Quaderni del Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Parma. Francesca Fiorenzi ALBERO BINARIO LIBERO. Novembre 1996 n.

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1 Quadrni dl Dipartimnto di Matmatica Univrsità dgli Studi di Parma Francsca Fiornzi ALBERO BINARIO LIBERO Novmbr 1996 n

2 2 Francsca Fiornzi ALBERO BINARIO LIBERO SOMMARIO Un albro binario libro è un albro radicato in cui ogni nodo ha sattamnt du succssori distinguibili mdiant una tichtta. In una tal struttura valgono l proprità di ricorsion; in particolar la ricorsion smplic garantisc ch una struttura di albro binario libro è unica a mno di isomorfismi. Si dimostra ch in è dfinibil una oprazion di somma ch gnralizza, nl caso binario, la somma tra numri naturali, si studiano altr importanti oprazioni rlazioni di si carattrizzano l catn massimali risptto ad una rlazion di ordin vrtical. Si prova, snza Assioma di Sclta, ch, risptto a tal ordin, ogni catna è stndibil ad una catna massimal. INDICE INTRODUZIONE... 2 ALBERO BINARIO LIBERO Albro binario libro tormi di ricorsion... 2 La somma, l ordinamnto d il prodotto in Il monoid libro su du gnratori L gnrazioni gli ordini orizzontali in L catn di L azion di su BIBLIOGRAFIA INDICE ANALITICO INDICE DEI SIMBOLI... 55

3 3 INTRODUZIONE La struttura di numri naturali = ( ; s; 0), ovvro il noto modllo dgli assiomi di Pano, può ssr considrata un albro in cui il numro 0 è la radic ogni nodo ha sattamnt un succssor. Vista in tal modo, ssa si prsta ad una ovvia gnralizzazion s si richid ch i succssori di un nodo siano ora sattamnt du distinguibili (diciamo succssor sinistro succssor dstro). Chiamrmo albro binario libro una struttura siffatta; pr ssa valgono proprità dl tutto simili agli assiomi di Pano pr l Aritmtica: l funzioni di succssor sono inittiv, la radic non è succssor di alcun nodo s ad un sottoinsim dll albro appartngono sia la radic ch i succssori di ogni suo nodo allora qusto coincid con l intro albro (induzion). Lo scopo dl prsnt lavoro è qullo di raccoglir, in una pubblicazion più brv facilmnt rpribil di quanto non sia una tsi di Laura, l vari proprità dll albro binario libro. In sostanza si tratta di un stratto, arricchito di alcuni risultati più rcnti, dl primo capitolo di [F]. Ci si ddichrà, dunqu, allo studio dll albro binario libro con tcnich analogh a qull utilizzat in Aritmtica. Dimostrrmo così vari tormi di ricorsion; darmo alcun importanti dfinizioni, tra cui qull di somma di ordin vrtical da ssa dtrminato, di prodotto trnario di du rlazioni di ordin orizzontal; introdurrmo il conctto di gnrazion, infin, ci ddichrmo allo studio dll catn. Vdrmo anch ch l albro binario libro è in sostanza, salvo la prsntazion assiomatica da noi sclta, il monoid libro su du gnratori, ovvro il monoid dll parol su un alfabto di du lttr. Su tal modllo concrto è basata la trattazion di L. Toti Rigatlli in [T], anch s qusta fornisc un assiomatizzazion incomplta pr il monoid dll parol in quanto, ni nostri trmini, consnt ch il succssor dstro di un lmnto possa coincidr con il succssor sinistro di un altro. Qusto non solo compromtt la catgoricità dlla toria, ma non prmtt nmmno di dfinir la fondamntal oprazion di somma. 1 - ALBERO BINARIO LIBERO E TEOREMI DI RICORSIONE Un albro binario libro è un albro radicato in cui ogni nodo ha sattamnt du succssori distinguibili mdiant una tichtta o gnr. In qusto paragrafo, dopo avr dato gli assiomi pr l albro binario libro, dimostrrmo ch pr sso valgono vari proprità di ricorsion. Vdrmo ch una struttura soddisfa una di tali proprità s solo s soddisfa tutt l altr ch qusto avvin s solo s si tratta di un albro binario libro. Inoltr il fatto ch pr un albro binario libro valga la ricorsion smplic, prmttrà di

4 4 dimostrar ch s una tal struttura sist ssa è unica a mno di isomorfismi. Dfinizion Si dic albro binario libro (di radic 0) una struttura = (R; σ 0, σ 1 ; 0) tal ch: (A1) σ i : R R σ i è inittiva (i < 2); (A2) σ i (x) σ j (y) (x, y R; i j); (A3) 0 im(σ i ) (i < 2); (A4) 0 M i< 2 σ i [M] M M = R (M R). Nl sguito (A4) sarà dtto assioma di induzion; pr un qualsiasi sottoinsim M di R si dic bas induttiva la proposizion 0 M, pr x R, si dic ipotsi induttiva la proposizion x M. Si supponga ora ch, in una struttura = (R; σ 0, σ 1 ; 0), valga l assioma di induzion ch una dtrminata proprità P dbba ssr provata valida pr ogni lmnto di R. Con l sprssion si dimostra pr induzion su x R ch P(x) si intnd ch, dtto M l insim dgli lmnti di R avnti la proprità P, si dimostra, mdiant l uso di (A4), l guaglianza M = R. In modo dl tutto analogo, infin, si può dfinir, pr ogni k > 0, la struttura k = (R k ;aσ 0,aσ 1,, σ k-1 ;a0 k ) di albro k-rio libro. In particolar gli assiomi di 1 coincidono con qulli di Pano pr l Aritmtica. Torma 1.2 (ricorsion smplic) - Sia una struttura di albro binario libro sia = (A; ϕ 0, ϕ 1 ; a) una struttura simil a ; allora sist una d una sola f: R A tal ch: (1) f(0)=a (2) f(σ i (x))=ϕ i (f(x)) (x R; i < 2). Dimostriamo, anzitutto, l unicità. Siano f, g ntramb soddisfacnti l condizioni (1) (2); posto Eq(f,g) = df {x R f(x) = g(x)} proviamo ch Eq(f,g) = R. Infatti 0 Eq(f,g) dato ch

5 5 f(0) = a = g(0) pr la condizion (1), supposto x Eq(f,g) si ha ch, pr ogni i < 2, l lmnto σ i (x) appartin a Eq(f,g) dato ch f(σ i (x)) = ϕ i (f(x)) = ϕ i (g(x)) = g(σ i (x)) pr la condizion (2) pr ipotsi induttiva. La conclusion si ottin dall assioma (A4). Si ha ch f Infatti Pr quanto riguarda l sistnza, sia = df {r R A (0,a) r ((x,b) r x R b A in quanto R A ; sia dunqu f = df. Si dimostra ch f soddisfa l proprità ch sguono. s (x,b) f allora dunqu pr ogni i < 2 si ha ovvro f è ovunqu dfinita Infatti 0 dom(f) ssndo i< 2 r G r G r r (0,a) r (x,b) r i< 2 (σ i (x),ϕ i (b)) r)}. (σ i (x),ϕ i (b)) r (r ) (σ i (x),ϕ i (b)) f. (0,a) f; s x dom(f) d è i < 2 allora sist b A tal ch quindi, pr il punto prcdnt, da cui σ i (x) dom(f). Pr induzion si ha ch dom(f) = R. f è funzional Sia proviamo ch M = R. (x,b) f (σ i (x),ϕ i (b)) f M = df {x R! (x,b) f}; b A

6 6 Si ha ch 0 M infatti s, pr assurdo, sistss b a tal ch (0,b) f si avrbb ch f \ {(0,b)} dunqu f f \ {(0,b)} il ch è assurdo. Sia x M sia i < 2; allora pr un opportuno unico b A si ha ch (x,b)a f da cui (σ i (x),ϕ i (b)) f. Si supponga, pr assurdo, ch sista c A con c ϕ i (b) tal ch (σ i (x),c) f; dfiniamo allora f =f \ {(σ i (x),c)} dimostriamo ch f. Si ha ch (0,a) f dato ch (0,a) f non può ssr (0,a) = (σ i (x),c). S, poi, (y,d) f allora, pr ogni j < 2, si ha ch (σ j (y),ϕ j (d)) f. Non può ssr, pr un fissato j < 2, (σ j (y),ϕ j (d)) = (σ i (x),c) altrimnti si avrbb i = j x = y ϕ i (d) = c. Da qusto sguirbb, ssndo (y,d) f f, (x,d) f, pr ipotsi induttiva, d = b da cui ϕ i (b) = c il ch è scluso dall ipotsi fatt. Dunqu s (y,d) f dv ssr (σ j (y),ϕ j (d)) f pr ogni j < 2; qusto prmtt di concludr ch f quindi f f il ch è assurdo. Si noti ch il torma prcdnt non fa altro ch assrir ch s è un albro binario libro è una struttura simil ad sist uno d un unico omomorfismo f:. Un albro binario libro risulta dunqu ssr oggtto inizial nlla catgoria ch ha com oggtti la class dll algbr ad sso simili com morfismi gli omomorfismi tra tali algbr. Torma 1.3 (ricorsion intrmdia) - Sia = (R; σ 0, σ 1 ; 0) una struttura soddisfacnt

