[ ] [ ] [ ] [ ] lim. x 1 3 R. lim. lim. lim. lim. lim. lim 5 R. lim. Calcola i seguenti limiti risolvendo le eventuali forme di indeterminazione

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1 Educnica.i Calcolo di ii Calcola i sguni ii risolvndo l vnuali form di indrminazion Esrcizio no. Esrcizio no. Soluzion a pag.8 Soluzion a pag.8 [ ] Esrcizio no. Esrcizio no. Esrcizio no. lg Esrcizio no.6 sin cos Esrcizio no.7 Soluzion a pag.8 [ ] Soluzion a pag.8 Soluzion a pag.9 [ ] Soluzion a pag.9 Soluzion a pag.9 ( sin ) [ ] Esrcizio no.8 Esrcizio no.9 sin sin Soluzion a pag.9 [ ] Soluzion a pag.

2 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no. 8 Soluzion a pag. [ ] Esrcizio no. Esrcizio no. lg lg Esrcizio no. Soluzion a pag. Soluzion a pag. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. ( ) Esrcizio no.6 sin cos Esrcizio no.7 sin Esrcizio no.8 sin Soluzion a pag. Soluzion a pag. [ non sis] Soluzion a pag. [ ] Soluzion a pag. [ ]

3 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.9 sin Esrcizio no. sin Esrcizio no. Soluzion a pag. Soluzion a pag. Soluzion a pag. sin sin6 Esrcizio no. Soluzion a pag. sin [ ] Esrcizio no. Soluzion a pag. sin g [ ] Esrcizio no. Soluzion a pag. sin g [ ] Esrcizio no. Soluzion a pag. cos [ ] Esrcizio no.6 Soluzion a pag. cos Esrcizio no.7 Soluzion a pag.6 cos [ ]

4 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.8 Soluzion a pag.6 sin g Esrcizio no.9 Soluzion a pag.6 sin sin Esrcizio no. Soluzion a pag.6 g cos 6 Esrcizio no. Soluzion a pag.6 cos cos sin π Esrcizio no. Soluzion a pag.7 g cg [ ] π Esrcizio no. Soluzion a pag.7 g cg π Esrcizio no. Soluzion a pag.7 cos cos sin 8 Esrcizio no. Soluzion a pag.7 cos

5 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.6 Soluzion a pag.7 g sin Esrcizio no.7 Soluzion a pag.8 sin cos [ 8] Esrcizio no.8 Soluzion a pag.8 sin sin cos sin Esrcizio no.9 Soluzion a pag.8 sin g sin [ ] Esrcizio no. Soluzion a pag.8 π sin cos Esrcizio no. Soluzion a pag.9 cos cos sin Esrcizio no. Soluzion a pag.9 ( sin cos )( cos ) [ ] Esrcizio no. Soluzion a pag.9 sin [ ]

6 Educnica.i Calcolo di ii 6 Esrcizio no. Soluzion a pag.9 Esrcizio no. Soluzion a pag.9 Esrcizio no.6 Soluzion a pag. [ ] Esrcizio no.7 Soluzion a pag. [ ln ] Esrcizio no.8 Soluzion a pag. ln( ) [ ] Esrcizio no.9 Soluzion a pag. ln( ) Esrcizio no. Soluzion a pag. [ ln ] Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. 6 6

7 Educnica.i Calcolo di ii 7 Esrcizio no. Soluzion a pag. lg( ) sin ( ) Esrcizio no. Soluzion a pag. cos lg( g ) Esrcizio no. Soluzion a pag. cos cos 7 Esrcizio no.6 Soluzion a pag. Esrcizio no.7 ( ) / Soluzion a pag. [ ] Esrcizio no.8 Esrcizio no.9 Soluzion a pag. 7 ln Soluzion a pag.6 ( ) [ ] Esrcizio no.6 Soluzion a pag.6 (sin cg ) [ ] 7

8 Educnica.i Calcolo di ii 8 Esrcizio no.:soluzion prsna la forma indrminaa si raccogli al numraor al dnominaor gli raccoli fuori dalla sssa parnsi al numraor al dnominaor sono infinii dllo ssso ordin pr si possono smplificar fra loro. Esrcizio no.:soluzion pr ch nd a da sinisra al dnominaor avrmo com dir un po più di. pr cui scrivrmo:, Esrcizio no.:soluzion anch in quso caso raccogliamo la al numraor al dnominaor. Pr ssr più prcisi, possiamo noar ch: Esrcizio no.:soluzion 8

