Analisi Matematica I Soluzioni del tutorato 3

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1 Corso di lur in Fisic - Anno Accdmico 07/08 Anlisi Mmic I Soluzioni dl uoro 3 A cur di Dvid Mcr Esrcizio ( i) Dominio di dfinizion: L funzion h un problm in, mnr d è dfini pr ogni lro. Quindi, il dominio di dfinizion è \ { } Simmri: f ( ) ( ) ( ) ±f () quindi l funzion non è nè pri nè dispri. Coninuià: s l funzion è coninu prchè prodoo di un funzion linr (ch è coninu) dll composizion di un sponnzil ( coninu) di un funzion rzionl fr ( ch è coninu dov è dfini, cioè dov non si nnull il dnominor) Diffrnzibilià: Clcolimo l driv di f : d d f () ( + ) d d d d ( + ) ( + ) + d ( + ) ( + ) d + + ch è dfini nch ss pr ogni, quindi l funzion è diffrnzibil dov è dfini. Sgno: f è il prodoo di + pr un sponnzil ch è smpr posiiv, quindi il sgno di f è unicmn drmino dl sgno di +, ch è posiiv s > ngiv s <. Quindi nch f è posiiv pr > ngiv pr <. Asinoi: ( + ) + ± ± prciò l funzion non h sinoi orizzonli, quindi { } è un sinoo vricl. Vdimo infin s ci sono sinoi obliqui: ±( + ) + ± f () ± ± ( f () ) ( + ) + ( + ) + + +

2 o() + Quindi c è un sinoo obliquo di quzion y Puni criici: Com bbimo viso prim, l driv di f è + f () o() + y + o() 0 d ss si nnull solno in. Pr scoprir l nur di, clcolimo l driv scond di f vluimol in : f () d + d d d d d ( + ) ( + ) ( + ) 3 l driv scond clcol in dà quindi è un mssimo rlivo. f ( ) / ( ) 3 < ( + ) 3 ( ii) Dominio di dfinizion: L funzion rcsin() è dfini solo pr gli [,], prciò f è dfini solo pr gli li ch + Do ch +, l disuguglinz sopr è smpr soddisf l funzion è dfini su uo. Simmri: quindi l funzion è pri. ( ) f ( ) rcsin rcsin + ( ) + f () Coninuià: L funzion è coninu prchè composizion dll rcosno con un funzion rzionl fr, d nrmb sono funzioni coninu. Diffrnzibilià: L driv di f è f d () d ( + ) + ( + ) ( ) ( + )

3 L unico puno in cui l driv h un problm è qundo + cioè qundo 0. M 0 f pr dl dominio di dfinizion di f, quindi f non è diffrnzibil in 0. Asinoi: L rgomno dll rcosno nd s nd ±. Quindi rcsin ± + y rcsin(y) π quindi l r {y π/} è un sinoo orizzonl di f pr ±. Do ch l funzion è ovunqu dfini coninu, non può vr sinoi vricli, do ch l funzion h du sinoi orizzonli in ±, non può vrn di obliqui. Puni criici: Essndo il numror 0, y, m in 0 l funzion non è diffrnzibil, l driv non si nnull mi. Sudimo or il sgno di f in un inorno di 0. Il ch dnominor di f è smpr posiivo dov dfinio, prciò il sgno di f è unicmn drmino dl sgno dl numror, ch è ugul 4, quindi è smpr posiivo s < 0 smpr ngivo s > 0. Quindi l funzion è smpr crscn s < 0 dcrscn s > 0, prciò 0 è un mssimo ssoluo. ( iii) Dominio di dfinizion: L funzion è il prodoo di un sponnzil di un funzion rzionl, quindi è dfini pr ogni pr cui il dnominor non si nnull. Quindi f è dfini pr \{ } Simmri: f ( ) f () f () quindi l funzion non è nè pri n dispri. Coninuià: Essndo il prodoo di un sponnzil di un funzion rzionl fr, funzioni nrmb coninu sul loro dominio di dfinizion, nch f è coninu dov è dfini. Diffrnzibilià: L driv di f è f () d d + + d + d + + ( + ) ( + ) cioè è il prodoo di un sponnzil pr un funzion rzionl fr il cui dnominor si nnull solo in, ch è l unico puno di R dov l funzion non è dfini. Prciò l funzion è ovunqu diffrnzibil nl suo dominio di dfinizion. Asinoi: mnr