7 7 la ricorsion smplic. Siano A, B insimi, g: A B sia, pr ogni i < 2, ϕ i : A B B; allora sist una d una sola f: A R B tal ch: (1) f(a,0) = g(a) (a A); (2) f(a,σ i (x)) = ϕ i (a,f(a,x)) (a A; x R; i < 2). Sia B A = df {h h: A B}; si ha ch g B A. Si considri, pr ogni i < 2, la funzion ψ i : B A B A dfinita da (ψ i (h))(a) = ϕ i (a,h(a)) (h B A ; a A). Pr ricorsion smplic di applicata alla struttura (B A ; ψ 0, ψ 1 ; g) sist un unica funzion f : R B A tal ch f (0) = g, f (σ i (x)) = ψ i (f (x)) (x R; i < 2). Sia ora f: A R B dfinita da f(a,x) = (f (x))(a) (a A; x R); allora pr ogni a A f(a,0) = (f (0))(a) = g(a) pr ogni a A, x R i < 2 f(a,σ i (x)) = (f (σ i (x)))(a) = (ψ i (f (x)))(a) = ϕ i (a,(f (x))(a)) = ϕ i (a,f(a,x)). Dimostriamo l unicità di f. Sia k: A R B avnt l proprità (1) (2). Sia allora k : R B A dfinita da (k (x))(a) = k(a,x) (x R; a A). Si ha ch pr ogni a A (k (0))(a) = k(a,0) = g(a) ovvro k (0) = g inoltr s i < 2 x R allora pr ogni a A (k (σ i (x)))(a) = k(a,σ i (x)) = ϕ i (a,k(a,x)) = ϕ i (a,(k (x))(a)) = (ψ i (k (x)))(a) ovvro k (σ i (x)) = ψ i (k (x)). Dunqu k =f da cui, pr ogni a A pr ogni x R, si ha f(a,x) = (f (x))(a) = (k (x))(a) = k(a,x) ovvro f = k. Nl sguito pr ogni insim A pr n, i \ {0} con i n indichrmo con p i (n) la i-

8 8 sima proizion di arità n ovvro p (n) i : A n A p (n) i (a 1,,a i,,a n ) = a i (a j A; 1 j n). Lmma Sia allora in ssa val la proprità (A4). = (R; σ 0, σ 1 ; 0) una struttura ch soddisfa la ricorsion intrmdia; Sia M R tal ch 0 M σ i [M] M; i< 2 sia g: R M la funzion costant in 0 sia, pr ogni i < 2, la funzion dfinita da Si ha dunqu ch sist una d una sola tal ch Sia ora h: R R R la funzion j ch ϕ i : R M M ϕ i (x,m) = σ i (m) f: R R M (x R; m M). f(x,0) = g(x) = 0 (x R) f(x,σ i (y)) = ϕ i (x,f(x,y)) = σ i (f(x,y)) (x, y R; i < 2). f, ssndo j la funzion di inclusion di M in R. Si ha h(x,0) = 0 (x R) h(x,σ i (y)) = j(σ i (f(x,y))) = σ i (j(f(x,y))) = σ i (h(x,y)) (x, y R; i < 2). Si considrino la funzion c: R R costant in 0, pr ogni i < 2, la funzion ψ i = σ i p 2 (2) : R R R. Esist una d una sola funzion k: R R R tal ch ovvro k(x,0) = c(x) (x R) k(x,σ i (y)) = ψ i (x,k(x,y)) (x, y R; i < 2); k(x,0) = 0 (x R) k(x,σ i (y)) = σ i (k(x,y)) (x, y R; i < 2).

9 9 Com si ossrva immdiatamnt tal funzion dv ssr p (2) 2. Smpr pr unicità, avndo h l stss proprità, si ha ch j f = h = p (2) 2 d ssndo p (2) 2 surittiva anch j risulta tal M coincid con R. Torma 1.5 (ricorsion primitiva) - Sia = (R; σ 0, σ 1 ; 0) una struttura ch soddisfa la ricorsion intrmdia. Siano A, B insimi, sia g: A B sia ϕ i : A R B B (i < 2); allora sist una d una sola f: A R B tal ch (1) f(a,0) = g(a) (a A); (2) f(a,σ i (x)) = ϕ i (a,x,f(a,x)) (a A; x R; i < 2). Sia g : A R B dfinita da g (a) = (0,g(a)) (a A); si considri inoltr, pr ogni i < 2, la funzion ψ i : A (R B) R B dfinita da ψ i (a,z) = (σ i (p (2) 1 (z)),ϕ i (a,p (2) 1 (z),p (2) 2 (z))) (a A; z R B). Pr ricorsion intrmdia sist una d una sola f : A R R B tal ch: f (a,0) = g (a) (a A) f (a,σ i (x)) = ψ i (a,f (a,x)) (a A; x R; i < 2). (2) Sia f = p 2 f : A R B; si ha ch f(a,0) = p (2) 2 (f (a,0)) = p (2) 2 (g (a)) = g(a) (a A); inoltr pr ogni a A, pr ogni x R pr ogni i < 2 f(a,σ i (x)) = p (2) 2 (f (a,σ i (x))) = p (2) 2 (ψ i (a,f (a,x))) = ϕ i (a,p (2) 1 (f (a,x)),p (2) 2 (f (a,x))) ovvro (3) f(a,σ i (x)) = ϕ i (a,p (2) 1 (f (a,x)),f(a,x)) (a A; x R; i < 2). Sia a A, si dimostra pr induzion su x ch p (2) 1 (f (a,x)) = x. S x = 0 si ha ch p (2) 1 (f (a,x)) = p (2) 1 (f (a,0)) = p (2) 1 (g (a)) = 0. S l assrto val pr x d è i < 2 allora p (2) 1 (f (a,σ i (x))) = p (2) 1 (ψ i (a,f (a,x))) = σ i (p (2) 1 (f (a,x))) = σ i (x). Dalla (3) sgu dunqu ch f(a,σ i (x)) = ϕ i (a,x,f(a,x)) (a A; x R; i < 2). Dimostriamo ora ch f è unica ad avr l proprità (1) (2). Sia infatti h: A R B avnt l stss proprità dfiniamo h :aa Ra ar B in

10 10 modo tal ch h (a,x) = (x,h(a,x)) Si ha ch h (a,0) = (0,h(a,0)) = (0,g(a)) = g (a) inoltr pr ogni i < 2, a A x R h (a,σ i (x)) = (σ i (x),h(a,σ i (x))) = (σ i (x),ϕ i (a,x,h(a,x))) dunqu h (a,σ i (x)) = ψ i (a,(x,h(a,x))) = ψ i (a,h (a,x)) da cui h = f (2) (2) f = p 2 f = p 2 h = h. (a A; x R). (a A), Mostriamo ora ch l proprità di ricorsion sono tutt quivalnti o, mglio, ch una struttura soddisfa una di tali proprità s solo s soddisfa tutt l altr. Torma Una struttura soddisfa anch la ricorsion smplic. = (R; σ 0, σ 1 ; 0) soddisfacnt la ricorsion primitiva Sia (A; ϕ 0, ϕ 1 ; a) una struttura simil ad ; sia g: R A la funzion costant in a, pr ogni i < 2, sia ψ i : R R A A la funzion dfinita da ψ i (x,y,a) = ϕ i (a) (x, y R; a A). Pr ricorsion primitiva sist una d una sola f : R R A tal ch f (x,0) = g(x) = a (x R) f (x,σ i (y)) = ψ i (x,y,f (x,y)) = ϕ i (f (x,y)) (x, y R, i < 2). Sia ora f: R A dfinita da f(x) = f (0,x) (x R). Allora (1) f(0) = f (0,0) = a (2) f(σ i (x)) = f (0,σ i (x)) = ϕ i (f (0,x)) = ϕ i (f(x)) (x R, i < 2). Pr la dimostrazion dll unicità si supponga ch h: R A abbia l stss proprità di f. Sia h : R R A tal ch h (x,y) = h(y) (x, y R). Allora h (x,0) = h(0) = a (x R)

11 11 h (x,σ i (y)) = h(σ i (y)) = ϕ i (h(y)) = ϕ i (h (x,y)) (x, y R, i < 2) da cui, pr unicità, si ha h = f, pr ogni x R, f(x) = f (0,x) = h (0,x) = h(x) ovvro f = h. Si è dimostrato, dunqu, ch pr una struttura = (R; σ 0, σ 1 ; 0) l tr proprità di ricorsion sono quivalnti. Mostriamo ora ch qust proprità sono quivalnti anch a qulla di ssr un albro binario libro. Torma Una struttura ricorsion è un albro binario libro. = (R; σ 0, σ 1 ; 0) soddisfacnt una (l) proprità di Proviamo la validità dgli assiomi (A1)-(A4). σ i è inittiva i< 2 Si considrino infatti la funzion g: R R costant in 0 l funzioni ψ 0, ψ 1 :ar R R R coincidnti con la funzion p 2 (3). Pr ricorsion primitiva sist una d una sola tal ch f: R R R Sia ora σ i (x) = σ i (y) pr qualch x, y R. Allora ovvro x = y. x, y R (σ i (x) = σ j (y) i = j) i, j< 2 f(x,0) = g(x) = 0 (x R) f(x,σ i (y)) = ψ i (x,y,f(x,y)) = y (x, y R, i < 2) f(0,σ i (x)) = f(0,σ i (y)) Sia infatti A = {0,1} siano ϕ 0 : A A la funzion costant in 0 ϕ 1 : A A la funzion costant in 1. Pr ricorsion smplic si ha ch sist una d una sola f: R A tal ch f(0) = 0 Supposto ora ch pr i, j < 2 pr x, y R sia f(σ i (x)) = ϕ i (f(x)) = i (x R, i < 2). σ i (x) = σ j (y)

