ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE-SOLUZIONI
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- Damiano Messina
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1 ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE-SOLUZIONI Esrcizio ( (i Razioalizziamo: ( ( ( [ ( ( ] ( + ( [ ( + [( + ] ( ] + ( + ( ( + [( + ] ( ( + ( + Dividiamo umrator domiator pr 3, la frazio divta: ( + ( ( ( + + passado a it si otti (ii l [ ( + a l a l a + l ] a + ( a + Il primo trmi é sattamt l a, mtr il scodo td a zro, dato ch a, quidi l ( a + < l (l (iii +l + (l +l ( (l +l +
2 Il trmi ( (l +l td a zro prché < D altra part, studiado sparatamt la radic spot di : (l + l l Quidi (l +l + Quidi il it iizial é 0 (l +l l + 0 (l (l + l (l l 0 (iv + Qusto it molto simil al prcdt, c u 0 al posto di, ma i ralta il risultato molto divrso prch +, qullo ch quidi cota il rapporto tra la bas dll spozial, 0 oppur ch ivc la bas dl logaritmo atural a cui td la radic all spot Si procd com l it prcdt pr cui il trmi ( (l 0 +l mtr l altro trmi td a zro co lo stsso ordi di Ci troviamo di frot ad ua forma idtrmiata Poich la radic (l + l ha lo stsso adamto di l, com spigato ll srcizio prcdt, si puo riscrivr il it com: ( l 0 ( lg 0 0 l 0 l + ( l 0 0 l + l ultimo passaggio ti coto dl fatto ch l 0 > + + ( (v + ta ( + ta ta ta Si tuto coto di iti otvoli ( + a a s a 0, si (vi arcta( cos π π π 0 ( (vii + 3+l ( + 3 l 3 + (viii cot 3 + cos 3 si cot ( (ix Utilizzado il risultato dll srcizio prcdt si otti: ( 3 ( + ( l + cos si
3 ( cot (x risultato (xi risultato 0 (xii risultato (xiii risultato 0 (xiv risultato + (xv risultato: pr x Z la succssio é idticamt ugual ad, mtr pr tutti gli altri x rali td a 0 (xvi riscriviamo il it pr sfruttar i iti otvoli: si (l ( + si + (l + si + (l (xvii utilizziamo il prodotto otvol a 3 b 3 (a b(a + ab + b co a ( + 3 b 3 Quidi il it divta ( + ( (( ( (( Abbiamo ottuto u quozit di poliomi di grado al umrator 3 domiator, quidi il it é 0 al (xviii riscriviamo il it pr sfruttar i iti otvoli: ( + ( + + ( + ( + ( + + ( (xix vogliamo ricodurci ad ua forma dl tipo + a a co a ( +, poi usar il it otvol + a a Risolviamo quidi l quazio + a +, ch é vrificata s a + ( pr Quidi ( [( + + a ] a + a + 3
4 (xx riscriviamo il it com Usiamo i torma di carabiiri: (( ( (( + 3( Prtato tutta la succssio td a 3 (xxi riscriviamo il it com ( ( ( + (xxii usiamo il Torma di Carabiiri pr provar ch il it é D altra part si ha + 4 < ( + Quidi: > + ( + 0 Esrcizio Richiamiamo la dfiizio di it: L fiito: a L ε > 0 : a L < ε > L ifiito: a + M > 0 : a > M > (a + M > 0 : > M ( pr > > M 4M, risolvdo l quazio di scodo grado, troviamo ch la disuguagliaza é vrificata pr valori di stri all itrvallo dll radici, ch chiamrmo x x, quidi s > x (s x > x sicuramt la disuguagliaza é vrificata cosí la dfiizio di it (b l( + 0 ε > 0 : l( + < ε > 4