4 Quindi f h com sinoo orizzonl l r {y 0} s non h sinoi orizzonli s + Inolr, f () + + ( + ) + quindi f non h nmmno sinoi obliqui s +. Vdimo dsso ch succd in : ± + prch l sponnzil è coninuo in l funzion rzionl è posiiv in un inorno sinisro di ngiv in un inorno dsro di. Prciò, l r { } è l unico sinoo vricl di f. Puni criici: L driv di f si nnull qundo + + 0, cioè mi, do ch qus quzion h solo rdici complss. Inolr, bbimo viso ch nll unico puno in cui f non è diffrnzibil, f non è nmmno dfini d h un sinoo vricl. Quindi f non h puni criici. ( iv) Dominio di dfinizion: L funzion coinvolg un rdic qudr, prciò è dfini qundo il rdicndo è posiivo, cioè s oppur < + 0 L prim dll du disquzioni di scondo grdo sopr è soddisf pr ogni, do ch l quzion + h rdici complss l concvià dll prbol è rivol vrso l lo, mnr l scond disquzion è soddisf solo s Quindi f è dfini su Simmri:, 5 5, (,] ( [, )), 5 5, f ( ) ( ) f () f () prciò l funzion non è nè pri nè dispri. Coninuià: Poichè l funzion é l composizion di un rdic qudr di un combinzion linr r un monomio un modulo, poichè u l funzioni ppn mnzion sono coninu, f è coninu dov è dfini. Diffrnzibilià: L driv di f è f () d d ( ) ( sgn( )) 4

5 dov sgn() è l funzion dfini su \ {0} s > 0 sgn() s < 0 quindi, in pricolr d è dfini su uo \ { } sgn( ) s > s < f ( ) s > () ( + ) s < D qui vdimo subio f non è dfini in (puno ch f pr dl dominio di f ) ch l rdic l dnominor è smpr 0, si nnull gli srmi dll inrvllo in cui f non è dfini, In qui puni f è dfini, ssndo i du inrvlli ch compongono il dominio di f chiusi l finio. Tuvi, pr por dfinir l driv di un qulsisi funzion in un puno, c è bisogno ch sso si inrno l dominio di f, quindi non h snso chidrsi s l funzion si diffrnzibil o mno gli srmi dl dominio. Prciò, l unico puno in cui f è diffrnzibil è. Asinoi: + ± quindi l funzion non h sinoi orizzonli. Inolr, l funzion si nnull gli srmi dl suo insim di dfinizion (dov è smpr coninu), quindi non h nnch sinoi vricli. Vdimo or gli sinoi obliqui: b ± b ± f () ± ± + o() ± ± (f () ± ± ) b + ( ) + ( ) ( + + ) + ( + + ) o() + ( +) y ( y y y) y ( y y y) ( y y + y y y y) y + y + y y + y y y + y ( y y + y) y + y + y y y y + o(y) + y Quindi gli sinoi obliqui di f sono y / pr + y / pr 5

6 Puni criici: L driv di f f ( ) s > () ( + ) s < si nnull s solo s + 0 o 0, cioè s ±/. M ±/ non snno nl dominio di f in quno ( 5)/ < / ( + 5)/ > /. Vdimo cos f l driv in un inorno di, l unico puno in cui f non è diffrnzibil: f () + + ( ) > 0 f () ( + ) 3 > 0 Quindi, l driv non cmbi sgno in un inorno di quindi non è un puno criico di f. Prciò f non h puni criici. Esrcizio (i) n n n + n (n!) (n)! n n + n... n! n (n ) (n )... (n + ) (n + )...(n ) n n! n n n(n ) n < dov nll pnulim disuguglinz bbimo uso il fo ch n n n n n + <, n n + <,..., 3 n 3 < Quindi l sri convrg. (ii) Abbimo ch, s 0 < n, n! n quindi l sri convrg. S, l sri divn n 0 quindi l sri divrg. S >, n! n quindi l sri divrg. Noimo, inolr, ch s n, n! è pri. Quindi, cci i primi du rmini, ciscun sommndo vluo in è ugul l corrispondn vluo in, quindi l du sri hnno lo ssso compormno. Prciò l sri convrg ( si smplicmn ch ssolumn, do ch pr qunno ossrvo è ssnzilmn un sri rmini posiivi) s < divrg s (iii) Pr ogni 0, n + n n 3/ n 0 Quso inolr ci dic ch ( ) n n n + n + n n 3/ n n 6 n n 3/ n