12 12 si ha f(σ i (x)) = f(σ j (y)) da cui i = j. 0 σ i [R] i< 2 Sia infatti A = {0,1} siano ϕ 0, ϕ 1 : A A coincidnti con la funzion costant in 1. Pr ricorsion smplic sist una d una sola f: R A tal ch f(0) = 0 f(σ i (x)) = ϕ i (f(x)) = 1 (x R, i < 2) Dunqu non può ssr 0 = σ i (x) pr qualch i x. Infin pr il Lmma 1.4 si ha ch val la proprità (A4) pr. E ora possibil dimostrar ch la toria ch ha pr assiomi (A1)-(A4) è catgorica ovvro ch, s sist, è unica (a mno di isomorfismi), una struttura di albro binario libro. Torma Du struttur = (R; σ 0, σ 1 ; 0) = (R ; ξ 0, ξ 1 ; 0 ) di albro binario libro sono isomorf. Siano, com nll ipotsi; pr ricorsion smplic di applicata a sist una d una sola funzion f: R R tal ch: (1) f(0)=0 (2) f(σ i (x)) = ξ i (f(x)) (x R; i < 2). Dunqu, com già ossrvato, la funzion f è un omomorfismo tra l struttur d. Riman da dimostrar ch f è invrtibil. Pr ricorsion smplic di applicata a sist una d una sola f : R R tal ch: f (0 ) = 0 f (ξ i (x )) = σ i (f (x )) (x R ; i < 2). Si considri ora f f: R R; si ha ch: f f(0) = 0 f f(σ i (x)) = f (ξ i (f(x))) = σ i (f (f(x))) = σ i (f f(x)) (x R; i < 2).

13 13 Applicando la ricorsion smplic di risptto alla stssa si ha, pr unicità, Analogamnt si ha f f f = id R. f = id R quindi f è biittiva. Si ossrvi ch quanto dimostrato in qusto paragrafo con rifrimnto ad ridimostrabil snza alcuna complicazion torica pr l albro k-rio libro. è 2 - LA SOMMA, L ORDINAMENTO ED IL PRODOTTO IN Dfiniamo ora, mdiant i tormi di ricorsion, alcun oprazioni rlazioni fondamntali dll albro binario libro. Tra qust sarà l oprazion di somma ch, com vdrmo, ha una dfinizion ricorsiva dl tutto simil a qulla dlla somma tra numri naturali. Smpr in modo analogo al caso dll albro unario si dfinisc una rlazion d ordin in cui dirmo un lmnto minor di un altro s n sist un trzo ch sommato con il primo dà il scondo. Mno ovvia smbra la dfinizion di prodotto; noi utilizzrmo qulla di oprazion trnaria data in [T]. La ragion principal di qusta sclta dipnd dal fatto ch tal dfinizion si può ovviamnt gnralizzar a qulla di un oprazion (k + 1)-aria pr l albro k-rio libro qusto la diffrnzia da un altra plausibil sclta dfinitoria ch prsntrmo ch si dimostrrà poi ssr un caso particolar dlla prcdnt. Torma Esist una d una sola s: R R R tal ch: (S1) s(x,0) = x (x R); (S2) s(x,σ i (y)) = σ i (s(x,y)) (x, y R; i < 2). Si applichi il Torma di ricorsion intrmdia con A = R = B, g = id R ϕ i = σ i o p 2 (2) (i < 2). Indicando, com vrrà fatto nl sguito, il trmin s(x,y) con x + y, l proprità (S1) d (S2) si possono così riscrivr: (S1) x + 0 = x (x R); (S2) x + σ i (x) = σ i (x + y) (x, y R; i < 2). Mostriamo ora qualch proprità dll oprazion di somma; ovviamnt, dalla dfinizion, è smplic dimostrar pr induzion su n ch pr ogni x, y R si ha

14 14 ssndo σ i n l itrnazion n-sima di σ i. x + σ i n (y) = σ i n (x + y) (i < 2) Proposizion La somma in è associativa. Pr induzion su z R mostriamo ch pr ogni x, y R (x + y) + z = x + (y + z). S z = 0 allora (x + y) + z = x + y = x + (y + 0) = x + (y + z). S l assrto val pr z allora, pr ogni i < 2, si ha (x + y) + σ i (z) = σ i ((x + y) +z) = σ i (x + (y + z)) = x + σ i (y + z) = x + (y + σ i (z)). Proposizion Pr ogni x R si ha 0 + x = x. Pr induzion su x. S x = 0 l assrto sgu ovviamnt da (S1). S l assrto val pr x d è i < 2 allora 0 + σ i (x) = σ i (0 + x) = σ i (x). Proposizion Pr ogni x R si ha ch! x 0 i< 2! x = σ i (y). y R Dimostriamo, pr induzion su x, ch x 0 x = σ i (y). i< 2 y R Sia, infatti, M = df {x R x = σ i (y)} {0}. i< 2 y R Si ha ch 0 M s x M si ha ch pr ogni i < 2 risc σ i (x) M (anch snza l utilizzo dll ipotsi induttiva); pr (A4) si ha ch M = R. S foss, pr y, y R, x = σ i (y) x = σ j (y ) si avrbb ch i = j pr (A2) y = y pr (A1); da qusto l unicità di i y.

15 15 Si è quindi dimostrato ch x 0! i< 2! x = σ i (y). y R Pr il vicvrsa s x è dlla forma σ i (y) pr i < 2 y R è, ovviamnt, x 0 pr (A3). Grazi a qusto risultato è possibil dar la Dfinizion Si dfiniscono l funzioni π di prdcssor g di gnr in modo tal ch π: R \ {0} R g: R \ {0} {0,1} g(x) = i π(x) = y x = σ i (y) (x R \ {0}). Proposizion In val la lgg di annullamnto dlla somma. Siano x, y R con x + y = 0. S foss y 0 si avrbb y = σ i (z) pr opportuni i z da cui 0 = x + y = x + σ i (z) = σ i (x + z) il ch contraddic l assioma (A3). Dunqu y = 0 0 = x + y = x + 0 = x. Proposizion In la somma è cancllabil. Mostriamo, pr induzion su x R ch pr ogni y, z R si ha x + y = x + z y=z. S x = 0 l assrto è banal in virtù dlla Proposizion 2.3. S l assrto val pr x d è i < 2 si ha ch σ i (x) + y = σ i (x) + z x + (σ i (0) + y) = x + (σ i (0) + z) σ i (0) + y = σ i (0) + z pr proprità associativa dlla somma pr ipotsi induttiva. Si ha la tsi s si dimostra ch, pr ogni y, z R σ i (0) + y = σ i (0) + z y = z; Lo dimostriamo pr induzion su y. S y = 0 si supponga

16 16 σ i (0) = σ i (0) + z dv ssr z = 0 altrimnti, pr la Proposizion 2.4, si avrbb z = σ j (w) pr j w opportuni quindi σ i (0) = σ i (0) + σ j (w) = σ j (σ i (0) + w) da cui, pr (A2) d (A1), 0 = σ i (0) + w infin, pr la Proposizion 2.6, σ i (0) = 0 il ch è scluso da (A3). S l assrto val pr y d è j < 2 sia σ i (0) + σ j (y) = σ i (0) + z; pr quanto ossrvato dv ssr z 0 dunqu dv ssr z = σ k (w) pr opportuni w k quindi smpr sfruttando (A2) d (A1) si ha j = k σ i (0) + y = σ i (0) + w. Allora, pr l ipotsi induttiva, si ha ch y = w da cui σ j (y) = σ k (w) = z. Pr quanto riguarda la cancllabilità dstra, fissati x, y R, si dimostra, pr induzion su z ch x + z = y + z x = y. Ciò è ovvio s z = 0. S l assrto val pr z d è i < 2 supponiamo ch sia x + σ i (z) = y + σ i (z); allora σ i (x + z) = σ i (y + z) d ssndo σ i inittiva x + z = y + z. La conclusion si ottin pr ipotsi induttiva. Proposizion La somma di non è commutativa. Si considrino gli lmnti σ 0 (0) σ 1 (0). Pr (S2) d (S1) si ha ch: σ 0 (0) + σ 1 (0) = σ 1 (σ 0 (0) + 0) = σ 1 (σ 0 (0)) σ 1 (0) + σ 0 (0) = σ 0 (σ 1 (0) + 0)) = σ 0 (σ 1 (0)). Dunqu, pr (A2), gli lmnti considrati non commutano.

