UNIVERSITA POLITECNICA DELLE MARCHE FACOLTA DI INGEGNERIA. Serie di Fourier

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1 UNVERSA POLECNCA DELLE MARCHE FACOLA D NGEGNERA Sr d Fourr

2 roduzo Alcu ozo rmolog S E u sm lr, s cscuo dgl lm soddsc ll r proprà sgu: E s corrspodr l umro. ; s solo s θ dov θ è l lmo ullo dll sm lr E.. α α pr E pr og umro α (rl o complsso scod ch E s rl o complsso. 3. y y quluqu so, y E ; s dc ch E è uo spzo ormo l umro s chm orm dll lmo. L (3 s chm dsuguglz rgolr d mplc l (4. 4. y y prcolr y y. uo spzo ormo E s può dr l ozo d lm: lm s solo s lm Dll dsuguglz (4: s vc ch lm lm olr: s l succsso d lm E covrg d u lmo E, ss sodds l codzo d Cuchy scodo l qul ε >, N N( ε l ch < ε s, m > N L vrso, grl, o è vro; ssoo spz lr orm cu s possoo rovr succsso d lm ch soddso l codzo d Cuchy, m o covrgoo ssu lmo d E. Uo spzo lr ormo E, pr dzo, s dc complo s og succsso d lm E soddsc l codzo d Cuchy covrg d u lmo E. Uo spzo lr complo s dc ch spzo d Bch. L sm d umr rl è uo spzo d Bch co. m

3 . dchrmo co C (, lo spzo lr ormo dll uzo cou sull rvllo chuso [, ] co orm m ( ( C(, C* è lo spzo lr ormo dll uzo cou sull ss rl, prodch d prodo d v orm m ( m ( ( C* dov è u umro rl qulss. Ovvm l rsrzo d C* sull rvllo [, ] ppr C (, ; l vcvrs o vl quo C* mplc ( (. U uzo C (, soddsc l codzo ( (, dopo u prolugmo prodco d prodo, s rsorm u uzo d C*.. S Ω u rvllo pro, vulm o lmo. dchmo co L' L'( Ω l sm dll uzo rl o complss ssolum grl ( sso mpropro Ω. S s suppo ch l uzo so grl l sso d Lsgu, l sm s dc co L( Ω. L proprà ch orrmo pr l uzo L' soo vld, co pccol modch, ch pr l uzo L. l smolo L '(L sgc ch L' o L. L orm d L '(L è d com sgu ( d (3 L Ω S è u uzo complss: ( u( v(, llor ( d u ( v ( d L Ω Ω L lmo ullo è u qulss uzo θ θ ( pr l qul Ω θ ( d Pro L '(L du uzo g ch o soo dcm ugul Ω vgoo cosdr quvl s drscoo d θ (. 3

4 uo prs cò, o è dcl vrcr ch l (3 sodds l proprà crrsch d u orm: ; mplc θ ; L L α α pr og umro α ; L L S, g L '(L, llor g L'(L g L L g L,,, K L '(L llor S ( ( d (4 Ω l covrgz d d ll mrc d L '(L è quvl l dr zro dll grl scodo mmro dll (4. quso cso s dc ch covrg md su Ω. 3. Co L ' L ' ( Ω dchmo l sm dll uzo rl o complss d su Ω l ch: loro grl su Ω o l pù u umro o d sgolrà; so qudro grl, l sso ch Ω ( d < S Ω è lmo llor L' ( Ω s l suo grl ( d ss l sso d Rm o s h u umro o d sgolrà, llor l qudro dl suo modulo è grl sso mpropro. Lo spzo L ' (L è uo spzo ormo co Ω,,, K L' (L llor S L ( d Ω ( ( d Ω L 4

5 L succsso d uzo L ' (L covrg, Ω, l sso dll md qudrc s l grl scodo mmro d zro. Ossrvzo. S L' (L Ω è lmo rsul L ' ( Ω L '( Ω. s dmosr ch Ω ( d Ω ( d Ω dov Ω do l lughzz dll rvllo d grzo. Pr smpo s Ω [,] llor L'( Ω s α < ; L ' α ( Ω s α < α < α S α < llor α qud L ' ( Ω mr L'( α Ω. α S α > llor L ' (, mr L '(, solo s α α α > : L' 3 4 (, ; 3 4 L'(,. S dmosr ch L' ( Ω o è complo ( L ( Ω è complo. 5

6 Sr d Fourr Quso cpolo è ddco llo sudo dllo svluppo sr d Fourr, l'sposzo dll or srà cocs m suc pr l pplczo mol prolm dll sc mmc. L rgo pr cu l or d Fourr rlv llo svluppo sr d uzo rgoomrch è molo mpor ll prc è ch cr p d uzo dscou ch o possoo ssr svlupp sr d poz possoo ssr svlupp sr d Fourr. olr l sr è dvu uo srumo dspsl pr l ls d u vs clss d prolm (sc d ggrsc rlv om vror prodc. Sr d Fourr (L ESSENZALE Assgo u sgl ( d prodo, l sgl do l sgu modo ( < < ( <, ( > è do sgl s. S ossrv ch ( u u ( χ (-/, / U sgl prodco (, d prodo s può sprmr com somm d rsl dl sgl s : ( (. S è l prodo d (, soo prodc d ( ch mulpl r d :, 3,,,. l pù pccolo umro posvo pr cu ( ( è do prodo odml o lughzz d od. S dc l prodo odml, è d rquz odml ( msur prod ( ccl Hz è l rquz golr rd ( pulszo l sc.. sc ( 6

7 7 L sr d FOURER pr ( E DEFNA DALLA RELAZONE s cos ( l l dov. s ( ; cos ( ; ( d l l d l l d l l l l l l l S ll sprsso prcd s po l, rsul l Pro ( s cos ( d d s ( ; cos ( oppur d d s ( ; cos (

