misura il grado si similarità di una sequenza con sé stessa. Quando n = 0, si ottiene il valore dell energia:

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1 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9. Sgali umrici Scomposiio i as quaratura part ral, part immagiaria ] I ] Q ] Sgali PARI : ] *-] Sgal DISPARI: ] - *-] Prioicità ovoluio ] ], prioo lla squa y ] ]* h ] ] h ] Autocorrlaio * R ] ] ] misura il grao si similarità i ua squa co sé stssa. Quao, si otti il valor ll rgia: R ] * ] ] ] Mutua corrlaio * R ] ] y ] Y Ioltr R Y ] R Y -] misura la similarità ra u sgali istiti. Sgali lmtari lta umrica: δ ] altrov proprità: ] δ ] ] δ ] ]* δ ] ] graio causal uitario u ] δ ] graio ati-causal uitario u ] δ ]

2 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 rampa r ] u ] spoial causal a u], a ragio sgali armoici y ] Acos ϕ Acos ϕ R{ prioo i pulsaioi : Ω ; ], ] ϕ prioo i rqu: F, Fuioi prioich U sgal umrico y] ha prioo pari a s y ] Acos ϕ Acos ϕ Il scoo trmi ivta A cos ϕ Sapo ch il coso è prioico co prioo, itro, aiché y] sia prioica i prioo, v vriicarsi, quii v ssr itro. Rgola pratica: /, ossia, v ssr sprimibil tramit rapporto ra umri itri, ioltr voo risultar primi ra loro, ossia mcm,, ov mcm è il miimo comu multiplo. Ua combiaio ra sgali umrici armoici somma o prootto co prioo iito, ha com prioo complssivo il rapporto: ov MD, MD, è il massimo comu ivisor ra i u prioi itri. }. Ergia/Pota Sgali umrici E S S P E E ] <, il sgal è l tipo a rgia iita ha pota ulla., è possibil calcolar la pota mia l sgal com: lim ] Pr u sgal umrico prioico, co prioo, la pota mia val P ]

3 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 Sgali aalogici campioati Ergia: S E E t t T <, il sgal è l tipo a rgia iita ha pota ulla. T S E, è possibil calcolar la pota mia l sgal com: T / Pota mia: P lim t t lim T T T T T / Pr u sgal aalogico prioico, co prioo T T, si ha P T T T T 3

4 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 3. ampioamto Quatiaio ampioamto i u sgal tmpo cotiuo t co baa iita B. Diiio i baa gli smpi rlativi al corso, pr baa B i u sgal si it il omiio spttral ll rqu positiv ovvro la rqua ll armoica co rqua più alta prst llo spttro l sgal: Torma i yquist u sgal t a baa limitata B può ssr campioato, sa prita iormaio, utiliao ua rqua i campioamto almo pari al oppio lla baa i t: B S il sgal è a baa illimitata B, vi ttuato u pr-iltraggio tramit u iltro i atialiasig co ua rqua i taglio tal ch il sgal risultat cotga ua crta prctual i rgia l sgal i parta i gr il 9-99%. B99% B99% -B B E B B c Filtro i ricostruio T H > / / l omiio l tmpo, la risposta all impulso l iltro i ricostruio ttua ua itrpolaio ra i campioi l sgal. Risposta all impulso si c t h t F { H } Sic c t c t co h h T T /, itro Quatiaio I campioi rali i u sgal, aiché sia possibil rapprstarli su calcolator, voo ssr quatiati co u crto umro i bit i prcisio. l caso lla quatiaio uiorm, si suivi la iamica l sgal i sgmti i ampia costat: Diamica D comprsa ll itrvallo -V; V] L b umro i livlli co ampia uiorm D V/L b umro i bit i quatiaio iisc il umro i livlli utiliati 4

5 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 La quatiaio è ua opraio irrvrsibil ch itrouc u rror ovuto alla prita i iormaio opo la covrsio igital i campioi rali: Δ rror i quatiaio icac ε Q Vi iito, ioltr, il rapporto sgal/rumor i quatiaio: P S D SR Q 6. b.8 log P PS ov PS T è la pota l sgal campioato. Sovracampioamto Utiliao ua rqua i campioamto suprior a qulla miima i yquist, è possibil migliorar il valor i SR Q. mi mi S ' >> ' il guaago ottuto è pari a log, val a ir, pr ogi raoppio lla baa multiplo i si otti u guaago pari a u aumto i ½ bit i quatiaio. 5

6 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ / DTFT ] ]} { I R DTFT sist soltato s il sgal è iiitamt sommabil i moulo: < ] / / ] } { IDTFT La DTFT prsta prioo pari a cosirao l pulsaioi pari a cosirao l rqu. DTFT valutata i: ] ] / / ] La DTFT i ua squa ] ral possi moulo PARI as DISPARI: { } { } ϕ ϕ