17 17 Dfinizion Sia la rlazion binaria dfinita in da x y x + z = y z R (x, y R). Proposizion La rlazion è di ordin parzial ha 0 com minimo. Siano x, y, z R; si ha ch 0 + x = x dunqu 0 x quindi 0 è un minimo. Si ha ch x + 0 = x dunqu x x. S x y y x allora, pr opportuni u v, x + u = y y + v = x da cui x + u + v = y + v = x = x + 0; pr la cancllabilità la lgg di annullamnto dlla somma si ha ch u = 0 = v da cui x = y. S x y y z si ha ch pr opportuni u v x + u = y y + v = z da cui z = (x + u) + v = x + (u + v) quindi x z. Indicata con < la rlazion di ordin strtto associata a si ha la Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch x < y x + σ i (z) = y. z R i< 2 S x, y R sono tali ch x < y allora x y dunqu x + z = y pr z opportuno. Non potndo ssr z = 0 si ha, pr la Proposizion 2.4, ch z = σ i (z ) con i z opportuni. S x + σ i (z) = y è, pr dfinizion, x y. Sia, pr assurdo, x = y; è allora x + σ i (z) = y = x + 0. Pr la cancllabilità dlla somma si ha ch σ i (z) = 0 il ch è scluso da (A3).

18 18 Proposizion Pr ogni x, y R pr ogni i < 2 si ha ch x < σ i (y) x y. Sia x < σ i (y); pr la Proposizion 2.11 si ha ch x + σ j (z) = σ i (y) pr opportuni j z quindi, pr (S2), risc σ j (x + z) = σ i (y); applicando gli assiomi (A2) (A1) si ha ch j = i x + z = y da cui x y. Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch x < y x π(y). Sia x < y; allora y 0 quindi y = σ g(y) (π(y)) da cui, pr la proposizion prcdnt, si ha x π(y). Sia, vicvrsa, x π(y); ssndo y = π(y) + σ g(y) (0) si ha, pr la Proposizion 2.11, ch π(y) < y da cui x < y. Proposizion Pr ogni x R pr ogni i < 2 si ha ch σ i (x) copr x. Si ha ch σ i (x) = x + σ i (0) dunqu, pr la Proposizion 2.11, x < σ i (x). Inoltr s z è tal ch z < σ i (x) pr la Proposizion 2.12 è z x. Dunqu non sist alcun z R tal ch x < z < σ i (x). Proposizion Pr ogni x R si ha ch il sgmnto inizial dtrminato da x è una catna.

19 19 Pr induzion su x. S x = 0 si ha ch {y R y < x} = ssndo 0 il minimo di (R;a ); ovviamnt è una catna. S l assrto val pr x sia i < 2 sia, pr y R, y < σ i (x) allora, pr la Proposizion 2.12, si ha ch y x. Ponndo, dunqu, X = df {y R y < x} X i = df {y R y < σ i (x)} si ha ch X i X {x}. Ora X {x} è una catna in quanto x è confrontabil con ogni lmnto di X ch è una catna pr ipotsi induttiva. L insim X i risulta dunqu ssr una catna ssndo sottoinsim di una catna. Proposizion Pr ogni x R si ha ch σ 0 (x) è inconfrontabil con σ 1 (x). Sia, pr assurdo, σ i (x) < σ 1-i (x); pr la Proposizion 2.12, si ha σ i (x) x il ch è scluso dalla Proposizion Dl rsto l guaglianza di du lmnti è sclusa da (A2). Proposizion Pr ogni x R si ha ch x 0! i< 2! x = σ i (0) + y. y R Dimostriamo, pr induzion su x, ch x 0! i< 2 x = σ i (0) + y. y R x = 0 S x = 0 l assrto è vro ssndo l ipotsi falsa. S l assrto val pr x sia i < 2; distinguiamo du casi.

20 20 Allora σ i (x) = σ i (0) + 0. S foss σ i (x) = σ 1-i (0) + y pr un qualch y dovrbb ssr σ 1-i (0) σ i (x) il ch è scluso dalla Proposizion x 0 Allora, pr ipotsi induttiva, sistono j y con x = σ j (0) + y da cui σ i (x) = σ j (0) + σ i (y). S σ i (x) = σ k (0) + z pr qualch k z allora dv ssr z 0 altrimnti si avrbb i = k x = 0. Quindi, pr opportuni h u, si ha z = σ h (u) da cui i = h x = σ k (0) + u. Pr l unicità di j si ha k = j. Dimostriamo ora l unicità di y nlla dcomposizion di x non nullo: s x = σ i (0) + u x = σ i (0) + v pr la cancllabilità a sinistra dlla somma dv ssr u = v. Pr quanto assrito dalla Proposizion 2.17 è possibil dar la Dfinizion Si dfiniscono l funzioni f (di first) bf (di butfirst) in modo tal ch f: R \ {0} {σ 0 (0),σ 1 (0)} bf: R \ {0} R f(x) = σ i (0) bf(x) = y x = σ i (0) + y (x R \ {0}). Sia n sia i < 2; nl sguito il trmin σ i n (0) sarà indicato con la notazion n i. Proposizion Pr ogni n, pr ogni i < 2 pr ogni x R si ha ch bf n (n i + x) = x. Proviamo, pr induzion su n, ch l assrto val pr ogni x. S n = 0 si ha ch bf n (σ n i (0) + x) = 0 + x = x. S l assrto val pr n si ha ch bf n+1 ((n + 1) i + x) = bf n+1 (σ n+1 i (0) + x) = bf(bf n (n i + σ i (0) + x)) = bf(σ i (0) + x) = x.

21 21 Proposizion Pr ogni x, y R con x 0 si ha ch f(x + y) = f(x) bf(x + y) = bf(x) + y. Si ha ch x = f(x) + bf(x) da cui x + y = f(x) + bf(x) + y ovvro f(x + y) = f(x) bf(x + y) = bf(x) + y. Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch x < y! σ i (x) y. i< 2 S σ i (x) y allora x < y ssndo x < σ i (x) pr la Proposizion S x < y si ha ch x + z = y pr un opportuno z 0. Quindi z = f(z) + bf(z) da cui, posto i = df g(f(z)), si ha y = x + z = x + σ i (0) + bf(z) = σ i (x) + bf(z) dunqu σ i (x) y. Si noti ch non può ssr σ 1-i (x) y pr la Proposizion 2.15 la Proposizion Torma Esist una d una sola p: R 2 R R tal ch: (P1) p((x 0,x 1 ),0) = 0 (x 0, x 1 R); (P2) p((x 0,x 1 ),σ i (y)) = p((x 0,x 1 ),y) + x i (x 0, x 1, y R; i < 2). Si applichi il Torma di ricorsion intrmdia con A = R 2, B = R, g la funzion costant in 0, pr ogni i < 2, la funzion ϕ i : R 2 R R dfinita da ϕ i ((x 0,x 1 ),y) = y + x i. Ponndo, nl sguito, p((x 0,x 1 ),y) = (x 0,x 1 ) y l proprità (P1) d (P2) si possono così riscrivr: (x 0, x 1, y R),

22 22 (P1) (x 0,x 1 ) 0 = 0 (x 0, x 1 R); (P2) (x 0,x 1 ) σ i(y) = (x 0,x 1 ) y + x i (x 0, x 1, y R; i < 2). L sistnza dl prodotto in, poi, può ssr gnralizzata a qulla di un prodotto in k ch indichrmo con k tal ch: (P k 0) k: (R k ) k R k R k (P k 1) (x 0,x 1,,x k-1 ) k0 k = 0 k (x h R k ; h < k); (P k 2) (x 0,x 1,,x k-1 ) kσ i (y) = (x 0,x 1,,x k-1 ) ky + x i (x h, y R k ; i, h < k) Dfiniamo ora una oprazion binaria in ch ci è smbrata, in un primo momnto, la più adatta ad ssr dtta prodotto. Pr ricorsion smplic di applicata alla struttura (R; σ 1, σ 0 ; 0) sist una d una sola funzion c: R R tal ch (C1) c(0)=0 (C2) c(σ i (x)) = σ 1-i (c(x)) (x R; i < 2). Pr ricorsion intrmdia avndo A = R = B, la funzion g: R R costant in 0 l funzioni ϕ 0, ϕ 1 : R R R dfinit da ϕ 0 (x,y) = y + x (x, y R) ϕ 1 (x,y) = y + c(x) (x, y R) sist una d una sola f: R R R tal ch f(x,0) = g(x) (x R) f(x,σ i (y)) = ϕ i (x,f(x,y)) (x, y R; i < 2). Dunqu, indicando pr ogni x, y R con x y il trmin f(x,y), (1) x 0 = 0 (x R), (2) x σ 0 (y) = x y + x (x, y R) (3) x σ 1 (y) = x y + c(x) (x, y R). Dimostriamo ora la Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch x y = (x,c(x)) y.