8 L orm complss dll sr d Fourr è d d ( c, c, c, ovvm c ( ( cos s d ( d S è, qud ( c, c, c ( d RASSUMENDO U grco sgl prodco (, rl complsso, è ugul ll somm d sgl spozl complss ( co ( c, ±, ±,... D COMPONEN ARMONCHE o ARMONCHE ELEMENAR DEL SEGNALE PERODCO ( l cu rquz soo mulpl r dll rquz odml : S ossrv ch l uzo cos s Soo prodch d prodo S sprmmo coc dll compo rmoch (rmoch lmr coord polr, s o c c c rc ± 8

9 9 S s h s d cu s s > < Qud ( ( c d cu cos( cos( ( R ( ( c Alogh cosdrzo soo vld pr l rmoch lmr s cos ( s h cos( s cos ( A dov s, cos, A d cu ± rc qud S s po cos, s

10 s o s (. ( s ossrv ch l poszo prcd rlv s cos soo suggr dl o ch. L rmoch lmr co l dczo splc dll rquz s ogoo sosudo co. È ul rpprsr u sgl complsso [ ( ] ( Ap com u vor ch ruo oro ll org l po complsso, co vlocà golr cos:. rd ϑ sc è d s zl, rpprs l golo ch l vor orm co l ss rl l mpo.

11 L sprsso ( ( d P ( d Soo rspvm d rg poz dl sgl ( clcol sul prodo. Nl cso d u rmoc lmr sprss orm complss s h c c d ( c d c d cu P c Nl cs d u rmoc lmr ( cos s s h ( cos s d ( P (.

12 Comcrmo l osro sudo co coc d s rlv ll dzo d lcu proprà dll uzo vlor rl.. Fuzo cou r Dmo l lm ssro d u uzo d u sol vrl ( com l lm o d ( s ss, pr ch d d ssr, d è doo d : ( ( lm ( h co h > (. h Alogm, l lm dsro è do com ( lm ( h co h > (. h (Quso è mosro Fg.. Nomo ch s ( è cou, llor ( ( ( Così, pr smpo, l uzo ( Fg. ( < < h l lm ssro ( h l lm dsro (. L mpzz dl slo (dscouà d prm spc ch ccd è: ( (

13 Fg. Fg. Fg. 3 U uzo d u sol vrl ( è d cou r (pcws couous u rvllo [, ] s ss u umro o d pu < <... < l ch l ( s 3

14 cou l rvllo < < lm ulrl ( ( ssoo pr og,,3, K,. U uzo cou r è mosr ll Fg. 3. L uzo com s ( o soo cou r ll'rvllo chuso [,] prché l lm ulrl ( o ss mo cs. S è cou r u rvllo [, ], llor è cssrm lm d grl su [, ]. È cl vrcr ch l prodoo d du uzo cou r è u uzo cou r sull rvllo comu. Dmo l drv ssr dll uzo ( com: ( ( h '( lm (.3 h h l drv dsr dll uzo ( com ( h ( '( lm (.4 h h dov h è u crmo posvo. È chro ch s h l drv '(, llor l drv ssr dsr ssoo ho l vlor '(. L'opposo o è vro. Pr smpo, l uzo ( cos possd l drv ssr dsr, cu vlor soo rspvm, ch s '( o ss. S è cou r u rvllo [, ] s pù, l drv prm ' è cou oguo dgl rvll < <, d lm '( '( ssoo, llor è d lsc r (pcws smooh; s, pù, l drv scod '' è cou oguo dgl rvll < <, d lm ''( ''( ssoo, llor è d molo lsc r.. Fuzo pr dspr U uzo ( è d pr (v s, pr og, ( ( (. 4

15 È d dspr (odd s, pr og, ( ( (. lr prol, u uzo pr h l grco smmrco rspo ll ss y, u uzo dspr h l grco smmrco rspo ll'org (Fg. 4. Fg. 4 Fuzo pr Fuzo dspr Pr smpo, cos soo uzo pr mr s soo uzo dspr. Comuqu, quluqu uzo può ssr scr com l somm d u uzo pr dspr: ( [ ( ( ] [ ( ( ] ( ( (.3 Dov doo rspvm uzo pr dspr. Pr smpo, l uzo o è pr dspr dl momo ch (, m può ssr scr com cosh sh U pplczo dov l proprà d smmr dll uzo pr dspr è mpor è qull rlv l clcolo dgl grl. S ( è u uzo grl su [, ] llor: ( d ( d qudo ( è pr (.4 5

16 ( d qudo ( è dspr (.5 Grcm, com mosro g. 5 l grl rpprs l r soo l curv così pr l uzo pr l r r è vol l r soo l curv ch v d d, mr l cso d uzo dspr l r gv soo l curv d s ull co l r soo l curv d d coscché l r r è. Fg Fuzo prodch U uzo cou r ( og rvllo [, ] è d prodc, s ss u umro posvo p l ch ( p ( (3. pr og. p è chmo prodo d, d l pù pccolo vlor d p è chmo prodo odml. 6

17 Fg. 6 S è prodc co prodo p, llor ( p ( pr quluqu umro ro. Qud, pr og ro ( p ( p p ( p ( 3 p ( p p ( p M ( p ( ( p p ( ( p ( ( p ( (3. S può clm dmosrr ch s,, K, ho l prodo p c soo dll cos, llor c c... c (3.3 h prodo p. No smp d uzo prodch soo l uzo so coso. Com cso prcolr: u uzo cos è u uzo prodc co prodo rrro p. Così, dll rlzo (3.3, l sr cos cos... s s... s covrg, vdm h prodo. Qus sr, ch rqum s coro prolm d sc mmc, sro sud succssvm. Quo sgu gurrà spsso sz ulror spgzo. S ( u uzo prodc d prodo p. S, pr l uzo, ss l grl (propro o mpropro 7

