Capitolo 11 Regressione con variabile dipendente binaria

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1 Capitolo Rgrssio co variabil dipdt biaria.. (a) La statistica t pr il cofficit di Expric è 0,03/0,009 3,44, sigificativa al livllo dll %. (b) z 0,72 0,030,022; (,022) 0,847 Matthw (c) z 0,72 0,03 0 0,72; (0,72) 0,762 Christophr (d) z Jd 0,72 0, ,92; (3,92) 0,999 ; è improbabil ch qusta prvisio sia prcisa, prché il campio o comprdva prso co più di 40 ai di spriza di guida..2. (a) La statistica t pr il cofficit di Expric è t 0,040/0,06 2,5, sigificativa al livllo dl 5%. ProbMatthw 0,8 (,059 0,040 0),459 ProbChristophr 0,742 (,059 0,040 0),059 (b)

2 2 Stock/Watso - Itroduzio all Ecoomtria - Trza Edizio L fuzioi di rgrssio hao forma simil ma la rgrssio logit si trova al di sotto dlla rgrssio probit quado l spriza è comprsa tra 0 60 ai..3. (a) La statistica t pr il cofficit di Expric è t 0,006/0,002 3, sigificativa al livllo dll %. (b) Prob Matthr 0,774 0, ,836 Prob Christophr 0,774 0, , (a) L probabilità soo simili tra quado l spriza è lvata (40 ai). A qusti livlli il modllo LPM produc risultati privi di sso (probabilità maggiori di,0). Gruppo Probit Logit LPM Uomii (,282 0,333) 0,829 0,829 0,829 (2,97 0,622) Do (,282) 0,900 0,900 0,900 (2,97) (b) Poiché si ha u solo rgrssor, poiché si tratta di u rgrssor biario (Mal), pr ciascu modllo l stim idicao la frazio di maschi di fmmi ch suprao l sam. I risultati soo quidi idtici pr tutti i modlli..5. (a) (0,806 0,04 0 0,74 0,05 0) 0,84

3 (b) (0,806 0,04 2 0,74 0 0,05 0 2) 0,83 (c) La statistica t sul trmi di itrazio è 0,05/0,09 0,79, ch o è sigificativo al livllo dl 0%.

4 4 Stock/Watso - Itroduzio all Ecoomtria - Trza Edizio.6. (a) Pr u richidt ro avt u P/I ratio di 0,35, la probabilità ch la domada vga rspita è ( 2,26 2,74 0,35 0,7) (0,59) 27,76%. (b) Co u P/I ratio ridotto a 0,30, la probabilità ch la domada vga rspita è ( 2,26 2,74 0,30 0,7) (0,73) 23,27%. Risptto a qulla dl puto (a), qusta probabilità è più bassa di 4,4 puti prctuali. (c) Pr u richidt biaco avt u P/I ratio di 0,35, la probabilità ch la domada vga rspita è (2,26 2,74 0,35) 9,7%. S il P/I ratio si riduc a 0,30, la probabilità ch la domada vga rspita è (2,26 2,74 0,30) 7,5%. La diffrza tra l du probabilità è di 2,2 puti prctuali. (d) Dai risultati di puti (a) (c) si può vdr ch l fftto margial dl P/I ratio sulla probabilità di vdrsi gar il mutuo dipd dal gruppo tico. Nlla forma fuzioal dlla rgrssio probit, l fftto margial dipd dal livllo di probabilità, ch a propria volta dipd dal gruppo tico dl richidt. Il cofficit di black è statisticamt sigificativo al livllo dll %..7. (a) Pr u richidt ro avt u P/I ratio di 0,35, la probabilità ch la domada vga rspita è F( 4,3 5,37 0,35,27) 27,28%. 0,9805 (b) Co u P/I ratio ridotto a 0,30, la probabilità ch la domada vga rspita è F( 4,3 5,37 0,30,27) 22,29%,249. Risptto a qulla dl puto (a) qusta probabilità è più bassa di 4,99 puti prctuali. (c) Pr u richidt biaco avt u P/I ratio di 0,35, la probabilità ch la domada vga rspita è F( 4,3 5,37 0,35) 9,53%. 2,2505 S il P/I ratio si riduc a 0,30, la probabilità ch la domada vga rspita è F( 4,3 5,37 0,30) 7,45%. 2,59 La diffrza tra l du probabilità è di 2,08 puti prctuali. (d) Dai risultati di puti (a) (c) si può vdr ch l fftto margial dl P/I ratio sulla probabilità di vdrsi gar il mutuo dipd dal gruppo tico. Nlla forma fuzioal dlla rgrssio logit, l fftto margial dipd dal livllo di probabilità, ch a propria volta dipd dal gruppo tico dl richidt. Il cofficit di black è statisticamt sigificativo al livllo dll %. I risultati logit probit soo simili..8. (a) Poiché Y i è ua variabil biaria, si ha E(Y i X i ) Pr(Y i X i ) 0 Pr(Y i 0 X i ) Pr(Y i X i ) 0 X i. Quidi (b) Utilizzado l Equazio (2.7), si ha Quidi E( u X ) E[ Y ( X ) X ] i i i 0 i i E( Y X ) ( X ) 0 i i 0 i var( Y X ) Pr( Y X )[ Pr( Y X )] i i i i i i ( X )[ ( X )]. 0 i 0 var( u X ) var[ Y ( X ) X ] i i i 0 i i i var( Y X ) ( X )[ ( X )]. i i 0 i 0 i i

