Soluzione N.3. Soluzione T.1]. Sia F la primitiva della nostra funzione f, in altre parole. F 0 (s) =f (s),

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1 Soluzione N3 Soluzione T] Si F l primiiv dell nosr funzione f, in lre prole F (s) =f (s), per definizione di inegrle definio oenimo β() α() f (s) ds = F (β ()) F (α ()) derivndo oenimo β() d f (s) ds = d d d [F (β ()) F (α ())] = β () F (β ()) α () F (α ()) α() ovvimene F (β ()) = f (β ()), F (α ()) = f (α ()) Soluzione T] Si F () un primiiv dell funzione coninu f (), per definizione poichè per ipoesi l funzione F () =f (), D, [α, β] G () D è coninu con deriv coninu oenimo per il eorem delle derive compose che d d F (G ()) = F (G ()) G () =f (G ()) G () dunque l funzione F (G ()) è un primiiv dell funzione f (G ()) G () Ricpiolndo menre β α G(β) G(α) f () d = F () G(β) G(α) = F (G (β)) F (G (α)) f (G ()) G () d = F (G ()) β α = F (G (β)) F (G (α))

2 d qui l esi Ovvimene se G è inieiv per ogni, b ppreneni d Im(G) esise un α o,β o ppreneni ll inervllo [α, β] le che = G (α o ), b = G (β o ) pplicndo l formol precedene oenimo b f () d = G (b) G () f (G ()) G () d Soluzione E] ] do che è diverso d zero possimo scrivere + b + c d = + b + c d, senz perdere di generlià possimo ssumere =esudire l inegrle ipo + b + c d Ricordimo che + b + c = h i ( + b) 4 con = b 4c Dunque d =4 + b + c ( + b) d poso = + b oenimo d = + b + c Se possimo scrivere d = d ³ d = log + + Cos + b + c d = + b log + b + + Cos

3 Se < possimo scrivere d = + d = rcn µ + Cos + b + c d = µ + b rcn + Cos ] Anche in queso cso possimo ssumere = A =poichè A + B + b + c d = A e dunque dobbimo deerminre inegrle ipo: + B + b + c d usimo l scomposizione precedene: poso oenimo 4 + B ( + b) d = + B d =4 + b + c = + b b +B d = Deerminimo il primo inegrle: poso d, s = oenimo d = Se < ³ + b + c d = rcn (+b) Se + b + c d = " + B A + b + c d + B ( + b) d d +(B b) s ds +(B b)rcn d ³ +b + C log ( + b) ( + b) + +log + b # + b + + C 3

4 Soluzione Eb] ] Deerminimo un primiiv dell funzione [ sin (3)+cos(3)] e Si F () =[A sin (3)+B cos (3)] e derivndo dochedeverisulre F () =[(3A B)cos(3) (A +3B)sin(3)] e F () =[sin(3)+cos(3)] e segue che A +3B = 3A B = = A = B = 7 sin(3) e d = [sin (3) 7cos(3)] e oenimo π [ sin (3)+cos(3)] e d = 7 (eπ ) ] Deerminimo un primiiv dell funzione + + e Si derivndo F () = A + B + C e F () = A +(B +A) + B C e dochedeverisulre F () = + + e segue che A = B +A = B +C = = A = B = C = e d = + e, 4

5 oenimo + + e d = 3e + 4 Soluzione Ec] ] Deerminre esplicimene un primiiv di un funzione è spesso impossibile, per deerminre ques ipologi di ii fremo uso delle regole di de Hopil e dell esercizio T]: " # sin() d sin() d e d + e d = = + d d [ ] do che oenimo poichè cos () e [sin()] e + cos () e [sin()] e = ; + e [sin()] = e +o( ) = e e o( ), sin() ] Come nel cso precedene oenimo h e cos () e o( ) i = e o( ) =+o sin( ) rcsin () d; = + sin () sin() + = e [cos () ] e [cos () ] e d = = + cos sin ( = ) + cos () d d cos () # rcsin () d d d [sin ()] = " sin( ) sin() sin () 3] In queso cso possimo clcolre l inegrle definio: n n n log () d = = ( n n) n+ n + = µ n n n+ log () = n + (n +) µ log n n 5 (n +) (n +)

6 Osservimo che n n n+ = n n n in lre prole ( n n) n+ n + n n n Soluzione Ed] Bs pplicre l esercizio T], infi log n n = n n n n n log () d = f :[, ] R log (n) n +, einquesocsopossimoprenderelfunzionediclssec con G(π) G() G :[,π] [, ] f () d = G () =sin(), π f (sin ()) cos () d, m G () = G (π) = d qui l esi Soluzione Ef] In lre prole l esercizio chiede se l funzione rcn(n()) è un primiiv dell funzione cosne ugule d Ricordimo che per ogni k inero risul (fre un disegno): i π rcn(n()) = kπ, kπ, π h + kπ, ovvimene d rcn(n() =, d i π kπ, π + kπ h, possimo ffermre che in ogni inervllo pero π kπ, π + kπ l funzione rcn(n() è un primiiv dell funzione f () = 6