18 llor pr og umro rl p ( d Ovvm s h p p ( d ( d p p p p p ( d ( d ( d ( d ( p d p p p ( d ( d ( d p p ( d ( d p dov è u qulss umro rl. Usdo l mo: p p p ( d ( d ( d 4. Orogolà U succsso d uzo { ( } q( sull'rvllo [, ] s φ è d orogol rspo ll uzo pso φm( φ ( q( d m (4. S po m, mo φ ( φ q d (4. L qul è s chm orm dl ssm orogol { φ }. 8

19 U ssm oroorml φ, φ, K, φ dov può ssr o o o, ch sodds l rlzo s m φm( φ ( q( d S m, (4.3 s m è do oroorml [, ].(Dov l smolo S m,, è do Dl d Kror. È vd ch u ssm oroorml può ssr ouo d u ssm orogol dvddo og uzo pr l su orm [, ]. Esmpo 4.. L succsso d uzo, cos,s, K, cos,s, K orm u ssm orogol ll rvllo [, ] poché s ms d s m s m s m cos d m, (4.4 cosm cos d s m s m pr m d r posv. Pr ormlzzr quso ssm, domo dvdr gl lm dl ssm orogol orgl pr l su orm. Qud cos s cos s,,, K,,, K orm u ssm oroorml. U dll pù mpor proprà d u ssm orogol è ch oguo è lrm dpd. Ovvm l sss proprà è vld ch pr ssm oroorml. 5. Sr d Fourr No gà mo vso ch l uzo,cos,s,cos,s, K soo muum orogol ll'rvllo[, ] ch soo lrm dpd. 9

20 Formmo u sr ch ormlm rpprs l (. Qud scrvmo ( ( cos s (5. dov l smolo dc ch coc, dpdoo qulch mr d. L sr può ssr covrg oppur o. S ( u uzo d d grl scodo Rm sull'rvllo[, ]. Cosdrmo l somm przl -sm s (5. ( ( cos s propomoc d drmr coc, modo ch s ( rpprs l mglor pprossmzo dll ( su [, ] l sso dll md qudrc. A l scopo crchmo d mmzzr l grl (,, [ ( s( ] d (5.3 U codzo cssr ché, mmzzo l uzol è ch l drv przl prm d rspo qus coc s ullo. Così, sosudo l quzo (5. (5.3 drvdo rspo coc, omo: ( cos s d (5.4 ( ( cos s cos d (5.5 ( ( cos s s d (5.6 Usdo l rlzo d orogolà dll uzo rgoomrch (4.4 odo ch cos m d s m d (5.7 dov m soo umr r posv, l quzo (5.4, (5.5 (5.6 dvo

21 ( d (5.8 ( cos d (5.9 ( s d (5. Poché qus s dvoo ullr pr vr u vlor d srmo, s vc ch dv ssr ( d (5. ( cos d (5. ( s d (5.3 S ossrv ch è u cso prcolr d. Dll quzo (5.8, (5.9 (5. sgu ch (5.4 (5.5 D cu l drv ms dl scodo ord u l drv d ord supror s ullo. Cosdrmo l mrc Hss ssoc l uzol (,, : H ( (5.6 Essdo gl uovlor dll mrc H ( posv ( λ, λ λ3 s vc ch l mrc H ( è d posv, qud l uzol (,, ssum u vlor mmo qudo coc, vgoo d rspvm dll quzo Qus soo chm coc d Fourr d ( l sr (5. è d sr d Fourr d (. S ossrv ch l posslà d rpprsr u d uzo ( sr d Fourr o mplc ch l sr covrg (. L uzo, cos s, cos s, K

22 Ch guro l scodo mmro dll ormul (5. vrco l codzo (5.-(5.3 s dcoo rm dll sr d Fourr pr l uzo (rmoch d. L sm d coc d Fourr d u uzo s chm spro. Ossrvzo coc d Fourr (5., (5. (5.3 possoo ssr ou u modo dvrso. Suppomo ch l uzo ( d prodo s svluppl sr d Fourr (5.7 ( ( cos s S suppomo ch l sr s grl rm rm (pr ssr l d suppomo ch l covrgz dll sr s uorm, llor d d ( ( cos s d cu ( d (5.8 S molplchmo mo rm dll quzo (5.7 co cos grmo d omo, d d ( cos ( cos s cos ovvro ( cos d (5.9 u modo sml rovmo ch ( s d (5. coc, ch soo s rov soo prcsm gl sss ou prm.

23 Ossrvzo Numros procss vror sc dscpl cch soo dscr md uzo prodch, d prodo (odml ; llor è l mpo, y ( è l ord d u puo oscll. S è u polomo rgoomrco, s dc ch: l procsso vroro y ( s scd procss lmr, oss oscllzo rmoch: A ( ( cos s cos( dov A l soo d dll quzo s, cos l prmro v do pulszo s msur rd l scodo; l rquz s msur prod (ccl l scodo o Hrz (Hz. L rmoc A cos( h mpzz A, s zl rquz vol l rquz odml. 6. Covrgz md dll sr d Fourr. Complzz. S ( u uzo cou r prodc co prodo. E ovvo ch dov [ ] ( s( d (6. s ( ( cos s 3

24 Svluppdo l qudro s o [ ( s ( ] d [ ( ] d ( s( d [ s( ] - M, dll dzo d coc d Fourr (5., (5. (5.3 l rlzo d orogolà (4.4 rlv ll succsso rgoomrc dll smpo (4. s vc d ( s ( d ( ( cos s d ( (6. s ( d ( cos s d ( (6.3 d cosguz [ ( s( ] d ( d ( (6.4 Allor sgu ch ( ( (6.5 d pr u vlor d. Poché l mmro dsr dll quzo (6.5 è dpd d, omo ( ( (6.6 d o com dsuguglz d Prsvl. L sr ( rm posv ( (6.7 ssdo crsc lm suprorm, è covrg. L codzo cssr pr l covrgz dll sr (6.7 è ch lm lm (6.8 4

