INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE ESERCITAZIONI DI ANALISI C SETTIMANA 7 DEFINIZIONE: FUNZIONE DIFFERENZIABILE IN UN PUNTO.

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1 DEFINIZIONE: FUNZIONE DIFFERENZIABILE IN UN PUNTO Sia A un apro di : sis un vor ab, al ch,, f A Prso, A si dic ch f è diffrnziabil in,, 0, f f a b 0 si pon df, a, b f Si dimosra ch a, b,, quindi a, b f, f f, f 0, 0 f 0, 0 0, 0 dfinizion com, 0, 0 0 TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE Sia A un apro di f : A 0, 0 A di 0, 0 sono coninu in 0, 0 allora f è diffrnziabil in 0, 0 parziali coninu pr ogni puno di A, cioè s f C A s Riscriviamo dunqu la S sisono l driva parziali di f in un inorno Inolr, s f ha driva, la funzion è diffrnziabil in A OSSERVAZIONE: il orma dl diffrnzial oal pon una condizion sufficin, ma non ncssaria Si sudino la coninuià la diffrnziabilià in 0,0 dlla funzion, 0,0, 0,0 f : dfinia da Vrifichiamo in coordina polari la coninuià: Prciò, 0,0 0 0 possiamo scrivr f C L driva parziali prim dlla funzion sono f, s, 0,0 f 0, 0 0 s , 0,0 analogamn

2 f, s, 0,0 f 0,0 0 s, 0,0 L driva parziali sono funzioni coninu anch nll origin, com si mosra sosiundo nuovamn il rmin sponnzial con il polinomio di Talor: cos, 0,0 0 cos cos Si applica il orma dl diffrnzial oal prché f C prciò la funzion è diffrnziabil su uo S invc avssimo applicao la dfinizion di diffrnziabilià in 0,0, considrando ch f 0,0 f 0,,0 avrmmo sguio quso calcolo: 0, 0, concludndo anch in quso caso ch la funzion è diffrnziabil anch nll origin, quindi in uo il piano Si sudino la coninuià la diffrnziabilià in 0,0 dlla funzion sin s, 0, 0 f, 0 s, 0, 0 Vrifichiamo la coninuià dlla funzion in sam: sin sin, 0,0, 0,0, 0,0 Passando qus uo i in coordina polari abbiamo cos sin 0 0 cos sin 0 Vrifichiamo l sisnza dll driva prim: 0 Possiamo quindi affrmar ch f C

3 sin s, 0, 0 f, 0 0 s, 0, 0 0 sin cos sin s, 0, 0 f, 0 0 s, 0, 0 0 L driva prim, prò, non sono coninu in 0,0 Infai sin, 0,0 Quso significa ch non possiamo applicar il orma dl diffrnzial oal, ma non significa ch la funzion non sia diffrnziabil Dao ch f, 0 f 0,,0, 0,0 sin il i da calcolar si riduc a Quso i prò non sis, com si mosra con la rsrizion lungo la sin bisric dl I III quadran: diffrnziabil nll origin, 0,0 Prano la funzion non è Sia daa la funzion f : dfinia da f, Si dica (giusificandon l affrmazion) s cos s, 0, 0 0 s, 0, 0 a) f è coninua in 0,0 ; b) f ha driva parziali prim in 0,0 ; c) f è diffrnziabil in 0,0

