Algoritmo di Mallat

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1 ... Algoritmo di Mallat Partdo dalla famiglia di wavlt discrt diadich dal loro comportamto i frquza al variar dll idic di scala, Mallat suggrisc di dcomporr u sgal utilizzado du famigli di fuzioi wavlt: ua famiglia di fuzioi h ) /, t h t ) co adamto i frquza di tipo passa basso al fi di strarr dal sgal il cotuto i bassa frquza dtto ach approssimazio), d ua famiglia di fuzioi g ) /, t g t ) co adamto passa alto pr strarr il cotuto all alt frquz dl sgal dtto ach dttaglio). L idic dtrmia la posizio tmporal dlla fuzio risptto al sgal. La suddtta coppia di filtri è ota co il om di quadratur mirror filtrs, prchè riguarda filtri ch godoo dlla sgut proprità : g L ] ) h ] dov L è il umro di campioi. I Fig. 3 è mostrato u smpio di sgal tipo h g. Partdo dal valor, l algoritmo di Mallat dcompo il sgal i du sottobad uguali, ciascua pari a mtà dllo spttro dl sgal da dcomporr. L ultriori suddivisioi dl sgal i sottobad si possoo ottr matdo fissi i du filtri g] h] d ffttuado ua comprssio, o dcimazio, dl sgal all uscita dgli stssi, producdo u spasio dlla bada dl sgal. Ricordiamo ch u dcimator a M puti mati u solo campio ogi M quidi il sgal dcimato è ua vrsio cotratta dllo stsso, mtr lo spttro dl sgal dcimato risulta spaso di u fattor M risptto alla vrsio o dcimata, l'ampizza vi ridotta di u fattor /M. Im H h) x a x R -π -π/ 0 π/ π Im G ) g) x -a R -π -π/ 0 π/ π Fig. 3 L oprazio di dcimazio o sottocampioamto l tmpo è lcita i quato il sgal dopo i filtri ha bada dimzzata. A qusto proposito ricordiamo ch pr il torma dl campioamto u sgal filtrato su mtà bada, può ssr rapprstato co mtà di campioi pr dimzzar il umro di campioi si usa apputo u dcimator a puti).

2 Fig. 4 Il campioamto di sgali passa bada è rgolato dalla sgut rlazio: f c f max m, dov f c è la f frquza di campioamto m è il massimo itro o suprior a max. B Co rifrimto alla Fig. 4, si può ossrvar ch i sgali al primo livllo vgoo sottocampioati quidi la loro bada raddoppia; succssivamt trao i filtri ch hao la stssa risposta impulsiva dl livllo prcdt. L uscita di filtri vi acora sottocampioata poi filtrata tali oprazioi si ffttuao su u umro di livlli stabilito da colui ch sgu la dcomposizio. La dcomposizo dl sgal scodo Mallat è costituita dall'ultima squza di approssimazio da tutt l squz di dttaglio. Ad ogi livllo di dcomposizio la risoluzio tmporal dl sgal si dimzza a causa dl sottocampioamto a cofrma ch i sgali all più bass frquz hao ua risoluzio tmporal più bassa ma l risptto dl torma di Nyquist) risptto ai sgali ad alta frquza. Di cosguza la risoluzio i frquza è più lvata. I Fig. 5 è riportato u smpio di dcomposizio di u sgal chirp co rumor su u tratto tmporal brv prima riga), co i dttagli sulla coloa di dstra l approssimazioi a siistra. Fig. 5 I Fig. 6 è riportato u smpio di dcomposizio su tr livlli, co la rapprstazio tmporal frquzial: il sgal da dcomporr appar i alto i a), la cui bada è riportata i alto sulla coloa b); i a) i b) soo ach mostrati rispttivamt i sgali i rlativi spttri dcomposti ai vari livlli.

