UNO SVILUPPO ACCURATO DELLA LATITUDINE CONFORME IN TERMINI DELLA LATITUDINE GEODETICA. N. Crocetto*, L. Guadalupi**, G.

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1 UNO SVILUPPO ACCURATO DELLA LATITUDINE CONFORME IN TERMINI DELLA LATITUDINE GEODETICA di N. Croctto*, L. Guadalupi**, G. Przioso*** SOMMARIO I qusto articolo si dduc u sprssio approssimata dlla latitudi coform llissoidica i trmii dlla corrispodt latitudi godtica dll potz pari dlla prima cctricità co cofficiti poliomi trigoomtrici dlla latitudi godtica. Dall u- guagliaza di du diffrti sviluppi dlla latitudi isomtrica opportuamt trocati, vi ricavata dapprima pr succssiv approssimazioi la diffrza tra la latitudi coform la corrispodt godtica, d ifi l sprssio approssimata dlla coform. Pr l lvato grado dll potz dll cctricità (fio al -mo dlla fuzio so (fio all -mo dlla latitudi godtica, l sprssio risulta strmamt accurata, fio a guir u approssimazio dll ordi dlla (doppia prcisio macchia ps co cui soo rapprstati d laborati i dati umrici i Floatig Poit i modri calcolatori lttroici dai vari liguaggi di programmazio di calcolo. Si riportao smpi umrici di vrifica dll accuratzza dll sprssio. L approssimazio, ottibil co u mior to computazioal risptto ad altr sprssioi riportat i lttratura godtica cartografica, la spcifica forma di qusto sviluppo dlla latitudi coform risultao cssari pr l applicazio ch vrrà mostrata i u prossimo articolo, al fi ultimo di implmtar u uovo mtodo di calcolo dll coordiat cartografich Gaussia pr fusi di lvata ampizza i logitudi co adguat accuratzz. ABSTRACT This papr puts forward a approximat xprssio of th coformal llipsoidal latitud i trms of th corrspodig godtic latitud ad of th v powrs of th first cctricity with cofficits trigoomtric polyomial of th godtic latitud. From th quality of two diffrt dvlopmts of th isomtric latitud, suitably cut off, it is first obtaid - by succssiv approximatios - th diffrc btw th coformal latitud ad th corrspodig godtic o, ad fially th approximat xprssio of th coformal latitud. Bcaus of th high dgr of cctricity powrs (up to th th ad of th si fuctio of godtic latitud (up to th th, th xprssio is xtrmly accurat, so it is possibl to achiv a approximatio i th ordr of a (doubl prcisio ps with which th umrical data i Floatig Poit usig lctroic computrs ad various programmig ad computig laguags ar rprstd ad procssd. Numrical xampls i ordr to vrify th accuracy of th xprssio ar rportd. Th approximatio, that ca b obtaid with a lowr computatioal t compard to othr xprssios rportd i godtic ad cartographic litratur, ad th spcific form of this coformal latitud dvlopmt ar cssary for th applicatio rportd i a succssiv articl, i ordr to implmt a w calculatig mthod of th Gaussia cartographic coordiats i wid tim zo of logitud ad with adquat accuracy. * Dipartimto di Iggria Civil, Scoda Uivrsità dgli Studi di Napoli ** Dottorada di ricrca prsso il Dipartimto di Sciz Applicat, Uivrsità dgli Studi di Napoli Parthop *** Dipartimto di Sciz Applicat, Uivrsità dgli Studi di Napoli Parthop

