrce s dce dgole se se j U mtrce s dce trgolre superore se se > j U mtrce s dce trgolre ferore se se < j U mtrce D s dce dgole
Matrice: tabella di m righe ed n colonne. A T matrice trasposta di A=(a ij ) di elementi a ijt =a ji. Serena Morigi Università di Bologna 1
Matrc Matrce: tabella d m rghe ed coloe T matrce trasposta d (a j ) d elemet a jt a j Serea Morg Uverstà d Bologa Matrc Matrce quadrata m sottomatrc Matrce rettagolare m Serea Morg Uverstà d Bologa Matrc
Teoremi su correnti e tensioni
Teorem su corrent e tenson 1) ombnzone lnere efnzone: n un crcuto, ogn corrente e tensone è dt un combnzone lnere d genertor: V = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... I = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... oe
Controlli automatici
Coroll omc Compleme d omc Prof. Polo Rocco (polo.rocco@polm.) Polecco d Mlo Dprmeo d Eleroc Iformzoe e Bogeger Irodzoe I qee lezo verro rpre e pprofod lc eleme d omc co prcolre rfermeo ll decrzoe de em
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE A] SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA Sempliicre u rzioe lgeric sigiic dividere umertore e deomitore per uo stesso ttore diverso d zero. Procedur per sempliicre
Regime di capitalizzazione composta
Regme d capalzzazoe composa Se s deposa baca, all zo dell ao, ua somma d 000 ad u asso auale uaro =0,05 oppure r=5%, dopo ao ale somma frua u eresse par a I = = 000 0,05 = 50 che aggugedos al capale zale
Propagazione di errori
Propagazoe d error Gl error e dat possoo essere amplfcat durate calcol. Rspetto alla propagazoe degl error s può dstguere: comportameto del problema - codzoameto del problema: vedere come le perturbazo
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APPLICAZIONI LINEARI 1. DEFINIZIONE DI APPLICAZIONE LINEARE. Sio V e W due spzi vettorili su u medesimo cmpo K. Si :V W u ppliczioe di V i W. Si dice che l è u ppliczioe liere di V i W se soo veriicte
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Ssem Dmc Ler u empo-dscre y u u B Δ C y y u 3 y 3 S. Mrsl-Lbell: Ssem ler empo-dscre pg. Defzoe d ssem dmco lere Gl sem d gress, s e usce soo spz veorl Vle l prcpo d sovrpposzoe degl effe L relzoe Igresso/So/Usc
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E METODI MATEMATICI
FASCICOLO FUORI COMMERCIO DISTRIBUITO GRATUITAMENTE AGLI STUDENTI DEL CORSO DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA ANNO ACCADEMICO 008-009 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO
ANALISI DELLA REGRESSIONE ANALISI BIVARIATA DELLA REGRESSIONE
ANALII DELLA REGREIONE L Al dell Regreoe rgurd lo tudo delle relzo etet r o pù rtter qutttv o vrl. L rer de legm etet r pù vrl poe ome rer delle relzo uzol he pogoo Y ome grdezz dpedete d u ere d vrl dpedet
Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998
Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 NUMERI COMPLESSI Come sappamo, o esstoo el campo de umer real le radc d dce par de umer egatv. Ammettamo pertato l esstea della radce quadrata del umero. Questo uovo
I numeri naturali. Cosa sono i numeri naturali? Quali sono le caratteristiche di N? Le operazioni in N. addizione = 15. moltiplicazione 3 7 = 21
I ueri turli Cos soo i ueri turli? I ueri turli soo i ueri 0 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 L isiee dei ueri turli si idic co N. N { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,..} Quli soo le crtteristiche di N? L isiee
L INTEGRALE DEFINITO b f (x) d x a 1
L INTEGRALE DEFINITO ( ) d ARGOMENTI. Il Trpezoide re del Trpezoide. L itegrle deiito de. Di Riem. Proprietà dell itegrle deiito teorem dell medi. L uzioe itegrle teorem di Torricelli-Brrow e corollrio
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Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti
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Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte I)
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NECESSITÀ DEI LOGARITMI
NECESSITÀ DEI LOGARITMI Nelle equzioi espoezili he imo risolto sior er sempre possiile ridursi equzioi i ui si vev l stess se, l equzioe divetv lgeri sempliemete uguglido gli espoeti. M o tutte le equzioi
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Soluzione degli esercizi del capitolo 11
Statstca - metodooge per e sceze ecoomche e soca /e S Borra, A D Cacco - McGraw H s Souzoe deg esercz de captoo a rsposta esatta è a c, fatt daa s ha: da cu rcavamo a corretto Ifatt,,,,,,,,,,,,,,, b Sì,
Progressioni geometriche
Progressioi geometriche Comicimo co due esempi: Esempio Cosiderimo l successioe di umeri:, 6,, 4, 48, 96 L successioe è tle che si pss d u termie l successivo moltiplicdo il precedete per. Si dice che
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Lezione 20. Campi numerici ed anelli di Dedekind.
