Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
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1 Ingral Indinio l Anidrivaa Il prosso invrso dlla drivazion si hiama ingrazion. Noa la variazion isanana di una grandzza p.s. la vloià è nssario sapr om si ompora al grandzza isan pr isan p.s. la posizion. Noa allora una unzion il problma onsis nl rovar un alra unzion F al h F = Ad s. s =^, porbb ssr F=^/ D. Daa la unzion, si hiama ani-drivaa o primiiva di in un inrvallo I una unzion F al h pr ogni di I val: F = Noa. Una unzion primiiva dv ssr una unzion drivabil sull inrvallo I. Noa. Si mosrrà in sguio h una unzion oninua in un inrvallo [a;b] amm smpr una primiiva magari non sprimibil lmnarmn. Noa. Una onsgunza di orollari dl orma di Lagrang arma h la unzion primiiva di una daa unzion non è unia. L primiiv sono inai inini dirisono una dall alra pr una osan addivia. Cr. il sondo orollario al orma di Lagrang.
2 Ingral Indinio l Anidrivaa Es. Sia =^. Allora: F È una primiiva. Ma lo sono anh: F F F F k k In quano: F' F' k F' F' F' D. Si hiama ingral indinio dlla unzion l insim dll primiiv in un inrvallo I. Noar: Si india on: d Simbolo di ingral oppur Funzion ingranda Variabil di ingrazion Dirnzial dlla variabil di ingrazion Ed è osiuio da u l unzion dlla orma F+ on =osan d F primiiva di Noa Val pr dinizion: ' d Noa Variabil di ingrazion mua: d y dy
3 Ingral Indinio l Anidrivaa Noa. Mnr nll oprazion di drivazion di assoia ad una unzion un alra unzion la sua drivaa, nll ingral indinio si assoia ad una unzion una lass insim di unzioni. Il alolo ingral risula più diiil rispo al alolo dll driva Noa: Esisnza dll ingral indinio. Pr alun unzioni anh abbasanza smplii non sis la orma analiia smpli pr l ingral indinio: ad s.: sin sin Inolr, non u l unzioni ammono una primiiva su un rminao inrvallo I una ondizion suiin è h siano oninu. Una unzion primiiva dv ssr una unzion drivabil quindi dv possdr alun proprià di rgolarià. Allo sopo val il sgun orma: sin
4 Ingral Indinio l Anidrivaa Torma. Sia drivabil in un inrvallo I, allora può avr disoninuià solo di II spi: Noa. Non ogni unzion dinia in un inrvallo é una unzion drivaa. Ad smpio unzioni on disoninuià liminabili o di I spi in rminao inrvallo, non sono driva di nssuna unzion. As s. I [,] pr 0 pr - Noa. Alla unzion = non si può appliar il orma prdn rlaivamn all inrvallo I=[-,] in quano la unzion non è drivabil in =0 quindi non lo è in uo l inrvallo I. 0
5 5 La Tablla dll ani-driva immdia - a a d a a d d a a d a os d sn os sn d an an os d d aran d arsn d Ch d Sh Sh d Ch
6 La Tablla dll ani-driva immdia Sh d Ch Ch d Sh d SSh d SCh d arsn 6
7 7 Proprià Ingral Indinio Dall proprià dlla drivaa disnd: d g d d g d k d k p. di addiviià * p. di omognià ** Es. Ingrazion polinomi d 5 5 d d g H g H ' * F F ' g G g G ' ' ' ' ' G F G F g H G F H k H k H ' ** F F ' ' ' ' kf H kf kf H
8 8 Anidriva quasi immdia Considriamo: d ' d d d d d d d d os os sin os sin an
9 Considriamo: Anidriva quasi immdia k ' d k k on k - Noa: sin sin os d os sin os d sin d sin os d os sin os osan 5 5 d d
10 0 Anidriva quasi immdia ' d ' a a d a d sin sin os d d d d
11 Anidriva quasi immdia os ' d sn ' os sn d an ' os d d sn d sn os d d an os os
12 Anidriva quasi immdia 5 ' arsn d aran ' d arsn d d d d aran 9 9
13 Anidriva quasi immdia 6 SSh d ' - SCh d ' SSh d sin sin sin sin os SCh d d
