Analisi spettrale delle serie temporali

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1 Aalisi spttral dll sri tporali Traduzio i italiao, rdatta d adattata da Fdrico Lobardo, dal tsto i ligua grca tratto da: Koutsoyiais, D., Lctur ots o Stochastic Mthods i Watr Rsourcs, Editio 3, pags, Natioal Tchical Uivrsity o Aths, Aths, 7.. La trasorata di Fourir L'idtità di Eulro: θ i cos θ + i sθ (i uità iagiaria) La trasorata di Fourir: F( ξ ) ( x) π ξ x dx La trasorata ivrsa di Fourir: ( x) F( ξ ) i π ξ x dξ La variabil x è solitat il tpo [s] tr ξ rapprsta la rquza [Hz]. S la uzio (x) è ral (codoiio ral: i ) d è pari ( (x) ( x)), allora sist ua ora spliicata pr la trasorata F(ξ): F ( ξ ) ( x) cos( π ξ x) dx ( x) cos( π ξ x) Allo stsso odo, la trasorazio ivrsa è spliicata co sgu: ( x) F( ξ ) cos( π ξ x) dξ F( ξ ) cos( π ξ x) Nota: i lttratura soo spsso utilizzat ach l sguti orul pr diir la trasorata l atitrasorata di Fourir, scritt i trii dlla rquza agolar ω π ξ [rad/s]: F π ω x i ω x ( ω) ( x) dx, ( x) F( ω) dω dx dξ. La trasorata iita di Fourir S la uzio (x) è priodica di priodo, allora la trasorata di Fourir è ulla pr qualsiasi valor o itro di ξ. Qusto dà luogo alla diizio di u caso particolar dlla trasorata di Fourir tal pr cui la variabil x varia i u itrvallo riptuto priodicat (co ad s.: [ /, /]), tr la variabil ξ assu i valori itri. Quidi la uzio (x) è diita co la trasorazio ivrsa dlla trasorata iita di Fourir F (ivc di F(ξ)) d data da ua soatoria, ivc ch da u itgral: F π, F i π x x ( x) dx ( x)

2 S la uzio (x) è ral (codoiio ral: i ) d è pari ( (x) ( x)), allora sarà gualt ral pari ach la F potrà ssr sprssa lla sgut ora spliicata: F ( x) cos( π x) dx ( x) cos( π x) Allo stsso odo, la trasorazio ivrsa è spliicata co sgu: ( x) F cos( π x) F + F cos( π x) dx 3. Variati dlla trasorata iita di Fourir A scoda dll itrvallo di diizio dlla uzio (x), possoo scaturir divrs varità di trasorat iit di Fourir. Vgoo riportati du spi ch sarao utili i sguito: a) Trasorata iita dl coso diita ll itrvallo [, /]. Suppoiao ch la uzio ral (x) sia diita ll itrvallo [, /]. Diiao la trasorata iita dl coso, pr ogi itro (ua uzio pari di ), co sgu: F c ( x) cos( π x) dx S si suppo di stdr l itrvallo di diizio dlla (x) ach a valori gativi, pr sitria, si ricava splict ch F c (/)F, dov F è la trasorata iita di Fourir ll itrvallo [ /, /]; da quato prcd risulta ach ch la trasorata ivrsa è pari a (x), ovvro: c c c ( x) ( x) F cos( π x) F + 4 F cos( π x) b) Trasorata iita di Fourir la sua ivrsa diit ll itrvallo [, ]: F I π, I F i π x x ( x) dx ( x) 4. Trasorata discrta di Fourir Suppoiao di avr a disposizio ossrvazioi (dati) acquisit i u priodo coplssivo t ad itrvalli rgolari t t /. La rquza di capioato (saplig rqucy) è pari a ξ s / t / t, tr la cosiddtta risoluzio di rquza (rqucy rsolutio) è pari a

3 ξ / t ξ s /. Idichiao gli dati pr zzo dlla succssio x, dov,, ( o,, ). Si ossrvi ch la variabil / è diita ll'itrvallo [, ) (più prcisat, i [, / ]), così pr aalogia co la trasorata iita di Fourir F I, dopo la sostituzio, la discrtizzazio la trasorazio dlla soa itgral (x /, (x) x, dx /), si può diir la trasorata discrta di Fourir (Discrt Fourir Trasor - DFT): u x π,, La trasorata ivrsa è pari a:..., x u i π,,..., Coto: la variabil t rapprsta il tpo, tr la variabil ξ ( / ) ξ s : ξ rapprsta la rquza, così la DFT può ssr idicata ivc ch co u, co u o u ξ. I via spliicativa sza prdr di gralità, si può porr t ξ s, quidi il tpo la rquza divtao rispttivat pari a /. Nota: spsso i lttratura si trovao dll rlazioi dirti, quali: u x π, x u i π 5. Coti sulla trasorata discrta di Fourir a) Tipicat i dati x (,, ) soo di uri rali. Tuttavia l trasorazioi u (,, ) soo di uri coplssi, ovvro: u v + i w dov v w soo uri rali. La trasorazio ivrsa applicata a di uri coplssi u porta ad x trii rali. b) Qualora i dati x siao di uri rali, valgoo l sguti rlazioi: ( dia dgli x ), : v x w : v v, w w val a dir ch la part ral è sitrica risptto al puto /, tr la part iagiaria è atisitrica. Quidi pr qualsiasi, w /. c) L rlazioi di sitria suggriscoo ch gli uri rali x risultio, a sguito dlla trasorazio, i uri rali idipdti v w. 3

