Esercizi sulla CONVOLUZIONE INTRODUZIONE. x(t)y( τ - t)dt. x(τ - t)y(t)dt

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1 INTRODUZIONE Si ricorda ch la convoluzion ra du sgnali x() y(), rali o complssi, indicaa simbolicamn com: C xy () = x() * y() è daa indiffrnmn dall du sprssioni: Esrcizi sulla CONVOLUZIONE C xy () = C xy () = x()y( - )d x( - )y()d Dalla prima si passa alla sconda con un smplic cambiamno di variabili ( - = ' ). La convoluzion è un opraor linar, com è facil dimosrar applicando la dfinizion, pr cui s y() = u() + v() si ha: C xy () = x() * (u() + v()) = C xu() + C xv () Qusa proprià è molo uil pr smplificar il calcolo di convoluzioni di sgnali dcomponibili nlla somma di sgnali più smplici. E' anch facil dimosrar ch s è noa la C xy (), la convoluzion ra x( - 0 ) y( - 1 ) val C xy ( ). Infai: x( - 0 )y( )d = x()y( )d =C xy (- 1-0 ) Pr calcolar una convoluzion nl dominio dl mpo bisogna succssivamn sguir l sguni oprazioni: 1) Invrir l'ass di rapprsnazion di uno di du sgnali [Si passa cioè da x() a x( -) oppur da y() a y( -)]; 2) sul sgnal il cui ass è sao invrio oprar una raslazion ch è ngaiva quando avvin vrso sinisra posiiva quando avvin vrso dsra; 3) calcolar il prodoo ra il sgnal raslao l'alro non raslao; 4) calcolar l'ara dl prodoo. 1 2

2 Esrcizio n.1 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : conmporanamn prsni; quso implica ch il loro prodoo è smpr nullo quindi pr minor di zro C xy () è smpr nulla. La figura 1.3 mosra la siuazion sisn pr raslazioni posiiv minori di 1. x() = rc 1 ( - 1/2) y() = rc 2 ( - 2/2) ssndo 1 più piccolo di 2. I du sgnali sono riporai nlla figura 1.1 x( - ) y() x() y() Fig.1.3 Fig Com sopra riporao, la prima oprazion da far è qulla di invrir l'ass di uno di du sgnali, ad smpio x() (Fig.1.2). Gli srmi di ingrazion dll'ingral di convoluzion saranno allora 0 prano si scrivrà : C xy () = d 0 = La convoluzion crsc linarmn raggiungndo pr = 1 il valor 1. x( - ) y() Pr comprso ra 1 2 si può facilmn ossrvar com il valor dlla convoluzion rimanga cosan; infai, indipndnmn dal valor di, la duraa dlla sovrapposizion di du sgnali rangolari riman 1 prano il valor dlla convoluzion è 1. Succssivamn pr raslazioni comprs ra 2 (2 + 1) si ralizza la siuazion dscria in fig In quso caso si scrivrà: 2 C xy ( ) = d =(2 +1 -) Pr valori di ancora maggiori si ralizza nuovamn la siuazion inizial di sgnali non sovrapposi quindi la convoluzion è nulla. Fig.1.2 Succssivamn si dv raslar x (-); è vidn ch raslazioni ngaiv, cioè vrso sinisra, fanno si ch non vi siano inrvalli di mpo in cui i du sgnali x ( -) y() siano 3 4

3 y() valor ch è il 50% di qullo final qullo, nl mpo di discsa, in cui si raggiung lo ssso valor. Il mpo di salia qullo di discsa sono in quso caso nrambi uguali a 1. Un sgnal a forma rapzoidal è prano onuo com convoluzion di du sgnali rangolari di cui uno dura quano il mpo di salia (1) il scondo quano dura lo ssso impulso rapzoidal (2). Nl caso paricolar in cui in cui 1 sia ugual a 2 (si indica con il valor comun), il rapzio dgnra in un riangolo di bas 2 alzza ; la duraa convnzional - com sopra dfinia - è ancora (fig.1.6). x( - ) x() * y() In dfiniiva si ha: Fig.1.4 C xy () = 0 pr 0 pr > (1 + 2) /2 C xy () = C xy () = 1 pr 0 < 1 pr 1 < 2 C xy () = (2 + 1 ) pr 2 < (1 + 2) L andamno dlla convoluzion è riporao nlla fig.1.5 Si può ossrvar, quso val in gnral, ch l'inrvallo di mpo in cui la convoluzion è divrsa da 0 dura la somma dgli inrvalli in cui sono divrsi da 0 i sgnali convolui. 2 Fig.1.6 Simbolicamn quso sgnal si indica com ri ( - ), ssndo ri ( ) un sgnal riangolar di ampizza uniaria cnrao nll'origin. x() * y() 2 1 1/ Fig.1.5 Si dic ch l'impuso di fig.1.5 ha una duraa 2 in quano convnzionalmn si assum com duraa di un impulso il mpo ch passa ra l'isan in cui, nl mpo di salia, si raggiung un 5 6

