Rappresentazione algebrica dei numeri complessi.

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1 Rapprstazio algbrica di umri complssi. I umri complssi soo u'stsio di umri rali ata iizialmt pr costir di trovar tutt l soluzioi dll quazioi poliomiali. Ad smpio, l'quazio x - 1 o ha soluzioi rali, prché i qusto isim o sistoo umri il cui quadrato sia gativo. Si dfiisc allora il valor j 1, chiamato ach uità immagiaria, il qual god dlla sgut proprità: j - 1 I umri complssi soo formati da du parti, ua part ral d ua part immagiaria, soo rapprstati dalla sgut sprssio: za + jb co a,bœñ dov: ar{z} si chiama part ral di z bim{z} si chiama part immagiaria di z U umro complsso z é quidi rapprstabil mdiat ua coppia ordiata di umri rali: z { a, b } L isim di complssi si dota Â. Il sottoisim di complssi a part immagiaria ulla si idtifica co l isim di umri rali Ñ. I complssi a part ral ulla si dicoo umri immagiari o umri immagiari puri. Nl campo complsso  soo dfiit la usuali quattro oprazioi + - / l cui rgol di calcolo soo ua logica stsioi dll corrispodti l campo ral : (a + jb) + (c + jd) (a + c) + j(b + d) (a + jb) - (c + jd) (a - c) + j(b - d) (a + jb) (c + jd) (ac bd) + j(ad + bc) (a + jb) / (c + jd) (a + jb) (c jd) / (c c +d d) L ultima rlazio è particolarmt util l caso si voglia sparar part ral part immagiaria, moltiplicado umrator domiator pr (c - jd), tal oprazio è ach chiamata razioalizzazio: ( a + jb) ( c + jd ) ( a + jb) ( c jd ) ( c + jd )( c jd ) ( a + jb)( c jd ) ( c + d ) ( ac + bd ) + j( bc ad) ( c + d ) ( ac + bd ) ( bc ad) + j ( c + d ) ( c + d ) 1 I matmatica la otazio usual è z a + ib, ma i Elttrotcica i si usa pr idicar la corrt lttrica

2 Du umri complssi z 1 a 1 + jb 1 z a + jb soo uguali s: a 1 a b 1 b. Il umro complsso : z*a-jb si chiama complsso coiugato di za + jb. Valgoo l sguti rlazioi: (i) z+z*a da cui sgu R{z}(z+z*)/ (ii) z-z*jb da cui sgu Im{z}(z-z*)/ (iii) (z*)*z (iv) (z 1 +z )* z 1 *+z * (v) (z 1 z )* z 1 * z * (vi) zz* zœñ Di u umro complsso za + jb si dfiisc il modulo o valor assoluto z i modo ch : z a + jb a + b ovvro: ( a + jb) ( a jb) z z * z a + b S il umro è ral (part immagiaria 0 ) il modulo coicid ovviamt co qullo dfiito l campo ral. Valgoo l sguti rlazioi: (i) z z* (ii) z 0 a +b 0 a0, b0 z0 (iii) z 1 z z 1 z (iv) z 1 +z z 1 + z

3 Rapprstazio gomtrica di umri complssi. Fissato u sistma di rifrimto cartsiao ortogoal co assi x y, il umro complsso za + jb può ssr rapprstato com u vttor i umri rali a b si possoo itrprtar rispttivamt com ascissa ordiata dl vrtic dl vttor. Il piao i cui rapprstar i umri complssi i forma algbrica è dtto piao di Gauss. Vi così stabilita ua corrispodza biuivoca tra i puti dl piao i umri complssi. L ass dll asciss vi chiamato ass ral qullo dll ordiat ass immagiario. Dal puto di vista gomtrico il modulo z di u umro complsso rapprsta la distaza dl puto z dall origi, ovvro la lughzza dl vttor. S la part immagiaria di u umro complsso è ulla, il umro è ral si trova posizioato sull ass dll asciss. S, ivc, la part ral è ulla, il umro è immagiario si trova posizioato sull ass dll ordiat.

