Errori e elaborazione statistica dei risultati

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1 Errori laborazio statistica di risultati Prssa Qust poch pagi soo stat scritt allo scopo di ttr ordi, raccoglir copltar ua sri di scritti prparati pr gli studti. Si fa otar co qust pagi ralizzio dll ot a uso itro siao uo struto oprativo; o vao quidi cosidrat co u tsto saustivo sugli rrori di isura, il qui studio rigoroso è assai più coplsso di co prstato i qust pagi. Errori di isura Ssibilità dgli struti Ogi isura iplica u giudizio sull'guagliaza tra la gradzza icogita la gradzza capio ( o vtualt u suo ultiplo o sottoultiplo). E' chiaro ch tal giudizio o può ssr assoluto, a dipd dall codizioi i cui la isura vi ffttuata. Così, s cosidriao ua isura di lughzza ch vi ffttuata co ua riga illitrata, sarà possibil ffttuar il cofroto co u'icrtzza di zzo illitro i più o i o. S ad spio si ossrva ch, posto uo di bordi dl foglio i corrispodza dllo zro, l'altro si trova tra l graduazioi , si potrà scrivr: 0,57 l 0,573 o ach, più cout: l(0,575±0,0005) Si dic i qusto caso ch la isura di lughzza è stata sguita co ua "ssibilità" di 0.5. E' chiaro ch s la isura si sgu co ua stcca graduata i ctitri, la ssibilità risulta di 0.5 c. I gral, si dfiisc ssibilità di uo struto ( x) (o dl procdito sprital i cui vi usato) la iia diffrza apprzzabil tra il valor dlla gradzza da isurar qulla capio. No ha sso riportar il risultato di ua isura idicado u uro di cifr dciali aggior di qullo cssario pr idicar la ssibilità dlla isura (soo l cifr sigificativ). Ogi isura è afftta da rrori, s talvolta si parla di "valor vro ( )" di ua gradzza, si itd splict il valor ch si ottrrbb sgudo la isura i codizioi tali da ridurr gli rrori a valori olto iori dgli attuali, i quato il valor vro è di fatto irraggiugibil. TIPI DI ERRORE. Error assoluto: dopo avr ffttuato ua isura co u crto struto, dalla prcisio di qust'ultio dall'abilità dllo spritator si trova u dato valor ± u crto rror: A - dov A è dtto rror assoluto, è il valor isurato è il valor vro. Error rlativo: l'rror rlativo o frazioal è dato dal rapporto tra l'rror assoluto il valor dlla isura stssa: R A L'rror rlativo, rapporto tra du gradzz oog è u uro puro, tr l'rror assoluto dv ssr spr sguito dall'uità di isura. L'rror prctual, ivc, è: A R% R S l'rror rlativo è di 1/10, allora qullo prctual è dl 10%.L'rror rlativo è più idicativo di qullo assoluto. N.B L utilizzo dll rlazioi sopra prstat divta coplicato pr il fatto ch il valor vro è di fatto irraggiugibil. 1