4 Esrcizio n.2 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : x() = ( /1) rc 1 ( - 1/2) y() = rc 2 ( - 2/2) ssndo 1 più piccolo di 2. I du sgnali sono riporai nlla figura 2.1 x( - ) y() x() y() Fig.2.1 La prima oprazion da far è smpr qulla di invrir l'ass di uno di du sgnali, anch in quso caso x() (Fig.2.2). x(- ) y() Fig.2.3 La rgion in cui nrambi i sgnali non sono nulli è qulla comprsa ra 0. Gli srmi di ingrazion dll'ingral di convoluzion saranno allora 0 : C xy () = 1 1 ( - )d 0 Pr risolvr facilmn quso ingral si può ossrvar ch sso non è alro s non l'ara di un riangolo di bas alzza / 1; la sua ara prano val 2 /21 quso è allora il valor dlla convoluzion nll'inrvallo di mpo in sam. La convoluzion crsc in modo parabolico raggiungndo pr = 1 il valor 1/2. nch adsso pr comprso ra 1 2 si può facilmn ossrvar com il valor dlla convoluzion rimanga cosan; infai, indipndnmn dal valor di, la duraa dlla sovrapposizion di du sgnali rangolari riman 1(fig.2.4) prano il valor dlla convoluzion è 1/ Fig.2.2 Succssivamn si dv raslar x (-); l raslazioni ngaiv, anch in quso caso, fanno si ch non vi siano inrvalli di mpo in cui i du sgnali x ( -) y() siano conmporanamn prsni; allora il loro prodoo è nullo quindi pr minor di zro C xy () è smpr nulla. La figura 2.3 mosra la siuazion sisn pr raslazioni posiiv minori di

5 x( - ) y() llora l'ingral di convoluzion val: C xy () =(2 + 1 )[( 2)/1+1]/2 = ΑΒ[1 2 ( 2) 2 ]/21 La convoluzion assum il valor 1/2 pr = 2 val 0 pr = Pr valori di ancora maggiori si ralizza nuovamn la siuazion inizial di sgnali non sovrapposi quindi la convoluzion è nulla. In dfiniiva si ha: C xy () = 0 pr 0 pr > (1 + 2) C xy () = 2 /21 C xy () = 1/2 pr 0 < 1 pr 1 < 2 C xy () = ΑΒ[1 2 ( 2) 2 ]/21 pr 2 < (1 + 2) Tal andamno è riporao nlla fig.2.6 Fig.2.4 Succssivamn pr raslazioni comprs ra 2 (2 + 1) si ralizza la siuazion dscria in fig In quso caso si scrivrà 2 C xy () = 1 ( - )d 1 1 1/2 x() * y() y() x( - ) Fig.2.6 Si può ancora ossrvar ch l'inrvallo di mpo in cui la convoluzion è divrsa da 0 dura la somma dgli inrvalli in cui sono divrsi da 0 i sgnali convolui Fig.2.5 Si può ossrvar ch, in quso caso, il calcolo dll'ingral di convoluzion coincid con il calcolo dll'ara dl rapzio rangolo di alzza (2 + 1 ), bas maggior bas minor ( 2)/1 (pr calcolar al valor basa ricorrr alla similiudin di riangoli). 9 10