7 ch convrg pr ogni 0 fisso prchè è un sri rmonic gnrlizz con sponn più grnd di. Quindi l sri convrg ssolumn s 0, prciò, mggior rgion, convrg nch smplicmn. L convrgnz smplic l si può vdr dirmn con Libniz: n + n n + + (n + ) n( + (n + ) ) n + ( + n ) n(+(n +n+) ) n + (+n ) n(n+) + n(+n ) n + (+n ) n(n + ) ( n + n + + n n)( + n ) n + + n ( n + + n) n(n+) ( n + n )(+n ) ( n + n+n)(n+) (+n ) M ( n + n + n)(n + ) n(n + ) n n(n + ) 4n + n > ( + n ) n > Prciò il rmin gnrl dll sri sicurmn dcrsc s n > / quindi l sri convrg pr Libniz 0. Tuvi, s 0, l sri divn ( ) n n divrg do ch n n. n (iv) n n + n s > s s 0 s < prciò, s l sri non convrg nè smplicmn, nè ssolumn. Vdimo quindi or s c è convrgnz ssolu qundo < : pr frlo pplichimo il cririo dll rdic n n + n /n n n + n /n n + n /n ch è < pr iposi. smplicmn. Prciò, s < l sri convrg ssolumn, quindi nch Esrcizio 3 Ossrvimo ch f è priodic di priodo π/ω, prciò ci bsrà crcr il mssimo ssoluo, d smpio, nll inrvllo [ π/ω,π/ω] Clcolimo l driv di f : ss si nnull in 0 s f () ω sin(ω) + bω cos(ω) ω sin(ω 0 ) + bω cos(ω 0 ) 0 bω cos(ω 0 ) ω sin(ω 0 ) mi sono ccoro ch si pov ddurr l convrgnz smplic dll sri d qull ssolu dopo vr scrio ciò ch sgu qul puno non m l sono sni di cncllrlo. Morl: conroll smpr prim l convrgnz ssolu poi qull smplic! 7

8 Do ch s 0 soddisf l ulim quzion, cos(ω 0 ) ( pr lo ssso moivo nch sin(ω 0 ) ) dv ssr divrso d 0 (prchè siccom simo ssumndo, b ω divrsi d 0, cos(ω 0 ) 0 non può soddisfr l quzion, prchè sin(ω 0 ) dovrbb ssr ±, llor vrmmo ch un lo dll quzion è 0 l lro è divrso d 0 ), possimo porrlo l dnominor: bω cos(ω 0 ) ω sin(ω 0 ) ω sin(ω 0 ) ω cos(ω 0 ) b n(ω 0 ) b 0 b ω rcn Tuvi, ssndo l funzion n(ω) priodic di priodo π/ω, in un priodo di f compi du priodi, prciò dobbimo considrr nch il puno dov pur l driv si nnull. ω rcn b + π ω Or, snz clcolr l driv scond, sppimo ch siccom f è priodic non cosn, s uno di du puni rovi è un minimo, l lro dovrà ssr un mssimo. Inolr, Quindi f ( ) sin ω ω rcn sin rcn b b m f () b rcn sin + π + b cos ω ω ω rcn b b cos rcn + b cos rcn b f ( 0 ) b + π ω NOTA IMPORTANTE: Il profssor Bssi mi h rifrio ch s ω non è inro, l funzion così scri non mm mssimo minimo, m solno sup inf. Tuvi il modo qui sposo non subisc lcun vrizion s si suppon ch ω. 8