9 Educnica.i Calcolo di ii 9 Esrcizio no.:soluzion lg nd alla forma ch non è indrminaa, dao ch quival a g ( ) ( ) si può, dunqu, scrivr:. Esrcizio no.6:soluzion sin cos Esrcizio no.7:soluzion ( sin ) In quso caso, il problma è dao dal fao ch Noiamo ch ( sin ) sin sin non sis. bisogna qui ricordarsi dl i novol sin pr cui scrivrmo: ( sin ) sin Esrcizio no.8:soluzion si raa di una forma di indrminazion. Noiamo ch ( ) quindi pr l sprssion ( ) ( ) ( ) ( ) 9

10 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.9:soluzion sin sin sin Com già viso pr il prcdn caso ci si avval dl i novol sin sin sin sin Esrcizio no.:soluzion 8 Sosiundo il valor 8 8 Dcomponiamo il numraor con la rgola di uffini: possiamo scrivr 8 ( )( ) Il dnominaor vin ridoo con la formula dl rinomio: ± 9 8 ± quindi.. / 8 ( )( ) ( )( )

11 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.:soluzion Si ossrva com ch è una forma di indrminazion. Al dnominaor abbiamo: ( )( ) ( )( )( ) pr cui: ( ( )( ) )( ) ( )( ) Esrcizio no.:soluzion lg lg Sapndo ch lg il i dao palsa una forma di indrminazion. In quso è convnin usar lo ssso modo dll funzioni razionali fra: si raccogli il rmin ch nd al. lg lg lg lg lg lg Esrcizio no.:soluzion forma di indrminazion.

12 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.:soluzion forma di indrminazion. Usando lo ssso modo dll srcizio prcdn ricordandosi ch: s > s quindi nl nosro caso prché s <

13 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.:soluzion ( ) ( ) Vin, in quso caso, ffuaa la razionalizzazion, quindi, l sprssion: ( ) ( ) ( ) avrmo: ( ) S invc il i foss sao: ( ) Esrcizio no.6:soluzion sin cos Dao ch sin non sis com cos coninuano ad oscillar fra -. Si dduc: dao ch al ndr di ad i du rmini sin cos non sis

14 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.7:soluzion sin forma di indrminazion. sin icordando il i novol sin sin Esrcizio no.8:soluzion Si avrbb: sin forma di indrminazion S pnsiamo all form di duplicazion si ha sin sin cos pr cui: sin sin cos sin cos Esrcizio no.9:soluzion sin forma di indrminazion Qui l arificio sa nl porr pr sosiuzion dao ch pr sin sin sin Esrcizio no.:soluzion sin Anch qui ponndo forma di indrminazion dao ch pr sin sin sin

15 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.:soluzion sin sin6 pr l form di duplicazion sin sin6 sin sin ( ) sin sin cos cos Esrcizio no.:soluzion sin pr l form di duplicazion sin sin cos sin cos Esrcizio no.:soluzion sin sin sin g g g g sin dao ch cos Esrcizio no.:soluzion sin g sin cos sin g cos g Esrcizio no.:soluzion cos ( cos )( cos ) cos ( cos ) ( cos ) sin sin sin ( cos ) ( cos ) Esrcizio no.6:soluzion cos ( cos )( cos ) cos ( cos ) ( cos ) sin ( cos ) sin ( cos ) ( )

16 Educnica.i Calcolo di ii 6 Esrcizio no.7:soluzion cos sin sin Esrcizio no.8:soluzion sin g sin g Esrcizio no.9:soluzion sin sin sin sin Esrcizio no.:soluzion g g ( cos ) g ( cos ) cos ( cos )( cos ) cos g ( cos ) sin sin cos ( cos ) ( cos ) ( ) 6 sin cos Esrcizio no.:soluzion cos π cos sin (cos sin ) π cos π cos sin sin (cos sin )(cos sin ) π (cos sin ) 6

17 Educnica.i Calcolo di ii 7 Esrcizio no.:soluzion cos icordiamoci ch cg quindi: g sin sin sin cos g cos cos π cg cos sin cos π π sin sin sin π cos Esrcizio no.:soluzion sin g cos π cg cos π sin sin π cos g π π sin cos cos sin cos sin Esrcizio no.:soluzion cos cos sin cos ( cos ) ( cos ) cos ( cos ) cos ( cos )( cos ) ( cos ) ( ) 8 Esrcizio no.:soluzion cos cos cos cos sin cos sin cos sin cos Esrcizio no.6:soluzion sin sin g sin cos sin cos sin sin ( cos ) cos cos sin ( cos )( cos ) sin ( cos ) cos ( cos ) cos ( cos ) sin sin cos ( cos ) sin sin cos ( cos ) cos ( cos ) ( ) 7