4 La funzion daa è coninua in cos 0,0 s 0 Ossrviamo ch dao ch la, 0,0 rsrizion alla bisric dl I III quadran f, coninua nll origin f C 0 \ 0,0 cos la funzion non è 0 La funzion daa ha driva parziali prim in 0,0 s sisono i ii,0 0,0 f f 0 0, 0,0 0 f f f f,,0 Possiamo subio vdr ch f, f 0, f 0,0 00 f, 0, quindi pur non ssndo coninua ha 0 0 driva prim in f 0,0 0,0 0,0, La funzion daa è diffrnziabil in 0,0 s, 0,0, 0,0 0,0, f f f 0 Quso i non sis; infai i ii calcolai sull rsrizioni agli assi carsiani possono valr Il calcolo dl i, in ralà, non è ncssario: una funzion diffrnziabil in puno è anch coninua in qul puno, quindi la funzion assgnaa non è diffrnziabil in 0,0 0,0 non ssndo coninua in Sia daa la funzion f : \ 0,0 dfinia da f, Dfinir f in fa) 0,0 affinché ssa sia coninua in Si dimosri ch f è diffrnziabil in modo da ssr coninua) 0,0 (giusificando l affrmazioni 0,0 (con il valor con cui è saa dfinia in 0,0 in La funzion daa è coninua s f cos sin polari risula 0 0 0, 0, 0,0 Il i da calcolar in coordina

5 Dfiniamo quindi f, s, 0,0 0 s, 0, 0 f f f,, In 0,0 abbiamo 0, f f 0, f 0, 0 0 0, 0 0, quindi l driva prim dlla funzion sono 0 0 f, s, 0, 0 0 s, 0, 0 f 5 s, 0, 0 0 s, 0, 0, L driva prim sono funzioni coninu, infai passando a coordina polari abbiamo 5 5 cos sin sin cos cos sin rispivamn Si può applicar il orma dl diffrnzial oal alla funzion in sam prché f C 0,0 prciò ssa è diffrnziabil in 5 Sia daa la funzion S n sudi la diffrnziabilià f : dfinia da cos, 0, 0 0, 0,0 La funzion è coninua su uo il piano; su lmnari, in 0,0 prché, com si vrifica in coordina polari: cos cos sin cos 0, 0,0 0 \ 0,0 prché composa con funzioni 5

6 L driva parziali prim sono f cos sin s, 0, 0, 0 s, 0, 0 f cos sin s, 0, 0, 0 s, 0, 0 L driva prim non hanno i pr, 0,0, quindi non sono coninu in Non possiamo applicar il orma dl diffrnzial oal nll origin, prciò dobbiamo applicar la dfinizion: cos cos sin cos 0, 0,0 0 La funzion è dunqu diffrnziabil in ogni puno di 0,0 6 Disgnar approssimaivamn il grafico dlla sgun funzion f : dfinia da f, 0 s 0 s 0 ricordando la dfinizion di coninuià diffrnziabilià dir s f è coninua in 0,0 ; f f sisono l 0,0 0,0 f è diffrnziabil in 0,0 ; La funzion è nulla su uo il piano mnr val al di sopra dgli assi carsiani La funzion non è coninua in 0,0 Infai la condizion di coninuià sarbb, 0,0 f, f 0, 0, ma quso i invc non sis Esisono invc l drivar prim: f f f,,0 0, f f 0, f 0,0 0, 0 0, prciò f 0,0 0,

7 Dao ch la funzion non è coninua in 0,0 non è nmmno diffrnziabil Pr la f, f 0,0 f 0,0, diffrnziabilià si dovrbb avr quso i non sis 0, ma, 0,0 DEFINIZIONE DI PIANO TANGENTE S f è diffrnziabil in, allora sis il piano angn al grafico di f nl puno 0, 0,, f,, ha quazion z f, f,, f, 6 Drmina il gradin di f l quazion dl piano angn al grafico di f sopra il puno, 7 Considra la funzion 0 dom f, f C f, 6,, f C quindi f è diffrnziabil su uo il piano Il grafico di f amm prano piano angn in ogni puno, in paricolar nl puno,, f, f,,0, f, L quazion dl piano angn è z f, f,, 0 quindi z Drminar l quazion dl piano angn al grafico dlla funzion, puno,, dom, 0, 0 f A, log, log f, f C A f nl Quindi pr il orma dl diffrnzial oal f è diffrnziabil su uo il dominio,, f, Amm prciò piano angn in ogni puno dl grafico, in paricolar in f, f,, il piano angn ha quazion z f, f,, quindi z 7