Lezione 7. Numeri primi. Teorema Fondamentale dell'aritmetica.

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1 Lezone 7 Prereqst: L'nseme de nmer nter Lezone 6 Nmer prm Teorem Fondmentle dell'artmetc Defnzone 7 Un nmero ntero p dverso d 0 e s dce prmo se per ogn b Z Altrment p s dce composto p b p oppre p b Defnzone 7 Un nmero ntero p dverso d 0 e s dce rrdcble se per ogn b Z Altrment p s dce rdcble p = b è nvertble oppre b è nvertble Qeste de nozon sono n reltà eqvlent come rslt dl segente Lemm 73 S p n nmero ntero dverso d 0 e Allor sono eqvlent le segent condzon () p è prmo; () p è rrdcble; () dvsor d p sono p p Dmostrzone: () () S p prmo e sno b Z tl che p = b Essendo p non nllo nche e b sono non nll Inoltre n prtcolre p b qnd n bse ll Defnzone 7 p oppre p b Nel prmo cso = pq per qlche q Z percò s h = bq d c essendo cncellble (n qnto elemento non nllo d n domno d ntegrtà) s dedce che bq = Pertnto b è nvertble Anlogmente s dedce che nel secondo cso è nvertble Cò prov che p è rrdcble () () S p rrdcble e s n dvsore d p Allor s h che p = b per qlche b Z Sege n bse ll Defnzone 7 che è nvertble oppre b è nvertble Nel prmo cso p p Dnqe dvsor d p { } Nel secondo cso cò vle per b e d consegenz { } sono - p -p () () Spponmo che p verfch () e sno b Z tl che p b S d n mssmo comne dvsore d e p Allor d è n dvsore d p e qnd { } d oppre d { p p} Nel secondo cso p dvde Nel prmo cso p ed sono coprm e qnd per l Proposzone 64 sege che p dvde b Cò prov che p è prmo Esempo 74 Sono nmer prm Il pù grnde nmero prmo fnor conoscto è scoperto nel 03 Tle nmero h cfre decml

2 Il prossmo rsltto s dedce con n fcle rgonmento ndttvo dll Defnzone 7 Lemm 75* S p n nmero prmo e sno r Z tl che p r Allor qlche { r} p per Smo or n grdo d provre l Teorem 76 (Teorem Fondmentle dell'artmetc o Teorem d fttorzzzone nc) S n n nmero ntero mggore d Allor esstono per qlche ntero postvo s s nter postv prm p p ps tl che n = p p p s () Inoltre l nmero s ed nmer prm p p p s sono nvocmente determnt Dmostrzone: Spponmo per ssrdo che esst n nmero ntero mggore d per l qle non esste n decomposzone del tpo () Allor l'nseme X d tl nmer è n sottonseme non voto d Ned n qnto tle per l prncpo del mnmo (ssom d bon ordnmento) mmette n mnmo m In prtcolre m non è llor n nmero prmo Qnd n vrtù del Lemm 73 m è n nmero rdcble Pertnto esstono b Z non nvertbl tl che m = b Essendo m postvo possmo spporre meno moltplcre d eventlmente entrmb fttor per - che e b sno entrmb postv Allor ess sono entrmb mggor d In prtcolre d > sege che m b = < m Qnd b X e pertnto b s scrve come prodotto d nter postv prm M per smmetr s h nche che X e qnd nche s scrve come prodotto d nter postv prm Sege che lo stesso vle per m contro l'potes Cò prov che ogn nmero ntero mggore d mmette n decomposzone del tpo () Spponmo or che l nmero ntero postvo n mmett oltre d () l segente decomposzone dove t è n ntero postvo e q q q t sono nter postv prm: n = qq q t () Provmo llor che s = t e che meno d rordnre fttor n () e n () s h p = q per ogn = s Procedmo per ndzone s s Se s = llor n = p è prmo Dll () sege llor che t = Non pò essere nftt t perché ltrment n srebbe l prodotto d q e q qt che sono nmer ntrl mggor d e qnd non nvertbl e qnd n srebbe rdcble e dnqe per l Lemm 73 non srebbe prmo Qnd n = q e dnqe n prtcolre p = q Cò prov l bse dell'ndzone Spponmo or che s s > e che l tes s ver per s Dll () e dll () sege che p p p q q q (3) s = t Poché p dvde l prodotto secondo membro n vrtù del Lemm 75 meno d rordnre fttor s h che p q M n bse l Lemm 73 dvsor d q sono q q Essendo p postvo e dverso d e sege che p = q Allor essendo p q non nll e qnd cncellbl dll (3) sege che p ps = q qt Il nmero d fttor prmo membro è s