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Scuole italiane all estero (Santiago del Cile) 2010 Quesiti QUESITO 1
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Unità Didattica N 35 I sistemi lineari
Uità Didttic N 5 Uità Didttic N 5 ) Sistem liere di equioi i icogite: teorem di Crmer ) Sistem liere di m equioi i icogite ) Teorem di ouchè-cpelli 4) Sistem di m equioi lieri omogeee i icogite 5) isoluioe
Metodi diretti: generalità
etod drett: geertà Soo st s trsforzoe de sste gerco ze o eqvete d strttr pù sepce. X ~ X ~ sozoe è ottet ero fto d pss ed ssez d error d rrotodeto s otterree sozoe estt. Soo ppct proe pcco e des. Effcez
. La n a indica il valore assoluto della radice.
RADICALI Defiizioe: U umero irrziole è u umero decimle illimitto o periodico. Esempio:, 0, π Per clcolre il vlore pprossimto di u espressioe coteete rdici coviee mipolre l espressioe per ridurre l mssimo
Approssimazione di dati e funzioni: generalità
Arossmzoe d dt e uzo: geertà Probem: rossmzoe d u uzoe : ot g { } vor che uzoe ssume e ut { } s vuoe otteere u rresetzoe tc de uzoe u tervo [b] geere coteete g { }; esressoe tc de è ot m comct er e oerzo
N 10 I NUMERI COMPLESSI
Untà Ddttc N 0 I NUMERI COMPLESSI 0) Introduzone dell untà mmgnr 0) Introduzone elementre de numer compless 0) Alcune operzon su numer compless 0) Rppresentzone geometrc de numer compless 05) Rppresentzone
Lezione 7. Numeri primi. Teorema Fondamentale dell'aritmetica.
Lezone 7 Prereqst: L'nseme de nmer nter Lezone 6 Nmer prm Teorem Fondmentle dell'artmetc Defnzone 7 Un nmero ntero p dverso d 0 e s dce prmo se per ogn b Z Altrment p s dce composto p b p oppre p b Defnzone
Algebra di Boole Forme normali P ed S. Variabili e funzioni booleane
3/03/0 Corso d Cloltor Elettro I A.A. 0-0 Alger d Boole Forme orml ed Lezoe 6 rof. Roerto Coo Uverstà degl tud d Npol Federo II Foltà d Igeger Corso d Lure Igeger Iformt (llev A-DA) Corso d Lure Igeger
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PROVINCIA DI VERONA RENDICONTO ESERCIZIO 2012 ELENCO DEI RESIDUI ATTIVI E PASSIVI DISTINTI PER ANNO DI PROVENIENZA 1 2 RIEPILOGO GENERALE RESIDUI ATTIVI CONSERVATI 3 4 Pgm. CPA0099R ***-----------------------------------------------------------***
Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua
Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 5 Febbrao 00. Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO N A partre dalla dstrbuzoe semplce del carattere peso rlevata su 0 studet del corso d Mcroecooma peso: { 4, 59, 65,
Laboratorio di Sperimentazione di Fisica CdL Matematica PARTE II. Dr. Riccardo Cerulli
Lortoro d Speretzoe d Fsc CdL Mtetc ART II Dr. Rccrdo Cerull http://users.lgs.f.t/~cerull/ddttc.htl Msur d u grdezz fsc: V-M 0 Icertezze ell sur Als sttstc de dt L sur è soggett feoe csul. L sgol sur è
Se k è una funzione costante qualunque, allora la funzione G(x)=F(x)+k è ancora una funzione primitiva di f(x) nell intervallo [a,b].