6 Esrcizio n.3 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : x() = - a ( - 0) u-1 ( - 0 ) y() = - b ( - 1) u-1 ( - 1 ) a, b sono du quanià posiiv con a>b. I du sgnali sono riporai nlla fig x( - ) y() x() y() _ 0 _ Fig.3.3 sarà daa dalla sprssion: - 0+ C xy () = -b ( - 1) - a( - - 0) d 0 1 Fig.3.1 Com al solio bisogna invrir l'ass di uno di du sgnali prima di oprar l raslazioni. (fig.3.2). ch dà: 1 b 1 + a( 0- ) C xy () = 1-0+ ( a - b) d x( - ) y() quindi: ch può ssr modificao com: C xy () = b 1 + a( 0- ) 1 ( a - b) C xy () = (a-b) -b(- 0-1 ) - -a(- 0-1 ) (a-b)(- 0 + ) - (a-b) 1 Nl caso in cui 0 1 fossro nrambi nulli si avrbb il risulao: _ 0 1 Fig.3.2 C xy () = (a-b) -b - -a Si può vrificar com la prsnza di rmini di riardo 0 1 causa una raslazion di dlla convoluzion calcolaa pr riardi nulli, com indicao nll'inroduzion. In quso caso è facil ossrvar com raslazioni ngaiv conducono ad una convoluzion nulla, ma quso risulao si oin anch pr raslazioni posiiv infriori a In nrambi i casi x( ) y() non sono mai conmporanamn divrsi da 0. Pr valori di maggiori di la convoluzion non è nulla (Fig.3.3)

7 La fig.3.4 rapprsna il risulao dlla convoluzion pr = 8, a =2, b =1, 0 1 nulli. Fig.3.5 Fig.3.4 Nl caso in cui i cofficini a b fossro ra loro uguali l du prcdni formul, ponndo smplicmn b = a, ci porrbbro a form indrmina. Con normali oprazioni di limi si oin: C xy () = (- 0-1 ) -a(- 0-1 ) : C xy () = -a Qus formul valgono pr > > 0 rispivamn ssndo nulla la convoluzion pr valori di mpo ngaivi. La fig.3.5 rapprsna il risulao dlla convoluzion nl caso a =b =1 ancora ugual a 8. Esrcizio n.4 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : x() = rc ( - /2) y() = [rc ( - 5/2) rc ( - 7/2)] I du sgnali sono riporai nlla figura 4.1 x() y() Fig.4.1 Pr risolvr facilmn al problma si può ricorrr a quano indicao nll'inroduzion circa la linarià dll'oprazion convoluzion. llora: 13 14

8 x() * y() = rc ( - /2) * [rc ( - 5/2) rc ( - 7/2)] = = 2 {rc ( - /2) * rc ( - 5/2) + rc ( - /2) * rc ( - 7/2)} Dall'srcizio 1 possiamo ricavar l'sprssion dlla convoluzion ra du rangoli ch dà: rc ( ) * rc ( ) = ri ( ) Tnndo cono dlla rgola di raslazionsi oin allora in conclusion: C xy () = 2 {ri ( - 3) - ri ( - 4)} La fig.4.2 illusra C xy (). Esrcizio n.5 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : x() = rc ( - /2) y() = ( - ) rc ( - /2) I du sgnali sono riporai nlla figura 5.1 x() x() *y() 2 y() Quso srcizio consn di dar un cririo smplic di soluzion di problmi ch raino la convoluzion di sgnali ch abbiano in comun la cararisica di ssr cosruii su impulsi rangolari dlla sssa duraa. par, infai, il riardo ch com do nll inroduzion Fig.4.2 Fig.5.1 nch ora è facil ossrvar ch pr minor di zro C xy () è smpr nulla. Pr 0 < si ha la siuazion dscria in figura 5.2. y( -) x() _ + Si ha allora: C xy () = Fig.5.2 (- +) d =