7 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 5. Trasormata ZETA Diiio Z { ]} ] la trasormata covrg all itro lla rgio i covrga, Ro, iita risptto al moulo lla pulsaio complssa ρ. Ro Pr ogi tipo i squa, vi iita ua Ro ch ip ai poli prsti lla trasormata Zta. Ioltr, i poli o voo trovarsi all itro lla Ro. Squa causal - Ro: > a ov a è il polo a moulo maggior ra i poli lla. Squa ati causal - Ro: < b ov b è il polo a moulo mior ra i poli lla Squa bilatra - Ro: a < < b coroa circolar ov a è il polo a moulo maggior ra i poli lla part causal mtr b è il polo a moulo mior ra i poli lla part aticausal La squa bilatra è la combiaio ra ua o più squ causali ua o più aticausali la cui Ro ial è l itrsio ll Ro associat all sigol squ. Prtato la squa bilatra è ammssa s lla soo prsti almo u poli, ioltr, a < b. Trasormata ivrsa Z { } ] L ivrsio lla trasormata si otti tramit: - atitrasormaio irtta tabll Ro - ivisioi succssiv scompoo la trasormata i parti più smplici - scomposiio lla i ratti smplici atitrasormabili irttamt Torma l valor ial Si applica a ua squa causal. Quao t a iiito, t al valor l sgal i. { ] ] ] } ] lim lim ] lim L poiché lim. 7

8 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 8 otaio poliomial M M a a a b b b D H L L grao grao D M otaio raioal co pot gativ i M c K H co a b K ov c soo rispttivamt ri poli lla uio. otaio raioal co pot positiv i M M c K H co a b K ov c soo rispttivamt ri poli lla uio. Qusta orma prmtt i viiar poli ri i iiito. Ioltr il umro i poli v ssr ugual al umro i ri. S qusto o è ossrvabil all sprssio raioal lla trasormata, allora è possibil iiviuar poli o ri i iiito: polo i iiito: lim H ro i iiito: lim H Scomposiio lla i ratti smplici i prsa i poli smplici M M R c K ov i rsiui soo calcolati com R Atitrasormata i ratti smplici ogi attor è atitrasormabil smplicmt cosirao il tipo i squa associata al polo : R squa causal : ] ] u R squa aticausal: ] ] u R

9 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 6. Sistmi LTI Tmpo Discrto Attravrso u sistma vi oprata ua trasormaio L {} sul sgal igrsso: ] L{ ] } ] L{]} U sistma vi carattriato all squti proprità: Liarità u sistma è liar quao val la sovrapposiio gli tti L a ] b ] L a ] L b ] co a b costati rali. { } { } { } y. Tmpo Ivariaa u sistma è tmpo ivariat s l uscita ottuta ritarao/aticipao ] i ua quatità è ugual all uscita ritarata/aticipata llo stsso attor, ossia: y ± ] L ± ] { } Mmoria u sistma prsta mmoria quao è cssario mmoriar istati prcti l sgal i igrsso. Esmpi: - M] ha mmoria M M] ha mmoria ulla poiché M] soo valori uturi i ] - - M] ha mmoria o iita, poiché è variabil ip a ausalità u sistma è causal quao o soo prsti trmii aticausali i ossia trmii uturi ] co > Stabilità BIBO S l igrsso ] è limitato, ach l uscita y] v ssr limitata. La prsa i trmii ch ao ivrgr l uscita, iiptmt all igrsso limitato ], roo istabil il sistma s: log], ], Risposta all impulso Quao u sistma risulta Liar Tmpo ivariat, allora è possibil carattriarlo tramit la risposta all impulso h ] L{ δ ] } l uscita può ssr calcolata com: y ] ]* h ] l omiio ll rqu, il sistma è rapprstato tramit la uio i trasrimto Y H DTFT{ h ] } ch prmtt l aalisi i rqua. Stabilità BIBO sulla h] Il sistma è BIBO stabil s la risposta all impulso è iiitamt moulo sommabil: y] h ] < 9