14 Riassuno: ambiamno di variabili Quano sinora ao può ssr osì riassuno: NOTO : g d G Possiamo alolar: g ' d G Poihé: DG G' ' g ' Possiamo anh usar un ambiamno di variabili nll ingral indinio: y dy ' d g ' d g y dy G y y G
15 Ingrazion Funzioni Razionali Considriamo ora ingrali dl ipo: N d D Con N D polinomi nlla variabil. S n è il grado di N d il grado di D n d, l algorimo di division di polinomi prm di srivr aravrso il quozin Q d il rso R dlla division om sgu: N D Q R D Allora Q ha grado q=n-d d il rso R ha grado r<d. In ua gnralià supporrmo h n<d, pondoi ridurr a quso aso. Ci ouprmo in pariolar di asi n d smpr on n<d pr smpliià. 5
16 6 Ingrazion Funzioni Razionali : dnominaor di primo grado Considriamo ingrali dl ipo: d b a k d b a k d a b a k d a b a k a b a k b a a k Es. d d
17 Ingrazion Funzioni Razionali Δ>0 Considriamo ora ingrali dl ipo: m q d on b a a b S d sono l soluzioni rali disin dll q. di grado assoiaa al dnominaor val: a b 0 a Il prodimno val anh pr m=0 La unzion ingranda vin osì risria: m q a b a m q Si prod poi allo sviluppo in razioni parziali dl sondo aor: m q A B 7
18 Ingrazion Funzioni Razionali Δ>0 A A B B A B A B Grazi al prinipio di idnià di polinomi, il sgun sisma linar prm di rovar i valori di A B: In onlusion: A B m A B q m q a b d a A d B d A B a a 8
19 9 Ingrazion Funzioni Razionali Δ>0 d d 5 d 5 B A B A B A / / 0 B A B A B A d d d 5
20 0 Ingrazion Funzioni Razionali Δ>0 d d 5 5 d 5 5 B A B A B A / 5 B A B A B A d d d / 5 /
21 Ingrazion Funzioni Razionali Δ=0 Considriamo ora ingrali dl ipo: q d on b a 0 a b In quso aso, s 0 é la radi doppia dl dnominaor abbiamo: a q b a b a 0 q d d a 0 q a 0 Es. d / d d /
22 Ingrazion Funzioni Razionali Δ=0 Considriamo ora ingrali dl ipo: 0 on a b d b a q m * 0 d q m a d b a q m Si prod allo sviluppo in razion parziali dlla unzion ingranda: B A B B A B A q m Il sgun sisma linar prm di rminar A B: q B A m B 0 d B A a * 0 0 B A a 0 0
23 Es. Ingrazion Funzioni Razionali Δ= d 5 d 9 5 / d 5 / A / B / A B / / B A / B / B A B / 5 A / 9 / d / / d 9 / /
24 Ingrazion Funzioni Razionali Δ=0 Un modo alrnaivo onsis nl ar omparir al numraor, on opporun rasormazioni algbrih, la drivaa dl dnominaor: Es d d d d d d 8 9 / d / / 9 7
25 5 Ingrazion Funzioni Razionali Δ<0 Considriamo ora ingrali dl ipo: 0 on a b d b a Si dv onr il omplamno dl quadrao di primi du rmini a +b al dnominaor poi ingrar in aroangn. d d d d d y d dy dy y aran y aran d dy y d dy
26 6 Ingrazion Funzioni Razionali Δ<0 Considriamo ora ingrali dl ipo: 0 on a b d b a q m Si lavora in modo da ar omparir a numraor la drivaa dl dnominaor; qullo h riman si ingra in aroangn om nl aso prdn: d d d d d d * d
27 7 Ingrazion Funzioni Razionali Δ<0 aran d d d d d dy y dy y aran y aran 6 * d dy
28 8 Ingrazion Funzioni Razionali Δ<0 bis Considriamo ora ingrali dl ipo: 0 on a b d b a q m Si lavora in modo da ar omparir a numraor la drivaa dl dnominaor; qullo h riman si ingra in aroangn om nl aso prdn: d d 6 d 6 d d d - 6 * - d
29 9 Ingrazion Funzioni Razionali Δ<0 bis 6 aran d d d d 6 d dy 6 6 y dy y 6 aran y 6 aran 8 - * 6 d dy
30 Ingrazion pr Pari Pariolar nia di ingrazion. Da du unzion,g oninu on drivaa oninua : g' 'g g' g ' 'g g' 'g g' g 'g g' 'g g g' ' g d g Appliaa all ingral dl prodoo di du unzioni di ui dv ssr noa, in parnza, una primiiva di una dll du nll s. la. g' d Spsso i si riris alla d om aor dirnzial d alla g om aor inio Noa In aluni asi è vanaggioso onsidrar anh = Es. L ingral dl logarimo d d d 0