25 S dmosr ch l sr d Fourr covrg md qudrc (, coè lm ( ( cos s d (6.9 Pochè l sr d Fourr covrg md qudrc (, dll (6.4 sgu ch ( ( d (6. L uguglz prcd è o com dà d Prsvl. olr, s l rlzo (6.9 è vr, quo l sm dll uzo rgoomrch ' è do complo L (,. (vd ppdc,cos,s,cos,s, Sr d coso so S ( u uzo pr d ll'rvllo[, ]. Sccom cos è u uzo pr, s è u uzo dspr, l uzo ( cos è u uzo pr l uzo ( s è u uzo dspr. Così, uo coo dll quzo (.4 (.5 rovmo ch coc d Fourr dll ( soo: ( cos d ( cos d,,,... ( s d,,,... (7. Allor l sr d Fourr d u uzo pr può ssr scr com ( cos (7. dov coc soo d dll ormul (7.. mr sml, s ( è u uzo dspr, l uzo ( cos è u uzo dspr l uzo ( s è u uzo pr, pro, coc d Fourr d (, quso cso soo: 5

26 ( cos d,,, K ( s d ( s d,,, K - (7.3 Prcò, l sr d Fourr d u uzo dspr può ssr scr com ( s (7.4 dov coc soo d dll ormul ( Esmp Esmpo 8.. rovr lo svluppo sr d Fourr pr l uzo prodc mosr gur 7. ( Fg. 7 quso cso è ( d ( d 3 ( cos ( cos ( 4 d d 6

27 ( s ( s ( d d Qud lo svluppo sr d Fourr pr è 4 ( ( cos ( s 4 cos s cos s K 3 3 L prm du somm przl soo s 4cos s 3 s 4cos s cos s 3 Qus soo rpprs gur 8. Fg. 8 S vd ch prm rm orscoo gà u uo pprossmzo d ll rvllo. L pprossmzo mglor co l umro d rm prs pr u ss, m o pr ±. comporm dll pprossmzo pu d dscouà sro dscuss succssvm. Esmpo 8.. Cosdrmo l uzo prodc mosr gur 9. 7

28 s < < ( s < < Fg. 9 quso cso mo ( d d d ( cos d cos d cos d (cos ( ( s s s ( cos ( d d d Qud l sr d Fourr è ( ( cos ( s 4 8

29 Esmpo 8.3. Cosdrmo l uzo ( ll rvllo, gur. Fg. quso cso è ( d d ( cos d cos d co,,3, K ( s s (,,3, d d co K Allor ( ( s Esmpo 8.4. Clcolmo l sr d Fourr dll uzo, d od qudr, mosr gur. s < < ( s < < 9

30 Fg. quso cso è u uzo dspr così ch pr,,,3, K ( s d s d ( co,,3, Così [ 4 ( ] K. Qud l sr d Fourr dll uzo ( è 4 s( ( ( Esmpo 8.5 Svluppmo s sr d Fourr. Vso ch s è u uzo pr com mosro gur, pr,, K Fg. 3

31 ( cos d s cos d ( [ s( s( ] d pr,,3, K ( Pr, s cos d. Allor l sr d Fourr d ( è 4 cos ( ( 4 u prgro prcd mo do l uzo ( ll rvllo (, d ssuo ( prodc co prodo ll ro rvllo (,. prc, rqum cormo prolm cu u uzo è d solm ll rvllo (,. quso cso sdmo l uzo prodcm co prodo, com gur 3. Fg. 3 quso modo possmo rpprsr l uzo ( co lo svluppo sr d Fourr, s smo rss solm ll rvllo (,. S u uzo è d solo ll rvllo (,, possmo sdrl du mod. l prmo è l sso pr d, do d d (vd gur 4 ( s < < F ( ( s < < 3

32 Fg. 4 mr l scodo è l spso dspr d, do d d (vd gur 5 ( s < < Fo ( ( s < < Fg. 5 Vso ch F ( F ( soo rspvm uzo pr dspr co prodo, gl svlupp sr d Fourr d F ( F ( soo F dov ( ( cos ( cos d F ( ( s dov ( s d 3

33 9. Sr d Fourr complss È cov qulch vol rpprsr lo svluppo sr d Fourr d u uzo ( orm complss. Quso svluppo può ssr ddoo clm sosudo ll sr d Fourr ( ( cos s l ormul S o s cos ( c ( c c dov c ( d c [ ( (cos s ] d ( d c [ ( (cos s ] d ( d Qud lo svluppo sr d Fourr orm complss è dov ( c < < (9. c ( d (9. 33

34 È mpor or ch s è u uzo rl, llor c c ché so grl complss soo rcprocm coug: soo ch ss rl umr c c Vcvrs, l cougzo complss du du d c c mplc, smplcm, ch coc d Fourr dll uzo so rl, s cò h luogo pr u,, K l uzo dv ch ss rl. Evdm, l -sm somm dll sr d Fourr d s ( ( cos s può ssr scr ll orm S, pr u do vlor ss l lm s ( c lm c s dc ch l sr covrg l sso dl vlor prcpl. S, pr u do vlor d, ss l lm lm, m m c s dc ch l sr covrg ( quso cso dpdm dll lro. m crscoo dm l uo L uzo complss, ±, ±, K (9.3 ormo u ssm oroorml [, ] quo h s h s h d δ 34