4 Rapprstazio polar di umri complssi. Sia z u umro complsso scritto lla forma algbrica za + jb co a,bœñ. Idichiamo co ρ il modulo di z co θ l agolo ch il sgmto idividuato dall origi dal puto di coordiat (a,b) forma co l ass x. ρ θ prdoo il om di coordiat polari: ρ z θ arg(z) modulo di z argomto di z Valgoo l sguti proprità: a ρcos θ b ρsi θ o aalogamt: ρ a + b arcta( b / a) π + θ π arcta( b / a) ± π a > 0 a 0, b > 0 a 0, b < 0 a < 0 da cui sgu la rapprstazio polar di z:

5 za + jb ρcos θ+j ρsi θ ovvro: z ρ(cos θ+j si θ) Il passaggio dalla rapprstazio cartsiaa a qulla polar richid maggior attzio. Mtr il modulo è uivocamt dtrmiato, l argomto è dtrmiato a mo di multipli itri di π. Tdo costat ρ aumtado θ di π si idividua smpr lo stsso umro complsso, i quato vi compltato u giro sulla circofrza di raggio ρ torado al puto di partza. La moltiplicazio di du umri complssi sprssi i forma trigoomtrica divta particolarmt sigificativa: ch forisc: z 1 z ρ 1 (cos θ 1 +j si θ 1 ) ρ (cos θ +j si θ ) z 1 z ρ 1 ρ (cos (θ 1 + θ )+j si (θ 1 + θ ) ) quidi i moduli si moltiplicao gli argomti si sommao. Aalogamt il risultato dlla divisio tra du umri complssi (z 0) sprssi i forma trigoomtrica sarà: z 1 /z ( ρ 1 / ρ ) (cos (θ 1 - θ )+j si (θ 1 - θ ) ) Rapprstazio spozial di umri complssi. Facdo formalmt la sri di Taylor di jθ di cosθ siθ, si ricava la formula di Eulro : jθ cos θ+jsi θ pr cui val, dalla priodicità di cosθ siθ, jθ j(θ+kπ). La figura a lato mostra l itrprtazio gomtrica dlla formula di Eulro sul piao complsso. E pr θ π si otti l quazio, trovata ach ssa da Eulro: jπ +10. La rapprstazio polar di u umro complsso z può ssr scritta lla sgut forma: da cui ach l rlazioi: si θ jθ j jθ ; cosθ jθ + jθ

6 z ρ jθ z jarg(z) dov θ è ach chiamata fas dl umro complsso z. E pr il coiugato si otti: z* a - jb ρ(cos θ-j si θ) ρ -jθ z -jarg(z) Il prodotto la divisio tra du umri complssi si calcolao molto agvolmt usado la rapprstazio polar: z 1 z z 1 z j(arg(z 1 )+ arg(z )) z 1 / z ( z 1 / z ) j(arg(z 1 )- arg(z )) Dato u umro complsso z ρ jθ, possiamo dar ua itrprtazio gomtrica al prodotto z jα. Si otti: z jα ρ jθ jα ρ j(θ+α). Tal moltiplicazio, com si vd dalla figura sgut, dtrmia ua rotazio dl vttor ch rapprsta il umro complsso z, di u agolo α i sso atiorario (s >0). Si può duqu psar al umro complsso jα com u oprator ch dtrmia ua rotazio attoro all origi di u agolo α. Qusto sigificato dlla moltiplicazio pr u umro complsso di modulo uitario è particolarmt util ll applicazioi di umri complssi. È facil allora spigar l quazio jπ +10. Il umro complsso jπ rapprsta la rotazio dl vttor 1 di u agolo π. Si otti duqu il umro complsso -1. Gralizzado la rapprstazio spozial si dfiisc, co za+jb umro complsso: z a+jb a jb a (cos b+jsib) dov jb è u umro complsso a modulo uitario fas b, prtato la fas dl umro complsso z è data dalla part immagiaria di z, mtr il modulo è dato da a, co a part ral di z.

