Lezione 3. Omomorfismi di gruppi

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1 Lzio 3 Prrquisiti: Applicazioi tra isimi. Rlazioi di quivalza. Lzio. Omomorismi di gruppi I qusta lzio itroduciamo uo strumto util a corotar l struttur di gruppi distiti. Diizio 3. Siao (, (, gruppi. U'applicazio : si dic u omomorismo (di gruppi) s, pr ogi x, y, ( x y) = ( x) ( y). ( S (, = (,, si dic domorismo. U omomorismo bigttivo si dic isomorismo. U domorismo bigttivo si dic automorismo. Nota S (, + (, + soo gruppi additivi, la codizio ( si scriv lla orma: ( x + y) = ( x) + ( y). S (, (, soo gruppi moltiplicativi, ( x y) = ( x) ( y). S (, + è u gruppo additivo (, è u gruppo moltiplicativo, ( x + y) = ( x) ( y). S (, è u gruppo moltiplicativo (, + è u gruppo additivo, ( x y) = ( x) + ( y). Esmpio 3. Sia (, ) u gruppo. S H è u sottogruppo di, l'applicazio di iclusio isimistica i : H è u omomorismo di gruppi. Iatti, pr ogi x, y H, stat la Diizio.4 di oprazio ristrtta, I particolar, l'applicazio idtica i( x y) = i( x y) = x y = i( x) i( y). H id di è u automorismo dl gruppo.

2 (b) Siao (, (, gruppi, sia l'lmto utro di. Allora l'applicazio costat : diita da ( x) = pr ogi x è u omomorismo di gruppi. Iatti, pr ogi x, y, ( x y) = = = ( x) ( y). Qusto omomorismo si dic omomorismo baal. L'omomorismo è duqu u'applicazio tra gruppi ch risptta l oprazioi, d, i u crto sso, trasorma l'oprazio dl gruppo di partza ll'oprazio dl gruppo di arrivo. La prossima proposizio mostra ch quato dtto pr l oprazioi di gruppi, si std agli lmti utri d ai simmtrici. Ioltr l applicazioi immagi dirtta d immagi ivrsa cosrvao i sottogruppi. Proposizio 3.3 (Proprità di cosrvazio dgli omomorismi di gruppi) Siao (, (, gruppi sia : u omomorismo di gruppi. Allora valgoo l sguti proprità. S è l'lmto utro di, ( è l'lmto utro di. (b) Pr ogi x, il simmtrico di ( x ) è ( x ) (ossia ( x) = ( x) ). (c) S H è u sottogruppo di, allora ( H è u sottogruppo di. (d) S H è u sottogruppo di, allora ( H è u sottogruppo di. Dimostrazio: Si ha ( ) = ( ) = ( )* ( ), pr cui ( è u lmto idmpott di. I bas all'esrcizio.0, sgu ch ( è l'lmto utro di. (b) Sia x. Allora, dtto l'lmto utro di, si ha, i bas a quato già dimostrato: = ( ) = ( x x) = ( x) ( x), = ( ) = ( x x) = ( x) ( x). Sgu ch ( x ) è il simmtrico di ( x ). (c) Sia H u sottogruppo di. Allora, i bas alla Proposizio.,, H prtato, alla luc di quato già dimostrato al puto, = ( ) ( H. I particolar ( H. Siao ora x, y H. Allora, i virtù dlla carattrizzazio di sottogruppi, x y H, quidi ( x) ( y) = ( x) ( y) = ( x y) ( H ), ov la prima uguagliaza sgu da quato già dimostrato al puto (b). Ciò prova ch ( H è u sottogruppo di. (d) Sia H u sottogruppo di. Allora, i bas alla Proposizio., H, prtato, alla luc di quato già dimostrato al puto, ( ) = H, ossia ( H. I particolar ( H. Siao ora x, y ( H. Allora ( x), ( y) H. I virtù dlla carattrizzazio di sottogruppi si ha