35 Poché l uzo cos s (,,, K ormo u ssm complo C* qud L *, dll sss proprà god ch l ssm (, ±, ±, K quo s cos umr c d dll (9. soo coc d Fourr rlv ll uzo. vrù dll complzz dl ssm (9.3 L *, pr og uzo L * s vrc l uguglz d Prsvl: ( d c Esmpo 9.. Drmmo lo svluppo sr d Fourr pr ( orm complss co Amo ( < < ( ( ( c ( d d sh Pro l sr d Fourr rchs è ( ( ( sh ( Esmpo 9. Drmr lo svluppo sr d Fourr pr l od qudr orm complss. coc dll sr d Fourr orm complss (vd smpo 8.4 soo: c c ( [( ] Pro lo svluppo sr d Fourr orm spozl, pr l od qudr è: ( ( 35

36 . Cmo d rvllo Prcdm c smo rss ll uzo d ll rvllo [, ]. lcu pplczo comuqu quso rvllo è rsrvo, l rvllo d rss por ssr rrro, dcmo [, ]. S roducmo u uov vrl co l rsormzo ( ( (. llor l rvllo dv l uzo ( ( F( ovvm h prodo. Svluppdo qus uzo sr d Fourr, omo F (. ( ( cos s dov F( cos d,,3, K F( s d,,3, K Cmdo, rovmo lo svluppo pr ( [, ] ( ( ( cos s ( ( (.3 dov ( ( cos d ( (.4 ( ( s d ( (.5 pr og. 36

37 Qulch vol è cov prdr l rvllo l qul l uzo è d com [ l, l]. Sgu dl rsulo pp ouo ch podo l l, lo svluppo pr [ l, l], prd l orm dov ( cos s l l (.6 l ( cos d l l (.7 l l ( s d l l (.8 l pr og S è u uzo pr d prodo l, dll quzo.6 possmo clm drmr ch (.9 l ( cos dov l ( cos d l l (. pr og. S è u uzo dspr d prodo l, dll quzo.6 lo svluppo pr è ( s (. l dov l ( s d l l (. 37

38 Esmpo.. Cosdrmo l uzo prodc dspr com mosro gur 6. ( < < Fg. 6 Qu l. Vso ch è dspr,, l 4 ( s d s d ( pr,,3, l l K Qud, l sr d Fourr d è 4 ( ( s 38

39 Esmpo.. È d l uzo s < < ( s < < quso cso l prodo è l o l. Svluppmo com mosro gur 7. Fg. 7 Vso ch lo svluppo è pr, mo l ( d ( d l Qud l ( cos d [ ( cos ] d s l l ( ( cos( ( L uzo d (così com qull dll smpo 8.4 è d od qudr. 39

40 . Covrgz puul dll sr d Fourr Amo prcdm rmo ch s ( è cou r sull'rvllo [, ], llor ss uo svluppo sr d Fourr ch covrg md qudrc (. quso prgro sudrmo l covrgz puul. zmo cosdrdo ( ~ ( cos s dov ( cos d ( s d pr og. S s ( l somm przl -sm dll sr d Fourr dll (, s ( ( cos s Sosudo s(, omo s( ( d ( cos d cos ( s d s ( cos cos s s d ( cos ( d (. 4

41 Sommdo l'dà rgoomrc d, omo α s cos s α s α α 3α α s cos s s s s α s α K s α (. Po usdo l (. ll (. omo s( / ( s ( ( d s (.3 roducdo u uov vrl s mo s( / s s( ( s ds s s (.4 Or, s ( è cou r prodc co prodo, llor ch s ( è prodc co prodo. Così s( / s s ( ( s ds s s (.5 L (.5 è o com ormul d Drchl pr s. 4

42 l uclo s( / s s s (.6 è do uclo d Drchl, ch è prodco co prodo d olr s( / s ds cos ds s s (.7 LEMMA. (Rm-Lsgu Lmm. S g( è cou r sull'rvllo[, ], llor lm g( s λ d (.8 λ EOREMA. (orm d Covrgz Puul. S ( è lsc r prodc co prodo [, ], pr qulss ( cos s ( ( (.9 dov pr,,, ( cos d ( s d 4

43 APPENDCE S H u sm lr complsso α βψ H α, β C, ψ H, Pr prodoo sclr su H s d u pplczo ch d og copp d lm ppr d H corrspodr l umro complsso ψ, ψ, ch sodds l sgu proprà:, ψ, ψ ; α α ψ α, ψ α, ;, ψ 3, ψ,, ψ s solo s ϑ Co ϑ lmo ullo d H. Dll s vc ch α, ψ α, ψ, βψ β, ψ No è dcl dmosrr ch l pplczo su H così d, è u orm ( l orm d dl prodoo sclr. S dmosr ch, ψ, ψ, ψ ovvro, ψ ψ 43

44 Esmpo. dchmo co C[,] l sm lr dll uzo cou ( ( ( [, ]. No è dcl vrcr ch l pplczo d l sgu modo è u prodoo sclr su C[,]; olr (, y( ( y( d (, ( (, y ( ( ( d ( d ( y( d ( d. U sm (o o o d lm d H: è do orogol s pr h rsul,,...,,... H, h S gl lm d u sm orogol ho orm ur:,,,... s dc ch l sm è oroorml. S h l sgu dzo: Dzo. U sm (o o o d lm d H s dc oroorml s,,..., h δ h h h h δ è do Dl d Krocr. No è dcl vrcr ch: Og sm oroorml ( prcolr oroorml è lrm dpd. 44

45 Ovvm s u sm,, d lm d H è orogol (, co h, l sm h...,,... è oroorml. Esmpo. Gl sm {, cos, s,,,... }, cos, s,,... soo rspvm, orogol d oroorml C [, ]. Esmpo 3. L sm ψ, ±, ±,... è orogol C [, ]. rsul ψ, ψ h ( h d d cos ( h d d cu ψ, ψ h h h ovvm l sm co, ±, ±,... è oroorml. 45

46 Covmo ch: u sr d lm d H u... u u... covrg ll mrc d H, d u lmo H s, pr l -sm somm s u u... u,,... s vrc l rlzo lm s quso cso s dc ch è l somm d u sr covrg ll mrc d H s scrv u H. Dmosrmo l mpor lmm Lmm. S u,, H. Dmosrzo. L ssro è u cosguz dll dsuguglz sgu u,, u, u Dl lmm prcd s vc s α H, llor α,. s, H llor,,, H 46

