Regime dell interesse composto.

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1 Regime dell ineresse composo Formule d usre : M = monne ; I = ineresse ; C = cpile ; r = fore di cpilizzzione K = somm d sconre ; s = sso di scono unirio ; i = sso di ineresse unirio V = vlore ule ; ν = fore di nicipzione. r() = ( + i) ( ) ; i( ) = ( + i) - ( 2) M () = C( + i) () 3 ; I() = C ( + i) - ( 4) ν () = ( + i) = ( s) ( 5 ) ; s() = ( + i) = ( s) ( 6 ) V () = K( + i) = K( s) ( 7 ) ; S() = K ( + i) = K ( + s) ( 8 ) Esercizio Ad un risprmiore viene ssicuro, frone di un invesimeno immedio di 500, il rddoppio del cpile in 7 nni nell ipoesi che i ssi rimngno cosni per uo il periodo. In relà i ssi scendono dopo il primo nno di un puno percenule e dopo 4 nni di lri due puni. Clcolre:. il cpile ccumulo in conseguenz dell riduzione dei ssi; 2. in quno empo si h il promesso rddoppio del cpile nell ipoesi che dopo il quro nno i ssi rimngno cosni. Il sso ipoeico che grnisce il rddoppio del cpile è do dll seguene equzione: 500( + i ) 7 =. 000 d cui i = 7 2 = 0, 0409 = 0, 4% Perno si h: monne dopo il primo nno : M = 500( + 0, 4% ) = 552, 04 monne ll fine del 4 nno : M ( ) 3 4 = 552, , 4% = 723, 0 monne ll fine del 7 nno : M ( ) 3 7 = 723, , 4% = 895, 94 (cpile ccumulo) Per clcolre il empo necessrio per relizzre il rddoppio del cpile inizile, con l vrizione dei ssi descri, occorre prim deerminre in quno empo, dopo il quro nno, si rggiunge il monne M =. 000, ossi 723, 0( + 7, 4% ) = ( + 0, 074) = =, , 0 ln, 383 = = 4, 54 = 4 nni, 6 mesi, 4 giorni ln, 074 Regime dell ineresse composo. pg.

2 Conclusione: uilizzndo l vrizione dei ssi volu dl problem il rddoppio del cpile inizile di 500 vviene dopo 8 nni, 6 mesi e 4 giorni. Esercizio 2 Un person dispone che ll su more del suo primonio cosiuiscno un fondo d riprirsi in pri uguli fr le sue re figlie ciscun delle quli ne prenderà possesso l compimeno del 2 nno di eà. L person muore qundo le figlie hnno, rispeivmene,9,5 e 3 nni. Quno riceverà ciscun di esse considerndo che il fondo rende il 2% nnuo in regime di ineresse composo?. Occorre deerminre il vlore ule dell somme che ndrnno ricevere le re figlie l compimeno del loro 2 nno di eà. Per l figli mggiore il fore di nicipzione deve essere riferio 2 nni, per l second 6 nni e per l più piccol 8 nni e quindi si h: 2 ν 2 = + 0, 02 = 0,962 6 ν 6 = + 0, 02 = 0, ν 8 = + 0,02 = 0,8535 Perno, per deerminre l quo richies occorre risolvere l equzione V ( 0,962 0,8880 0,8535) = K + + con V = per cui: K = = , 7027 Regime dell ineresse composo. pg.2

3 Esercizio 3 Si dispone dei segueni credii: con scdenz fr 3 nni; con scdenz fr 4 nni; con scdenz fr 5 nni e 6 mesi. I suddei credii vengono incssi oggi e si riceve un somm clcol, in regime di cpilizzzione compos, l sso di scono del 0,5%. Il ricvo viene verso in bnc ccendendo un libreo vincolo, per l dur di 4 nni, per il qule è previs l cpilizzzione nnu degli ineressi in bse l sso di ineresse del 2% per i primo due nni e del 4% per il rimnene periodo. Clcolre quno si porà disporre ll esinzione del libreo. Conoscendo il sso di scono si può usre l seguene formul equivlene ll (5) : e perno si h: () = ( ) V K s V 3 = ,05 = 2.50, 75 Primo credio : 3 V 4 = ,05 = 2.566,56 Secondo credio : 4 V 5 = ,05 = 2.76, 42 Terzo credio : 5,5 quindi l somm incss mmon 7.433,73 L cpilizzzione viene quindi clcol, uilizzndo l (3), nel modo seguene: M ( ) 2 = 7.433, ,2 = 9.324,87 M ( ) 2 2 = 9.324,87 + 0,4 = 2.8, 6 Rispos : ll esinzione del libreo si h l somm di 2.8,6 Regime dell ineresse composo. pg.3

4 Esercizio 4 Un risprmiore cquis un monolocle per pgndo subio Per l differenz si impegn pgre dopo 2 nni, dopo 4 nni ed il sldo dell rimnenz dopo 6 nni umenndo ogni r dell quo ineressi clcoli, in regime di ineresse composo, l sso nnuo del 9%. Però, ll scdenz del primo pgmeno egli oiene di esinguere gli impegni ssuni pgndo i vlori uli dei monni dovui lle scdenze clcoli (sempre in regime di ineresse composo) l sso nnuo del 7%. Deerminre l somm pg per l esinzione del debio. nni Il sso biennle è do d: i ( 2) = ( + 0, 09) 2 = 0, , , ,00 L somm residu dopo il pgmeno immedio è e le cpile ll fine del secondo nno fornisce un ineresse: I = ,88 = e quindi l somm reliv l primo pgmeno mmon : S = = Dopo il primo pgmeno il debio residuo è che ll fine del 4 nno gener un ineresse di mmonre : I 2 = ,88 = 2.82,5 e perno il pgmeno dell 2 r è di 7.82,5. Dl 4 l 6 nno il debio residuo è che fru ineressi : I 3 = ,88 =.88 e l 3 r mmon.88. Poiché il risprmiore oiene di esingure il debio l 2 nno pgndo l ulizzzione [vedi formul (7)] dei pgmeni successivi l sso di scono del 7%, l somm vers risul quindi: 2 2 S = ,5 0, , 07 = Esercizio 5 Giovnni h dirio riscuoere le segueni somme : 350 subio, 700 fr 4 nni ed 950 fr 7 nni. Si ccord con il debiore per vere un somm unic, in sosiuzione delle re, fr 2 nni. Deerminre l imporo di le versmeno unico nell ipoesi che il sso di ineresse pplico è dell % nnuo (in regime di ineresse composo). Allo scdere dei 2 nni l somm incss viene uilizz d Giovnni per esinguere un debio conro 5 nni prim l sso d ineresse del 9%. Clcolre l imporo del debio. Seniero emporle dell operzione: nni ,00 700,00 900,00 Regime dell ineresse composo. pg.4

5 Per clcolre l imporo dovuo dl debiore occorre ulizzre l 2 nno ue le somme d quesi dovue. Si h perno[pplicndo l (3) e l (7)]: ( ) S = , , , =.533 Applicndo l (7) si deermin il vlore inizile del debio esino d Giovnni: ( ) 5 D = , 092 = 987 Regime dell ineresse composo. pg.5