3 ( x y) = ( x) ( y) = ( x) ( y) H, ov la scoda uguagliaza sgu da quato già dimostrato al puto (b). x y ( H ). Ciò prova ch ( H ) è u sottogruppo di. Prtato Nota S (, + (, + soo gruppi additivi, l proprità (b) dlla Proposizio 3.3 si scrivoo lla orma: (0 ) = 0. (b) pr ogi x, ( x) = ( x). S (, (, soo gruppi moltiplicativi, ( ) =. x (b) pr ogi, ( x) = ( x ). S (, + è u gruppo additivo (, è u gruppo moltiplicativo, (0 ) =. x (b) pr ogi, ( x) = ( x). S (, è u gruppo moltiplicativo (, + è u gruppo additivo, ( ) = 0. x x x (b) pr ogi, ( ) = ( ). Diizio 3.4 Siao (, (, gruppi sia : u omomorismo di gruppi. Allora si dic uclo di l'isim ov è l'lmto utro di. Si dic immagi di l'isim ({ } ) { } Kr = = x ( x) =, ( ) { } Im = = ( x) x. Corollario 3.5 Siao (, (, gruppi sia : u omomorismo di gruppi. Allora Kr è u sottogruppo di d Im è u sottogruppo di. Dimostrazio: I bas all'esmpio.7, { } è u sottogruppo di. Quidi la prima part dlla tsi sgu dalla Proposizio 3.3 (d). La scoda part sgu dalla Proposizio 3.3 (c).

4 Diizio 3.6 Si dic moomorismo u omomorismo iittivo. Si dic pimorismo u omomorismo surittivo. Ossrvazio 3.7 Dall Diizioi sgu ch u omomorismo è u isomorismo s solo s è u moomorismo d u pimorismo. Proposizio 3.8 (Carattrizzazio di moomorismi d pimorismi di gruppi) Siao (, (, gruppi sia : u omomorismo di gruppi. Allora è u moomorismo s solo s il uclo di è il sottogruppo baal di ; (b) è u pimorismo s solo s l'immagi di è il sottogruppo total di. Dimostrazio: Sia l'lmto utro di. Allora, i bas alla Proposizio 3.3, { } Kr. Suppoiamo ch sia u moomorismo. S x Kr, allora ( x) = = ( ), ov è l'lmto utro di. Dall'iittività di sgu ch x. = Ciò prova ch { } quidi val l'uguagliaza. Vicvrsa, suppoiamo ch Kr { }. x, y ( x) = ( y). Allora, i bas alla Proposizio 3.3 (b), Kr, = Siao tali ch = ( x) ( y) = ( x) ( y) = ( x y). Duqu x y Kr. Ciò, pr ipotsi, implica ch x y, = ossia ch il simmtrico di y è x. Ma, i bas alla Proposizio.8, y = y. Duqu x = y. Ciò prova ch è u moomorismo. (b) La tsi sgu immdiatamt dall Diizioi , oltr ch dal Corollario 3.5. Esmpio 3.9 Sia N, sia : Z Z l'applicazio diita da a a pr ogi a Z. Allora è u domorismo di ( Z, + ). Iatti, pr ogi a, b Z, ( a + b) = ( a + b) = a + b = ( a) + ( b). Si ossrvi ch 0 è l'omomorismo baal, l'automorismo idtico. Sia ora. Allora, pr ogi a Z, si ha ch a Kr 0 ( a) a a 0. Kr = 0. Ioltr { } = = = Duqu si ha ch { } Im = a a Z = H, ch è il sottogruppo di Z icotrato ll'esrcizio.7. Si ha H 0 = { 0 }, H =Z, mtr - 0 H Z pr ogi. Abbiamo così ch o è é u moomorismo, é u pimorismo; - è u isomorismo; - pr ogi, è u moomorismo, ma o u pimorismo. Vdiamo ora il comportamto dgli omomorismi di gruppi risptto alla composizio all'ivrsio. Proposizio 3.0 (Composizio di omomorismi di gruppi) Siao (,, (, ( 3, 3) gruppi, siao : g : 3 omomorismi di gruppi. Allora g : 3 è u omomorismo di gruppi.