23 23 l assrto. Si ha ch pr ogni x, y R (x,c(x)) 0 = 0, (x,c(x)) σ 0(y) = (x,c(x)) y + x (x,c(x)) σ 1(y) = (x,c(x)) y + c(x). Essndo la sola oprazion binaria a soddisfar l rlazioni (1), (2) (3) si ha Proposizion Pr ogni x 0, x 1, y, z R si ha ch (x 0,x 1 ) (y + z) = (x 0,x 1 ) y + (x 0,x 1 ) z. Pr induzion su z. S z = 0 l assrto è ovvio. S l assrto val pr z d è i < 2 si ha ch (x 0,x 1 ) (y + σ i(z)) = (x 0,x 1 ) σ i(y + z) = (x 0,x 1 ) (y + z) + x i da cui, pr ipotsi induttiva, (x 0,x 1 ) (y + σ i(z)) = (x 0,x 1 ) y + (x 0,x 1 ) z + x i = (x 0,x 1 ) y + (x 0,x 1 ) σ i(z). Nl sguito, pr ogni x, y R, indichrmo con x y il trmin (x,0) y. Corollario Pr ogni x, y, z R si ha ch x (y + z) = x y + x z. 3 - IL MONOIDE LIBERO SU DUE GENERATORI Ci occupiamo ora di dimostrar ch l albro binario libro ha un modllo concrto ovvro il monoid dll parol su un alfabto di du lttr. In qusto snso si formalizza l ida intuitiva scondo cui pr dtrminar un lmnto dll albro occorra indicar una squnza (o, appunto, parola) di gnri ch conducano dalla radic 0 all lmnto in qustion. Dfinizion Si dic monoid libro su du gnratori un monoid = (M; ; a)

24 24 libro nlla class di monoidi attravrso una funzion inittiva ϕ: {0,1} M. Ovvro tal ch pr ogni altro monoid = (M ;a ;aa ) pr ogni funzion ψ: {0,1} M sist uno d un unico omomorfismo ψ : pr cui ψ ϕ = ψ. Noti tormi di algbra univrsal dimostrano l unicità, a mno di isomorfismi, di una struttura soddisfacnt tal dfinizion. Inoltr, ssndo la class di monoidi una class quazional, si dimostra ch sist una struttura siffatta. Torma La struttura (R; +; 0) è un monoid libro su du gnratori. Sia ϕ: {0,1} R dfinita da ϕ(i) = σ i (0) (i < 2); ovviamnt (pr (A2)) ϕ è inittiva. Sia ora = (M; ; a) un monoid ψ:a{0,1} M. Ponndo ψ 0 = df ψ(0) ψ 1 = df ψ(1) dfiniamo, pr ogni i < 2, la funzion ξ i : M M in modo tal ch ξ i (m) = m ψ i Pr ricorsion smplic di applicata a (M; ξ 0, ξ 1 ; a) sist una d una sola (m M). ψ : R M tal ch: ψ (0) = a ψ (σ i (x)) = ξ i (ψ (x)) (x R; i < 2). Ossrviamo i sgunti fatti. ψ è un omomorfismo Fissato x R, dimostriamo, pr induzion su y, ch ψ (x + y) = ψ (x) ψ (y). S y = 0 l assrto è ovvio. S l assrto val pr y d è i < 2 si ha ch ψ (x + σ i (y)) = ψ (σ i (x + y)) = ξ i (ψ (x + y)) = ψ (x + y) ψ i = (ψ (x) ψ (y)) ψ i utilizzando la proprità associativa di risc dunqu ψ (x + σ i (y)) = ψ (x) (ψ (y) ψ i ) = ψ (x) ξ i (ψ (y)) = ψ (x) ψ (σ i (y)). ψ ϕ = ψ Infatti, pr i {0,1}, (ψ ϕ)(i) = ψ (σ i (0)) = ξ i (ψ (0)) = ξ i (a) = a ψ i = ψ i = ψ(i).

25 25 Proviamo ora l unicità di ψ ; sia Φ: R M un omomorfismo tal ch Φ ϕ = ψ. Allora Φ(0) = a, pr ogni i < 2, Φ(σ i (x)) = Φ(x + σ i (0)) = Φ(x) Φ(ϕ(i)) = Φ(x) ψ(i) = ξ i (Φ(x)) (x R). Dunqu Φ = ψ. In algbra univrsal si dimostra ch il monoid libro su du gnratori è idntificabil con l algbra dll parol su un alfabto di du lttr in cui con qusta si intnd la struttura = ({0,1}*; ; λ} ov {0,1}* dnota l insim dll squnz finit di 0 1, l oprazion è la concatnazion tra squnz λ è la parola vuota. In sia dfinita da i : {0,1}* {0,1}* (i < 2) i (p) = p i (p {0,1}*). Torma La struttura = ({0,1}*; 0 ; 1 ; λ) è un albro binario libro. Gli assiomi (A1)-(A3) sono banalmnt vrificati. Non rsta ch vrificar (A4). Si considri la funzion l 0 : {0,1} dfinita da: l 0 (0) = 1 = l 0 (1); pr la librtà di, ssndo ( ; +; 0) un monoid, sist una d una sola l: {0,1}* ch: l(λ) = 0; tal l(p q) = l(p) + l(q) (p, q {0,1}*); l(0) = l 0 (0); l(1) = l 0 (1). Pr ogni i < 2 p {0,1}* si ha dunqu ch Sia ora M {0,1}* tal ch l(p i) = l(p) + l 0 (i) = l(p) + 1. λ M dimostriamo, pr induzion su n, ch (p M p i M); i< 2 n {p {0,1}* l(p) = n} M. Infatti s l(p) = 0 allora p = λ dunqu p M pr ipotsi. Si supponga ch l assrto valga pr n; siccom

26 26 {p {0,1}* l(p) = n + 1} = {q i q {0,1}*, i < 2 l(q) = n}, pr ipotsi, p M p i M, i< 2 si ha l assrto pr n + 1. Il torma dimostrato assrisc dunqu ch un lmnto di {0,1}* è un lmnto dll albro binario libro ch, con l notazioni dl Paragrafo 1, comunqu prsi i 1, i 2,, i n {0,1} si ha i 1 i 2 i 3 i n = λ i 1 i 2 i 3 i n = ( ((λ i 1 ) i 2 ) ) i n = σi ( Κ ( σi ( σ n i ( 0 ))) Κ ). 2 1 Dunqu, così com i numri naturali si idntificano con la loro rapprsntazion unaria, è possibil idntificar gli lmnti dll albro binario libro con l squnz binari 4 - LE GENERAZIONI E GLI ORDINI ORIZZONTALI IN Qulla di gnrazion è una funzion da R a valori in ch dtrmina, dato un lmnto x R, di quanti passi si è dovuti scndr dalla radic 0 pr ottnr tal lmnto; si tratta in sostanza dlla lunghzza dlla parola (nl snso chiarito dal paragrafo prcdnt), ch x individua. L rlazioni di ordin orizzontal ch introdurrmo sono du. La prima, ch indichrmo con ξ, è qulla studiata in [F]; qusta si rnd util pr lo studio di tipi di ordin orizzontal dgli albri sradicati binari potrbb srvir pr lo studio di tali tipi ni modlli non-standard dlla Toria Elmntar dgli Albri Binari (EAB). La sconda rlazion, ch indichrmo con η, è più fin di ξ d è util pr lo studio dl quozint canonico di un modllo non-standard di EAB. In raltà, com provrmo, la prima rlazion è dfinibil a partir dalla sconda ma, nonostant qusto, dimostrrmo indipndntmnt l vari proprità dll una dll altra in modo ch, a sconda dll signz, si possa scglir qual utilizzar. Torma Esist una d una sola ρ: R tal ch: (R1) ρ(0) = 0; (R2) ρ(σ i (x)) = ρ(x) + 1 (x R; i < 2).

27 27 Si applichi il Torma di ricorsion smplic a ( ; ϕ 0, ϕ 1 ; 0) in cui ϕ 0 = s = ϕ 1. Si noti ch, riguardando l albro binario libro com algbra dll parol, la funzion ρ non è altro ch la funzion l di cui al Torma 3.3 ch associa ad una parola la sua lunghzza ch, pr com è stata dfinita, è un omomorfismo di monoidi. Dfinizion Dato x R, si dic gnrazion di x il numro natural ρ(x). Proposizion La funzion ρ è strttamnt crscnt. Siano infatti x, y R con x < y; sistono allora i z tali ch x + σ i (z) = y da cui quindi ρ(y) = ρ(x + σ i (z)) = ρ(x) + ρ(z) + 1 ρ(x) < ρ(y). Proposizion Pr ogni n si ha ch ρ(n i ) = n (i < 2) Pr induzion su n. Proposizion Pr ogni x, y R pr ogni n si ha ch ρ(x) n x y π n (x) π n (y). Pr induzion su n proviamo l assrto pr ogni x y. S n = 0 l assrto è ovvio. S l assrto val pr n si supponga ρ(x) n + 1 x y; si ha ch x 0 quindi x = σ j (z) pr opportuni j z. Allora ρ(z) n z < y; ovvro ρ(z) n z π(y).

28 28 Pr ipotsi induttiva risulta ovvro π n (z) π n+1 (y) π n+1 (x) π n+1 (y). Proposizion Pr ogni x, y R pr ogni n si ha ch ρ(y) n π n (x + y) = x + π n (y). Pr induzion su n proviamo ch l assrto val pr ogni y. S n = 0 l implicazion è banal. S l assrto val pr n si supponga ch sia ρ(y) n + 1; allora dv ssr y 0 ρ(π(y)) n. Pr ipotsi induttiva si ha π n+1 (x + y) = π n+1 (σ g(y) (x + π(y))) = π n (x + π(y)) = x + π n+1 (y). Proposizion Pr ogni x R, pr ogni n pr ogni i < 2 si ha ch ρ(x) n σ i (bf n (x)) = bf n (σ i (x)). Pr induzion su n proviamo ch l assrto val pr ogni x. S n = 0 l assrto è vidnt. S n = 1 d è ρ(x) 1 si ha ch x 0 da cui, pr la Proposizion 2.20, bf n (σ i (x)) = bf(σ i (x)) = bf(x + 1 i ) = bf(x) + 1 i = σ i (bf(x)) = σ i (bf n (x)). S l assrto val pr n si supponga ch ρ(x) n + 1; allora x 0 ρ(x) = ρ(f(x) + bf(x)) = ρ(f(x)) + ρ(bf(x)) = 1 + ρ(bf(x)) n + 1 da cui ρ(bf(x)) n. Inoltr ssndo ρ(x) 1 si ha, pr il punto prcdnt, bf n+1 (σ i (x)) = bf n (bf(σ i (x))) = bf n (σ i (bf(x))). Applicando l ipotsi induttiva a bf(x) si ha ch bf n+1 (σ i (x)) = σ i (bf n (bf(x))) = σ i (bf n+1 (x)).

