Limiti di successioni - svolgimenti

Transcript

1 Limiti di succssioi - svolgimti Scrivrmo a b quado a b =. Calcoliamo qusto it, raccoglido il fattor al umrator al domiator. Si ha = ! 4 3!. Iazitutto, ricordiamo ch Ioltr, si ha utilizzado il it otvol 2! = 0. = 2 = 2, + a = a, a R. Quidi, il it richisto val Qusto it è dl tutto aalogo al prcdt. Procddo allo stsso modo, si otti = + 7! Applicado l proprità di logaritmi, si ha Ioltr + 5!! + 5 log + 5! log! + 5 = log + 5!! + 5.! = ! , pr +. Prciò, l sprssio al umrator si comporta com log 5 = 5 log. D altra part, cosπ = è ua quatità itata, quidi log2 6 + cosπ log2 6 = log log,

2 pr +. Si otti quidi log + 5! log! log log2 6 = + cosπ log log = Risolviamo qusto it, co u procdimto più rapido dl prcdt, supportato, prò, dall stss cosidrazioi. Scriviamolo i ua forma più smplic, iado l costati l quatità ch o hao alcua ifluza sul comportamto dlla succssio all ifiito. Si ha log + 6! log! + 7 log + 6! log! log6 8 + si π 2 = log 8 6 log = 8 log = Sparado i du trmii al umrator, si ha 3 3 log = 3 3 log. Si ha subito Ioltr, 3 log 3 = 0. = = 3 log 3 log log = +, dato ch 3 >. Quidi, il it richisto val. 6 Calcoliamo qusto it, sparado i du trmii al umrator. Si otti! + 2!! = + 2!. Si ha subito! = 0 2! = +. 2

3 Giustifichiamo l ultimo it ossrvado ch 2! = ! >!, dato ch ciascuo di primi trmii è maggior di. Quidi il it richisto val +. 7 Il it proposto val 0. Pr calcolarlo, ossrviamo ch Si ha subito + 2 = = 0, dato ch 2 =. Ioltr, dalla disuguagliaza 2, si dduc da cui sgu = 0. 2, 8 Ragioado com ll srcizio 5, si ha = 4log 4 log + 4 log. Ioltr dato ch 4 <. Dalla disuguagliaza log = 4log = 0, 4 si otti Quidi, il it richisto val log < 3 3, log = 0. 3

4 9 Ossrviamo ch valgoo l sguti uguagliaz si π = si + π + 2π 2π = si, dato ch + π è multiplo pari di π, qualuqu sia. Si ha, quidi 2 si π π = si si 2π = 2π = 2π. Nll ultimo passaggio, abbiamo usato la proprità si 2π 2π 2π, pr +. 0 Procdiamo com ll srcizio prcdt, ossrvado ch 2 3 si π = si π 3π 3π = si, poichè è pari, qualuqu sia. Si otti, quidi 2 si 3 3π π = si si 3π = 3π = 3π. 3π Il it si prsta lla forma idtrmiata 0. Raccogliamo l primo fattor il trmi ch td all ifiito più vlocmt. Si ha 2 2 +!si4 arcta! =! +! si4 arcta! =! si4 arcta!, 2 ricordado ch! = 0. Pr il calcolo dll ultimo it, possiamo procdr i divrsi modi. Utilizzrmo, dapprima, ua rlazio ota dalla trigoomtria, ll srcizio succssivo, pr il calcolo di u it aalogo, utilizzrmo u mtodo altrativo di carattr più gral. Ricordiamo, quidi, la sgut rlazio arctax + arcta = π x > 0, x 2 4

5 dalla qual si otti π si4 arcta! = si 4 2 arcta! = si 2π 4 arcta! = si 4 arcta.! Ora, ricordado ch arctax x si x x, pr x 0, si ha 4 si 4 arcta si 4!!!, pr +. Quidi il it richisto val 4. 2 Procddo com ll srcizio prcdt, si ha 3!cosπ + arcta! =! cosπ + arcta! =! cosarcta! = =! si =. π! cos 2 arcta! arcta! Com aticipato ll srcizio, calcoliamo! cosarcta! co u mtodo altrativo al prcdt, di carattr più gral. Dtrmiiamo il it dlla succssio! cosarcta!, dtrmiado il it dlla fuzio corrispodt fx = x cosarcta x pr x +. Calcoliamo, quidi, il xcosarctax, utilizzado la rgola di D L Hopital. Si x + ha cosarcta x xcosarctax = x + x + x Quidi, ach = x + siarctax +x 2 x 2 = x + siarctax x 2 + x 2 = si π 2 =. m cosarctam =! cosarcta! =, m + 5