![Se k è una funzione costante qualunque, allora la funzione G(x)=F(x)+k è ancora una funzione primitiva di f(x) nell intervallo [a,b].](/thumbs/91/105105546.jpg "Se k è una funzione costante qualunque, allora la funzione G(x)=F(x)+k è ancora una funzione primitiva di f(x) nell intervallo [a,b].")
INTEGRALI INDEINITI L deermizioe di u uzioe primiiv è u prolem iverso quello dello sudio dell deriv di u uzioe. Il osro prolem diviee or. D u uzioe y deii i u iervllo [,] voglimo rovre se esise u uzioe
Misurare una grandezza fisica significa stabilire quante unità di misura sono contenute nella grandezza stessa.
L misur: Misurre u grdezz fisic sigific stilire qute uità di misur soo coteute ell grdezz stess. L misur di u grdezz si dice dirett qudo si effettu per cofroto co u grdezz d ess omogee scelt come cmpioe
Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione
Artmetca 06/07 Esercz svolt classe Quarta lezoe Rcorreze o lear Sa a c a cq ua rcorreza dove {c }, c C e c 0. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza
ma non sono uguali fra loro
Defiizioe U fuzioe f defiit i D (doiio) si dice cotiu i u puto c D se esiste i tle puto (è cioè possiile clcolre f (c)); se esiste, fiito, il ite dell fuzioe per che tede c e se il vlore del ite coicide
STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CON IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI
STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI IN RETROAZIONE CON IL METODO DEL LUOGO DELLE RADICI U sste d cotrollo s defsce retrozoe, o cte chus, se oper utlzzdo, oltre l segle d rfereto solo forzo che rgurdo l
TRASFORMATE DI LAPLACE
TASOMATE D APACE rorm lc co rormr l quzo rzl quzo lgbrch mlco l l crcu mc lr. l moo ll rorm lc grlzz l moo or: zché clcolr l ro rm gr uol, co l rorm lc omo rcvr l ro coml u cl gr molo ù grl ch olr ll uo
Indipendenza in distribuzione
Marlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Lo studo delle relazo tra due caratter" Aals delle relazo tra due caratter Dpedeza dstrbuzoe s basa sul cofroto delle dstrbuzo codzoate Dpedeza meda s basa sul cofroto
Si definisce prodotto di A e B la matrice data da:
MRICI Ua matrce Mat(m,) è ua tabella ordata d umer dspost m rghe ed coloe. Idchamo co aj l'elemeto d posto j che può essere reale o complesso. Operazo d matrc: ) (α)j α aj α C 2) (+ B)j aj + bj Propretà
Corso di Calcolo Numerico
Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Corso di Clcolo Numerico Dott.ss M.C. De Bois Uiversità degli Studi dell Bsilict, Potez Fcoltà di Igegeri Corso di Lure i Igegeri Meccic Ao Accdemico 004/05
Metodi diretti: generalità
etod drett: geertà Soo st s trsforzoe de sste gerco ze o eqvete d strttr pù sepce. X ~ X ~ sozoe è ottet ero fto d pss ed ssez d error d rrotodeto s otterree sozoe estt. Soo ppct proe pcco e des. Effcez
DEFINIZIONE SUCCESSIONE NUMERICA Una successione numerica è una funzione che ha per dominio l insieme dei numeri naturali { 0;1;2;3;...