47 prcolr, s s h,,, ovvro, ' Esmpo 4. L pplczo ch d og copp d lm ψ d ( Ω umro complsso Ω, ψ ( ψ ( d corrspodr l dov l grl è so l sso d Rm, grl mpropro ssolum covrg, è u ' L Ω. prodoo sclr su ( Dzo. S L ' L [, ] ( ( d Ω s dc ch ' covrg d md qudrc ( Ω L. 47

48 S H è u lmo qulss, l sr, è, pr dzo, l sr d Fourr d rspo l ssm oroorml,,... ; umr, soo d coc d Fourr. S l ssm è orogol llor l sr d Fourr d corrspod coc d Fourr s scrvoo rspvm l modo sgu,, Assgo u lmo H, pomoc l sgu prolm: r u umr possl α, α,..., α N, drmr qull pr qul l uzol s mmo. F ( α, α,..., α N N α Dmosrmo ch umr α, α,..., α N, pr qul l orm N α s mm, soo coc d Fourr d. lr prol s h N, α N 48

49 49 pr og N-pl d umr ( α N α α...,,,. s h N N N N N N N,,,,, α α α α α α α [ ] N,, α α α α s ossrv ch ssdo h, h è ,... N N N N N N α α α α α α α α α α Pro [ ] N N,,,,,, α α α α α ( ( [ ] N N,,,, α α α ( ( N N,,, α α N N N,,, α RASSUMENDO, rsul N N, α olr è, m N N α α s solo s α, coè s solo s l N (,..., α soo coc d Fourr d. D quo prcd, s vc ch, N d cu:

50 l sr compos d qudr d modul d coc d Fourr dll lmo covrg vrc l sgu dsuguglz H è o com dsuguglz d Prsvl pr (, (, H. Dzo. U ssm α, α,... d lm d H s dc complo H s pr H ε > s possoo rovr N umr α, α,..., α N l ch N α < ε Eucmo u mpor orm: orm. Achè u ssm oroorml d lm α, α,... s complo H è cssro suc ch s sodds u dll sgu codzo: L sr d Fourr d u lmo qulss Pr og lmo H s vrc l uguglz d Prsvl H covrg ll mrc d H;,,. S ossrv ch l mplc l, vd cosguz dl lmm. Complmo qus pr roducdo u dzo d ucdo u mpor orm rlvo d ss. Dzo. U ssm oroorml è chuso s, pr ψ H, s vrc ch ψ, (,,... ψ ϑ (lmo ullo d H. Esmpo. U ssm oroorml complo è chuso. s complo H llor, pr l orm prcd è H, s l ssm α,,... è α, d cu s rsul, pr,,... sgu ovvro ϑ. 5

51 orm. S H è uo spzo lr complo co prodoo sclr, oss è uo spzo d Hlr, llor dll chusur dl ssm oroorml α, α,... sgu l complzz. lr prol: uo spzo d Hlr u ssm oroorml è chuso s solo s è complo. 5

52 Proprà dll rsorm d Fourr.Lrà dll rsorm d Fourr. S ( G( uzo ( g( F soo l rsorm d Fourr dll rspvm, pr qulss cos α β, l uzo αf ( βg( è l rsorm d Fourr dll uzo α ( β g(. Qud l rsorm d Fourr è u opror lr. dcdo quso opror co, s scrv ( F( oppur [ ] F(. S F ( è l rsorm d Fourr d u d uzo ( l ss umrco, llor F ( è cou (-, ; ( F d zro pr : F ( è lm: Dmosrzo ( lm F ; ( M, < < F.. ssolum grl su uo L uzo ch ( è, ovvm, cou, prcò uo prs (vd ossrvzo ( d F( [,] u su og rvllo chuso [, ], s vc ch ( rl qud è cou pr og. Essdo pr pos F è cou su og rvllo chuso dll ss ( d < sgu ch sso rrrm ε >, possmo ssr A > l ch 5

53 53 ( ( 3 ε < d d A A qud (pr l dsuguglz rgolr è ( ( 3 ε d d A A. Pr complr l dmosrzo, dmosrmo ch rsul ( ε rspo dv m d A A 3 < vrù dll grlà d [ ] A A,, possmo ssr u suddvso [ ] A A d,, pr smpo { } ( < < < < A A K corrspodz dll qul l uzo ( ( ( { } M,,...,,,...,, ; sup sodds l dsuguglz ( [ ] 3 ( ε < d A A D lr pr ssdo ( A A M d M d s vc ch [ ] ε ε 3 3 ( ( ( ( < A A A A M d d s

54 > 6 ε M. l ch compor l dmosrzo dll. sgu clm d 3. S ( ( ( d M - < < F ( u uzo d drvl m vol su (-,: D m (,. S s suppo ch ( ( (, m so ssolum grl su (-, ch (,..., ( (,,..., m doo zro pr, llor ( [ ] ( [ ],, K, m Dmosrzo. Pr smplcà suppomo. grdo pr pr s o η η ' η ( d ( ( d η η η d cu pssdo l lm pr η uo prs ch η η lm ( η lm ( η η η, s vc ch [ ] ( [ ] '. D cu ( ( [ ] ( [ ]... ( [ ] Ossrvzo 3. vrù dll dll proprà, l rsorm d Fourr d ( d zro pr, pro dll proprà prcd, sgu ch ( F lm F( lm 54

55 ovvro F ( o(. Qud s ( ( d <,,, K, m lm ( (,,, K, m llor, pr qulch cos c >, s h F( c( - < <. d F( d cu qudo, sgu ch F h ( F( pr co h,, K,, h F ( ( pr. Pro, corrspodz d ε ss > l ch F ( ( < pr >. Poché pr l uzo ( ( F è lm, pr qulch M > rsul ( ( < M pr F. S c m(, M s h F ( ( < c < < ovvro 55

