Seminario. tenuto dalla prof. Mariangela Usai. II parte. (ultimo aggiornamento 14/04/2016)
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- Gilberto Manzo
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1 Smiario Aalii di traitori circuitali co il imulator Ppic. tuto dalla prof. Mariagla Uai Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari II part Studio di traitori co il mtodo dll traformat di Laplac (ultimo aggioramto 4/4/6
2 STUDIO DEL TRANSITORIO CON IL METODO DELLE TRASFORMATE DI LAPLACE INTRODUZIONE Lo tudio di traitori i circuiti di corrt comporta la rioluzio di quazioi itgro-diffrziali l domiio dl tmpo di difficil rioluzio. Nlla ipoti di circuiti liari (pr i quali i paramtri ch carattrizzao il circuito, pooo r coidrati cotati, alimtati co gali ch oddifao alcu proprità matmatich il mtodo dll traformat di Laplac cot di mplificar otvolmt la rioluzio di tali circuiti. L fuzioi f(t itgro-diffrziali, dfiit l domiio dl tmpo t, vgoo traformat l domiio (variabil di Laplac i fuzioi F( algbrich: domiio t domiio f(t F(.
3 La traformata di Laplac cot di calcolar la ripota di u circuito pr la gra part di tipi di ccitazio, prmttdo, di calcolar la ripota libra la ripota forzata, a partir da qualivoglia codizio iizial. La traformata di Laplac prmtt di tudiar fuzioi f(t dfiit pr t. Pr l gradzz lttrich i aum ch l itat t= coicida co l itat i cui ha iizio il fomo fiico ch i itd tudiar. L codizioi ufficiti affiché ita la traformata di Laplac dlla fuzio f(t oo: a f(t= pr t < f(t pr t, l'ipoti ch f(t pr t ' caria pr garatir la uicità dlla L-Traformata b f(t prti u umro fiito di dicotiuità di prima pci (drivata iitra drivata dtra i u puto, oia ia cotiua a tratti, t c f ( t dt ia u itgral covrgt. S tali codizioi oo vrificat pr la f(t, it la traformata di Laplac F(. 3
4 Pr l fuzioi di uo comu (traformat otvoli i valori dll F( oo riportati i tabll. La traformata di Laplac è dfiita attravro l oprator di itgrazio, pr mzzo dl qual l itgral la drivata l domiio dl tmpo divtao ripttivamt ua moltiplicazio ua diviio l domiio di Laplac l quazioi itgro-diffrziali l domiio dl tmpo divtao l domiio di Laplac quazioi algbrich: Oprator Itgral i t Oprator Diviio i Oprator Drivata i t Oprator Moltiplicazio i Equazioi itgro-diffrziali Equazioi algbrich i t i 4
5 I matmatica i particolar ll'aalii fuzioal la Traformata di Laplac di ua fuzio f (t, dfiita pr tutti i umri rali t, è la fuzio F ( coì dfiita: Sia f(t : R C, f(t pr t La L traformata di f(t ': F( L f(t f(t t dt L' ati traformata di F( ': f(t L F( π σ σ F( t d F( ' fuzio di σ Empio : f(t u(t U( L u(t δ u(t t (t dt t dt t 5
6 Proprità dll traformat: Liarità La traformata di Laplac è u oprazio liar,cioè: Similitudi F K ( F( f ( t f K ( t S i otituic a co R + F ( f ( t dt i ffttua il cambiamto di variabil τ τ t τ t dt d dτ F( da cui: f F( f d 6
7 3 Tralazio dll origi S F( è la traformata di f(t, la traformata f(t- co f(t-= pr (t-> oia t> è: f ( t F( 4 Drivazio S F( è la traformata di f(t, la traformata dlla drivata di ordi di f(t è data da: f oia: d ( t f ( t dt F( F( i f ( i f i ( f' (.... f ( S f(t è ua ri, do la traformata u oprator liar, i ha: f ( t f ( t F( F ( co f ( t F ( N oia la traformata di Laplac di ua ri i otti facdo la traformata di ciacu trmi dllo viluppo i ri dlla fuzio origial. 7
8 5 Itgrazio S F( è la traformata di f(t, la traformata dll itgral di f(t è dato da: f ( t dt F( f ( f 6 Torma dl valor iizial: lim F( Il valor iizial dlla fuzio f(t l domiio dl tmpo, oia f(, è ugual al limit pr dlla corripodt traformata F( moltiplicata pr. f 7 Torma dl valor fial: lim F( Il valor fial dlla fuzio f(t l domiio dl tmpo, oia f(, è ugual al limit pr dlla corripodt traformata F( moltiplicata pr. (Quta rlazio può r applicata oltato quado tutt l radici dl domiator di F( hao part ral gativa. Quta limitazio clud dall applicazio dl torma l fuzioi applicat iuoidali, poiché la fuzio iuoidal ha limit ifiito idtrmiato. 8
9 Traformat di Laplac dll fuzioi di uo comu o Traformat otvoli di Laplac f(t t 3 at - 4 at 5 i t 6 co t 7 i t 8 co t 9 - at - at Tablla di covrio F( a t - it cot ih t a i co co - i a a a - 9
10 coh t t dt f - F - f df -i i- d - F - f dt i f ( d F f(t - t -t F c t f ( t c f ( t F c F c f f t d F F
11 Mtodi baati ulla dcompoizio pr atitraformar S la fuzio traformata è ua fuzio razioal: F( N( D( b a m b a m b a m b a m dov N( D( poliomi lla variabil b i a i umri rali. Si dv comporr D( pr trovar l radici dl poliomio: r r rm D( ( (...( m co r, r,,r m ordi di moltplicità di igoli fattori m i r grado di D(. i L oluzioi di N( oo dfiiti gli zri dlla fuzio l oluzioi di D( oo dfiiti poli dlla fuzio.