SUCCESSIONI DEFINIZIONE SUCCESSIONE NUMERICA U successioe ueric è u fuzioe che h per doiio l isiee dei ueri turli { 0;;;; } N o u suo sottoisiee e coe codoiio R, o u suo sottoisiee I vlori che ssue tle
Generalmente sia l ampiezza che il valore medio della sollecitazione sono variabili nel tempo.
È molto raro che u compoete meccaco sa sollectato a fatca da u carco cclco ad ampezza costate. Geeralmete sa l ampezza che l valore medo della sollectazoe soo varabl el tempo. max a a max m m m m Tempo
Università degli studi di Cagliari. Corso di Laura Specialistica in Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Uverstà degl stud d Cglr Corso d Lur Speclstc Igeger Elettrc ed Elettroc ESIN DI CLCOLO NUMERICO Oggetto: NLISI DEI MEODI DI RISOLUZIONE DEI SISEMI LINERI Docete Studet GIUSEPPE RODRIGUEZ ROBERO SECI mtr
2 C. Prati. Risposta all impulso di sistemi LTI e convoluzione
Segli e sisemi per le elecomiczioi /ed Cldio Pri Coprigh 00 he McGrw-Hill Compies srl C Pri Rispos ll implso di sisemi LI e covolzioe Esercizi di verific degli rgomei svoli el secodo cpiolo del eso Segli
NOTA Gli operatori lineari fra spazi a dimensione finita sono tutti continui, nel senso che, se A è
Operaor lear ell ambo degl spaz d fzo grade mporaza praca hao gl operaor lear Ad esempo, la dervazoe è operaore leare che, applcao ad a fzoe, dà come rslao alra fzoe; l egrazoe defa è ach essa operaore
Affidabilità e Sicurezza delle Costruzioni Meccaniche 5 Calcolo strutturale a fatica
olecnco d Torno Adblà e Scurezz delle Cosruzon eccnche 5 Clcolo sruurle c Eserczo 5- Un cco h le d c lern v ll D 50 ( 0 6 ) e crco unro d rour R 600 ; clcolre l le d c per 0 5 ccl. (0 5 ) 40. Dll equzone
exp("# (al posto di n) var Ca Coefficiente di asimmetria, indipendente dal valore dei parametri. f X DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL.
DISTRIBUZIONE EV o DI GUMBEL. x x [ $ e ] exp[ e ] F x exp co: Sgfcato de parametr: f exp al posto d : Numero medo d evet dpedet [ 0,t], ad esempo u ao. / :Valore medo della gradezza dell eveto, esempo
Regime dell interesse composto.
Regime dell ineresse composo Formule d usre : M = monne ; I = ineresse ; C = cpile ; r = fore di cpilizzzione K = somm d sconre ; s = sso di scono unirio ; i = sso di ineresse unirio V = vlore ule ; ν
In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi.
7. Redte I questo captolo edremo solamete u caso d redta, che useremo po per geeralzzare le redte e dedurre tutt gl altr cas. S defsce redta ua successoe d captal (rate) tutte da pagare, o tutte da rscuotere,
> Definizione di matrice <
> Defiizioe di mtrice < Dti due umeri turli m e si defiisce mtrice di tipo (m,) l isieme di m umeri reli disposti orditmete su m righe orizzotli e coloe verticli Se m si h u mtrice qudrt di ordie m m >
13ALPGC-Costruzione di Macchine 1 Anno accademico 2005-2006
13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 1 Ao ccdeico 005-006 IL CALCOLO DELLE RUOTE DENTATE CILINDRICE 1 Iroduioe Il diesioeo di u igrggio, essedo o l cieic (rpporo di rsissioe, ueri di dei, golo di pressioe α (oα