5 Tdo coto ch l( + > 0, qusta disuguagliaza é vrificata s + < ε > ε (c + ε > 0 : + < ε Tdo coto ch + >, si ha + ε < ε < + ( < l + ε > l ( + ε Esrcizio 3 Cosidriamo la succssio: x a ( ( + si la frazio td a (, pr cui il it é sicuramt idtrmiato s a Ifatti s a ± x (, s s a > x ± Ivc s a < il it é 0 Esrcizio 5 S la succssio a ammtt it, tutt l succssioi stratt dvoo ammttr lo stsso it, quidi u implicazio é ovvia D altra part, s a k a k covrgoo allo stsso it l, si avrá: a k l < ε >, a k l < ε > Quidi, s > max(,, risulta a l < ε, quidi a td a l Ossrvazio importat: i gral s du sottosuccssioi stratt da ua succssio data tdoo al mdsimo it l, o é affatto dtto ch la succssio di partza covrga ad l Pró, s l succssioi statt soo tali da saurir tutti i possibili idici aturali, com accad pr l succssioi dgli idici pari dispari, allora si puó cocludr ch la succssio di partza td allo stsso it dll du sottosuccssioi Esrcizio 6 Essdo mooto, l du succssioi a a sicuramt ammttoo it, fiito o ifiito Pr ipotsi (a a 0 a a l IR {, + }, quidi grazi all srcizio prcdt, a ammtt it d sso é ugual ad l 5
6 Esrcizio 7 Vogliamo trovar ua succssio a ch ammtt it, ma l du sottosuccssioi dgli idici pari dispari, pur ssdo mooto, quidi ammttdo it, o vrificao la propritá (a a 0 Basta scglir a, ssa ha it +, ma (a a + 6
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( ) ε > 0, δ 0. +, con 1. ) si può centrare in c prendendo δ = min { δ1, , δ > 0. I c. c R un punto di I e f una funzione definita in \{ }
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se ne costruisca un altra s 1 L operazione che fa passare dalla prima successione alla seconda è detta serie e si indica con il
07 SERIE NUMERICHE Dt l succssio,,...,,... s costruisc u ltr s, s,..., s,... tl ch: s... s... s... L oprzio ch f pssr dll prim succssio ll scod è dtt sri si idic co il simbolo...... k. k Gli k si dicoo
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08//05 uccssioi umrich uccssioi umrich Dfiizio U succssio è u fuzio ch d ogi umro turl ssoci u umro rl 0 : 0 : Es. 08//05 uccssioi umrich Dfiizio Il it dll succssio ch ch covrg d ) si idic è il umro rl
x x e o 1 < x < e 3 ; log x DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE 21 + ; 2) ; 8) 9 ) 3logx - < 5 ; DISEQUAZIONI IRRAZIONALI:
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE ) 5 5 < ) > (8) (6) ) log( ) log( 6) 5. 5) < log ( ) 6) log < 7) < 8) 7 7 < 7 9 ) log - < 5 log RISULTATI: ) > - / ) < - o > ) / < o 5 5) / 6) < - o > 7)
e k Queste sono funzioni oscillanti, periodiche di periodo N/k.
Vr.. ot pr Aalisi di Fourir di Squz co l ausilio dl Matlab Cosidriamo ua squza ifiita priodica di priodo, x[t] tal pr cui x[t+t]x[t]. Pr rapprstar tal squza si possoo utilizzar fuzioi complss dl tipo jπ
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INTEGRALI IMPROPRI L tori dll'itgrzio di u fuzio f cotiu i u itrvllo ciuso itto [ ] si può stdr sostitudo l'ipotsi di cotiuità i [ ] dll fuzio f co qull dll ittzz I tl cso si ffrot il prolm dll'itgrzio
Svolgimento di alcuni esercizi
Svolgimnto di alcuni srcizi Si ha ch dal momnto ch / tnd a pr ch tnd a (la frazion formata da un numro, in qusto caso il numro, fratto una quantità ch tnd a ±, in qusto caso, tnd smpr a ) S facciamo tndr
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Richiami su sistemi lineari discreti
INGEGNERIA E ECNOLOGIE DEI SISEMI DI CONROLLO su sistmi liari discrti Prof. Carlo Rossi DEIS - Uivrsità di Bologa l: 5 29324 mail: crossi@dis.uibo.it Sistmi mpo-discrti I qusti sistmi i sgali hao com bas
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