7 Potz radici itr di umri complssi (Formula di d Moivr): (cos θ+jsi θ) cos( θ)+jsi ( θ) Sia z cos θ+jsi θ, co z 1, assumdo valid l proprità dlla fuzio spozial pr l lvamto a potza ach l campo complsso ottiamo la proposizio i maira smplic: z ( j θ ) j θ cos( θ)+jsi ( θ) I gral pr zρ j θ si ha: z ( ρ j θ ) ρ j θ ρ (cos( θ)+jsi ( θ)) Vicvrsa, la radic -sima di z è data da: z θ ρ cos + θ j si La radic così ottuta è la radic pricipal. Va prò ossrvato ch, pr la priodicità di so coso, qualuqu fas θ + kπ { k 0,1,, K, 1} gra ua radic, i quato moltiplicado pr tali valori si ottgoo argomti ch producoo uguali valori pr il so il coso. I dfiitiva z θ + kπ θ + kπ ρ cos + j si { k 0,1,, K, 1} o i forma spozial: z ρ θ + kπ j { k 0,1,, K, 1}

8 Rlazioi tra fuzioi trigoomtrich iprbolich. Dfiizio di fuzioi trigoomtrich: si a ja j ja ; cosh a ja + ja Dfiizio di fuzioi iprbolich: sih a a a ; cosh a a + a Valgoo l sguti rlazioi: (i) (ii) (iii) (iv) si ja j( ja) j j( ja) a j a j sih a j( ja) j( ja) a a + + cos a cosh a ja ja ja ja sih ja j j si a j ja ja + cosh ja cos a

9 Rapprstazioi quivalti di sgali siusoidali. Il sgal siusoidal gral è la fuzio: x ( t) Acos( ω t + φ) Il sgat x(t) ammtt altr du rapprstazioi quivalti: x( t) a cosωt + bsi ωt x( t) C jωt + C jωt Nll applicazioi è spsso cssario passar da ua all altra di qust rapprstazioi. Mtr ω rima ivariat gli altri cofficiti soo soggtti a vicoli: (A, φ )œñ (π,- π] lla prima, (a,b) œñ lla scoda CœÂ ll ultima. Impigo di umri complssi i Fisica Iggria. Evry lctric circuit that rus o a AC currt (rad: practically vrythig pluggd i at hom) rlis o this kid of math. Th capacitors, rsistors, ad iductors of a lctric circuit ach hav a particular phas associatd with thm, ad imagiary umbrs mak thm far asir to sort out. Quatum mchaics is a mathmatical discussio of wavs ad wav fuctios, ad all of th calculus usd i QM maks imagiary umbrs sstial. Lasrs also dpd o imagiary umbrs, sic lasr bams ar just lots of wav packts of light, all lockd i th sam phas. I lctroics, th stat of a circuit lmt is dscribd by two ral umbrs (th voltag V across it ad th currt I flowig through it). A circuit lmt also may possss a capacitac C ad a iductac L that (i simplistic trms) dscrib its tdcy to rsist chags i voltag ad currt rspctivly. Ths ar much bttr dscribd by complx umbrs. Rathr tha th circuit lmt's stat havig to b dscribd by two diffrt ral umbrs V ad I, it ca b dscribd by a sigl complx umbr z V + i I. Similarly, iductac ad capacitac ca b thought of as th ral ad imagiary parts of aothr sigl complx umbr w C + i L. Th laws of lctricity ca b xprssd usig complx additio ad multiplicatio. Aothr xampl is lctromagtism. Rathr tha tryig to dscrib a lctromagtic fild by two ral quatitis (lctric fild strgth ad magtic fild strgth), it is bst dscribd as a sigl complx umbr, of which th lctric ad magtic compots ar simply th ral ad imagiary parts. So thr's othig physical about imagiary umbrs, ad thr's o raso w hav to us thm. W ca dscrib wavs i may othr ways. But imagiary umbrs mak th mathmatics of wavs com out so much mor simply that thy ar idispsabl i our modr rsarch.