3 a) Fig. 6 b) Notar ch lo spttro i figura schmatizza la suddivisio i sottobad dl sgal, ma o rifltt il cotuto spttral i particolar la risoluzio frquzial) di sgali ai divrsi livlli di suddivisio ch si otti pr fftto dll applicazio dll algoritmo di Mallat. Prdiamo ora i sam il procsso di ricostruzio dl sgal, ch prvd ad ogi passo: a) u itrpolazio di u fattor, b) la covoluzio co i filtri di ricostruzio uguali a qulli utilizzati lla dcomposizio); c) la somma dll squz risultati. Ricordiamo ch pr itrpolazio si itd la procdura di isrimto di puti i ua squza pr simular l aumto dlla frquza di campioamto; qusti campioi aggiutivi soo i gr sclti ulli. Ciscu livllo di ricostruzio è dscritto dalla sgut rlazio: y y high low. x ], ] g ] +, ] h ] I Fig. 7 è riportato lo schma a blocchi dll algoritmo di dcomposizio ricostruzio di u sgal.. Fig. 7 L itrpolazio tmporal di u fattor ffttuata sul sgal dttaglio rstituisc la risoluzio tmporal dllo stsso prima dlla dcimazio. La succssiva covoluzio tra il sgal itrpolato il filtro g] o h]) prmtt di riottr il sgal al livllo prcdt la dcomposizio.... Algoritmo sza dcimazio L oprazioi di sottocampioamto prsti ll algoritmo di Mallat limiao la ridodaza lla rapprstazio dl sgal, ma causao la dimiuzio dlla risoluzio tmporal all aumtar dl livllo di dcomposizio. I alcu applicazioi può ssr importat matr la stssa risoluzio tmporal su tutti livlli.

4 Pr rispodr a tal sigza è stato sviluppato u algoritmo di dcomposizio sza dcimazio l tmpo. La dcomposizio dl sgal avvi acora facdo passar il sgal attravrso du filtri g] h], rispttivamt passa-alto passa-basso. Tuttavia, ll algoritmo sza dcimazio gli stadi di sottocampioamto soo rimossi, mtr l rispost impulsiv di filtri soo itrpolat ad ogi livllo di dcomposizio. L itrpolazio l tmpo quival alla dcimazio di campioi frquziali. Prtato, a diffrza dll algoritmo di Mallat, i filtri hao divrsa risposta impulsiva ai divrsi lvlli di dcomposizio. Idicado co h] la grica risposta impulsiva dl filtro passa basso, la risposta impulsiva h ] al livllo è ottuta isrdo ) zri fra ciascu coppia di cofficit di h]: h h ) 0 altrimti dov m 0,,.,L - è la lughzza dl filtro. Pr il primo livllo si otti: h ) h). La rlazio tmpo-frquza porta alla sgut formula: F h ) H π dov l argomto di H è stato sostituito co, formalismo utilizzato ll rapprstazioi discrt. I modo aalogo si procd pr il filtro passa-alto. Lo schma di fuzioamto dll algoritmo di dcimazio i frquza è riportato i Fig. 8. Co tal algoritmo bisoga ach tr coto dl divrso ritardo itrodotto dai filtri ai vari livlli di dcomposizio a causa dlla divrsa durata tmporal dlla risposta impulsiva. All aumtar dl livllo di dcomposizio il ritardo tmporal itrodotto dai filtri aumta di ciò bisoga tr coto lla localizzazio tmporal di u vto. x] m g] h] Cofficiti g/] h/] Cofficiti g/4] h/4] Cofficiti Cofficiti Fig. 8 A titolo di smpio, suppoiamo di utilizzar com wavlt madr ua spli quadratica, la cui trasformata di Fourir è data da: 4 si 4 ) Ψ 4 Si può dimostrar ch i filtri da usar lla dcomposizio sza dcimazio, soo dati dall sguti sprssioi dll rispost i frquza:

5 si / 4 ) 3 cos / ) G H l quali rapprstao du filtri FIR ch partizioao lo spttro i du sottobad, l cui rispost impulsiv soo: { } { } ] ] ] ] ] 3 ] 3 ] 8 ] g h δ δ δ δ δ δ Co rifrimto allo schma a blocchi di Fig. 8 si può dimostrar ch la risposta i frquza ) Q ch compt al -simo livllo di dcomposizio è data da: 0 ) ), ) ) l l H G G Q I particolar: pr, la squza tmporal vi filtrata solo dal filtro G) sza dcimazio i frquza; quado, la squza tmporal vi filtrata da u filtro H) sza dcimazio i frquza da u filtro G) co dcimazio i frquza. Prosgudo co crscti si complta la dcomposizio. Tipich rispost i frquza pr divrsi valori di soo riportat i Fig. 9. L uscita dl filtro al livllo - simo è il prodotto dll fuzioi di trasfrimto G) H), sulla bas dlla prcdt formula. Fig. 9 I Fig. 0, vdiamo com si prsta la trasformata wavlt dl sgal ECG mdiat l algoritmo sza dcimazio, limitatamt ai primi ciqu livlli di dcomposizio: i a) possiamo vdr com l oda R, approssimata co u oda triagolar, gri ua coppia di massimo-miimo local lugo tutti i livlli i quato l oda R simulata ha u cotuto frquzial stso a tutta la bada frquzial). Il picco dll oda R corrispod al puto di attravrsamto dll zro comprso fra il massimo il miimo local. K K3