29 29 Proposizion Pr ogni x, y R pr ogni n si ha ch ρ(x) n bf n (x + y) = bf n (x) + y. Pr induzion su y. S y = 0 l assrto è vidnt. S l assrto val pr y d è i < 2 si ha ch bf n (x + σ i (y)) = bf n (σ i (x + y)) d ssndo ρ(x + y) = ρ(x) + ρ(y) n si ha, pr la Proposizion 4.7, bf n (x + σ i (y)) = σ i (bf n (x + y)) = σ i (bf n (x) + y) = bf n (x) + σ i (y). Proposizion Siano x, y, u, v R allora x + y = u + v ρ(y) ρ(v) v = w + y w R Pr induzion su v. Sia v = 0 sia x + y = u ρ(y) 0; allora y = 0 v = 0 = = 0 + y. Si supponga ch l assrto valga pr v, sia i < 2 si abbia x + y = u + σ i (v) ρ(y) ρ(σ i (v)); s y = 0 allora σ i (v) = σ i (v) + y altrimnti sistono opportuni z d i tali ch y = σ j (z) da cui σ j (x + z) = σ i (u + v). Inoltr ρ(z) < ρ(y) ρ(σ i (v)) = ρ(v) +1 da cui i = j x + z = u + v ρ(z) ρ(v); pr ipotsi induttiva v = w + z quindi σ i (v) = σ j (w + z) = w + σ j (z) = w + y.

30 30 Proposizion La cardinalità di {x R ρ(x) = n} è 2 n. dunqu Si dimostra pr induzion su n. Innanzi tutto, pr la Proposizion 2.4, si ha ρ(x) = 0 x = 0 card{x R ρ(x) = 0} = 1 = 2 0. Supposto ch l assrto valga pr n dimostriamo ch ρ(x) = n+1 x = σ i (y) ρ(y) = n. i< 2 y R S ρ(x) = n + 1 si ha x 0, pr la Proposizion 2.4, risulta x = σ i (y) pr i y opportuni. Siccom si ha ρ(y) = n. Il vicvrsa è ovvio. Si ha quindi ch n + 1 = ρ(x) = ρ(y) + 1 {x R ρ(x) = n + 1} = {σ 0 (x) x R ρ(x) = n} {σ 1 (x) x R ρ(x) = n} ch tal union è disgiunta. Allora card{x R ρ(x) = n + 1} = 2 n 2 = 2 n+1. Sia ora l insim dll rlazioni P R 2 tali ch: (O ξ 1) (σ 0 (x),σ 1 (x)) P (x R); (O ξ 2) (x,y) P (σ i (x),σ j (y)) P (x, y R; i, j < 2). Si ha ch R 2 ; si pon dunqu ξ = df Ι P P P Lmma La rlazion ξ è un lmnto di. Ovviamnt s x R dato ch P (σ 0 (x),σ 1 (x)) ξ (σ 0 (x),σ 1 (x)) P.

31 31 allora S poi, pr x, y R, si ha ch (x,y) ξ dunqu, pr ogni i, j < 2, ovvro P P (x,y) P (σ i (x),σ j (y)) P (σ i (x),σ j (y)) ξ. i, j< 2 Lmma Pr ogni x, y R si ha ch (x,y) ξ ( x = σ 0 (z) y = σ 1 (z)) oppur x 0 y (π(x),π(y)) ξ. z R Siano ξ 0 = df {(x,y) R 2 ξ 1 = df {(x,y) R 2 (x = σ 0 (z) y = σ 1 (z))}, z R (x = σ i (u) y = σ j (v) (u,v) ξ)} i, j< 2 u, v R sia ξ = df ξ 1 ξ 2. Pr il Lmma 4.11 si ha ch ξ ξ. Proviamo ch ξ soddisfa (O ξ 1) (O ξ 2). Infatti s x R allora (σ 0 (x),σ 1 (x)) ξ 0 ξ. Supposto poi ch (x,y) ξ si ha, pr la prcdnt inclusion, ch (x,y) ξ il ch implica, pr dfinizion di ξ 1, ch pr ogni i, j < 2 (σ i (x),σ j (y)) ξ 1 ξ. Essndo ξ la minima rlazion binaria soddisfacnt (O ξ 1) (O ξ 2) dv ssr ξ contnuta in ξ. Corollario Pr ogni x R si ha ch (x,0) ξ (0,x) ξ. Proposizion La rlazion ξ è antiriflssiva.

32 32 Pr induzion su x dimostriamo ch (x,x) ξ. S x = 0 si ha ch (x,x) ξ pr il Corollario S l assrto val pr x sia i < 2 si supponga, pr assurdo, (σ i (x),σ i (x)) ξ. Pr il Lmma 4.12 dvono allora sistr u, v R j, k < 2 tali ch σ i (x) = σ j (u) σ i (x) = σ k (v) (u,v) ξ. N sgu ch i = j = k u = x = v da cui (x,x) ξ il ch contraddic l ipotsi induttiva. Proposizion La rlazion ξ è transitiva. Dimostriamo, pr induzion su z R, ch pr ogni x, y R si ha (x,y) ξ (y,z) ξ (x,z) ξ. S z = 0 l implicazion è vra ssndo smpr falsa l ipotsi pr il Corollario S l assrto val pr z d è i < 2 siano (x,y) ξ (y,σ i (z)) ξ; smpr pr il Corollario 4.13 dvono sistr u, v ξ j, k < 2 tali ch x = σ j (u) y = σ k (v) dunqu (σ j (u),σ k (v)) ξ (σ k (v),σ i (z)) ξ; distinguiamo, applicando il Lmma 4.12, tr casi. k = 0, i = 1 v = z Allora (σ j (u),σ 0 (z)) ξ dv ssr (u,z) ξ pr il Lmma j = 0, k = 1 u = v Allora (σ 1 (u),σ i (z)) ξ dv ssr (u,z) ξ pr il Lmma (u,v) ξ (v,z) ξ Pr ipotsi induttiva si ha ch (u,z) ξ. In ogni caso, dunqu, si ha ch (u,z) ξ da cui (x,σ i (z)) = (σ j (u),σ i (z)) ξ. Proposizion S x, y R allora sono ξ-confrontabili s solo s ρ(x) = ρ(y).

33 33 Pr induzion su y dimostriamo ch pr ogni x (x,y) ξ ρ(x) = ρ(y). S y = 0 l implicazion è smpr vra ssndo l ipotsi smpr falsa. S l assrto val pr y sia i < 2 sia (x,σ i (y)) ξ. Pr il Corollario 4.13, sistono j < 2 u R tali ch x = σ j (u) da cui (σ j (u),σ i (y)) ξ. Si ha, dunqu, ch u = y oppur (u,y) ξ in ntrambi i casi, grazi all ipotsi induttiva, ρ(u) = ρ(y) da cui ρ(x) = ρ(σ j (u)) = ρ(u) + 1 = ρ(y) + 1 = ρ(σ i (y)). Pr induzion su n dimostriamo ora ch pr ogni x, y R ρ(x) = n = ρ(y) x ξ-confrontabil con y. S n = 0 ρ(x) = 0 = ρ(y) si ha ch x = 0 = y da cui l assrto. S l assrto val pr n si ha ρ(x) = n + 1 = ρ(y) dvono sistr i, j u, v opportuni tali ch x = σ i (u) y = σ j (v) da cui ρ(u) = n = ρ(v). Distinguiamo du casi. u = v S i = j si ha ch x = σ i (u) = σ j (y) = y. In caso contrario sia, pr fissar l id, i = 0 j = 1; pr (O ξ 1) si ha ch (x,y) = (σ 0 (u),σ 1 (y)) ξ. In ogni caso, dunqu, x y sono ξ-confrontabili. u v Applicando l ipotsi induttiva si ha ch u v sono ξ-confrontabili siccom u v si ha ch (u,v) ξ oppur (v,u) ξ da cui, pr (O ξ 2), (x,y) = (σ i (u),σ j (v)) ξ oppur (y,x) = (σ j (v),σ i (u)) ξ quindi x y sono ξ-confrontabili.