3 mentre fttor secondo membro sono t qnd per l'potes ndttv s h s = t coè s = t e meno d rordnre fttor per ogn = s p = q Cò conclde l psso ndttvo e complet l dmostrzone Not L'gglnz () s dce fttorzzzone o decomposzone n fttor prm del nmero ntrle n I nmer p s dcono fttor prm d n Rccoglendo nell () fttor prm gl s ottene n scrttr pù comptt: α α αr n = p p p r (4) ove prm p sono de de dstnt e gl esponent α sono nter postv (precsmente per ogn ndce α è l nmero d volte che l fttore prmo p compre nell fttorzzzone d ) Esempo 77 L fttorzzzone d 500 è l fttorzzzone d 6094 è Vedmo or lcne pplczon del Teorem Fondmentle dell'artmetc Il prossmo rsltto sfrtt l'esstenz dell decomposzone n fttor prm Teorem 78 (Infntà de nmer prm) Esstono nfnt nmer prm Dmostrzone: Dmostrmo che sono nfnt nmer prm postv Spponmo per ssrdo che cò non s vero Allor nmer prm postv formno n nseme fnto dcmo { p p p k } S N = p p p k + Allor N è n ntero e N > qnd n vrtù del Teorem Fondmentle dell'artmetc mmette n decomposzone n fttor prm In prtcolre N è dvsble per n nmero prmo qnd esste n ndce { k} tle che p dvde N M llor n vrtù dell Proposzone 69 (b) sege che p dvde l che è mpossble Cò prodce l contrddzone desdert e prov l tes Ne prossm esercz tlzzeremo l'nctà dell decomposzone n fttor prm che rformlmo nell form segente S n ntero postvo e sno p p p nmer prm postv tl che s bb = p α p α p α ove gl esponent α sono nter non negtv Allor qest esponent sono nvocmente determnt Cò è bnlmente vero se = Se nvece > fttor prm d sono nvocmente determnt qnd sono nvocmente determnt gl ndc per ql non è n fttore prmo d oss per ql α = 0 Elmnndo fttor corrspondent qest 0 ndc (che sono p α = p = ) s ottene l'espressone d come prodotto de so fttor prm oss l (4) nell qle gl esponent sono nvocmente determnt Eserczo 79 Sno p p p nmer prm postv e s = p α p α p α ove gl esponent α sono nter non negtv S b n ntero postvo Provre che llor b dvde se e solo se = β β ove gl esponent b p p p β β sono nter non negtv tl che β α per ogn ndce Svolgmento: Spponmo che b dvd Allor esste n ntero (postvo) q tle che = bq Se q = llor = b e qnd l tes è bnlmente ver Se b = llor s h l decomposzone volt per b con β = 0 per ogn ndce Spponmo llor che b > e q > Poché b e q p

4 dvdono loro fttor prm sono nche fttor prm d (n vrtù dell trnstvtà dell relzone d dvsbltà) Qnd le loro fttorzzzon sono dell form segente: β β b = p p p γ γ q = p p p β γ per opportn esponent nter non negtv β e γ Sege llor che α α α β β β γ γ γ = p p p = bq = ( p p p )( p p p ) d c p p p p p p (5) α α α β + γ β + γ β + γ = D cò per l'nctà dell fttorzzzone s dedce che per ogn ndce s h α = β + γ d c β α come volevs Vcevers se b = p β p β p β e vlgono qeste dsgglnze llor vle l (5) con γ = α β (ntero non negtvo) per ogn ndce e qnd = bq con q come sopr Pertnto b dvde Eserczo 70* Sno b nter mggor d Determnre n mssmo comne dvsore ed n mnmo comne mltplo d b prtre dlle loro fttorzzzon Svolgmento: Sno p p p nmer prm ( de de dstnt) che sono fttor prm d o d b Allor le fttorzzzon d b s scrvono nell form α α = p p p β β b = p p p α β ove gl esponent α β sono nter non negtv (se llor α = 0 se p non compre nell fttorzzzone d b llor 0) p non compre nell fttorzzzone d β = Allor mn( α β ) mn( α β ) mn( α β ) MCD( b) = p p p Provmo che l prodotto secondo membro (certmente postvo) verfc le condzon () e (b) dell Defnzone 63 Per semplctà d notzone ponmo per ogn ndce γ = mn( α β ) e d = p γ p γ p γ Allor essendo per ogn ndce γ α e γ β n vrtù dell'eserczo 79 s h che d dvde e d dvde b Spponmo or che l'ntero e dvd e b Possmo spporre meno d cmbre l segno che e s postvo Allor n bse ll'eserczo 79 s decompone n n prodotto dell form e = p p p δ δ δ ove gl esponent δ sono ttt nter non negtv e per ogn ndce s h ε α e ε β Sege che per ogn ndce ε γ Cò n bse ll'eserczo 79 mplc che e dvde d Cò prov che d è n mssmo comne dvsore d e b L prte reltv l mnmo comne mltplo è lsct l lettore

5 Eserczo 7* Sno b nter mggor d Provre che b sono coprm se e solo se non hnno fttor prm n comne Eserczo 7* Sno r nmer nter non nll Provre che () n ntero b è n mltplo comne d r se e solo se mcm( r ) b ; (b) se r sono de de coprm llor mcm( r ) = r