56 F ( c < < < ( m 4. Suppomo ch pr qulch ro posvo m l uzo ( ( s ssolum grl su (-, : Allor l rsorm d Fourr d ( ovvro m ( ( d < ( è drvl m vol rsul F F( ( d ( d ( d d d ( ( ( ( ovvro co,,,m F ( [ ( ] ( ( ( d ( (3 Ovvm l codzo ( è vrc s l uzo,,, soo ssolum grl. E vro ch l vcvrs. prcolr: S L (, N llor [ ] C ( R ( Dmosrzo. Dll dsuguglz ( ( ( (vr pr og dll ( sgu, pr l crro d Wrsrss, ch l grl dsr ll ( covrg uormm rspo d [,] (pr og rvllo chuso [ ],. vrù dl orm d drvzo soo l sgo, s vc l vrdcà dll ( ovvro dll (3. S ossrv ch dll (3 sgu ch ( [ ( ] [ ( ],, K, m 56

57 Nll ossrvzo 3 è so vdzo ch l uguglz mplc ( [ ] ( [ ] [ ] ( [ ]. Pro, pù l ord d drvlà d su L è grd, pù l dcrscz dll corrspod rsorm d Fourr è rpd. Dll proprà 4 s vc ch l proposzo dul è ugulm vr: pù l dcrscz d ll o è rpd, pù l corrspod rsorm d Fourr è lsc. D quo prcd s vc ch qudo s pss d u uzo ll corrspod rsorm d Fourr F ( scmo., l proprà d drvlà d dcrscz ll o dll uzo s 5. S ' '', soo ssolum grl (-, : ( ( d <,, s ', doo zro pr : lm ( (, llor, pr og uzo g ssolum grl (-, s h dov F ( [ ] G( [ g], g ( G ( d ( G( g. g ( d F( G ( d ( (4, doo rspvm l complsso cougo L uguglz (4 è o com quzo d Plchrl. prcolr s ( ( g s h 57

58 l (5 è o com dà d Prsvl. Dmosrzo. Pr og (, ( d F( d (5 mo ( F( d Molplcdo mo mmr dll uguglz prcd pr g ( grdo rspo r λ λ s o λ λ ( g ( d g ( λ λ F ( F( λ λ λ λ g ( d d g( d F( d d d (6 dov [ ] do l complsso cougo dll sprsso prs; l cmo dll ord d grzo è lco quo l grl F( d covrg pr l crro d Wrsrss, uormm ssolum rspo (,. vrù dll pos su ' '', (vd ossrvzo 3 rsul ( F ( c - < < d d. ( ( vrù dll dsuguglz 58

59 59 ( d g d g F ( ( ( λ λ l grl ll dsr dll (6 covrg, pr l crro d Wrsrss, uormm rspo (, λ, pro λ λ λ d F G d F d g d F d g ( ( ( ( ( ( lm pssdo l lm pr λ ll (6, s o l (4. 6. rslzo l mpo: S ( ( [ ] F llor ( [ ] ( [ ] o. Esmpo. S u umro rl ssgo, llor ( ( [ ] ( [ ] ( [ ] s u u S ( llor ( ( [ ] s s X d cu ( ( ( lm s 4 X X X S ( ( ( ( (

60 6 llor ( ( [ ] ( [ ] ( [ ] ( (. lm s s cos s X X d d X v S ( llor ( ( ( ( (. lm cos 4 s 4 s 4 cos 4 s 4 s X X d d d d X 7. rslzo rquz: S ( ( [ ] F llor [ ] ( ( F. Esmp [ ] ( s ( [ ] ( s (

61 ( s ( s s ( [ ] ( prcolr pr : ( s s ( [ ( s ]. S l rsorm d Fourr è ps com l rspos rquz dl sgl (, l proprà d rslzo c dcoo ch: u rslzo mp compor u molplczo pr u spozl complsso ll rquz: [ ( ] X (.. Dulm u rslzo rquz compor u molplczo pr u spozl complsso mp: [ X ( ] (. 8. Sclur: L oprzo d sclur coss l molplcr l vrl pr u umro rl. l sgl ( rsul dlo pr <, coro pr >. S rsul < l sgl olr ssr dlo è ch rlo l mpo. olr l corzo dll ss d mp corrspod u dlzo dll ss dll rquz vcvrs, quo prcolr è l cso cu è < s h [ ( ] X [ ( ] X (. τ [ ( ] ( d ( τ ( τ dτ X τ dτ 6

62 Nl cso cu > s h τ d τ [ ( ] ( τ X X Esmpo Ulzzrmo l proprà d sclur pr drmr l rsorm d Fourr dl sgl p σ ( σ > oo com sgl gusso. A l scopo rscrvmo l sgl l modo sgu σ ( ( p co σ D cu, uo prs ch [ ] pplcdo l proprà d sclur s o ( [ ] qud σ σ σ. 9. Dulà. Dl o ch l dzo d rsorm rsorm d Fourr drscoo pr u sgo ll spo soo l sgo d grl, s vc ch oppur scmdo co [ ( ] X ( [ X ( ] ( [ ( ] F( [ F( ] (. 6

63 s o ( F( d ( F( d d cu ovvro l ssro. ( F( d [ F( ] Esmpo. Essdo ( s sgu ch s Clcolr l rsorm d Fourr dl sgl Rcorddo ch qud dll proprà d dulà s vc ch s ( ( [ u( u( ] ( s ( X ( s s. ( [ ( ] [ ( ] ( ( u u.. 63