12 La fuzio razioal può r pra co uo viluppo i fratti com: F( N( ( i p i l cao di poli mplici: F( ( i N( p i A p B p... Mtodi pr dtrmiar i ridui A, B,,K K p riducdo a domiator comu i otti u poliomio a umrator i fuzio di paramtri A,B, K,ch dv r ugual a N(, dal cofroto i dtrmiao l rlazioi pr dtrmiar i ridui A, B,,K, oppur i moltiplica pr (-p i il primo il codo mmbro dlla uguagliaza dll du prioi, i modo da plicitar K i calcolado il limit pr p i ( - pi F( A( - pi p B( - pi K( - i p p K... pi K i lim p i ( - pi F(
13 S i poli oo multipli: D( ( p ( p... ( p r co r i grado dl poliomio F( - p - p - p r r - p r r - p r r p r r pr dtrmiar,,., i moltiplica F( pr il trmi di potza più alto: - p F( - p - p, - - p - p r i p i r... i gu quidi il calcolo dll drivat di F( io all ordi -: F (, F (,., F - ( 3
14 4 pr =p i il trmi ch coti la ommatoria i i aulla. Si ottrrà: p -r, p -, p, d F' d! lim... d df' lim F' lim d S i poli oo compli coiugati: F( * F( * La traformata ivra arà dl tipo: t t t t * t t co R R *
15 Traformazioi dll rlazioi cotitutiv di compoti loro circuiti quivalti l domiio di Laplac Si coidrio i divri compoti dititi i tr catgori: gratori idipdti, compoti za mmoria, compoti co mmoria. Gratori idipdti Pooo r gratori di corrt o di tio carattrizzati dall avr la gradzza impra, ripttivamt corrt tio, coicidt co ua fuzio agata f(t. S la f(t è traformabil i ha ripttivamt: u(t U( i(t I( Dov l dimioi di u(t di i(t oo ripttivamt volt ampr, mtr, i ba all oprator traformata, l dimioi di U( I( oo ripttivamt voltcodo amprcodo. Ifatti riulta ch ua traformata ha l dimioi dlla t F( L f(t f(t dt gradzza origiaria moltiplicata pr il tmpo. 5
16 Compoti za mmoria L rlazioi cotitutiv di tali compoti o cotgoo lgami di tipo itgro-diffrzial l domiio dl tmpo. Soo compoti za mmoria: il ritor, i gratori cotrollati, il ullor il traformator idal. Tutt l loro rlazioi cotitutiv pooo r trafrit l domiio dlla variabil za alcua modifica, otto l ipoti di liarità prmaza. I paramtri rlativi matgoo l dimioi origiari. Pr mpio R=V(/I( ha l dimioi di. 6
17 7
18 Compoti co mmoria Tali compoti oo carattrizzati da rlazioi cotitutiv di tipo itgro-diffrzial. La traformata di Laplac prmtt di ridurr tali rlazioi a mplici rlazioi algbrich. Soo lmti co mmoria: il codator, l iduttor gli iduttori mutuamt accoppiati. Codator: v(o - rapprta il valor iizial dlla tio ai capi dl codator. 8
19 Iduttor i(o - rapprta il valor iizial dlla corrt ch prcorr l iduttor all itat iizial. 9
20 Iduttori mutuamt accoppiati dov i (o - i (o - rapprtao l corrti iiziali ll iduttor L L ripttivamt.
21 Pr i compoti co mmoria l rlazioi cotitutiv traformat oo di tipo algbrico, ma o oo omog pr la prza di trmii oti rlativi all codizioi iiziali. L traformat dll rlazioi cotitutiv di compoti co mmoria covrtoo l oprazio di drivazio itgrazio i oprazioi di moltiplicazio diviio ripttivamt, prciò i compoti fittizi l domiio di i comportao com foro za mmoria.
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Sri. Studiar il carattr dll sguti sri: ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) 3) =4 + ( ) 3 si log ( + si 4 + log λ, λ > 0 si(si )! ( si λ, λ R cos(π) . Stabilir pr quali valori dl paramtro ral λ covrg la sri
c) Calcolare la probabilità P{N 120 = 36, N 180 = 48} = b) Calcolare la probabilità condizionata P{M 120 = 6 N 120 = 36} =
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LE DERIVATE. GENERALITÀ Dfiizio.) La drivata è u oprator ch ad ua fuzio f associa u altra fuzio ch obbdisc all sguti rgol: () D a a a 0 0 0 D 6 D 0 D drivata di u moomio () D a a 0 0 drivata di u moomio
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+ J n. dp dx J n. pε qd p. J p. = J p/drift. + J p/diff. dn dx. nε + qd n. = J n/drift. + J n/diff. J J = 0 J = J p. diff. drift.
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