7 Soluzione Eg] ] Sfruimo l ddiivià dell inegrle: n(/) d = im queso modo oenimo che l funzione èdispri: n(/) 3 7 d d g () = n(/) 3 7 g () = g ( ) poichè n () = n ( ), per ogni numero rele oenimo segue che Osservimo che con e 3 7 d = 3 9 d = 6 segue che 3 n(/) g () d = d = d = d d = 3 9 = 6 3, +3 3 d 9 d = = +3 d d +3 9 d = 6 µ log Cos, 3 log 3 µ +3 log µ +3 = µ log log () = log () 7

8 Abbimo verifico che n(/) d = log () ] Dobbimo sudire l inegrle π /4 l vrire del prmero rele, poso oenimo Noimo che d queso segue che π /4 π /4 cos ( ) d = cos ( ) d = π/4 cos () d h cos (),, π i 4 π/4 cos () d 4 cos ( d = ) Per deerminre l inegrle ponimo y =n(), in queso modo ricvimo π/4 cos () d = Inegrndo per pri oenimo rcn(y) dy = y rcn (y) π/4 cos d =+ () rcn(y) dy y +y dy = y rcn (y) log y +, Noimo che l ppliczione h, π i n () [] 4 è bieiv (poichè è sremene crescene) e di clsse C, è un buon cmbio di vribile 8

9 Ricpiolndo rcn(y) dy = rcn () log () = h π i log () 3] Ponimo =n(), in queso modo l inegrle definio diven π/4 n() cos ³π (n ()) cos d = () e con il seguene cmbio di vribile y = π cos π d oenimo cos π d = π π cos (y) dy = 9

10 INTEGRALI IMPROPRI Soluzione T3] ] Per ipoesi esise un cosne M le che per ogni δ> risul b δ f () d f () <M, [, b[ b δ in queso modo ricvimo che l inegrle b f () d M (b ) f () d è convergene, dunque per il crierio dell convergenz ssolu nche l inegrle b f () d converge Ovvimene per definizione di ie oenimo che preso un qulsisi ε> esise un δ> le che f () l <ε, ]b δ, b[ l funzione risul i in uo l inervllo [, b[, per quno deo il nosro inegrle risul ncor convergene b] Si f :], + [ R un funzione coninu con f () =l>, + per definizione di ie per ogni numero M>esise un numero rele le che per ogni >risul f () >M> f () d > M ( ) > segue che f () d = + f () d =+

11 Soluzione T4] Per definizione ponimo + + f () d = f () d + f () d + + con un qulsisi numero rele L definizione è ben pos poichè non dipende dl puno scelo (perchè?), l funzione f è inegrbile su R seesoloseesisonoidueii f () d, f () d, l inegrle + f () d non converge se non converge lmeno uno di quesi inegrli f () d, + f () d In queso modo se f è inegrbile su uo R possimo scrivere + f () d = f () d + + L funzione ], + [ sin () R non è inegrbile poichè i due ii f () d non esisono do che sin () d, sin () d =cos(), sin () d, + sin () d = cos () Osservimo esplicimene che + + sin () d = [cos () cos ( )] =, + m queso non signific che l funzione seno si inegrbile con + sin () d =

12 Soluzione T5] Cso L = Do che f () b g () = per ogni ε> esise un δ> le che per ogni ]b δ,[ risul < f () g () <ε inegrndo oenimo <f() <εg() < b b δ b f () d < ε g () d < + b δ Cso L =+ Do che f () b g () =+ per ogni M>esise un δ> le che per ogni ]b δ, [ risul <M< f () g () inegrndo b <Mg() <f() + = g () d < f () d o M o Cso L ], + [ Do che f () b g () = L per ogni ε> esise un δ> le che per ogni ]b δ,[ risul f () g () L <ε (L ε) g () <f() < (L + ε) g () b Osservimo che poichè l funzione f è coninu l inegrle b δ o f () d < +

13 segue che b b b (L ε) g () d < f () d < (L + ε) g () d b δ b δ b δ Soluzione T6] Il problem è un fcile ppliczione del eorem del confrono sinoico, infi: F () G() f() g() = F () f () g () G () = l + o () L + o () b F () G() f() g() = l ], + [ L FFF Soluzione Eh] ] Osservimo subio che l funzione ], + [ è coninu Fccimo il seguene cmbio di vribili: log () β ], + [ =log() ]log (), + [ + log () + + β d = log() e β e d = e ( β) d, log() possimo clcolre esplicimene l primiiv dell funzione e ( β), infi e ( β) d = " # β ( β) e ( β) + Cos β 6= + Cos β = 3

