Trasformata di Fourier 1D

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1 rasormaa di Fourir D M Brro DISI Uivrsià di Gova - Dalla sri all igral di Fourir - Formula di ivrsio dlla rasormaa di Fourir - Proprià dlla rasormaa di Fourir - Esmpi di rasorma di Fourir - Prodoo di covoluzio - Sismi liari - orma dl campioamo - Discrizzazio dlla rasormaa di Fourir Dalla sri all igral di Fourir Si cosidri ua uzio ( diia su ua la ra al ch: ( i al caso la uzio diia da: ( / -/ < ; ( - i ha limi pr d all iiio qualuqu sia d il limi è: ( ( -i al uzio dicsi la rasormaa di Fourir di ( Si po il problma sgu: daa la rasormaa di Fourir di ua uzio è possibil da qusa rior la uzio? (0 ( ( La risposa alla prcd domada è armaiva può ssr giusiicaa mdia il sgu argomo urisico Si cosidri la rsrizio dlla uzio ( sull irvallo (-/ / al rsrizio può ssr rapprsaa mdia sri di Fourir dao ch al sri richid solo la cooscza dlla uzio sull irvallo priodo Ovviam la sri coicid co ( su (-/ / mr al di uori di al irvallo diisc il prolugamo priodico co priodo Poichè i coicii di Fourir di ( soo sprimibili mdia la uzio diia i (: c k ( k la sri di Fourir può ssr scria l modo sgu: ( k ( k i( k ( Il passo succssivo è qullo di ar dr all iiio (3 La somma (3 può ssr irpraa com ua somma igral ormaa mdia i valori dlla uzio ( i calcolai i pui quispaziai k k 0 ± ± k S crsc la disaza ra du pui succssivi dimiuisc d a zro pr ch d all iiio Ciò suggrisc ch la somma igral abbia com limi l igral dl limi dlla (4 Si giug cosi alla ormula di ivrsio dlla rasormaa di Fourir: ( ( i la rasormaa di Fourir ssdo diia ll quazio ( (4 (5

2 La rasormaa di Fourir la rlaiva ormula di ivrsio possoo ssr scri i orma piu simmrica s scri i rmii di rquza azichè pulsazio Iai il sgal: - i cos ( + i si ( è priodico co priodo / rquza ν / Prao iroducdo la variabil ν si oi: ( ( ν iν dν ( ν ( - iν Qusa orma dlla rasormaa di Fourir dlla sua ivrsa è usaa soprauo i si di iggria l sguio si usrà di orma la scriura i rmii dlla pulsazio (6 La risposa alla prcd domada è armaiva può ssr giusiicaa mdia il sgu argomo urisico Si cosidri la rsrizio dlla uzio ( sull irvallo (-/ / al rsrizio può ssr rapprsaa mdia sri di Fourir dao ch al sri richid solo la cooscza dlla uzio sull irvallo priodo Ovviam la sri coicid co ( su (-/ / mr al di uori di al irvallo diisc il prolugamo priodico co priodo Poichè i coicii di Fourir di ( soo sprimibili mdia la uzio diia i (: c k ( k la sri di Fourir può ssr scria l modo sgu: ( k ( k i( k ( Il passo succssivo è qullo di ar dr all iiio (3 Formula di ivrsio dlla rasormaa di Fourir A parir dalla F di ua uzio ( si diisca la uzio sgu: i ( ( d Val il sgu risulao: orma S la uzio ( soddisa la codizio: allora: lim ( ( < ( si ha cioè covrgza i mdia quadraica 0 (7 (8 Pr quao rigarda la covrgza puual s la uzio ( è a variazio limiaa allora: lim ( [ ( ( 0 ] quidi si ha covrgza al valor dlla uzio i pui di coiuià Quso risulao può ssr giusiicao a parir dalla rlazio: ( 0 ( u [ ( ( ] si u i( ' ( ' ' ' d ( ' ' + u + i u i du d si [ ( ' ] ( ' ( ' ' (9