5 Dimostrazio: Siao x, y. Allora g ( x y) = g( ( x y)) = g( ( x) ( y)) = g( ( x)) g( ( y)) = g ( x) g ( y). 3 3 Ciò prova ch g è u omomorismo di gruppi. Proposizio 3. (Isomorismi ivrsi) L'applicazio ivrsa di u isomorismo di gruppi è u isomorismo di gruppi. Dimostrazio: Siao (, (, gruppi sia : u isomorismo di gruppi. Sia : la sua applicazio ivrsa. Poiché ssa è bigttiva, rsta da provar ch ssa è u omomorismo. Siao u, v, siao = ( ), = ( ). Allora, ssdo u omomorismo, x u y v ( x y) = ( x) ( y) = ( ( u)) ( ( v)) = u v. Sgu ch Ciò prova ch ( u v) = x y = ( u) ( v). è u omomorismo, duqu u isomorismo. Diizio 3. Si dic ch il gruppo (, è isomoro al gruppo (, s sist u isomorismo di gruppi :. I tal caso si scriv. Scrivrmo ach, quado vorrmo spciicar l'isomorismo. La prcdt diizio itroduc, lla class di gruppi, ua rlazio biaria, dtta di isomorismo. Qusta, i raltà, è ua rlazio di quivalza. Proposizio 3.3 (Rlazio di isomorismo) La rlazio di isomorismo pr i gruppi è rilssiva, simmtrica trasitiva. Dimostrazio: Pr ogi gruppo si ha id, quidi. Ciò prova ch è rilssiva. Siao ora, gruppi tali ch. Allora, i bas alla Proposizio 3.,., quidi Ciò prova ch è simmtrica. Ii, siao,, 3 gruppi tali ch, g Allora, i bas alla Proposizio 3.0,. 3 Ciò prova ch è trasitiva. 3. Nota La Proposizio 3.3 ci cost di dir, quado, ch soo gruppi isomori, sza prcisar alcu ordi tra i du gruppi, ossia sza spciicar la dirzio dll'isomorismo sistt tra loro. g Esmpio 3.4 I gruppi H, co, dll'esmpio 3.9 soo a du a du isomori. Iatti, pr ogi, l'applicazio ': H = Z H diita da a a pr ogi a Z è u isomorismo.

6 Quidi, pr ogi, m, l'applicazio a Z, è u isomorismo. H H, diita da a ma pr ogi ' m ( ' ) : m Esmpio 3.5 I gruppi baali soo a du a du isomori. Iatti l'uica applicazio sistt tra du gruppi di cardialità è ovviamt u omomorismo, quidi u isomorismo. (b) I gruppi di cardialità soo a du a du isomori. Abbiamo visto lla Lzio ch, s X = x, y è u isim co du lmti, allora sist (a mo di ridomiar gli lmti) { } u'uica oprazio ch lo rda u gruppo, prcisamt qulla data dalla tavola di composizio x y x y x y x y ov abbiamo supposto ch y sia l'lmto utro. Dato u altro gruppo di cardialità, costituito U = u, v dotato dll'oprazio, la sua tavola di composizio sarà, prtato, dall'isim { } u v u v u v u v suppodo ch v sia l'lmto utro. L'applicazio : X U diita da ( x) = u, ( y) = v, è allora vidtmt u omomorismo di gruppi: risptta l oprazioi prché trasorma la tavola di composizio dl primo gruppo lla tavola di composizio dl scodo gruppo. Essdo bigttiva, è u isomorismo. Aalogamt si coclud ch ach i gruppi di cardialità 3 soo a du a du isomori. I gral, du gruppi isomori soo gruppi ch hao la stssa struttura su isimi quipotti. Nl caso di isimi iiti, ciò avvi s solo s l tavol di composizio di du gruppi coicidoo a mo di sostituir lmti uguali (dl primo gruppo) co lmti uguali (dl scodo gruppo). S, duqu, la rlazio di isomorismo quival ad u idtità di struttura, l oprazioi di du gruppi isomori dvoo godr dll stss proprità. Proposizio 3.6 (Commutatività isomorismo di gruppi) Siao (, (, gruppi isomori. Allora è abliao s solo s è abliao. Dimostrazio: Sia : u isomorismo di gruppi. Suppoiamo ch sia abliao. Siao u, v. Siao x = ( u) y = ( v). Allora u v = ( x) ( y) = ( x y) = ( y x) = ( y) ( x) = v u, ov la scoda la quarta uguagliaza sguoo dalla diizio di omomorismo, la trza dalla commutatività di. Ciò prova ch è abliao. Ivrtdo i ruoli di (ossia sostitudo, l ragioamto, co ), si prova l'implicazio opposta.

7 Esrcizio 3.7* Dir quali dll sguti applicazioi soo omomorismi, moomorismi, pimorismi, isomorismi di gruppi. Dtrmiar, quado possibil, uclo immagi. (b) (c) : : : * * Q Q diita da * Z Q diita da * * R R diita da x x pr ogi x Q. a a pr ogi a Z. x x pr ogi R. * * 3 (d) : R R diita da x x pr ogi x R. () : R R diita da x x + pr ogi x R. () : R = {,} x Z diita da a s a è pari, a s a è dispari, pr ogi a Z.