18 Educnica.i Calcolo di ii 8 Esrcizio no.7:soluzion sin sin cos cos cos cos Esrcizio no.8:soluzion sin cos cos (cos ) sin cos cos cos 8 sin sin cos sin cos sin cos sin sin ( sin ) cos ( sin ) ( sin )( cos ) sin sin ( sin )( cos )( cos ) ( sin )( cos ) sin ( cos ) sin ( cos ) ( sin )sin ( sin ) ( ) sin ( cos ) ( cos ) ( ) Esrcizio no.9:soluzion sin sin sin g sin sin sin sin cos sin cos cos sin cos cos ( cos ) cos ( cos ) sin ( cos ) ( cos )( cos ) ( cos ) cos ( cos ) ( ) sin Esrcizio no.:soluzion π π sin cos sin (sin ) ( sin ( sin )( sin ) sin (sin ) π ( sin )( sin ) sin π ( sin ) π sin sin ( sin π ( sin sin cos ) ) ) ( ) ( sin ) π ( sin )( sin ) π sin (sin ) sin ( sin )( sin ) 8

19 Educnica.i Calcolo di ii 9 Esrcizio no.:soluzion cos cos cos ( cos ) cos ( cos ) sin cos ( cos )( cos ) cos ( cos ) Esrcizio no.:soluzion ( ( sin cos )( cos ) cos sin ( ) cos ) ( ( ) ( cos ) cos ) sin Esrcizio no.:soluzion sin Sosiundo avrmo ch pr il i divna allora: sin sin Esrcizio no.:soluzion prsna forma di indrminazion smplifichiamo: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Esrcizio no.:soluzion prsna forma di indrminazion smplifichiamo ( ( ) )( ) ( ) 9

20 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.6:soluzion prsna forma di indrminazion procdiamo ( ) Esrcizio no.7:soluzion prsna forma di indrminazion poniamo noando ch pr si ha / s vogliamo avvalrci dl i novol a ln a avrmo: ln ln ln Esrcizio no.8:soluzion ln( ) prsna forma di indrminazion ln( ) ci avvaliamo dl i novol poniamo noando ch pr si ha ln( ) ln( ) ln( ) /

21 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.9:soluzion ln( ) prsna forma di indrminazion ln( ) ln( ) ln( ) Il primo i è risolvibil com si è già viso ponndo: noando ch pr si ha quindi ln( ) ln( ) ln( ) / Pr il scondo i ossrviamo: basa dunqu risolvr il i poso h h con h pr h h h / h h h quso pr la validià dl i novol: quindi: di consgunza ln( )

22 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.:soluzion Si raa di una forma indrminaa dl ipo ; poniamo pr cui: pr si ha avvalndosi dl i novol a ln a si ha: ln Esrcizio no.:soluzion prsna forma di indrminazion ponndo si ha pr, pr cui quso pr il i novol

23 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.:soluzion Dopo avr noao ch il i è nlla forma procdiamo: ( ) ( ) ponndo il scondo i è riconducibil a pr cui: ( ) ( ) La forma ch appar è riconducibil al i novol ( ) 6 a a da cui Esrcizio no.:soluzion lg( ) sin ( ) Vi è una forma indrminaa procdiamo: lg( ) sin ( lg( ) ) sin ( ) abbiamo il prodoo: lg( ) sin oprando pr sosiuzion si ha: lg( ) sin pr cui si dduc: lg( ) sin ( )

24 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.:soluzion cos lg( g ) Ovviamn, la forma è indrminaa, rami il solio arificio, oniamo: cos g cos g g lg( g ) g lg( g ) ora: sin g prché com si ha g g cos g su ha pr ffo dlla forma lg( g ) lg( ) lg( ) cos di consgunza: lg( g ) Esrcizio no.:soluzion cos cos forma indrminaa raccoglindo a faor comun: cos cos cos cos Esrcizio no.6:soluzion Si raa di una forma di indrminazion dl ipo considrazion il i novol: sosiuisco dobbiamo nr in riman ch pr

25 Educnica.i Calcolo di ii Esrcizio no.7:soluzion ( ) / Pur ssndo anch qusa una forma sosiuisco pr si ha / ( ) pr il i novol Esrcizio no.8:soluzion anch qui poniamo pr si ha. ( ) il dnominaor amm radici in campo ral. 7 6 ± da cui l sprssion / ( ) ( )( ) ( ) ( 7 ) ( ) ( 7 ) ln ln ( 7 ) 7 7 abbiamo solo usao il i novol a ln a

26 Educnica.i Calcolo di ii 6 Esrcizio no.9:soluzion ( ) prsna forma di indrminazion ( ) ( ) quso prché ci si pova arrivar anch inuiivamn, riconoscndo ch è un infinio di ordin suprior rispo a. Esrcizio no.6:soluzion (sin cg ) prsna forma di indrminazion ; l sprssion: sin cg sin cos g cos sin cos sin cos 6