4 d) L stss rlazioi suggriscoo ch, s si cooscoo l u pr /, risultao quidi autoaticat dtriat l rstati. I altri trii, l rquz /,5 dtriao itrat la trasorazio, tr l altr rquz o aggiugoo alcua iorazio. La rquza liit di,5 è coosciuta co la rquza di Nyquist. ) S ( ) r u v + w è ua isura dl uro coplsso u, val quato sgu: x ( x x) r, s r p p dov p. Il tri : r p sist solo s è u uro pari. ) La scoda di qust quazioi ci cost di aalizzar la disprsio dl capio s ll sigol copoti r ch corrispodoo all rquz / da ξ / io a ξ N,5 (la rquza ( ) corrispod alla dia o prsta disprsio). Ua supriorità sigiicativa di ua r sull altr rivla u coportato priodico dl procsso co rquza / (priodo / ). g) L adato di p r al variar di (pr / ) o, più cout, dlla rquza / (pr / /,5), è chiaato priodograa. h) Il calcolo dlla DFT può ssr ttuato utilizzado dirttat la orula di diizio a il procsso risulta lto. Nl caso i cui il uro di dati sia ua potza di (ad spio 64, 8, 56, 5), sist u diuso algorito di calcolo vloc (Fast Fourir Trasor - FFT), ch orisc oggi la possibilità di oprar sza rstrizioi sul uro di dati. 6. Spttro di potza Pr u procsso stocastico X t a tpo discrto t,,, sia dtta uzio di autocovariaza γ : Cov [X t, X t + ],, ±,...; la uzio di autocovariaza è la trasorata ivrsa iita di Fourir di ua uzio chiaata spttro di potza s(ξ) co ξ diita ll itrvallo [, /]. Poiché γ è ua uzio pari, si ha: s ( ξ ) γ cos( π ξ ) γ + 4 γ cos( π ξ ) La rlazio ivrsa è γ s( ξ ) cos( π ξ ) dξ 4

5 Da ciò sgu ch l ara sottsa dallo spttro di potza è pari alla variaza γ dl procsso. I altrativa, lo spttro di potza può ssr diito i bas alla uzio di autocorrlazio prstado così l'ara pari a. S vi usata la uzio di autocovariaza stiata da ua sri storica x t (t,, ), i accordo co lo stiator stadard si ha: g ( x x) ( x x) t t + Si diostra ch lo spttro di potza s(ξ) coicid co il priodograa pr ogi rquza discrta ξ /, pr gli itri positivi / (o applicabil a ξ ). Pr i procssi stocastici rali risulta s(ξ) pr ogi ξ. Qualuqu dviazio coputazioal da qusta rgola dv ssr attribuita ad rrori di calcolo oppur all icorza dlla succssio γ (atrici di covariaza diit gativ). 7. Calcolo dllo spttro di potza scodo la sua diizio Si suppogao oti valori dlla uzio di autocovariaza γ pr,,. Toricat, l applicazio dll quazio ch diisc lo spttro di potza può ssr ttuata pr ogi valor dlla rquza ξ; basadosi sulla diizio dll quazio si otti (assudo γ pr ): s ( ξ ) γ + 4 γ cos( π ξ ) Tuttavia, i risultati o soo spr corti pr ogi ξ, quidi si ttua il calcolo usado l rquz discrt. Si distiguoo i sguti casi: ) Calcolo di s(ξ) i puti ξ / (proprio co l priodograa pr u uro ugual di valori): a) pr,, / co pari; b) pr,, ( ) / co dispari. ) Calcolo di s(ξ) i puti co u passo più itto ch i ): ξ / ( ) pr,, 3) Calcolo di s(ξ) i puti co u altro passo: ξ / ( ) pr,, Ni casi ) a) i cui l ultia rquza (cioè pr / rispttivat) è pari a,5, è prribil calcolar lo spttro di potza diat u quazio lggrt dirt, splicitado cioè l ultio tri: s ( ξ ) γ + 4 γ cos( π ξ ) + γ cos[ π ( ) ξ ] 5

6 L ivrsio vi ttuata covrtdo la corrispodt trasorata iita di Fourir i ua soa, ovvro la sgut rlazio, dov s(,5) sist i casi ) a): γ ( ) + ( ) s(,5) s ξ + s < ξ <, 5 ( ξ ) cos( π ξ ) 8. Calcolo dllo spttro di potza trait DFT o FFT Si suppoga acora ch la uzio autocovariaza γ sia ota pr valori di,,. S è ua potza di (aziché, co ll'aalisi di dati stadard), lo spttro di potza può ssr stiato (riducdo drasticat il tpo di calcolo) utilizzado i puti dlla FFT ξ / ( ) pr,, (co l prcdt caso )). Cosidrado γ pr, si diisc la succssio δ, sitrica risptto al puto, pr,, 3, co sgu: 4 δ δ ( ) ( ) γ s altriti I valori di u dlla DFT dlla FFT i puti,, soo i valori richisti di s(ξ ) pr rquz coprs tra,5. La succssio ivrsa di u ottuta diat l ivrs dlla DFT o FFT orisc i valori di δ ch dtriao l autocovariaza: γ δ [ 4 ( ) ] pr,,. 6

7 9. Rlazioi procsso / sri storica, autocovariaza spttro di potza / priodograa 7

8 . Espi di aalisi spttral a) Sgal priodico di u oto aroico b) Ruor biaco 8

9 c) Sgal priodico co ruor biaco d) Modllo di Marov (prsistza a brv tri) 9

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11 ) Modllo FGN (prsistza a lugo tri)