2 INTRODUZIONE Nlla lttratura godtica cartografica soo già riportat formul compatt satt di dfiizio, formul chius drivati da sviluppi trocati mtodi itrativi di covrsio tra l vari latitudii llissoidich: goctrica, godtica, ridotta o paramtrica, isomtrica o crsct u, coform χ, autalica, rttificat. Adams (9 dfiì col trmi isomtrica la latitudi dotata oggi coform sviluppò co divrsi mtodi l diffrz tra coppi di latitudii distitamt i trmii di ciascua di ss. I qusto lavoro si prd i sam la latitudi coform χ usata lla proizio coform dll llissoid sulla sfra (Bugayvsky ad Sydr, 99, lla proizio coform Gaussiaa dlla sfra sul piao (Marussi, 90 d i particolar ll formul di Krügr (9 pr la proizio Gaussiaa dll llissoid sul piao. Dfiizioi i forma compatta satta di χ scodo fuzioi trascdti dlla latitudi godtica soo riportat i Wissti (00, Yag t al. (000. Ioltr, soo riportati sviluppi di χ i trmii dll fuzioi circolari si di multipli pari dlla latitudi godtica co cofficiti poliomi di potz pari dlla prima cctricità llissoidica : i Bugayvsky ad Sydr (99 fio a si co cofficiti fio alla ssta potza di, fio a si 8 co cofficiti fio all ottava potza dll cctricità i Adams (9 ddotti co vari mtodi, i Wissti (00 d i Yag t al. (000. I Krügr (9, pag. è riportato lo sviluppo di χ i trmii dll potz dispari (fio alla sttima dlla fuzio circolar si dlla latitudi godtica (sza multipli di ssa co cofficiti poliomi di potz pari (fio alla -sima dll cctricità. I Ballari (98, pag. 8 è riportato lo sviluppo di χ i trmii dll potz pari (fio alla dcima dll cctricità co cofficiti poliomi trigoomtrici (fio al oo grado di si. L potz, i multipli di d il grado di poliomi gli sviluppi su mzioati soo limitati sszialmt a causa dgli strumti di calcolo dispoibili all poca: rgolo, tavol logaritmich, tabll, calcolatrici mccaich da tavolo d lttroich tascabili; strumti co cui o si potva suprar la dcia di cifr sigificativ sia pr l oprazioi lmtari ch pr il calcolo di fuzioi trascdti, co guti limitat prcisioi i dati itrmdi i risultati fiali pr l fftto dgli rrori di arrotodamto i calcoli (i aritmtica fiita da ffttuar gli algoritmi. Qusti icoviti soo limiati dalla limitatzza dll ampizza i logitudi di sigoli fusi gografici da potr rapprstar co la proizio cartografica coform Gaussiaa. L aumto dll ampizza i logitudi di fusi gografici da potr rapprstar cartograficamt è ralizzabil co la dispoibilità di calcolatori lttroici co rlazioi aalitich più accurat. L accuratzza dv ssr spita fio a guir u approssimazio dll ordi dlla (doppia prci-

3 sio macchia ps co cui soo rapprstati d laborati (i aritmtica fiita i dati umrici i Floatig Poit i modri calcolatori lttroici dai vari liguaggi di programmazio di calcolo. A tal fi, l prosiguo, si dduc uo sviluppo adguatamt accurato dlla latitudi coform. LA RELAZIONE APPROSSIMATA TRA POTENZE DI δ, DELL ECCENTRICITÀ E DELLE FUNZIONI CIRCOLARI DELLA LATITUDINE GEODETICA Com b oto, stabilito u llissoid di rotazio com suprfici matmatica di rifrimto d u puto P su di sso, la lughzza dll arco ifiitsimo di mridiao pr P può ssr sprssa sia i fuzio dl diffrzial dlla latitudi godtica sia i fuzio dl diffrzial dlla latitudi isomtrica, ottdo dalla loro uguagliaza u quazio diffrzial la cui itgrazio forisc la classica formula compatta di dfiizio dlla latitudi isomtrica u (i radiati i fuzio dlla latitudi godtica dll cctricità : si π u = l tg ( si Pr gli sviluppi succssivi si idra la sgut sprssio satta di u (i radiati, (Vultaggio, 00, pag. ricavata i dttaglio i Appdic : π = u l tg si ( = ch, trocado la sommatoria al trmi i (a mo cioè di trmii dll potz dll cctricità maggiori dlla ma, forisc la sgut sprssio approssimata dlla latitudi isomtrica i trmii dll potz (fio alla ma dll cctricità dlla latitudi godtica : ( π u l tg si si si 8 si 9 0 si 9 si La latitudi coform è dfiita ((Krügr, 9, pag., (Adams, 9, pag. 9, (Parso, 990, pag. dalla rlazio co la corrispodt latitudi isomtrica : π χ u = l tg (