6 avdo usato la smplic sostituzio! = m. 3 Si ha π π 2!si 2 + arcta! =! si 2 + arcta! =! cosarcta! =, ricordado il risultato ottuto ll srcizio prcdt. 4 Calcoliamo qusto it ffttuado u raccogto al umrator al domiator. Si ha + Ricordado ch ch si otti = +!! = 0, + + =, +! si π = + 3 +! si π si π = π + 3 π = π + 3. Nll ultimo passaggio, abbiamo usato la proprità si π π, pr +. 5 Qusto srcizio è simil al prcdt. Lo risolvrmo utilizzado lo stsso mtodo ! + + 2! + 2 = Ossrvado ch 0 <!! +, 6

7 di uovo, si ha Ioltr, Quidi, si ha! = 0. + = = ! + 2 ta 2π = + 2 = 2π + 2 = 2π + 2. ta 2π ta 2π 2π Nll ultimo passaggio, abbiamo usato la proprità ta 2π 2π, pr +. 6 Ricordiamo iazitutto ch +! = +! lavoriamo sul fattor Ossrviamo ch Prciò, Ioltr, Quidi, +si! + si + +! +! + +! + 2 =!. + 2! + + si si =. + 2! = 0..! + si + +!! + 2 si 2π = 2 + si 2π = 2 + 2π = 4π. Di uovo, abbiamo usato la proprità si 2π 2π, pr +. 7 Ach i qusto srcizio, icomiciamo a smplificar, ossrvado ch 7

8 +log = log =. Si ha Ioltr quidi +log + si! + si! = si!, si! = 0. 2 Ioltr, + = 0, dato ch 2 << +, pr abbastaza grad. Quidi, si otti +log + si! ta 2π = = ta 2π 2π = 2π. Ach qui, com ll srcizio 5, abbiamo usato la proprità ta 2π 2π, pr +. 8 Qusto srcizio si risolv i modo aalogo al prcdt. Com prima, +log + cos! + log + cos! =. + log cos! = 0 log = 0, dato ch log <<, pr abbastaza grad. Quidi, si otti +log + cos! ta π + log 2 = ta π 2 = π 2 = π 2. 8

9 9 Calcoliamo qusto it ffttuado u raccogto al umrator al domiator. Si ha 2! +2 +! 2! + 3 = 2! 3 + 2! + 3 2! Valutiamo ora la quatità quidi il it richisto val. = ! = ! 3. Co la smplic sostituzio 2 = m, si ha 2! 3 2! = ! = 9 3 m m + m! = 0, 20 Risolviamo qusto srcizio, raccoglido com l prcdt + 2! 2 2! +2! + 2! log = 2! ! + log =. 2 + log Ossrvado ch log <<, pr abbastaza grad, si ha log = 0 + 2! 2 2! =! + 2! log 2 = 2. 2 Di uovo, raccogliamo al umrator al domiator. Si otti 3! +! 4 2 4! = 3! ! log 2! log 4! = ! log = ! log 9

10 Pr calcolar! log, ossrviamo ch! log = log log dato ch ciascuo di primi fattori è mior o ugual a. log Poichè = 0, si ha,! log = 0 3! +! ! =! log 2 3 =. 22 Il domiator si prsta lla forma idtrmiata dl tipo 0. Lo approssimiamo co l sprssio 3 log, dato ch, pr + 2 log 3 + log 3 = 3 log si 2 2. Al umrator, ffttuiamo u raccogto. Calcoliamo ora! 2 + 2! 2 =! ! 2. Si prsta lla forma idtrmiata dl tipo 0. I forma spozial, si ha Ioltr Quidi, ricordado ch! 2 = 2 log!. log! 2 log 2 = log 2 = log. log log! = 0, si ha 2 = 0! 2 = 2 log! = 0 =. Rima da valutar l sprssio = log Ossrviamo ch l argomto dll spozial td a zro, pr +. 0

