1 - Numeri complessi. 1.0 Breve cronologia dei simboli Definizione e proprietà dei numeri complessi

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Marcella Bossi
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1 - um complss - Dfo poptà d um complss - Rappstao gomtca d um complss - Espoal d u umo complsso - Cougao d u umo complsso - Radc -sm dll utà I matmatca l voluo o s fao dstuggdo mod pcdt ch matao smp la loo lgttmtà vtà s fao costudo d uov uvs ch o globao pcdt o s collocao accato a ss I uov ss o atao ma qull vcch u bll smpo d coabtao ta vcch oat Ds Gudj - Il Toma dl Pappagallo 0 Bv coologa d smbol Golamo Cadao (50-576) : toduc Raffal Bombll (56-573): toduc l gol: ( ) ( ) ( ) ( ) Ré Dscats ( ) : toduc l om um mmaga Lohad Eul ( ) : toduc l smbolo p Kal Fdch Gauss ( ) : toduc l om um complss - Dfo poptà d um complss U umo complsso é ua coppa odata d um al: { } Eguaglaa somma podotto d copp d um complss soo dft da: - guaglaa: s - somma: { } { } { } - podotto: { } { } { } Valgoo l sgut poptà: - commutatvtà: - assocatvtà: ( ) ( ) ( ) ( ) Il umo complsso { 0 0 } god dlla poptà ch { 0 0 } { } { } p og umo complsso è qud l lmto dttà dlla somma E dtto l umo complsso o d è dcato co 0 Il umo complsso { 0 } god dlla poptà ch { 0 } { } { } p og umo complsso è qud l lmto dttà dl podotto E dtto l umo complsso uo d dcato co Ptato um complss soddsfao a tutt gl assom a cu soddsfao um al Ess fomao u copo l copo d um complss - dstbutvtà: ( )

2 Il gatvo d - è l umo complsso { - - } dato ch { - - } { } { 0 0 } If og umo complsso dvso da 0 ha u cpoco { u v } sptto all utà tal ch: { u v } { } { 0 } Cò mplca: u v v u 0 qud: u Il cpoco d v dcato co v somma sottao podotto dvso Rplogo dll quatto opao ' - ' ' ' { ' ' } (-') { - ' - ' } { ' ' ' - ' } ' ' ' - ' ' ' ' ' ' Il sottosm d um complss dl tpo { 0 } dcs l sottosm d um REALI Ifatt sso è chuso sptto all opao d somma podotto olt gatvo cpoco soo dat dal gatvo cpoco dl umo al Ptato o s fa ssua dsto ta qusto sottosm d l copo d um al Iolt s possoo cosda I um complss com u stso d um al Il sottosm d um complss dl tpo { 0 } dcs l sottosm d um IMMAGIARI Esso è chuso sptto alla somma mt l podotto d du um mmaga è u umo al dato ch: { 0 } { 0 } { - 0 } Il umo mmagao { 0 } god dlla poptà ch l suo quadato è gual al umo al { - 0} tal umo v dtto utà mmagaa d dcato co l smbolo S scv: L dttà { } { 0 } { 0 } { 0 } suggsc la sgut foma p um complss: OSSERVAZIOE - Tal otao pmtt d ott la gola p l podotto usado l gol p l podotto d bom la poptà d : L compot d vgoo dtt spttvamt la PARTE REALE la PARTE IMMAGIARIA d d dcat co R() Im() ' ( ( ' )( ' ' ) ' ) ( ' ' ' ) ' ' '

3 - Rappstao gomtca d um complss I um complss possoo ss post cospoda co put dl pao dtfcado la pat al d co l ascssa dl puto cospodt P la pat mmagaa d co l odata d P Valgoo l lao (coodat pola): P Cò pota a df l modulo d : la fas d cos ϑ ϑ acta( ) s ϑ 3 - Espoal d u umo complsso Dall pcdt lao sgu ch: (cos ϑ s ϑ ) dov s é posto p dfo: Valgoo l sgut lao: d olt: ϑ cos ϑ s ϑ ( ) ( )' ( ) ( ) ( ϑ ϑ ') ' Dmostao dlla fomula d dvao: Dmostao dlla fomula d fattoao: ( ϑ ϑ') cos( ϑ ϑ') s( ϑ ϑ') (cosϑ cosϑ' s s') (s cosϑ' cosϑ s') (cosϑ s)(cosϑ' s') ' La fomula d fattoao gustfca l uso dlla otao spoal Valgoo l sgut fomul: ( )' s cosϑ ( s cosϑ) ' ' ( ϑ ϑ ') ' ' ' 0 L pcdt fomul dfscoo l spoal d u umo mmagao L spoal d u umo complsso abtao può ss dfto usado la fomula d fattoao l spsso dll spoal d u umo mmagao pcdtmt todotta: sgu ch: ' ' ' ( ') ( ') ' (cos ' s ( ') )

4 Itptao gomtca dl podotto d u umo complsso p l spoal d u umo mmagao pochè s ha: ' ϕ ϕ ( ϑ ϕ ) sgu ch l umo complsso ha lo stsso modulo d ma è uotato sptto a d u agolo ϕ φ 4 - Cougao d u umo complsso Il complsso cougato d è dfto da: * l pao * è l smmtco d sptto all ass dll ascss ( *) * Valgoo l lao: * * ( *) l caso dll spoal d u umo mmagao s ha ( )* cosϑ s da cu s ottgoo l fomul d Eulo: cosϑ ( ) s ( ) 5 - Radc -sm dll utà L adc -sm dll utà soo dft com l soluo dll quao l campo al qusta quao ha solo la soluo s è dspa l soluo - s è pa l campo complsso ha smp soluo S s po: ss soo dat da: 0 s ottgoo a pat da mdat succssv otao dll agolo /

5 Vfca: p og to postvo s ha: ) ( L adc -sm dll utà soo appstat da put quspaat sul ccho d aggo 6 5 Toma - La somma dll adc -sm dll utà è o: 0 0 Dmostao - Dall dttà: ) )( ( s ott: da cu podo: s ott l toma

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