2 Classificazio dgli rrori Gli rrori di isura si possoo suddividr i "sistatici" "casuali". Alla pria catgoria appartgoo gli rrori ch falsao la isura spr llo stsso sso. Ad spio, u "tro" capio lugo 999 forirà spr dll isur rrat pr ccsso Dagli rrori sistatici ci si può librar calibrado atttat gli struti, ovvro apportado u' opportua corrzio ai risultati ottuti. La prsza di rrori casuali, a diffrza di quato accad pr qulli sistatici, risulta vidt quado si ripta più volt la stssa isura i codizioi oialt guali co ua ssibilità sufficitt spita. Si ossrva allora ch i risultati diffriscoo l' uo dall' altro. Ciò può ssr iputato a vari caus: a) codizioi spritali (s. prssio, tpratura ) fluttuati i aira o cotrollabil; b) disturbi strai alla isura (vibrazioi, capi lttrostatici, ) c) grossolaa itrpolazio tra du divisioi succssiv lla scala dllo struto; d) dfiizio vaga dlla gradzza da isurar (cosa sigifica "lughzza dl foglio di carta" quado si prtda di isurarla co ua prcisio dl µ? Il foglio o è ai prfttat rttagolar d i suoi bordi o soo sattat rttilii). La prsza di rrori i ogi isura, particolart dgli rrori casuali, ostra co la ssibilità sia u rquisito cssario, a o sufficit, pr ua buoa isura. Sorg allora spotaa la doada: co possiao far pr studiar ricavar di dati da ua isura afftta da rrori casuali? Si procd utilizzado l laborazio statistica di risultati. Elaborazio statistica di risultati. La statistica si occupa di odi (dscritti attravrso forul atatich) i cui ua raltà foica (i foi ch accadoo) può ssr sittizzata quidi coprsa. Co il tri statistica, l liguaggio di tutti i giori, si idicao ach splict i risultati urici (l statistich richiaat i tlgiorali, ad spio; l'iflazio, il PIL) di u procsso di sitsi di dati ossrvati. Il ostro probla è qullo di ridurr l fftto dgli rrori. Pr ridurr al iio l fftto dgli rrori ricorrro a dll prov riptut i quato supporro ch utilizzado u uro di prov lvato l fftto dgli rrori casuali si lida a vicda (alcui rrori odifichrao i risultati pr ccsso, altri pr diftto). Mdia arittica. Dfiiro valor dio di ua prova ( ) il risultato dll dia arittica di valori ottuti da ua prova co la soa di valori ottuti da tutt l prov diviso pr il uro di prov Qusta oprazio ci porta u grad vataggio i quato assuro ch l rror casual abbia dia ulla. Scarto Lo scarto è dfiito co la diffrza tra il valor dio il valor isurato: z ariaza La variaza è lo scarto dalla dia d è dfiita co: Dviazio stadard σ z 1 + z z 1 Dviazio stadard (σ ) rapprsta ua stia dl procsso i sa (stia dll rror) σ σ

3 Espio pratico. ogliao isurar il tpo ch ipiga ua sfra co 60,0 g a scivolar lugo u piao icliato (uito di scaalatur) di u agolo α1,0 lugo 1,00. La ssibilità dllo struto co il qual sguiao la isura è pari a 1/100 di scodo. Il tipo di isura è psatt palizzato da rrori casuali allora risulta fodatal ricorrr a prov riptut pr poi laborar i risultati. Nl ostro caso l prov soo 60. prov [s] [s] z [s] Z [s ] σ [s] 1 1,05 1,03 0,0188 0, ,077 1,04 0,0088 0, ,04 0,0088 0, ,05 0,0188 0, ,01-0,01 0, ,0-0,011 0, ,00-0,031 0, ,98-0,051 0, ,97-0,061 0, ,05 0,0188 0, ,05 0,0188 0, ,03-0,001 0, ,05 0,0188 0, ,03-0,001 0, ,10 0,0688 0, ,0-0,011 0, ,03-0,001 0, ,07 0,0388 0, ,0-0,011 0, ,05 0,0188 0, ,01-0,01 0, ,04 0,0088 0, ,06 0,088 0, ,07 0,0388 0, ,08 0,0488 0, ,04 0,0088 0, ,10 0,0688 0, ,05 0,0188 0, ,05 0,0188 0, ,99-0,041 0, ,98-0,051 0, ,05 0,0188 0, ,07 0,0388 0, ,05 0,0188 0, ,98-0,051 0, ,01-0,01 0, ,00-0,031 0, ,03-0,001 0, ,0-0,011 0, ,01-0,01 0, ,00-0,031 0, ,03-0,001 0, ,01-0,01 0, ,03-0,001 0, ,03-0,001 0, ,03-0,001 0, ,03-0,001 0, ,99-0,041 0, ,01-0,01 0, ,03-0,001 0, ,03-0,001 0, ,01-0,01 0, ,00-0,031 0, ,04 0,0088 0, ,03-0,001 0, ,07 0,0388 0, ,04 0,0088 0, ,03-0,001 0, ,04 0,0088 0, ,04 0,0088 0, totali 61,87 0,0000 0,