31 Ingrazion pr Pari Es. os d g ' os sn d sn sn sn d sn os os d sn os sn g ' sn In gnral si usa [ P polinomio ] : P h d g P ' h os b sn b a g h ' P aran h l d h sn b,os b, l sn b,os b, a a La sla di g è indirn
32 Ingrazion pr Pari d d sn os Es. g ' d Es. d sn sn g ' d sn sn os d sn sn os sn d sn os sn d sn os d
33 Ingrazion pr Pari bis d d aran Es. ' g d Es. d aran ' aran g d 9 d aran aran
34 Ingrazion pr Pari d sn d sn os os os Es. ' sn sn g d sn os os d sn sn d sn sn os os os sn d sn sn d sn os Alrnaiva: d sn d os d os sn sn
35 Ingrazion pr Pari 5 d os d sn sn sn os Es. os ' os g d sn sn os d sn d sn os os os os os os sn d sn d os os Es. d sn d os sn sn os os d os... os d Es. sn
36 Es. Ch d Ingrazion pr Pari 6 Sh Sh d Sh Ch Sh Ch Ch g Ch ' Ch Sh d Ch d Sh Ch d Sh Ch Sh Ch Ch d Es. Sh d Ch Ch d Ch Sh Ch Sh d Ch Sh Sh d Ch Sh Ch Sh g Sh ' Sh Sh Ch Sh d d
37 Ingrazion pr Sosiuzion E la nia più diiil gnral. Pr appliarla bisogna inai sosiuir nll ingral indinio alla variabil un alra unzion on l obiivo non di risolvr immdiaamn il alolo ma di smpliiarlo. d g g' È nssario alla in dl alolo dll ingral a sondo mmbro nlla variabil riornar alla valuazion dll ingral a primo mmbro nlla variabil mdian l invrsion dlla rlazion =g. Priò, più prisamn, la rlazion prdn divna: g d g' d g g' g 7
38 Ingrazion pr Sosiuzion: appliazioni simili al ambiamno di variabil Tipologia F a d F : unzion razional Sosiuzion a a a d d a Es. d d d aran aran aran 8
39 Ingrazion pr Sosiuzion: appliazioni simili al ambiamno di variabil Tipologia F, a b d F unzion razional Sosiuzion: a b a a b d d a Es. 5 5 d d d
40 Ingrazion pr Sosiuzion: appliazioni simili al ambiamno di variabil Tipologia F sn b,os b d F unzion razional Es. os sn d os os os os sn d Sosiuzion : d d os sn d 0
41 Es. Ingrazion pr Sosiuzion: appliazioni simili al ambiamno di variabil d d d d d aran aran
42 Ingrazion pr Sosiuzion: Esmpi pariolari 0 d os d sn d Sh d Ch d Ch d Sh
43 Es. Ingrazion pr Sosiuzion: Esmpi pariolari d os d sn os sn sn os aros sn sn sn snaros aros * aros S uo la sosiuzion sn d os arsn * snaros : y aros os y sn y os y
44 Es. Ingrazion pr Sosiuzion: Esmpi pariolari Sh Ch Sh Ch SSh d Ch Ch Ch * SSh Sh d Ch SSh : * ChSSh : y SSh Sh y Ch y Sh y
45 5 Ingrazion pr Sosiuzion: Esmpi pariolari Es. Sh Ch d Sh Sh Sh SCh Ch Sh SCh * Sh d Ch : SCh : ShSCh * SCh y y Ch y Sh y Ch
46 Ingrazion pr Sosiuzion: Esmpi pariolari d SSh d SCh d arsn 6
Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
Ingrl Indinio l Anidriv Il prosso invrso dll drivzion si him ingrzion. No l vrizion isnn di un grndzz p.s. l vloià è nssrio spr om si ompor l grndzz isn pr isn p.s. l posizion. No llor un unzion il problm
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Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
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[ ] [ ] [ ] [ ] lim. x 1 3 R. lim. lim. lim. lim. lim. lim 5 R. lim. Calcola i seguenti limiti risolvendo le eventuali forme di indeterminazione
![[ ] [ ] [ ] [ ] lim. x 1 3 R. lim. lim. lim. lim. lim. lim 5 R. lim. Calcola i seguenti limiti risolvendo le eventuali forme di indeterminazione](/thumbs/92/110333272.jpg "[ ] [ ] [ ] [ ] lim. x 1 3 R. lim. lim. lim. lim. lim. lim 5 R. lim. Calcola i seguenti limiti risolvendo le eventuali forme di indeterminazione")
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