4 Idicado co δ la diffrza tra la latitudi coform la corrispodt latitudi godtica δ = χ ( d isrdo la ( lla ( si ha la fuzio π u = l tg δ ( Sviluppado la ( i sri di Taylor di puto iizial ( π co icrmto δ d arrstadosi al trmi i δ, si dduc l ultrior sgut sprs- sio approssimata dlla latitudi isomtrica i trmii dll potz (fio alla ssta di δ (i radiati dlla latitudi godtica : ( π δ si u l tg si si ( δ si ( δ ( δ 8si si ( δ si 8 si si ( δ 0 0 Cofrotado la ( la ( smplificado i primi trmii trascdti, si ha la fodamtal rlazio approssimata tra l potz di δ (fio alla ssta, dll cctricità (fio a dll fuzioi circolari dlla latitudi godtica : (8 δ si 8si si = si ( δ si ( δ si si ( δ si ( δ si 8 si si ( δ 0 si 8 si 9 0 si 9 0 si =

5 LO SVILUPPO DI δ E DI χ SECONDO LE POTENZE CRESCENTI DELL EC- CENTRICITÀ Co la rlazio (8 mdiat u procdimto pr succssiv approssimazioi, si ricava uo sviluppo di δ (i radiati accurato fio alla potza dll cctricità. Il mtodo, pr i =,., alla approssimazio i-sima si articola ll sguti fasi :. si trocao il primo d il scodo mmbro dlla (8 rispttivamt alla potza ( δ i i (i-sima di δ d alla potza (i-sima dll cctricità;. pr i = si passa dirttamt alla succssiva fas., pr i > si sostituisc ll potz ( δ,.., ( δ i l sprssio di δ ricavata lla prcdt approssimazio, si ffttuao gli sviluppi di tali potz avdo cura di trascurar l potz dll cctricità maggiori dlla (i ma i cioè idrar solo i trmii fio a, si riportao gli sviluppi aggiorati a scodo mmbro dlla (8 raggruppado l sprssioi (poliomi trigoomtrici dlla fuzio circolar so dlla latitudi godtica di cofficiti dll vari potz dll cctricità fio alla ; i. dalla gut rlazio i cui a primo mmbro risulta prst solo la potza prima di δ d a scodo mmbro l potz dll cctricità fio a (alla i-sima co i corrispodti cofficiti i (poliomi trigoomtrici dlla fuzio circolar si si ricava quidi il valor di δ mo approssimato più accurato;. si passa alla fas. di cui sopra, fio alla ssta approssimazio succssiva, i cui compar ach il trmi i. Lo sviluppo di δ (i radiati, ricavato co il procdimto sposto, può ssr posto lla sgut forma poliomial dll cctricità: δ = C (9 8 0 C C C8 C0 C co l sguti sprssioi di cofficiti C C C = si = si = si 0 ( si C i (0

6 ( si 9 C8 = si 0 si C0 = ( 9si 80si 0 0 si C = 9si 0si 9800 ( 8 I dfiitiva, dall (, (9 (0 si ha il sgut sviluppo dlla latitudi coform (sprssa i radiati i trmii di potz pari dll cctricità fio ad : ( χ = si si si 0 8 si 0 0 si si 0 ( si ( si 9 ( 9 si 80 si 0 ( 9 si 0 si VERIFICA DELL ACCURATEZZA Pr la vrifica dll accuratzza guibil co lo sviluppo ( è sufficit idrar il trmi di tità mior, ch risulta ssr qullo rlativo alla potza -sima dll cctricità ch è pari all ultimo adddo C a scodo mmbro dlla (9 co l sprssio dl cofficit C riportato ll ultima dll (0: C 9 si 0 si 8 = ( 9800 si Adottado il valor dll cctricità dll llissoid di Hayford, si riportao (i Tab. pr vari valori dlla latitudi godtica i corrispodti risultati dlla (:

7 C 0.8 x 0 - rad. 0. x 0 - rad..0 x 0 - rad. 0. x 0 - rad. 0. x 0 - rad. 0. x 0 - rad. 80. x 0 - rad. 8. x 0 - rad x 0 - rad. Tablla Risultati dlla ( i fuzio dlla latitudi godtica Dai dati riportati i Tab. risulta vrificato ch l approssimazio dllo sviluppo (, o solo è di sgo altro, ma soprattutto è dll ordi dlla (doppia prcisio macchia ps co cui soo rapprstati d laborati (i aritmtica fiita i dati umrici i Floatig Poit i modri calcolatori lttroici dai vari liguaggi di programmazio di calcolo. CONCLUSIONI Risulta vrificata la cssità di idrar il trmi dlla -sima potza dll cctricità llo sviluppo ( dlla -sima potza dl so dlla latitudi godtica, prché sia garatita ua sufficit stabilità ai vari algoritmi di calcolo automatico ll vari applicazioi godtich cartografich i cui cssita la doppia prcisio di risultati parziali /o fiali. Co la forma poliomial mista dlla (, o ffttuado calcoli di fuzioi circolari di multipli dlla latitudi godtica, ma ffttuado solo potz di si dll cctricità, si gu u mior to computazioal risptto agli sviluppi citati lla itroduzio. Ifi, va sottoliato ch la forma l lvata accuratzza dlla ( tirao, i prossimo lavoro, la sua applicazio pr ricavar agvolmt sprssioi (adguatamt approssimat dll fuzioi circolari dlla latitudi coform i trmii di potz di fuzioi circolari dlla latitudi godtica

8 di potz dll cctricità. Co succssiv laborazioi, si guirà l o- bittivo fial dllo sviluppo di u uovo mtodo pr il calcolo di coordiat cartografich Gaussia, co adguata accuratzza pr sigoli fusi gografici co lvata ampizza i logitudi. BIBLIOGRAFIA Adams O. S. (9: Latitud dvlopmts coctd with godsy ad cartography with tabls icludig a tabl for Lambrt qual-ara mridioal projctio Dpartmt of commrc U. S. Coast ad Godtic Survy Spcial Publicatio Washigto Govrmt pritig offic. Ballari S. (98: Coordiat Gaussia di puti lotai dal mridiao fodamtal Bollttio di Godsia Sciz Affii,, pp. -. Bcii P. (9: Apputi di Cartografia Istituto Gografico Militar, Firz. Bugayvskiy L. M., Sydr J.P. (99: Map Projctios A Rfrc Maual Taylor & Fracis. Krügr L. (9: Koform Abbildug ds Erdllipsoids i dr Eb Vr. Koigl. Pruss. God. Ist., Potsdam. Marussi A. (90: La Toria dlla Proizio di Gauss co prmss di gomtria diffrzial - Istituto Gografico Militar, Firz. Parso F. (990: Map Projctios Thory ad Applicatios Library of Cogrss. Vultaggio M. (00: Rapprstazioi Cartografich Toria d Applicazioi Istituto di Navigazio G.Simo dll Uivrsità dgli Studi di Napoli Parthop, Offici Grafich Napolta Fracsco Giaii & Figli. Wissti W.E. (00: CRC Cocis Ecyclopadia of Mathmatics Chapma & Hall/CRC Prss. Yag Q., Sydr J.P., Toblr W.R. (000: Map Projctio Trasformatio Pricipls ad Applicatios Taylor & Fracis.

9 APPENDICE I qusta App. si dimostra l sprssio ( dlla latitudi isomtrica u. Dalla classica formula chiusa ( di dfiizio di u si ha : π u = l tg [ l ( si l ( si ] ( Dallo sviluppo i sri di Mac Lauri x ( l x = ( ( = pr x = si pr x = si si hao i sguti sviluppi i sri : ( si ( si l ( si = ( = ( ( = = ( si ( l si = ( ( = l Dall ( ( si ha: ( si l ( si = ( = ( si = ( ( si ( Nlla ( i trmii co potz pari di si lidoo, mtr qulli co dispari si sommao; prtato si dduc la rlazio: ( si l ( si = ( si l = (8 Moltiplicado ambo i mmbri dlla (8 pr, risulta: [ l ( si l ( si ] = = si (9 Ifi, isrdo la (9 lla (, si ha l sprssio (: π = u l tg si (0 =