34 34 Proposizion Pr ogni x R si ha ch σ 1 (x) ξ-copr σ 0 (x). Pr il Lmma 4.11 si ha (σ 0 (x),σ 1 (x)) ξ. Sia, pr y R, (σ 0 (x),y) ξ allora y = σ i (z) pr opportuni i z da cui (σ 0 (x),σ i (z)) ξ. S y σ 1 (x) dv ssr, pr il Lmma 4.12, (x,z) ξ da cui (σ 1 (x),σ i (z)) ξ ovvro (σ 1 (z),y) ξ. Dunqu s sistss y tal ch (σ 0 (x),y) ξ (y,σ 1 (x)) ξ si avrbb (σ 1 (x),y) ξ (y,σ 1 (x)) ξ il ch è scluso dall proprità transitiva antiriflssiva di ξ. Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch s y ξ-copr x allora σ 0 (y) ξ-copr σ 1 (x). S y copr x allora, in particolar, (x,y) ξ da cui (σ 1 (x),σ 0 (y)) ξ. Sia, pr z R, (σ 1 (x),z) ξ (z,σ 0 (y)) ξ; dv ssr z = σ i (u) pr opportuni i u da cui (σ 1 (x),σ i (u)) ξ (σ i (u),σ 0 (y)) ξ. Pr il Lmma 4.12 si ha ch (x,u) ξ (u,y) ξ il ch contraddic il fatto ch y ξ-copr x. Sia l insim dll rlazioni Q R 2 tali ch (O η 1) (σ 0 (x),σ 1 (x)) Q (x R);

35 35 (O η 2) (x,y) Q (x,σ i (y)) Q (σ i (x),y) Q (x, y R; i < 2). Essndo R 2 si ha ch ; sia dunqu η = df Q Q. Proposizion La rlazion η è un lmnto di. Ch la rlazion η soddisfi la (O η 1) è vidnt. Sia ora i < 2 si supponga ch pr x, y R sia allora Q (x,y) η (x,y) Q da cui, pr (O η 2), (x,σ i (y)) Q (σ i (x),y) Q (Q ; i < 2) ovvro (x,σ i (y)) η (σ i (x),y) η (i < 2). Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch (x,y) η σ 0 (z) x σ 1 (z) y. z R Sia mostriamo ch η. η = df {(x,y) R 2 σ 0 (z) x σ 1 (z) y}; z R S x R si ha ch (σ 0 (x),σ 1 (x)) η ssndo una rlazion riflssiva. Siano ora x, y R sia i < 2; s si ha ch pr un opportuno z di R. Essndo (x,y) η σ 0 (z) x σ 1 (z) y x < σ i (x) y < σ i (y)

36 36 si ha, pr la proprità transitiva di, σ 0 (z) x σ 1 (z) σ i (y) σ 0 (z) σ i (x) σ 1 (z) y ovvro (x,σ i (y)) η (σ i (x),y) η. Essndo dunqu η una rlazion ch soddisfa (O η 1) (O η 2) si ha ch η η. Proviamo ora, pr induzion su x R, ch pr ogni y R si ha (x,y) η (x,y) η. S x = 0 l implicazion è vra ssndo la prmssa smpr falsa. S l assrto val pr x d è i < 2 proviamo ch pr ogni y R si ha (σ i (x),y) η (σ i (x),y) η. Pr induzion su y. S y = 0 l assrto è vro ssndo la prmssa smpr falsa. S l assrto val pr y d è j < 2 si supponga (σ i (x),σ j (y)) η ; pr un opportuno z R si ha allora σ 0 (z) σ i (x) σ 1 (z) σ j (y); distinguiamo tr casi: σ 0 (z) = σ i (x) σ 1 (z) = σ j (y) Allora (σ i (x),σ j (y)) = (σ 0 (z),σ 1 (z)) quindi, pr (O η 1), (σ i (x),σ j (y)) η. σ 0 (z) < σ i (x) Allora si ha ch σ 0 (z) x σ 1 (z) σ j (y) dunqu (x,σ j (y)) η, pr la prima ipotsi induttiva, (x,σ j (y)) η da cui, pr (O η 2), (σ i (x),σ j (y)) η. σ 1 (z) < σ j (y) Allora si ha ch

37 37 σ 0 (z) σ i (x) σ 1 (z) y dunqu (σ i (x),y) η, pr la sconda ipotsi induttiva, (σ i (x),y) η da cui, pr (O η 2), (σ i (x),σ j (y)) η. Nl sguito indichrmo con in luogo di la rlazion binaria η pr x, y R scrivrmo x y (x,y) η. Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch x y oppur y x x y. Supponiamo ch sia x y; pr un opportuno z R si ha ch σ 0 (z) x σ 1 (z) y. S x y fossro -confrontabili anch gli lmnti σ 0 (z) σ 1 (z) sarbbro -confrontabili il ch è scluso. Analogamnt si ragiona s y x. Mostriamo ora pr induzion su x R ch x y x y oppur y x. S x = 0 si ha ch x è -confrontabil con y quindi, ssndo la prmssa falsa, l implicazion è smpr vra. S l assrto val pr x d è i < 2 si supponga σ i (x) y; mostriamo ch x y oppur σ 1-i (x) y. Sia, pr assurdo, distinguiamo du casi. x y σ 1-i (x) y;

38 38 x < y Allora σ i (x) y oppur σ 1-i (x) y il ch è scluso dall ipotsi σ i (x) y dall ipotsi assurda. y x Allora y σ i (x) il ch è scluso dall ipotsi σ i (x) y. Dunqu x y oppur σ 1-i (x) y; distinguiamo du casi. x y Allora, pr ipotsi induttiva, x y oppur y x da cui, pr la Proposizion 4.20, σ i (x) y oppur y σ i (x). σ 1-i (x) y Allora, pr la Proposizion 4.21, σ i (x) y s i = 0; s invc i = 1 si ha y σ i (x). Proposizion Pr ogni x, y R si ha ch (x,y) ξ x y ρ(x) = ρ(y). Pr induzion su x proviamo ch l assrto val pr ogni y. S x = 0 l assrto è vro ssndo ogni prmssa smpr falsa. S l assrto val pr x sia i < 2 si supponga (σ i (x),y) ξ; ovviamnt si ha ch ρ(σ i (x)) = ρ(y). Dovndo ssr y 0 si ha ch x = π(y) i = 0 g(y) = 1 nl qual caso si ha ch x y, oppur

39 39 (x,π(y)) ξ da cui, pr ipotsi induttiva, si ha ch x π(y) quindi σ i (x) y pr (O η 2). Si supponga, pr il vicvrsa, ch σ i (x) y ρ(σ i (x)) = ρ(y). Esist allora z R tal ch σ 0 (z) σ i (x) σ 1 (z) y; distinguiamo du casi. σ 0 (z) = σ i (x) Allora si ha ch 0 = i ch z = x da cui ρ(σ 1 (x)) = ρ(y) σ 1 (x) y; ssndo ρ strttamnt crscnt si ha ch σ 1 (x) = y da cui (σ i (x),y) = (σ 0 (x),σ 1 (x)) ξ. σ 0 (z) < σ i (x) σ 1 (z) = y Allora z = π(y) ρ(z) < ρ(x) = ρ(y) - 1 = ρ(z) il ch è scluso. σ 0 (z) < σ i (x) σ 1 (z) < y Allora si ha ch x π(y) ρ(x) = ρ(π(y)) da cui, pr ipotsi induttiva, (x,π(y)) ξ il ch implica (σ i (x),y) ξ. 5 - LE CATENE DI Com abbiamo dimostrato, è possibil idntificar gli lmnti dll albro binario libro con l parol, ovvro l squnz di gnri, ch ssi dtrminano. Smbra allora vrosimil ch l catn massimali siano idntificabili con dll succssioni di gnri ch dtrminino, ad ogni passo, com scndr pr ottnr l lmnto succssivo dlla catna; è quanto ci proponiamo di dimostrar. Dimostrrmo inoltr ch la struttura ordinal dll catn massimali è simil a qulla di numri naturali ch ogni catna non vuota dll albro binario libro ha minimo; non ssndo l albro binario libro totalmnt ordinato smbra qusto il giusto quivalnt dl buon ordinamnto. Dimostrrmo infin, snza utilizzar l Assioma di Sclta, ch ogni catna dll albro binario libro è stndibil ad una catna massimal.

40 40 Si considri una qualsiasi funzion f: {0,1} sia ϕ: R R la funzion dfinita da ϕ(x) = σ f (ρ(x)) (x) (x R). Pr ricorsion smplic di applicata alla struttura (R; ϕ; 0) si ha ch sist una d una sola h f : R tal ch (C1) h f (0) = 0; (C2) h f (n + 1) = ϕ(h f (n)) = σ f (ρ(hf (n)))(h f (n)) (n ). Lmma Sia f: {0,1}; allora pr ogni n si ha ch ρ(h f (n)) = n. Pr induzion su n. S n = 0 si ha ch ρ(h f (n)) = ρ(0) = 0 = n. S l assrto val pr n si ha ch ρ(h f (n + 1)) = ρ(σ f(ρ(hf (n)))(h f (n))) = ρ(h f (n)) + 1 = n + 1. In bas a qusto risultato la proprità (C2) si può così riscrivr: (C2) h f (n + 1) = σ f (n) (h f (n)) (n ). Proposizion Pr ogni f: {0,1} la funzion h f è strttamnt crscnt. Mostriamo, pr induzion su h, ch pr ogni n h f (n) < h f (n + h + 1). S h = 0 si ha ch h f (n) < σ f (n) (h f (n)) = h f (n + 1) = h f (n + h + 1) Si supponga ch l assrto valga pr h; applicando l ipotsi induttiva utilizzando la bas induttiva pr n + h + 1 si ha ch h f (n) < h f (n + h + 1) < h f (n + h + 2). Dfinizion Pr ogni f: {0,1} si pon C f = df h f [ ].