3 Proprià dlla uzio sic La uzio sic( è diia da: sic( si La sgu uzio ad ssa associaa: D ( sic( si( god di proprià simili a qull dl uclo di Dirichl dll sri di Fourir: i ii iii D lim lim ( ε < < η ε D ε ; D ( 0 uiormmi η ; ( La proprià i si oi mdia calcolo dll igral l piao complsso; la iii sgu da i da ii Pr quao riguarda qusa proprià mdia u igrazio pr pari si ha: η ε da cui: si( cos( η η η ε η ε d + η si( ε cos( cos( + 3 ε 3 ε cos( η η quidi l igral d a zro pr ch d all iiio i modo uiormm rispo a η Diizio dlla uzio dla di Dirac Il limi (l sso dll disribuzioi pr ch d all iiio dlla dilaaa di dlla uzio sic è la uzio gralizzaa δ( da dla di Dirac ch god dll sgui proprià: δ δ ( ( 0 δ 0 ( δ ( ( 0 s ( ( 0 ; ; è coiua i 0; Eguagliaza di Parsval Val la sgu guagliaza: ( g* ( ( g* ( d l caso paricolar g: Iai dalla ormula di ivrsio si ha: ( ( d i ( g *( ( dg *( g * i i ( ( d g( ( * (0 ( d

4 3 Proprià dlla rasormaa di Fourir (F Proprià di simmria dlla F orma di Rima-Lbsgu - S la uzio ( è igrabil soddisa cioè alla codizio (0 allora la sua F è limiaa: ( ( è iolr coiua d a zro pr ch d all iiio lim ( 0 Ossrvazio Com pr i coicii di Fourir la rasormaa di Fourir di ua uzio va a zro ao piu rapidam quao piu è rgolar la uzio ; - S ( è a valori rali allora : Iai s si po: ( X( si ha: X( iy ( * ( ( ( cos ( Y( X( X(- Y( - Y(- da cui sgu il risulao ( ( si ( - S ( è pari allora ach la sua F è pari : ( ( Basa iai ossrvar ch si ha Y( 0 - S ( è ral pari allora ach la sua F è ral pari : *( ( ( Proprià di rasormazio dlla F - raslazio: Sia a ( la raslaa di a di (: ia ( ( ( ( a a - Modulazio: Sia a ( la modulaa di a di ( a (3 - S ( è dispari allora ach la sua F è dispari : ( ( Basa iai ossrvar ch si ha X( 0 - S ( è ral dispari allora la sua F è immagiaria dispari : *( ( ( ia ( ( ( ( a (4 a - Dilaazio: Sia a ( la dilaaa di a di (: a( ( a( ( a a a a (5

5 Proprià di rgolarià di comporamo all iiio Sia ( ua uzio drivabil io all ordi co drivaa -sima igrabil; drivado vol soo il sgo la ormula di ivrsio si oi: ( ( i ( i ( da cui sgu ch la rasormaa di Fourir di ( è daa da: ( ( ( ( i ( (6 Dal orma di Rima-Lbsgu sgu ch al uzio è limiaa d a zro pr ch d all iiio; prao quao più è rgolar la uzio ( ao più rapidam d a zro la sua rasormaa di Fourir Dalla simmria ra rasorma di Fourir rasormaa ivrsa sgu ach ch quao più rapidam d a zro la uzio ( ao più rgolar è la sua rasormaa di Fourir S la uzio ( ha drivaa -sima a quadrao igrabil dalla guagliaza di Parsval sgu ch: Aalogam dalla rlazio: ( ( ( d ( i ( si oi ach la ormula sgu: ( ( ( ( ( d (7 (8 (9 Rlazio di idrmiazio Sia ( ua uzio a quadrao igrabil al ch: ( Prao ( rapprsa ua dsià di probabilià cosi pur grazi all guagliaza di Parsval la uzio ( -/ ^( Si possoo prao diir i valori mdi dl mpo dlla rquza associai a ali disribuzioi l rlaiv variaz: µ µ ( σ ( µ ( ( d σ ( µ ( d Mdia la sosiuzio: iµ ( ( + µ si oigoo uova disribuzioi pr l quali sia il mpo ch la rquza hao valor mdio ullo Ciò prm di smpliicar i calcoli cssari al i di or il sgu risulao orma Val la sgu disguagliaza da rlazio di idrmiazio : σ σ Dimosrazio Dall quazio (7 si oi: σ σ ( ( ( '( d