6 Fig. 0 L oda T, mostrata l caso b) dopo il complsso QRS, prsta l compoti a maggior ampizza i livlli ifriori corrispodti all frquz più bass livlli 4 5 ). S il sgal è disturbato da u rumor ad alta frquza c), i livlli più ifluzati soo qulli a frquz più alt pricipalmt il ); u rumor più lto ch distorc la lia bas d), pr smpio u artfatto da movimto, ifluza solo i livlli ifriori maggiori di 4 ). Ai fii di ua localizzazio più accurata dl picco R è cssario cosidrar il ritardo tmporal itrodotto dai filtri, il qual aumta al crscr dl umro di livlli i quato la lughzza dl filtro aumta i durata tmporal). L algoritmo di dcimazio i frquza si prsta ach pr ssr implmtato via hardwar i modo smplic, pr filtrar u sgal sulla bada frquzial -sima, prsrvado la massima risoluzio tmporal compatibil co il torma dl campioamto dl sgal. /0/0.. Trasformata wavlt bidimsioal L stsio al caso D dlla TWC moodimsioal passa attravrso la sgut trasformazio. Data la fuzio D fx,y), la sua TWC-D è dfiita com: x y τ τ x y TWC τ, τ, s) f x, y) Ψ *, dxdy s s s Ua soluzio più pratica pr applicar la dcomposizio wavlt a immagii può ssr ricavata mdiat l impigo di filtri co u algoritmo aalogo a qullo di Mallat. Nl caso bidimsioal è cssario distigur du soluzioi, ua basata sull impigo di filtri o sparabili l altra su filtri sparabili. I Fig. è riportato lo schma di pricipio dlla suddivisizio i livlli di u immagi utilizzado filtri o sparabili.

7 Fig. Il trmi x,m) idica la matric dll immagi da aalizzar, i filtri G.,.) H.,.) soo gli quivalti bidimsioali rispttivamt di filtri passa basso passa alto l caso D; il dcimator D dv ssr itso ll righ ll colo dlla matric dll immagi, l oprazio ch lga l igrsso co l uscita di ciascu filtro è la cooluzio bidimsioal. Com smpio di filtro passa-basso cosidriamo u filtro circolarmt simmtrico, avt la risposta i frquza dl tipo: + c H, ) 0 + > c dov c è la pulsazio di campioamto. U smpio di filtro passa-alto si otti sostitudo il sgo < co > lla prcdt formula. La soluzio basata su filtri o sparabli suddivid lo spttro dll immagi i sottobad i maira isotropica, sza quidi la capacità di strarr iformazioi di atura dirzioal. Nlla pratica tal mtodo vi applicato ll aalisi frattal, dov l form diffriscoo sszialmt pr la dimsio o pr l oritazio, ll aalisi dlla tssitura di u immagi ovvro ll aalisi dll orgaizzazio spazial di livlli di grigio. E ach possibil applicar la dcomposizio wavlt ad u immagi sfruttado la proprità di sparabilità di u filtro D i du filtri D, cioè tal ch s wx,y) è la risposta spazial dl filtro, si possa scrivr φ x,y) φ x) φ y). I filtri φ x) φ y) vgoo applicati rispttivamt all righ all colo dll immagi co ua squza opportua com illustrato i Fig.. A ciascua livllo di dcomposizio si ottgoo: u immagi passa-basso LL) tr immagii ciascua corrispodt alla dirzio orizzotal LH), vrtical HL) diagoal HH). L sottobad soo prodott mdiat oprazioi di filtraggio sguit da oprazioi di sottocampioamto co fattor.