4 U oprazio strat util è qulla di rapprstar graficat i dati. Pr far qusto è olto utili ordiarli suddividrli i classi, cioè suddividr l itrvallo di tpo l qual soo prsti i dati i odo da potrli poi raggruppar. La sclta dl uro di classi è pirica. Noralt si scgli u uro dispari. I qusto caso sclgo 7. Ua rlazio pirica (ota co rgola di Sturgs) ch i gr fuzioa b (alo co pria stia) pr il uro di classi è: Nuro di classi: k iio uro itro aggior o ugual a [ 1 + 3,33 ] co uro di prov; l ostro caso [ 1 + 3,33 log10 ] 6, 948 log 10 quidi k7 Dopo avr disposto gli lti i ordi divta facil suddividr i classi cotar quati lti soo prsti i ua class. Apizza class Max classi Dfiiao l frquz rlativ: siao f 1, f..f l frquz di foi ll classi cosidrat. Possiao dfiir l frquz rlativ co: f f1 f ; f r... f f f +... f r 1 r r1 + r r f co 1 La tablla sottostat riporta la situazio co i calcoli rlativi all spio cosidrato. Mi 4

5 Il grafico sottostat riporta la rapprstazio dll spio. Abbiao i ascissa l classi i ordiata la frquz rlativ. Sfra lugo u piao icliato, 60 prov 0,375 0,355 0,335 0,315 0,95 0,75 0,55 0,35 0,15 0,195 0,175 0,155 0,135 0,115 0,095 0,075 0,055 0,035 0,015-0,005 0,970-0,988 0,989-1,006 1,007-1,05 1,06-1,043 1,044-1,06 1,063-1,080 1,081-1,100 classi di tpi [s] All autar dl uro di prov il grafico tdrbb ad assur ua fora cosiddtta a capaa. La curva vidziata i rosso ch rapprsta la tdza (olto schatica) assu il o di curva gaussiaa. diao alcui grafici (rlativi ad u sprito ch o è il ostro) ch splificao ch vidziao co all autar dl uro di prov la curva tdzial soiglia spr più ad ua gaussiaa. 0,15 1 0,1 0,09 0,06 0,

6 0, ,1 0,09 0,06 0, , ,1 0,09 0,06 0, Qusta curva ha dll carattristich particolari ch la rdoo olto utili lla rapprstazio schatizzazio di foi. La curva gaussiaa ha dll proprità particolari ch adro ora a lcar (l pricipali) 6

7 Proprità dlla distribuzio gaussiaa Dopo avr sguito N isur, d avr costruito la curva dll frquz rlativ, s si vrifica u adato di tipo gaussiao (assiilabil ad ua curva a capaa) si può cocludr ch la probabilità ch ua isura cada i uo di sguti itrvalli è: [ -σ; +σ] [ -σ; +σ] [ -3σ; +3σ] All autar di σ il grafico td ad autar ad allargarsi, abbassado il assio. Ni tsti σ assu oi diffrti (variaza, scarto quadratico dio ) talvolta si trova il sibolo µ. No è lo scopo di qust poch righ approfodir l piccol diffrz l sigificato di trii. Noi li usro (itroducdo ua piccola approssiazio splificazio) co sioii. rso il valor vro L utilizzo di struti statistici, l caso di prov afftt da u gra uro di rrori casuali, ci coduc a ottr di risultati ch ci avviciao al valor vro. Possiao ifatti assur ch l rror casual abbia dia ulla. Ifatti si abbiao prov possiao affrar ch il valor isurato i ogi sigola prova sarà dato da: ± ± dov co C itdiao l rror casual co S itdiao l rror sistatico. Quado adiao a calcolar il valor dio tra valori isurati ottiao allora: 1 + C S ( ± ± ) + ( ± ± ) ( ± ± ) S1 C1 S C 7 S C