41 41 Torma Pr ogni f {0,1} l insim C f è una catna massimal di. Anzitutto C f è una catna dato ch, pr ogni n, si ha h f (n + 1) > h f (n). Pr dimostrar ch C f è massimal supponiamo ch sia w confrontabil con ogni lmnto di C f. Distinguiamo du casi. w < h f (n) n Allora sist il minimo numro natural avnt tal proprità; lo si indichi con m. Ora w < h f (m) ma non può ssr m = 0 altrimnti si avrbb w < 0 dunqu h f (m-1) w. Siccom, ssndo h f (m) = σ f (m-1) (h f (m-1)) tnndo conto dlla Proposizion 2.14, non può ssr h f (m-1) < w dunqu da cui n h f (n) w Si supponga, pr assurdo, ch sia h f (m) copr h f (m-1) h f (m-1) = w w C f. n h f (n) < w. Essndo ρ strttamnt crscnt si avrbb ch, pr ogni n, il ch è assurdo. n = ρ(h f (n)) < ρ(w) Allora sist n tal ch h f (n) = w da cui w C f. Torma Ogni catna massimal di appartnnt a {0,1}. è dlla forma C f pr una qualch f Sia N una catna massimal; mostriamo quanto sgu. 0 N Infatti ssndo 0 il minimo pr la rlazion è confrontabil con ogni lmnto di N N è massimal. z N! σ i (z) N i< 2

42 42 Sia z N; dv allora sistr w N tal ch z < w (N non ha massimo), pr la Proposizion 2.21, dv sistr un unico i < 2 tal ch σ i (z) w. Mostriamo ch σ i (z) N provando ch σ i (z) è confrontabil con ogni lmnto di N. Sia infatti v N; s v z oppur w v allora v è confrontabil con σ i (z). S, invc, z < v < w allora sist un unico j < 2 tal ch σ j (z) v; dv ssr i = j ssndo l lmnto σ j (z) minor od ugual a w (quindi, ssndo σ i (z) w, confrontabil con σ i (z) pr la Proposizion 2.15). Dunqu σ i (z) è, in ntrambi i casi, confrontabil con v; pr l arbitrarità di v pr la massimalità di N si ha ch σ i (z) N. Si supponga ora ch pr h < 2 sia σ h (z) N allora σ h (z) è confrontabil con σ i (z) dunqu h = i. Sia r: N {0,1} la funzion dfinita da r(z) = i σ i (z) N (z N) sia h: N N dfinita da h(z) = σ r(z) (z) (z N). Pr ricorsion smplic di applicata a (N; h; 0), sist una d una sola funzion D: N tal ch: (1) D(0) = 0; (2) D(n + 1) = h(d(n)) = σ r(d(n)) (D(n)) (n ). Sia ora f: {0,1} tal ch f(n) = r(d(n)) (n ). Allora la (2) si può così riscrivr: (2 ) D(n + 1) = σ f (n) (D(n)) (n ). N sgu ch D = h f da cui C f = h f [ ] = D[ ] N. Essndo C f una catna massimal si ha ch C f = N.

43 43 Torma Pr ogni f, f {0,1} si ha ch C f = C f f = f. Sia f f sia n il primo lmnto di tal ch f(n) f (n). Si supponga, pr fissar l id, ch sia f(n) = 0 f (n) = 1; si ha ch h f (n + 1) = σ 0 (h f (n)) h f (n + 1) = σ 1 (h f (n)). Si dimostra ora, pr induzion, ch pr ogni m si ha m n h f (m) = h f (m). S m = 0 si ha h f (m) = h f (0) = 0 = h f (0) = h f (m) s l assrto val pr m d è m + 1 n allora h f (m + 1) = σ f (m) (h f (m)) = σ f (m) (h f (m)) = h f (m + 1). Ora s foss C f = C f si avrbb h f (n + 1) confrontabil con h f (n + 1) dunqu σ 0 (h f (n)) confrontabil con σ 1 (h f (n)) = σ 1 (h f (n)) il ch è scluso dalla Proposizion ℵ Corollario L catn massimali di sono sattamnt 2 0. Sia ora N una catna massimal di. Dovndo ssr N = C f pr una qualch f appartnnt a {0,1} si pon (S) s(h f (n)) = h f (n + 1) (n ); si ha ch s: N N. Ossrvando poi ch dv ssr 0 N ssndo 0 = h f (0) è possibil ora nunciar il Corollario S N è una catna massimal di, allora l struttur (N;a ;as;a0) ( ; ; s; 0)

44 44 sono isomorf. Sia f: {0,1} tal ch N = C f ; si ha ch h f : N d è ovviamnt surittiva. Pr (S) si ha ch h f consrva i succssivi d ssndo h f strttamnt crscnt tra struttur totalmnt ordinat è inittiva fortmnt compatibil con la rlazion. Proposizion Ogni catna non vuota di ha minimo. ch Sia T una catna; s 0 T l assrto è ovvio. Altrimnti sia M = df {x R x < t oppur t T x t}. t T Si ha ch 0 M ma M R prché T ; pr (A4) sistono allora x R i < 2 tali da cui sist t 1 T tal ch x M σ i (x) M d sist t 2 T tal ch σ i (x) t 1 Distinguiamo du casi. σ i (x) t 2. σ i (x) t 2 Allora x t 2. t 2 < σ i (x) Allora, pr la Proposizion 2.14, si ha ch t 2 x. In ogni caso, quindi, x è confrontabil con t 2 quindi non può ssr x inconfrontabil con ogni lmnto di T; siccom x M dv ssr Ora pr ogni t T sist i(t) < 2 tal ch Proviamo ch pr ogni t, t T si ha Infatti s, pr t, t T, si ha t t allora x < t. t T σ i(t) (x) t. i(t) = i(t ). σ i(t) (x) t t σ i(t ) (x) t ; pr la Proposizion 2.15, si ha ch l lmnto σ i(t) (x) è confrontabil con σ i(t ) (x) da cui

45 45 In particolar, ssndo x < t 2, si ha ch quindi (1) i(t) = i(t ). i(t) = i t T σ i (x) t. t T Non potndo ssr σ i (x) < t pr ogni t T (dato ch σ i (x) M), si ha ch d è, pr la (1), il minimo di tal insim. σ i (x) T Torma Ogni catna di è stndibil ad una catna massimal. Sia T una catna; l assrto è ovvio s T =. Supponiamo ora ch sia T ; posto t 0 = df mint siano C 1 = df {x R x < t 0 } C 2 = df {x R t x t }; t, t' T ovviamnt T C 2. Distinguiamo du casi. T ha massimo Posto sia Dfiniamo t 1 = df maxt, C 3 = df {σ 0 n (t 1 ) n 0}. C = df C 1 C 2 C 3 mostriamo ch C è una catna massimal. Pr la Proposizion 2.15, l insim C 1 è una catna; ssndo poi C 2 {x R x t 1 } si ha ch C 2 è una catna in virtù dlla stssa proposizion. Siano ora x, y C 3 ; pr opportuni n, m 0 si ha ch x = σ n 0 (t 1 ) y = σ m 0 (t 1 ); si supponga, pr fissar l id, ch sia n m. Allora, y = σ m 0 (t 1 ) = σ m-n 0 (σ n 0 (t 1 )) = σ m-n 0 (σ n 0 (t 1 ) + 0) = x + σ m-n 0 (0) x quindi x y sono confrontabili. Dunqu anch C 3 è una catna.

46 46 Dl rsto ssndo c C 1 c < t 0 c C 2 t 0 c c C 2 c t 1 c C 3 t 1 c si ha ch C è una catna. Sia ora x un lmnto confrontabil con ogni lmnto di C; mostriamo ch x C. Essndo t 0, t 1 C 2 si ha ch x è confrontabil con t 0 t 1. Distinguiamo quattro casi. x < t 0 Allora x C 1 C. x = t 0 Allora x C 2 C. t 0 < x t 1 Allora x C 2 C. x > t 1 Alora non può ssr x > σ n 0 (t 1 ) pr ogni n altrimnti si avrbb, ssndo ρ strttamnt crscnt, ch ρ(x) > n pr ogni n. Dl rsto x è confrontabil con ogni lmnto dl tipo σ n 0 (t 1 ) ssndo, pr ipotsi, confrontabil con ogni lmnto di C 3 ; dunqu sist n tal ch x σ n 0 (t 1 ); sia n il minimo ad avr tal proprità. Si noti ch non può ssr n = 0 dato ch altrimnti si avrbb x t 1, dunqu σ n-1 0 (t 1 ) < x σ n 0 (t 1 ) siccom, pr la Proposizion 2.14, l lmnto σ n 0 (t 1 ) copr σ n-1 0 (t 1 ) si ha ch x = σ n 0 (t 1 ) quindi x C 3 C. Dunqu C è una catna massimal T C 2 C. T non ha massimo Poniamo C = df C 1 C 2 ; l insim C, com ossrvato nl caso prcdnt, è una catna. Mostriamo ch C è massimal. Supposto ch sia x confrontabil con ogni lmnto di C distinguiamo tr casi. x < t 0 Allora x C 1 pr dfinizion dunqu x C. x = t 0 Allora x C 2 C. x > t 0 Allora dv sistr t T tal ch x t.