6 Dalla disguagliaza di Schwarz sgu allora ch: σ σ ' ( ( R( '( ( * * [ '( ( + ' ( ( ] ( 4 ( ' La scoda disguagliaza sgu dal ao ch la par ral di u umro complsso è smpr mior dl suo modulo S / ( d a zro pr ch d all iiio allora igrado pr pari si oi: σ σ 4 4 ( Ossrvazio lla disguagliaza di Schwarz val il sgo gual s solo s la uzio ( soddisa la rlazio: ( - b ( dov b > 0 è ua cosa arbiraria Si oi quidi ch la disguagliaza è sauraa da ua qualsiasi uzio dl ipo (uzio Gaussiaa: b ( a La Gaussiaa il cui quadrao ha variaza σ è daa da : Prao si dv avr: σ 4σ ( σ 4σ σ ( σ com è acil vriicar (si vdao gli smpi sgui 3 Esmpi di rasorma di Fourir Esmpio Si cosidri la uzio diia da: < ( 0 La sua rasormaa di Fourir è daa da: ( si ( Vicvrsa dalla ormula di ivrsio sgu ch la F di: è: ( ( si ( 0 < :Esmpio Si cosidri la uzio diia da: la sua F è daa da: ( ; ( Dall proprià di rasormazio dlla F sgu allora ch la F di: è daa da: ( ( a σ ( σ ( σ + ia

7 4 Prodoo di covoluzio Diizio Il prodoo di covoluzio di du uzioi ( g( è la uzio h( diia da: h( (-ug(u du ( g( Proposizio - Il prodoo di covoluzio è commuaivo associaivo disribuivo rispo alla somma: g g (g h ( g h (g + h g + h (6 (7 La prima proprià sgu da u smplic cambio di variabil la scoda da uo scambio di ordi d igrazio la rza dalla liarià dll igral Val il sgu risulao orma di covoluzio La F dl prodoo di covoluzio di du uzioi è il prodoo dll F du uzioi: h ( ( g ( ( g( Dimosrazio Dalla diizio di rasormaa di Fourir si ha: h ( / -/ ( ( g( (-u - i - i ( u / -/ - i g(u ch è quao volvasi dimosrar g(u - iu du (-ug(u du - iu du - i (8 Val la sgu proprià di supporo: S ( ha supporo i [-aa] g( i [-bb] allora h *g ha supporo i [-(a+ba+b] Iai dalla diizio si ha: b h( (-ug(u du b quidi h( 0 s -u > a pr u < b; qus du disguagliaz implicao > a+b Val iolr la sgu proprià di igrabilià: s la uzio ( è igrabi (soddisa cioè la codizio (0 mr la uzio g( è a quadrao igrabil (soddisa cioè la codizio ( allora la uzio h( è ach a quadrao igrabil Iai dal orma di Rima-Lbsgu sgu ch la F di ( è limiaa; dal orma di covoluzio dall guagliaza di Parsval sgu allora ch la F di g( duqu ach qulla di h( soo a quadrao igrabil 5 Sismi liari U sisma isico di rasmissio di sgali diisc ua rlazio uivoca ra u sgal d igrsso ( i ua cra class X d u sgal d uscia g( i ua class Y Prao u sisma o alro ch ua rasormazio od opraor ch applicao ad ogi sgal dlla clas X associa ad sso uo d u solo sgal dlla class Y Pr rapprsar u sisma si usa ua oazio aaloga a qulla di uzio si scriv ch: g A( Si dic ch u sisma è liar s pr sso val la proprià: A( λ + λ λ A( + λ A( Pr u sisma liar si usa la oazio smpliicaa: g A