14 se β 6= oenimo + log () y β d = e ( β) d = y + log() " # " # y = y + β ( β) e ( β)y log () β ( β) e ( β)log(), ricpiolndo # + log () β d = " ( β) log () ( β) β β> + β ] Queso esercizio è il coninuo del precedene, effeundo lo sesso cmbio di vribile possimo scrivere Dunque per β 6= risul: log () β ricpiolndo log () β d = e ( β) d = h i d = ( β) log() β ( β) log () β d = y y " # ( β) log () ( β) β 3] L funzione ], [ [log ()] n R è ovvimene coninu inolre [log ()]n = Effeuimo il seguene cmbio di vribile y e ( β) d h i y β e ( β)y, ( β) β< + β ], [ =log() ], [ [log ()] n d = n e d 4

15 L primiiv dell funzione èdelipo con P n () = n e P n () e nx h h h= con un semplice clcolo ricvimo che segue che [log ()] n d = y y n = n = n! (n )! n = n! (n )! = n! n e d = P n () P n (y) e y = y in lre prole [log ()] n d = n! 4] L funzione è coninu con Cmbimo vribile: π 6, π 6 π 6 cos () q R sin ()+sin () cos () q sin ()+sin () =, π 6 =sin(), cos () q d = sin ()+sin () + d Anche in queso cso possimo clcolre l primiiv esplicimene, infi possimo scrivere h i + = 4 ( + ) 5

16 d = + q d = ( + ) s ds =logs p + s segue che d =log( p + )+ + + Dunque d = + y + y + d = =log+ 3 log p ( + )+ + =log y + Soluzione Ei] ] Osservimo che l funzione log () β è coninu e posiiv nell inervllo ], [, inolre per β> risul se >b> risul b log () β = d < +, β > β log () bisogn nlizzre l convergenz nell esremo = Scelo >> deerminimo il crere dell inegrle log () β d ³ + 3 Ponimo in queso modo risul: = >, ], [ log () β d = log ( ) β d = log ( ) β d inolre log ( ) β = β, 6

17 log ( ) β d β d = come noo l uo inegrle converge per β< ricpiolndo < +, β < log () β d =+ β ] Osservimo che l funzione β d e( ) [log ()] β è coninu e posiiv in ], ], bisogn nlizzre solo l convergenz nell esremo = Ponimo = in queso modo e ( ) [log ()] β d = e [log ( + )] β d, dunque e = [ + o ()] menre [log ( + )] β = β [ + o ()] segue che 3] L funzione e [log ( + )] β d β d = e ( ) [log ()] β < + β<3 d =+ β 3 sin (α )+sin() α log () β d è coninu e posiiv nell inervllo ], [, bisogn verificre l convergenz nei due esremi d inegrzione Anlizimo l convergenz in =: sin ( α )+sin() α log () d, >>, 7

18 do che sin ( α )+sin() e α sono funzioni convergeni per oenimo sin ( α )+sin() α log () d log () d, dll e 4] l inegrle risul convergene Anlizimo l convergenz per : sin ( α )+sin() α log () d, >>, bbimo + o () α sin ( α )+sin() = α + o ( α )+ + o () = α + o ( α ) α< se α< b sin ( α )+sin() α log () segue per l e 4] che b d b α b α log () d = log () d sin ( α )+sin() α log () d < +, α < Se α oenimo sin ( α )+sin() α log () d α log () d = α log () d l uo inegrle converge per in lre prole Ricpiolndo: α sin ( α )+sin() α log () d < + se α sin ( α )+sin() α log () d < + se α ], ] 4] L funzione i, π h e α β +sin( α ) R 8

19 è coninu e posiiv poichè in queso inervllo risul: β +sin( α ) > bisogn verificre l convergenz nei due esremi d inegrzione Noimo che e α π/ β +sin( α ) = l R bisogn sudure il compormeno dell funzione solo nell esremo = Dunque nell inervllo possimo, π pplicre il confrono sinoico: e α = α + o ( α ) menre se α<βrisul se α = β risul se α>βrisul in lre prole segue che per α β β +sin( α )= β + α + o ( α ), β +sin( α )= α [ + o ()] β +sin( α )= α [ + o ()] β +sin( α )= β [ + o ()] β +sin( α ) α β α β α>β π/ e α π/ β +sin( α ) d α π/ α d = d < + per α>β π/ e α π/ β +sin( α ) d α π/ β d = d, β α oenimo l convergenz se β α<, e ques condizione è sempre soddisf α>β Ricpiolndo per ogni α, β prmeri reli posiivi oenimo: π/ e α β +sin( α d < + ) 9