8 Fig. Il baco di filtri di ricostruzio è riportato i Fig. 3. Fig. 3 L immagi passa-basso LL) potrà ssr ultriormt dcomposta i altr quattro immagii scodo lo schma appa sposto.

9 LL HL LL LH HL HH HL LH HH LH HH a) Fig. 4 b) Com dscitto i Fig. 4a, la dcomposizio trasforma l immagi i u sgal mdio o approssimazio i tr sgali dttaglio ssibili alla dirzio: LH vidzia l carattristich orizzotali dll immagi, HL qull vrticali, HH qull diagoali; i Fig.4b è riportato u smpio di dcomposizio su tr livlli pr l immagi dl quadrat i alto a siistra. I trmii di umro di pixls, si grao quattro sottoimmagii di dimsioi pari ad u quarto dlla matric dll'immagi origial ch mss isim rstituiscoo la dimsio di partza. Si può ossrvar ch, i gral, i riquadri di dttagli orizzotali, vrticali diagoali, siamo i prsza di ua gra quatità di pixl la cui ampizza è prossima allo zro, ch possoo ssr limiati com succd ll oprazio di comprssio. Fig. 5 Si può ach limiar il cotributo dll approssimazio quado l obittivo dlla TWD è valutar l fftto dl filtraggio passa alto, ottdo risultati dl tipo di Fig. 5 ch riporta il risultato dll limiazio dl cotributo di appropssimazio riquadro i basso a dstra)...3 Applicazioi..3. Doisig U obittivo importat dlla scomposizio wavlt è l applicazio, l domiio wavlt, di filtri di doisig i modo da ripulir l immagi o il sgal) dal rumor. Si tratta di filtrar i cofficiti wavlt d o ) a ciascu livllo, posizio spazial oritazio) ch hao basso SNR.

10 U mtodo pr stabilir la soglia di filtraggio l domiio wavlt cosist ll applicar la sgut formula: d o σ o ) 3 ) α d o ) dov α è il filtro ch miimizza l rror quadratico mdio pr ciascu cofficit. Il trmi σ o ) rapprsta la variaza dl cofficit ossrvato, mtr il trmi o d ) rapprsta il quadrato dl valor dl cofficit wavlt. Il valor di α è ullo quado il umrator assum valor gativo. L oprazio di d-oisig cosist l moltiplicar i cofficiti dlla scomposizio wavlt pr il valor di α, al variar di. I prsza di rumor additivo gaussiao biaco assumdo ch la variaza dl rumor sia costat su tutto il domiio di cofficiti valga σ, il filtro α assum la forma smplificata ottuta co la sgut o sostituzio: σ ) σ. Ovviamt si dv cooscr a priori o potr stimar il valor di σ. U modo altrativo all applicazio dlla prcdt formula è qullo di fissar ua soglia ad u valor proporzioal a σ di azzrrar i cofficiti ch o suprao la soglia. L ipotsi ch supporta l oprazio di doisig è ch la bada dl sgal è mo stsa dlla bada dl rumor quidi l rgia dl rumor vi ripartita su u umro maggior di cofficiti di quato accada pr il sgal, co il cosgut miglioramto dll SNR sull bad dl sgal. 7/0/0 Esrcitazio: implmtazio dll algoritmo di Mallat. Partdo dal sgal ECG misurato, ffttuar i sguti passi o sommar rumor biaco al sgal ECG o applicar l algoritmo di Mallat d ffttuar l oprazio di d-oisig utilizzado il filtro α l oprazio di sogliatura o calcolar l rror quadratico mdio tra il sgal sza rumor il sgal filtrato discutr i risultati o implmtar l algoritmo sza dcimazio o applicar l algoritmo sza dcimazio al sgal ECG co rumor o valutar il ritardo itrodotto all aumtar di livlli di dcomposizio..3. Comprssio I gral quado si parla di comprssio si dv iazitutto capir quado sia possibil comprimr u immagi. Pr far ciò è cssario dar alcu dfiizioi. U immagi può ssr cosidrata alla strgua di ua sorgt discrta co u alfabto A di M simboli. Pr smpio, l caso di u immagi, i simboli soo M 56 corrispodoo ai livlli di grigio. Il -simo simbolo, co,...,m, ha probabilità p di ssr grato. La corrispodt iformazio pr simbolo è dfiita dalla sgut rlazio: I log p cioè l iformazio è tato più grad quato mior è la probabiltà ch ha il simbolo di ssr grato. Pr smpio, i u cotator biario, i bit mo sigificativi si riptoo più frqutmt di qulli più sigificativi, ma u rror i qusti ultimi è di gra luga più psat. L'iformazio cotuta ll'immagi è la somma dll iformazio di sigoli simboli d è data dalla sgut rlazio: M I log p