9 = (-) = Pr < 2 si ha invc la siuazion dscria in figura 5.3. la convoluzion divna: C xy () = = x() _ + Fig.5.3 y( -) 2 - (- +) d = (x - + ) x dx = (2 -)3 3 (2 -)2 + (-) 2 Pr valori di supriori la convoluzion orna ad ssr nulla. Si può ossrvar ch C xy () val 3 /3. Il risulao dlla convoluzion è riporao nlla fig.5.4 pr = 2. Esrcizio n.6 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : x() = rc ( - /2) y() = cos (2 π f ) pplicando la dfinizion di convoluzion si può scrivr: quindi anch : C xy () = rc ( - /2) cos (2 π f( - )) d 0 C xy () = cos (2 π f ( -))d = 2 π f = 2 π f sin (2 π f( -)) + sin (2 π f) Uilizzando no formul goniomrich si può ancora scrivr: con = 2 π f = 2 π f 2 π f( -) cos x dx = -2 π f sin (2 π f)cos (2 π f) +(1- cos (2 π f)) sin(2 π f) = M cos(2 π f + φ) M = 2-2 cos(2 π f) = 2 sin (π f) φ = g -1 cos(2 π f) - 1 sin (2 π f) = g -1 cos 2 (π f) -sin 2 (π f) - 1 2sin (π f)cos (π f) = g -1-2sin 2 (π f) = - g -1 sin(π f) = - π f 2sin (π f)cos (π f) cos (π f) = Si può ossrvar com la convoluzion ra una sinusoid un impulso rangolar sia ancora una sinusoid dlla sssa frqunza con ampizza fas modifica. Quso è vro qualunqu sia la forma dl sgnal x(). Fig

10 Esrcizio n.7 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : x() = ri ( ) y() = u 0 ( θ) ov u 0 è un alro simbolo con cui è indicaa la funzion impulso di Dirac. Pr dfinizion la convoluzion è: Cxy() = ri ( ) u0( --θ ) d Tnndo cono dll proprià campionarici dlla funzion di Dirac si oin facilmn: C xy () = ri ( - θ) L impulso di Dirac ha rascinao il sgnal con cui è convoluo nl suo puno di applicazion. S è θ nullo si può ossrvar com la convoluzion dl sgnal con l impulso di Dirac coincid col sgnal ssso. x() * u 0 ( ) = x() Rispo all opraor prodoo di convoluzion l impulso di Dirac cnrao rapprsna l lmno uniario. Esrcizio n.8 Calcolar la convoluzion ra i sgnali : x() = j2 f 1 rc () y() = j2 f 2 rc () Si considri inizialmn il caso in cui l du frqunz siano uguali: f 1 = f 2 = F dalla dfinizion di convoluzion si ha: C xy () = + j2 F rc ( ) j2 F( ) rc ( )d ch può ssr riscria com: C xy () = j2 F + rc ( ) rc ( )d Si raa allora dl prodoo ra la sinusoid complssa a frqunza F la convoluzion dl rangolo di duraa cnrao nll origin con s ssso. Ricordando il risulao dll srcizio 1, nl caso di du rangoli di ugual duraa nndo cono ch, in quso caso, i du rangoli sono cnrai nll origin si ha: C xy () = j2 F ri () La convoluzion è cioè, un sgnal complsso a inviluppo riangolar: C xy () = ri () la cui fas varia linarmn nl mpo. Quso risulao può ssr gnralizzao nl snso ch s si dv calcolar la convoluzion ra du sgnali dl ipo: x() = j2 F g() y() = j2 F h() la convoluzion sarà: C xy () = j2 F C gh () Nl caso, invc, in cui l du frqunz siano divrs, la convoluzion si scriv com: + C xy () = j2 f 1 rc ( ) j2 f 2 ( ) rc ( )d cioè: + C xy () = j2 f 2 j2 (f 1 f 2 ) rc ( )rc ( )d Pr raslazioni posiiv di, pr qullo ch riguarda i du rangoli, si ha la siuazion dscria in figura 8.1, ssndo la raslazion posiiva di froni dll impulso -/2 + Fig.8.1 /2 + L ingral di convoluzion divna, pr comprso ra 0 : C xy () = j2 f 2 /2 /2 j2 (f 1 f 2 ) /2 y( ) d 19 20

11 ch dà: C xy () = j2 f 2 j2 (f 1 f 2 ) /2 j2 (f 1 f 2 )( /2) j2 (f 1 f 2 ) analogamn si opra pr raslazioni ngaiv onndo la siuazion di fig /2 /2 + y( ) /2 + Fig. 8.2 L ingral di convoluzion divna, in quso caso ( si ricordi ch è ngaivo) pr comprso ra 0: C xy () = j2 f 2 /2+ j2 (f 1 f 2 ) /2 d ch dà: C xy () = j2 f 2 j2 (f 1 f 2 )( /2+ ) - j2 (f 1 f 2 ) /2 j2 (f 1 f 2 ) La convoluzion è nulla pr >. Com si può ossrvarl iposi di divrsià dll frqunz rnd il problma molo mno gsibil da un puno di visa analiico. 21