8 La proprià di liarià implica ch: A λ λ A ( da cui mdia u passaggio al limi si oi: A ( λ ( α dα λ ( α A( dα α α (9 Dicsi risposa i impulso di u sisma liar il sgal ch si oi i uscia quado i igrsso si ha ua uzio (impulso δ ; s si po: ( δ( δ ' ' la risposa i impulso è daa da: K ( ' ( Aδ ' ( (0 S si usa la sgu rapprsazio di u sgal grico: ( ( ' δ ( ' ' ( ' δ ( ' dalla rlazio (0 dalla diizio (9 dlla risposa i impulso si oi la sgu rapprsazio di u sisma liar: g ( ( A ( K ( ' ( ' ' ( U sisma si dic causal s o c è sgal i uscia prima ch ci sia u sgal i igrsso; dalla diizio (0 sgu ch K( 0 s < ; pr u sisma causal si ha duqu: g ' ( K ( ' ( ' ' Si diiscao l raslazioi di u sgal com lla (8; u sisma si dic sazioario o mpo ivaria o ach ivaria pr raslazioi s dao u igrsso ( co uscia g( l uscia dl sgal raslao a ( è il raslao g a ( I alri rmii il sisma si compora allo ssso modo a mpi divrsi Dalla diizio di risposa i impulso sgu ch s poiamo: K ( K ( 0 ( Aδ ( dalla proprià di ivariaza si oi: K quidi val la rapprsazio: g ( ' K ( ' S il sisma è ach causal: ( K ( ' ( ' ' g ( K ( ' ( ' ' La risposa i impulso è la uzio ch cararizza la risposa dl sisma quado il sgal d igrsso è appuo u impulso La sua rasormaa di Fourir da uzio di rasrimo cararizza la risposa dl sisma ad u grico sgal armoico cioè u sgal co rquza issa S: i ( F dov l ampizza F è i gral u umro complsso allora: g i ' i ( ( A ( K ( ' F ' K ( F Prao s il sgal di igrsso ha ampizza F il sgal i uscia è acora u sgal armoico co la sssa rquza ma co ampizza G daa da: G K ( F sgu ch il sisma modiica sia il modulo ch la as dll ampizza

9 l caso di u sisma causal la risposa i impulso è ulla pr <0 quidi la uzio di rasrimo è daa da: K i ( K( 0 Si dimosra ch ua al uzio ha solo zri isolai i quao uzio di Quso risulao implica ch l caso di u sisma sazioario causal il sgal di igrsso è uivocam drmiao dal sgal i uscia Iai si suppoga ch du sgali ( ( diao lo ssso sgal i uscia g( Ma allora pr la liarià dl sisma il sgal i uscia corrispod a ( ( - ( è ullo Dal orma di covoluzio sgu allora ch: ( ( 0 K Ma poichè la uzio di rasrimo è divrsa da zro quasi ovuqu sgu ch la rasormaa di Fourir di ( è zro quasi ovuqu duqu ( è ullo d i du sgali di parza soo coicidi 6 orma dl campioamo ll applicazioi i sgali coiui dvoo ssr campioai quidi rasormai i sgali discri Ci si può duqu porr il problma sgu: è possibil rior il sgal coiuo a parir dal sgal discro? Ovviam i gral la risposa è o uavia ssa può ssr posiiva soo paricolari crcosaz I quso ambio si colloca il amoso orma dl campioamo di Shao o di Whiakr- Shao Occor prima irodurr alcu diizioi Diizio Ua uzio ( dicsi a bada limiaa co bada s la sua rasormaa di Fourir è ulla al di uori dll irvallo []: ( 0 > Diizio Ua uzio ( dicsi mpo limiaa s è ulla al di uori dll irvallo [-]: ( 0 > Ossrvazio Ua uzio o può ssr sia a bada limiaa ch mpo limiaa Suppoiamo iai ch ( sia a bada limiaa co bada ch sia ulla al di uori di u irvallo limiao (ab ch o coi l origi Dallo sviluppo i sri di aylor dll spozial: i 0 ( i! sosiudo lla ormula di ivrsio dlla rasormaa di Fourir d igrado rmi a rmi si oi ch pr ogi si ha: + d 0! ( ( i ( 0 (! ( 0 dov si è uo coo dlla rapprsazio (6 pr l driva di ( Poichè u l driva soo ull i 0 poichè la sri covrg pr ogi sgu ch ( dv ssr ulla ovuqu Quso risulao sclud la possibilià di cosruir u ilro a bada limiaa ch sia ach mpo limiao co l uica rsrizio dl pricipio di idrmiazio U al ilro porbb ssr molo uil ll applicazioi praich orma dl campioamo Sia ( ua uzio a bada limiaa co bada allora ssa puo ssr rapprsaa mdia la sri sgu: ( ( sic[ ( - ] dov sic( è la uzio diia a pag 8 d i pui soo dai da: 0 ± ± Ossrvazio La quaià / vi da disaza di campioamo di yquis; ssa rapprsa la disaza di campioamo oimal S si usa ua disaza di campioamo più piccola il sgal si dic sovracampioao mr s si usa ua disaza di campioamo più grad il sgal si dic soocampioao Mr è possibil ricosruir accuraam u sgal sovracampioao ciò o è possibil l caso di u sgal soocampioao