10 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 Equaio all ir o Equaio i Iput/Output Pr u sistma causal co mmoria si ha: ov a. y ] b ] M a y ] Dalla q. i I/O è possibil ricavar la uio i trasrimto trasormao i sigoli trmii i y utiliao la proprità lla traslaio: ] b ] b Risposta all igrsso siusoial S i igrsso al sistma vi posta u armoica siusoial l tipo: ] Acos ϕ l uscita l sistma è acora siusoial ip alla uio i trasrimto valutata lla stssa pulsaio/rqua ll igrsso ]: y ] A H cos ϕ H Itrcossioi i sistmi LTI Sri h TOT ] h ] * h ] * * h ] covoluio ll rispost all impulso H TOT H H H moltiplicaio ll uioi i trasrimto Paralllo h TOT ] h ] h ] h ] somma ll rispost all impulso H TOT H H H somma ll uioi i trasrimto Raio gativa Y H - Y H H H TOT H / H H 7. Sistmi LTI l omiio ZETA Valgoo l stss iiioi prcti pr i sistmi LTI. l omiio Zta si hao l sguti iiioi: h] risposta all impulso l sistma H uio i trasrimto l omiio ta Z{ h ]} H h ] Z { H } vr sio Trasormata ZETA Ogi H covrg i ua rgio b prcisa iita alla Rgio O ovrgc Ro.

11 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 ausalità U sistma rapprstato alla H può avr h] i tipo causal/aticausal/bilatra iptmt alla Ro lla H. La Ro è iita ai poli lla H. Stabilità U sistma è stabil s la circora a moulo uitario è iclusa lla Ro i H. Raliabilità La risposta all impulso v ssr i tipo causal a coiciti rali: h ] R ossia, s lla H soo prsti poli ri complssi, voo ssr prsti ach i rispttivi poli ri complssi coiugati aiché la h] abbia coiciti rali. Poli/Zri I gral umro i poli umro i ri Esprimo la H lla attoriaio co trmii i, si ossrvao tutti i poli/ri i ro. Evtuali poli ri macati soo i iiito. Pr u sistma causal: grao l omiator > grao l umrator, altrimti sistrbbro poli i iiito ch rrbbro o causal il sistma poiché si avrbb Ro > iiito. Sistmi a as miima I qusti sistmi la ira i as ra la pulsaio è ulla. lla pratica, u sistma H stabil vi iito a as miima s ach l ivrso è stabil: H I H Ro{ H } sistma H stabil Ro{ H } sistma ivrso stabil I S H H I soo causali, il sistma è a as miima s poli ri hao moulo mior i. s Equaliaio Pr compsar gli tti i u sistma H u iltro o u caal, è possibil procssar l uscita tramit l ivrso l sistma: Y H H pr qusto motivo ach il sistma ivrso v risultar stabil. DTFT Trasormata Zta S la Roc lla trasormata ta H coti la circora moulo uitaria, allora la DTFT sist vi calcolata poo : H H

12 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 8. Progtto iltri IIR Trasormaio i u iltro aalogico i u iltro umrico si ttua il passaggio al omiio i Laplac pulsaio complssa s, al omiio Zta pulsaio complssa attravrso u MAPPIG s. Il mappig è sclto opportuamt i moo tal a prsrvar la stabilità iltro aalogico stabil iltro umrico stabil Stabilità sistma causal l omiio Laplac s σ Ω σ < Stabilità sistma causal l omiio Zta ρ Ro ossia ρ < Approssimaio ll rivat Ivariaa ll impulso s T Ω T p i polo i-simo l omiio Laplac s p i i p p T i p T i T S la uio i trasrimto aalogica è ulla pr passa basso T T l rqu umrich vgoo mappat i moo liar: T 3 Trasormaio biliar um a s T s T s Quao a <, il mappig ll rq. umrich è liar: um at 5T poiché si ha ch um arcta a T risulta liar pr a <. 5T

13 OMPEDIO TEORIO DI ELABORAZIOE UMERIA DEI SEGALI TELEDIDATTIA A.A. 9/ /9 9. Frqu umrich Il omiio ll rqu aalogich a è l ass ral, ], iatti la trasormata i Fourir i u grico sgal t, assum valori su tutto l ass ll rqu aalogich. Al cotrario, il omiio ll rqu umrich è l itrvallo,, iatti si può imostrar ch la trasormata DTFT i u sgal umrico ] è prioica i co prioo. Pr qusto motivo, l omiio umrico, o è possibil aumtar iiitamt la rqua i u sgal siusoial, poiché oltr ½ si ottrrbb ua siusoi a rqua irior a ½. osirao ua smpio molto smplic, si otrà ch cos pi.6 è ugual a cos pi.4 poiché opo.5, pr la prioicità lla DTFT, si ottgoo l stss compoti co -.4, -.3, -. così via il sgal coso è ral quii il moulo llo spttro è pari S, ivc, il sgal umrico è ottuto a u campioamto a rqua c, lo spttro pricipal l sgal assum valori ra, c c si ricori, ioltr, ch lo spttro è prioico. I qusto caso l rqu umrich vgoo cosirat ormaliat risptto a c, ossia a / c i moo ch il omiio sia ½, ½ ]. 3