64 lr prol l rsorm d Fourr dl sgl ( ll rvllo d rquz ch v d. s è l mpulso rgolr uro. covoluzo Applchmo l orm d covoluzo ll uzo ( ( ( g(. vrù dl o ch l covoluzo d qus uzo vl * u ( u ( ( ( u g( u du ( u g( u du ( * g( l uguglz orsc ovvro ( ( d ( d ( d ( ( * g( d ( d g( d [ ( g( ] [ ( ] [ g( ]. lr prol: l rsorm d Fourr dll covoluzo d du uzo ( g( ( g( (dov soddso l pos dl orm d covoluzo è ugul l prodoo dll rspv rsorm d Fourr.. Prodoo. S F( [ ( ] G( [ g( ] llor [ ( g( ] F( G( ovvro [ ( g( ] F( u G( u du, pr l orm d covoluzo pr l proprà d dulà, rsul [ F( * G( ] [ F( ] [ G( ] ( g(. 64

65 D cu, pplcdo l proprà d dulà, s o d cu l ssro. Ossrvzo [ 4 ( ( ] g F( G( Qudo u sgl ( v molplco pr u lro sgl ( modul l mpzz dll lro. olr s llor, procddo com sopr, mo X ( [ ( ] Y( [ y( ] [ ( y( ] X ( Y ( X ( η Y ( η dη * y s dc ch uo d du sgl prol: L rsorm dl prodoo d du sgl è d dll covoluzo dll loro rsorm (s com rspos rquz. Qus proprà v spsso dc com proprà d modulzo dll rsorm d Fourr. S pomo ( ( y( z, podo Z( z ( d Z( X ( η Y ( η dη s o ( y( d X ( η Y ( η dη D cu, uo prs ch [ y *( ] Y ( * s o prcolr s ( y( s h ( y ( d X ( η Y ( η dη * * 65

66 ( d X ( d L rlzo prcd, ovvro l dà d Prsvl c dc ch: L rg dl sgl ( può ssr clcol grdo, drm, l rg pr uà d mpo o l rg pr uà d rquz. Pr quso movo X ( v do dsà sprl d rg dl sgl (. S l succsso { } d uzo ssolum grl ( ssolum grl (,, l sso ch ( ( d llor l succsso dll loro rsorm d Fourr F ( [ ( ]., covrg ll uzo covrg uormm su u l r rl ll rsorm d Fourr ( d ( F ( F( < <. u Dmosrzo. Sgu mmdm dll vd dsuguglz Alr smp 4. S > F ( F( ( ( d. F coè llor ( > < [ ( ], ssdo ( dspr è ( ( [ ( ] ( d, s h s d. 66

67 67 olr rsul ( < > s d d vrù dll dà d Prsvl s o ( 4 d. è ( d d qud ( ( d d F 4. S ossrv ch ( ( s F d 4 4 R Dov ( ( ( ( d d d d sf 4 lm lm R. 5. S ( >. Allor [ ]. [ ] cos d d. olr rsul cos d d

68 d cu cos d (, >. Sgu ch S ossrv ch d >. 3 4 ( d ( R s F ( 3 R s ( d lm d 3 ( 8 6. S ( < > llor [ ( ] F( ( d ( cos d ( s d s 4 cos s 4 ( s cos. 3 olr d sgu ch ( F( d ( s 4 s cos 3 cos d 4 4 cos cos d l dà d Prsvl orsc l rlzo sgu 8 ( ( cos s d 6 d 68

69 d cu ( cos s 6 d. 5 RASFORMAA D FOURER D SEGNAL DSCRE Qudo ll grsso d u ssm dscro s pplc l squz d spozl complss ( l rspos (l usc y dl ssm è d dll somm d covoluzo r l sgl d grsso l rspos ll mpulso h : y h u h ( d cu y y ( h prol: L rspos dl ssm è d dl prodoo dl sgl d grsso pr l umro complsso H ( h D cu: L usc è u spozl complsso co l sss rquz dll grsso m co s zl d mpzz A dr; è y ( A A Al vrr d r, l uzo complss H ( h ch crrzz l ssm l domo dll rquz prd l om d rsorm d Fourr dll squz h. 69

70 grl X ( prd l om d rsorm d Fourr dll squz (. L rsorm d Fourr d u sgl dscro è u uzo cou prodc d prodo. olr h l sss orm dllo svluppo sr d Fourr dl sgl couo X ( prodco d prodo. Pro cmpo dll squz o soo lro ch coc d Fourr d dll rlzo X ( d L rlzo prcd è d rsorm vrs d Fourr oppur rsorm d Fourr d u squz, ss sprm l squz uzo dll su rsorm. Proprà. Vlor ll org. L rsorm è ugul ll somm d cmpo dll squz: ( X l vlor dl cmpo, coè è do dl prodoo d pr l grl dll rsorm clcol su u prodo : X ( d. rslzo. [ ] X ( ( [ ] ( X 7

71 7 U rslzo mp compor u molplczo pr u spozl complsso ll rquz. U rslzo ll rquz compor u molplczo pr u spozl complsso mp. 3. Modulzo. L rsorm dl prodoo d du squz y z è d dll covoluzo, clcol su u solo prodo, dll rsorm ( ( Y X : ( ( ( d Y X Z, s h [ ] ( ( ( d y X y d X y y ( ( d Y X L sprsso ( ( ( d Y X Z è d covoluzo crcolr o prodc srà dc co l smolo : ( ( ( Y X Z. 4. Dsà sprl d rg. S ( [ ] X llor l rg dll squz s può clcolr s sommdo qudr d modul d cmpo dll squz s molplcdo pr l grl dl qudro dl modulo dll rsorm clcol su u solo prodo. lr prol susss l rlzo ( d X. Pr dmosrr cò, pomo y z. Allor

72 7 ( [ ] y z Z ( [ ] ( ( d Y X y Z d cu podo s o ( ( d Y X y. uo prs ch [ ] ( Y y * *, l rlzo prcd ssum l orm ( ( d Y X y * * d cu, s y sgu l ssro.