10 Dimosrazio Si sviluppi i sri di Fourir la rasormaa di Fourir di ( sull irvallo []: i i ( c c c i (si ossrvi ch si è cambiao i rispo alla diizio usual; dalla diizio di coicii di Fourir dalla ormula di ivrsio dlla rasormaa di Fourir sgu ch: c + ( i d ( Sosiudo ll quazio prcd dalla ormula di ivrsio sgu: + [ ( ] i( si ( ( d ( da cui il orma Ossrvazio S si iroducoo l uzioi di campioamo: S ( sic[ ( ] 0 ± ± dall guagliaza di Parsval pr l igral di Fourir dall orogoalià dgli spoziali dll sri di Fourir sgu ch ss godoo dlla sgu proprià di orogoalià: + S ( S ( δ m m Qus implicao l sgui rlazioi: ( ( * * ( h ( ( h ( La simmria ra la rasormaa di Fourir la sua rasormaa ivrsa prm di or i modo dl uo aalogo il sgu risulao orma dl campioamo Sia ( ua uzio mpo limiaa ulla al di uori di [-]; allora la sua rasormaa di Fourir puo ssr rapprsaa mdia la sri sgu: ( ( sic [ ( - ] dov sic( è la uzio diia a pag 8 d i pui soo dai da: 0 ± ± Ossrvazio La quaià /Τ è da disaza di campioamo di yquis pr la rasormaa di Fourir di ua uzio mpo limiaa; ssa rapprsa la disaza di campioamo oimal 7 - Discrizzazio dlla rasormaa di Fourir Sia ( ua uzio ulla al di uori dll irvallo [-]; prao la sua rasormaa di Fourir è daa da: + i ( ( Pr il calcolo approssimao dll igral si può usar ua smplic ormula di quadraura suddividdo l irvallo [-] i soo-irvalli mdia i pui: + δ δ ; 0 - Si cosidra allora la sgu approssimazio: 0 i ( ( δ

11 Si suppoga di volr calcolar la prcd approssimazio i pui di u irvallo [] più prcisam i pui: m + mδ δ ; m 0- Si vuol sabilir soo quali codizioi si può ridurr il calcolo a qullo di ua DF aprdo cosi la possibilià di ricorrr all algorimo vloc FF Dalla rlazio: m ( + mδ ( + δ + ( mδ + δ + m δ δ risula ch si oi il ipico spo dlla DF s: cioè s: δ δ δ δ Si ossrvi la rlazio co l disaz di campioamo di yquis- Il prcd risulao implica ch pr por usar la FF si dv r coo dlla rlazio ra l r gadzz S si può oprar i modo da soddisar a al rlazio (modiicado ad s oppur si oi: m + m i m ( ( ( ( m ( m + m S è ua poza di du il primo aor o coribuisc all spozial si ha quidi: 0 Si possoo quidi ar l sgui oprazioi: diir il vor ( δ la corispod succssio priodica; uar ua raslazio di /; 3 calcolar la FF; 4 uar ua raslazio di / sul risulao ouo Si ricordi ch ua raslazio di / è quival ad u ribalamo dl vor L oprazioi di ribalamo prmoo di viar il calcolo dll poz di -