Movimento nominale e perturbato

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1 Fodameti di Automatica. Stabilità itera o alla Lyauov Fodameti di Automatica AYSb FTPb AYSct Igegeria delle Telecomuicazioi e Igegeria Fisica. Stabilità itera o alla Lyauov Stefao Mala Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera Movimeto omiale e erturbato Per defiire la rorietà di stabilità di u sistema si cosideri la sua descrizioe tramite equazioi di stato Dati l igresso omiale u ( ) e lo stato iiziale omiale () si ricava il movimeto omiale ( ) (t) = ϕ(t, (),u (t)) se TC (k) = ϕ(k, (),u (k)) se TD Dati l igresso omiale u ( ) e lo stato iiziale erturbato () si ricava il movimeto erturbato ( ) (t) = ϕ(t, (),u (t)) se TC (k) = ϕ(k, (),u (k)) se TD Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 2 Stabilità itera () Il movimeto omiale (t) o (k) si dice semlicemete stabile se ε > δ > : er tutti gli risulta () : () () δ ε t se TC ε k se TD Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 3 Stefao Mala, DAUIN, Politecico di Torio.

2 Fodameti di Automatica Stabilità itera (2) Il movimeto omiale (t) o (k) si dice asitoticamete stabile se ioltre risulta lim t lim k = = se TC se TD Altrimeti il movimeto omiale (t) o (k) si dice istabile Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 4 Stabilità itera (3) movimeto erturbato associato ad u (ossibile) movimeto omiale istabile t Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 5 movimeto omiale (), u (t) δ ε (), u (t) movimeto erturbato associato ad u (ossibile) movimeto omiale semlicemete stabile 2 movimeto erturbato associato ad u (ossibile) movimeto omiale asitoticamete stabile Stabilità di sistemi lieari TC () Le differeza δ(t)= (t)- (t) è retta dall equazioe d [ ] = A + B u A B u = A [ ] dt dδ( t) = A δ( t) dt La stabilità diede solo dalla matrice A ed, i articolare, dai suoi autovalori λ i (A) Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 6 Stefao Mala, DAUIN, Politecico di Torio.2

3 Fodameti di Automatica Stabilità di sistemi lieari TC (2) Sia Re[λ i (A)] la arte reale e µ i la moltelicità degli autovalori della matrice A Si ha stabilità asitotica se Re[λ i (A)]<, i Si ha stabilità semlice se Re[λ i (A)], i e se Re[λ i (A)]=, allora µ i = Si ha istabilità se i: Re[λ i (A)]> o Re[λ i (A)]=, co µ i > Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 7 Stabilità di sistemi lieari TC (esemio). U sistema LTI a temo cotiuo è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =.5, λ 2 =.3, λ 3 = 2 Il sistema è asitoticamete stabile erché tutti gli autovalori soo a arte reale strettamete egativa 2. U sistema LTI a temo cotiuo è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =.5, λ 2 =, λ 3 = 2 Il sistema è semlicemete stabile erché tutti gli autovalori soo a arte reale strettamete egativa o ulla e l autovalore (λ 2 ) a arte reale ulla ha moltelicità ari a Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 8 Stabilità di sistemi lieari TC (esemio cotiua) 3. U sistema LTI a temo cotiuo è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =, µ =2, λ 2 = 2 Il sistema è istabile erché esiste u autovalore a arte reale ulla (λ ) co moltelicità maggiore di 4. U sistema LTI a temo cotiuo è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =.5, λ 2 =, λ 3 =2 Il sistema è istabile erché esiste u autovalore (λ 3 ) a arte reale strettamete ositiva Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 9 Stefao Mala, DAUIN, Politecico di Torio.3

4 Fodameti di Automatica Stabilità di sistemi lieari TD () Le differeza δ(k)= (k)- (k) è retta dall equazioe = A ( k ) + B u δ( k + ) = A δ( k) ( k ) A ( k + ) ( k ) B u ( k + ) = ( k ) = A [ ( k ) ( k )] La stabilità diede solo dalla matrice A ed, i articolare, dai suoi autovalori λ i (A) Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera Stabilità di sistemi lieari TD (2) Sia λ i (A) il modulo e µ i la moltelicità degli autovalori della matrice A Si ha stabilità asitotica se λ i (A) <, i Si ha stabilità semlice se λ i (A), i e se λ i (A) =, allora µ i = Si ha istabilità se i: λ i (A) > o λ i (A) =, co µ i > Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera Stabilità di sistemi lieari TD (esemio). U sistema LTI a temo discreto è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =.5, λ 2 =, λ 3 =.2 Il sistema è asitoticamete stabile erché tutti gli autovalori soo a modulo strettamete miore di 2. U sistema LTI a temo discreto è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =.5, λ 2 =, λ 3 =.2 Il sistema è semlicemete stabile erché tutti gli autovalori soo a modulo strettamete miore o uguale a e l autovalore (λ 2 ) a modulo uguale a ha moltelicità ari a Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 2 Stefao Mala, DAUIN, Politecico di Torio.4