11 Podo log = t, si ha t 0 + t t. Quidi log+2+ log log2 2 = 2 log 2. Ifi, rcuprado i risultati di passaggi prcdti, si otti! 2 + 2! 2! log 3 + si = 2 = = log 2 3log log 2 23 Com ll srcizio prcdt, approssimiamo il domiator co l sprssio 2 log 3, dato ch log 4 + log 4 = 4 log ta , pr +. Al umrator, ffttuiamo il raccogto +! 3! 3 =! Calcoliamo ora I forma spozial, si ha! 3. Ioltr! 3 = 3 log!. log! 3 < log! 2 2. Ricordado il risultato dll srcizio prcdt, si ha quidi log! 3 = 0! 3 =. Risolviamo la rstat part dl it co u procdimto sostazialmt quivalt a qullo usato ll srcizio prcdt. Dopo avr itrodotto la forma spozial di + 3, moltiplichiamo umrator domiator pr log + 3.

12 Si ha + 3 = 2log 3 log+ 3 log+ 3 log+ 3. 2log 3 t Il primo it è ugual a, ssdo lla forma otvol dl tipo, co t 0+ t log + t =. Il scodo è ugual a, dato ch log+ log 2 = 2 log, 3 pr +. Quidi, +! 3! 3 log 4 + ta = Utilizziamo al umrator la fuzio spozial raccogliamo al domiator, ottdo! 2 xp 3 log7!!. 6 log!! 2 + 2! 2 Aalogamt a quato fatto gli srcizi 22 23, valutiamo l sprssio 3 log7! xp. Si ha! pr +. Ioltr 3 log7! xp 3 log7!!! 3log 7 + log! =! 3 log!,! 2 = 0,! 2 dato ch 2 <<! 2, pr abbastaza grad. Quidi, dai risultati prcdti, si dduc! 2 xp 3 log7!! = 6 log!! 2 + 2! 2 3! 2 log! = 6! 2 log! = 2.! 2 3log!! 6 log!! 2 = 2

13 25 Qusto srcizio è dl tutto simil all srcizio 24. Sfruttiamo quidi i risultati ottuti i prcdza. Pr l cosidrazioi fatt ll srcizio 24, 3 è trascurabil risptto a! 3 Quidi, 8! 2! 2 log!, pr +.! log! 2! =! 8! 3 2! 2 log!! 3 =. 2! 3 log!! 26 Qusto it è simil a qulli proposti gli srcizi I particolar, la quatità 7! 3!! è già stata valutata ll srcizio 24. Si ha +! 7! 2 3! 2 log! 6! = 3 +! 2 log!! 6 2 log!! 2 = 2 +! 2 2! 2 = +! 2! = 2 = = Pr il calcolo di qusto it, utilizziamo i risultati ottuti i du srcizi prcdti. Si ha 3 log! 2! = +! 8! 3 2! log!! 3! = +! = + = 2 +! 3 log!! = 3.

14 28 Calcoliamo qusto it ffttuado u raccogto al umrator. Si ha!!! 0 =!!! 0! Valutiamo ora l sprssio. Co la smplic sostituzio = m, si ha! = =! 0! = 0. m! m + m < m! m m m. Dato ch m + m! = 0, si ha mm Prciò! = 0.!! =! 0 = Effttuado la sostituzio m = 0 0, si ha = 0m = + 0m+9 m + m = m +. + m 0m + m 9 = Riprcorrdo i passaggi svolti ll srcizio prcdt, si trova ch il it richisto val 2. 4

15 30 Pr il calcolo di qusto it, ffttuiamo u raccogto al umrator al domiator. Si ha Si ha subito Valutiamo ora il trmi + 2! + 2! = ! = ! = < = ! 2 2 = !, dcompodolo l prodotto di + 2 fattori , dato ch pr i primi fattori valgoo l disuguagliaz < 5 2 < < + 2 < + 2 < Quidi + 2! 2 = ! = = = 2 = Riprcorrdo i passaggi svolti ll srcizio prcdt, si trova ch il it richisto val 3. 5