11 La bas torica dlla riduzio di dati si può ricodurr al primo torma di Shao ch affrma ch ua sorgt S ch mtt M simboli s,...,s M co rispttiv probabilità p,...,p M idipdti) può ssr carattrizzata dal valor mdio valor attso) dll'iformazio pr simbolo o tropia. Il rifrimto pr dcidr s ua sorgt può ssr comprssa è data proprio dal valor dll tropia. L tropia, o valor mdio statistico dll'iformazio pr simbolo, è data da: M Hs ) p log p Hs) vi sprssa i umro mdio di bit di iformazio/simbolo. Prtato, data ua sorgt di iformazioi co i simboli statisticamt idipdti sottoposta ad oprazioi sui sigoli pixls, al variar dll probabilità di simboli l tropia risulta massima pr simboli quiprobabili. Ifatti, pr simboli quiprobabili si ha ch p /M quidi: H max log M ch rapprsta il massimo dll tropia. Quidi l'tropia di ua sorgt di M simboli varia fra zro logm al variar dlla probabilità di sigoli simboli. L sorgti a simboli quiprobabili utilizzao al mglio l possibilità di carattri di cui dispogoo. Si ha ridodaza quado l'tropia H di ua sorgt è mior dlla massima H max costita dall'alfabto. Quado ciò accad, ha sso procdr alla comprssio dll immagii. La TWD è ua dll tcich di comprssio attualmt tra l più usat. Tra l carattristich ch la rdoo fficac ai fii dlla comprssio vi soo la proprità di cosrvazio dll rgia, la qual vi mdiamt coctrata i u ridotto umro di cofficiti lla rapprstazio multirisoluzio proprità di dcorrlazio compattazio di rgia), ioltr i cotori l discotiuità hao ua rapprstazio compatta grao u limitato umro di cofficiti ll vari sottobad di dttaglio). Tali proprità costoo di localizzar su u umro ridotto di cofficiti la maggior part di rgia di u immagi, mtr i rstati cofficiti assumoo valori prossimi allo zro. A qusto puto, impodo ua soglia miima, i cofficiti di bassa ampizza possoo ssr forzati a zro. I Fig. 6 è rapprstata ua scomposizio al primo a), scodo b) trzo livllo c). a) b) c) Fig. 6 La cssaria riduzio di occupazio di mmoria, quidi la comprssio, è ottuta facdo sguir all oprazio di TWD, u oprazio di codifica ch riduca il umro di codici cssari pr rapprstar strigh di simboli di valor ugual. Ifatti, può ssr covit sostituir alla codifica di sigoli simboli qulla dl primo simbolo sguita da u umro ch idichi il umro di simboli succssivi s uguali. La codifica ru-lgth ralizza tal algoritmo. Quidi la codifica ru-lgth è util quado vi siao più carattri domiati ch si prstao co u'icidza statistica maggior di ua dtrmiata soglia. Ad smpio si abbia la sgut squza:,00,0,0,0,0,0,0,0,34,34, ch si comprim lla:,00,,0,7,34,34, dov il carattr ha il ruolo di carattr spcial vi sguito dal carattr ch si vuol comprimr sguito dalla sua umrosità. Evidtmt la soglia i qusto caso è 3, mtr soo smpr 3 l cll cssari pr rapprstar la codifica; ifatti i carattri 34,34 o soo stati comprssi. Esrcitazio: implmtazio dll algoritmo TW-D

12 - ralizzar l sguti maschr spaziali, calcolar il cotuto frquzial discutr la tipologia di filtro orizzotal + 45 vrtical applicar l suddtt maschr all immagi di Fig. 4b i alto a siistra) pr acquisir cooscz sul filtraggio dirzioal - utilizzado la fuzio matlab wavdc applicar la TW-D all immagi di cui sopra itrprtar i risultati - aggiugr rumor all immagi implmtar il filtraggio di doisig D