5 (c) var(u i X i ) dipd dal valor di X i, quidi u i è troschdastica. (d) La probabilità ch Y i codizioatamt a X i è p i 0 X i. La distribuzio di probabilità codizioata pr la isima ossrvazio è Pr( Yi Xi ) pi ( pi ). Assumdo ch (X i, Y i ) siao i.i.d., i,,, la distribuzio di probabilità cogiuta di Y,, Y codizioatamt all X è Pr( Y y, K, Y y X, K, X ) Pr( Y y X ) i i i i i p i ( p ) i ( 0 Xi) [ ( 0 Xi)]. i La fuzio di vrosimigliaza è la soprastat distribuzio di probabilità cogiuta, cosidrata com ua fuzio di cofficiti igoti ( 0 )..9. (a) Il cofficit di black è 0,084; ciò idica ch la probabilità stimata ch la domada vga rspita è di 8,4 puti prctuali più alta pr il richidt ro. (b) L itrvallo di cofidza al 95% è 0,084,96 0,023 [3,89%, 2,9%]. (c) La risposta al puto (a) sarà distorta s vgoo omss variabili lgat all appartza tica avti qualch rilvaza risptto all accoglimto dlla richista di mutuo. Dovrbbro ssr variabili lgat al gruppo tico ach alla probabilità di isolvza sul mutuo (ch a sua volta codurrbb al rifiuto dlla richista di mutuo). Nlla rgrssio mostrata lla Tablla 9.2 soo iclus misur stadard dlla probabilità di isolvza, quidi è improbabil ch qust variabili omss distorcao la risposta dl puto (a). Ach altr variabili, com l istruzio, lo stato civil l occupazio potrbbro ssr lgat alla probabilità di isolvza o soo iclus lla rgrssio mostrata lla coloa. L aggiuta di qust variabili (vdr l colo (4) (6)) ha fftti modsti sull fftto stimato di black sulla probabilità ch il mutuo vga gato..0. (a) Sia (Y ), il umro di ossrvazioi i cui la variabil casual Y è ugual a ; sia 2 (Y 2). Allora (Y 3) 2. La distribuzio di probabilità cogiuta di Y,, Y è 2 2 Pr( Y y, K, Y y) Pr( Yi ) p q ( p q). i La fuzio di vrosimigliaza è la prcdt distribuzio di probabilità cogiuta cosidrata com ua fuzio di cofficiti igoti (p q). (b) I MLE di p q massimizzao la fuzio di vrosimigliaza. Si utilizzi la fuzio logaritmo dlla vrosimigliaza L l[pr( Y y, K, Y y )] l p l q ( )l( p q). 2 2 Utilizzado il calcolo matmatico, l drivat parziali di L soo L p p p q 2 L q q p q 2 2.

6 6 Stock/Watso - Itroduzio all Ecoomtria - Trza Edizio Uguagliado a zro qust du sprssioi risolvdo l quazioi risultati si ricavao i MLE di p q: 2 pˆ, qˆ... (a) Il modllo di rgrssio csurata o trocata (si oti ch la variabil dipdt potrbb valr zro). (b) Qusto è u modllo a risposta ordiata. (c) Qusto è u modllo a sclta discrta (o sclta multipla). (d) Qusto è u modllo co dati di cotggio.