5 Fodameti di Automatica Stabilità di sistemi lieari TD (esemio cotiua) 3. U sistema LTI a temo discreto è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =, µ =2, λ 2 =.2 Il sistema è istabile erché esiste u autovalore a modulo uguale a (λ ) co moltelicità maggiore di 4. U sistema LTI a temo discreto è caratterizzato dalla matrice di stato A co autovalori: λ =.5, λ 2 =, λ 3 = 2 Il sistema è istabile erché esiste u autovalore (λ 3 ) a modulo strettamete maggiore di Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 3 Stabilità dell equilibrio () La stabilità di uo stato di equilibrio, che è u articolare movimeto omiale di u sistema o lieare, si uò studiare er mezzo della stabilità del sistema liearizzato el suo itoro: stabilità er liearizzazioe No semre erò si ottiee ua risosta altri metodi: criteri di Lyauov Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 4 Stabilità dell equilibrio (2) Teorema Se il sistema liearizzato è asitoticamete stabile allora il uto di equilibrio è asitoticamete stabile Teorema 2 Se il sistema liearizzato è istabile er autovalori co Re[λ i (A)]> (se TC) o λ i (A) > (se TD) allora il uto di equilibrio è istabile Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 5 Stefao Mala, DAUIN, Politecico di Torio.5

6 Fodameti di Automatica Stabilità dell equilibrio (3) istabile er istabile er Sistema liearizzato asitoticamete stabile { Re[λ i (A)]> se TC λ i (A) > se TD semlicemete stabile { Re[λ i (A)]= co µ i > se TC λ i (A) = co µ i > se TD Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 6 Puto di equilibrio asitoticamete stabile Stabilità dell equilibrio TC (esemio) U sistema meccaico o lieare: il satellite istabile o si uò dire ulla Gli ifiiti uti di equilibrio che si ottegoo er u = u2 = soo dati da: = ρ qualsiasi Liearizzado si ottiee la matrice A: 2 = ρ = kg k g 3 = θ = = 3kg kg 3 3 ρ A= k g 2 Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 7 Stabilità dell equilibrio TC (esemio) U sistema meccaico o lieare: il satellite (cotiua) 2 ( 4 3 ) k Gli autovalori soo dati da: λi A λ λ + = k ( 2 ) ( 2 g 3 4 kg 3 4) Quidi: λ=, λ2 =, λ 3 3 =+ 3 Essedo 2 g = m l autovalore λ 3 è sicuramete ositivo Quidi il sistema liearizzato è istabile (er Re(λ)>) e, di cosegueza, ache il uto di equilibrio è istabile Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 8 Stefao Mala, DAUIN, Politecico di Torio.6

7 Fodameti di Automatica Stabilità dell equilibrio TD (esemio) Modelli o lieari di oolazioi iterageti: reda-redatore I 3 uti di equilibrio soo dati da: δ α I II III ε = β = = αε βδ γε Liearizzado si ottegoo le 3 matrici A: αγ βδ γδ α I + α II β III ε ε A = A A δ = = αε βδ αε βδ + β γ Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 9 Stabilità dell equilibrio TD (esemio) Modelli o lieari: reda-redatore (cotiua) I I Per il rimo uto gli autovalori soo dati da: λ = + α, λ2 = δ Essedo α e δ si hao le segueti ossibilità:. α> λ >, il sistema liearizzato è istabile (er λ >) e, quidi, ache il uto di equilibrio è istabile 2. α=, δ>2 λ 2 >, il sistema liearizzato è istabile (er λ >) e, quidi, ache il uto di equilibrio è istabile 3. α=, <δ 2 λ =, λ 2, il sistema liearizzato è semlicemete stabile e, quidi, o si uò dire ulla sul uto di equilibrio 4. α=, δ= λ =, µ >, il sistema liearizzato è istabile (er λ =, µ > ) e, quidi, o si uò dire ulla sul uto di equilibrio Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 2 Stabilità dell equilibrio TD (esemio) Modelli o lieari: reda-redatore (cotiua) Per il secodo uto di equilibrio gli autovalori soo dati da: I I αε βδ λ = α, λ2 = + β Al variare di α, β, δ e ε si ossoo verificare, come er il uto recedete, tutte le situazioi; se risulta βδ αε il sist. liearizzato è asitoticamete < α < 2 e < < 2 β stabile e, quidi, ache il uto di equilibrio è asitoticamete stabile Per il terzo uto di equilibrio gli autovalori soo dati da: III 2 βδ βδ λi A λ 2 λ αδ ( δ ) = = ε ε da studiarsi co il criterio di Jury Fodameti di Automatica Stefao MALAN Stabilità itera 2 Stefao Mala, DAUIN, Politecico di Torio.7