8 a allora utilizzadol ot proprità dll algbra possiao scrivr ch: ± S1 + S S C1 + C ± Pr coodità possiao ora dfiir u rror casual dio co: Ossrviao ioltr ch: S1 E C + S C1 S + C S i quato pr dfiizio gli rrori sistatici soo spr uguali i ua isura. Allora abbiao ottuto ch: ± E ± Si può diostrar ch s il uro di prov è olto lvato allora E C td a zro. Possiao quidi affrar ch s abbiao svolto u uro di prov lvato: S Co l rror sistatico ch ci ascod il valor vro, a sappiao ch si può sprar di idividuar. C ± S C C Errori statistici Error statistico assoluto AS Si diostra ch s gli rrori soo casuali c è ua probabilità dl 99,7% ch il valor vro stia ll itrvallo urico [x 3 σ ; x + 3 σ]. Si po allora co rror statistico (assoluto) il uro 3 σ. Error statistico rlativo RS : l'rror rlativo o frazioal è dato dal rapporto tra l'rror assoluto il valor dio dlla isura stssa: RS Error statistico rlativo prctual RS% : RS AS 3σ AS 3σ % Espio Rifrdoci all spio dll pagi prcdti abbiao ch i du rrori citati aotao a: RS SA 3 σ 3 0,077 0, 083s AS 3σ 0,083 % ,07% 1,03 Sappiao ioltr ch c è ua probabilità dl 99,7% ch il valor vro stia ll itrvallo urico [x 3 σ ; x + 3 σ] cioè ll itrvallo: [0,948s ; 1,11s] 8

9 Propagazio dgli rrori Nlla pratica quotidiaa i risultati di isur si utilizzao i vari odi. Si cosidri il calcolo dll ara di u rttagolo dl qual si isurao i du lati. L oprazio i sa prvd ua oltiplicazio. Nl caso dl calcolo dl pritro dobbiao sguir ua soa. I qusti tutti qusti casi stiao sgudo qulla ch si chiaa isura idirtta. Si po quidi il probla di cosidrar cosa accad quado facciao dll oprazioi co gradzz afftt da rrori cioè co dobbiao cosidrar gli rrori ll isura idirtt. So sottrazioi Quado ua isura idirtta è ottuta sgudo addizioi sottrazioi, l'rror assoluto fial è la soa dgli rrori assoluti dll sigol isur. Ifatti siao l du gradzz da isurar a b pr quato dtto prcdtt a a ± Aa ; b b ± Ab allora avro ch: ( a + b ) ± ( Aa Ab ) a + b + Aaloga è la diostrazio l caso dlla sottrazio. Moltiplicazioi divisioi quado ua isura idirtta è ottuta sgudo oltiplicazioi divisioi, l'rror rlativo fial è la soa dgli rrori rlativi. Ifatti siao l du gradzz da isurar a b pr quato dtto prcdtt Aa a a ± Aa a 1 ± a ( ± ) 1 ; Ab b b ± Ab b 1 ± b ( ± ) a 1 ; b si oti co ll ultia part si sia vidziata l ifluza dll rror rlativo. Allora avro ch: a ( 1 ± ) ( 1 ± ) ( ± ± ± ) a b 1 b Ora possiao affrar sza ta di stit ch: >> >> è quidi itroduciao ua iia approssiazio si affriao ch: a b ( ± ) a b 1 ± a b L approssiazio è ll ordi di: 1± ± ± 1± ± ± ( 1± ± ) calcolar i casi di itrss pratico. 1± ± ± ch si può facilt Aaloga è la diostrazio l caso dlla divisio. Si oti co l cosidrazioi fatt i qusto paragrafo valgoo ach co gli rrori statistici. Pr l assoluto statistico vdi l assoluto così pr il rlativo. Espio L isur di lati di u rttagolo soo: l 1 ( 5,15 ± 0,0500) c l (,45 ± 0,0500) c. Qual è l rror % qual l rror assoluto l calcolo di pritro ara? Co posso sprir qusti risultati? 9

10 Soluzio: 0,0500 Al1 c; 0,0500 Rl Rl, l,45 0,0500 Rl1 3 Rl 9,71 10 ; 1 Al 0500 l 5,15 0, 1 Nl calcolo dl pritro avrò ch: AP AP Al + Al 0, 00c quidi 1 RP l + 1 l Nl calcolo dll ara avrò: + 3,01 10 biodi l rror assoluto sarà di: RA Rl1 Rl RA AA l1 l1 AA RA l1 l1 3, c Possiao allora affrar ch: P ( 15, ± 0, 00)c 0,00 15, A 1,6 ± 0,380 c c; 1,3 10 ; ( ) Co ota fial facciao otar ch l caso di qusto spio la splificazio itrodotta lla oltiplicazio produc u approssiazio pari a: Rl Rl 1, ± Rl ± ± 1 Rl Rl 1 Rl 4 10