20 5] L funzione ], + [ log log 5 + α log ( + + e ) β R è coninu, bisogn nlizzre l convergenz l bordo dell inervllo di definizione Cso : L funzione è posiiv nell inorno desro dello zero, possimo sfrure il meodo sinoico per il clcolo dell inegrle o log log 7 + α log ( + + e ) β d Quindi log log 5 + = o o 7 = 3 +o 3 menre log + + e =log o () =log(+ + o ()) = = + o () Dunque o log log 7 + α log ( + + e ) β d o 3 o d = α+β α+β 3 d segue che o log log 7 + α log ( + + e ) β d < + α + β<4 =+ α + β 4 Cso + : Ancheinquesocsoesiseun o le che l nosr funzione risuli coninu nell inervllo ] o, + [, possimo pplicre il meodo del confrono sinoico ll inegrle + log log 7 + o α log ( + + e ) β Osservimo che log log 7 + µ =log 7 + = 4 + µ 7 + o d = 4 + o µ 4 =log µ =

21 inolre log + + e =log e µ+ e + e = + o () segue che + log log 7 + α log ( + + e ) β d o + o 4 d = α+β + d o α+β+4 + o log log 7 + α log ( + + e ) β d < + α + β> 3 =+ α + β 3 Ricpiolndo + log log 7 + α log ( + + e ) β d < + seesolose 3 α <β<4 α 6] L funzione sin 4 ], + [ 5 cos R è coninu m non possiede segno cosne, per verificre l convergenz pplichimo il crierio dell convergenz ssolu, verifichimo se l inegrle improprio + sin 4 5 cos d, èconvergene Abbimo ovvimene + sin 4 5 cos + d < 5 cos d edoche segue che cos µ = µ + o 3, cos d dunque l inegrle + sin 4 5 cos + 5 d = d d < +, 3

22 èconvergene 7] L funzione ], + [ rcn α e è coninu inolre possiede segno cosne, in queso cso possimo pplicre il eorem del confrono sinoico Cso + : Anlizimo l convergenz dell inegrle improprio + rcn α d o e con o numero rele posiivo grnde picere do che il vlore α> bbimo inolre + o segue che per ogni rcn µ α R = µ α + o α µ e =+ + o = µ + o rcn + α d e o + o α d = + rcn < + α> α d e =+ α Cso : Anlizimo l convergenz dell inegrle improprio o rcn e d con o numero posiivo piccolo picere In queso cso rcn α = π + e o rcn α d < + e 8] L funzione ], [ sin ( α ) e 3 R d o α

23 è coninu nel nosro inervllo ], [ inolre possiede segno cosne (negivo) Con un bnle cmbio di coordine oenimo π/4 sin ( α ) e 3 d = π/4 sin ( α ) e 3 d Noimo subio che sin ( α ) π/4 e 3 = l R, dobbimo nlizzre l convergenz solo nell esremo = Dunque poichè α> ricvimo che sin ( α )= α + o ( α ), e 3 = 3 + o 3 π/4 sin ( α ) π/4 e 3 d α π/4 3 d = oenimo l convergenz per 3 α< = α> Soluzione El] ] L funzione f () =e sin (), non è coninu in ( ; ) poichè dunque e sin () =+, + e sin () d 3 α d, e sin () =, è convergene, dobbimo solo deerminre il crere dell inegrle Poso e sin () d ricvimo inolre poichè e sin () d = + sin = e sin + e d d =+ 3 µ >, ], + [ 3

24 sfrundo il crierio del confrono + e sin d + e d =+ 3 Ricpiolndo l funzione non è inegrbile nell inervllo ( ; ) ] L funzione f () = e + 4 α log non è coninu in (, + ) poichè Noimo che e log α =+, e + 4 log α =+ + e + 4 log α = Sudimo l convergenz nell origine Abbimo e + 4 = e segue che fissounnumeroposiivo più piccolo di, oenimo e + 4 log α d / log α d e l convergenz si oiene per ogni α rele Sudimo l convergenz ll infinio Do che = possimo scrivere e + 4 = + µ o + 4 = ( + o ()), +4 inolre + 4 = 4 + = ( + o ()) 4 4 poichè per bbimo = + o () + Quindi fisso un numero più grnde di, oenimo: + e log α d + 4 log α d = 5/ log α d 4

25 e come è noo converge per ogni α rele Sudimo l convergenz nel puno di sciss = Comincimo con lo sudio dell inegrle Do che possimo ffermre che e + 4 log α d, + 4 e << = e Poso oenimo log α d = e e + 4 log α d log α d = log ( + ) α d = log ( + ) α d log ( + ) = + o () log ( + ) α d α d ed oenimo l convergenz qundo α< Sesse considerzioni si pplicno ll inegrle e + 4 log α d, > Ricpiolndo possimo ffermre che l funzione non coninu f () è inegrbile in (, + ) qundo α< 3] L funzione è posiiv nel nosro inervllo (, 7π) e coninu nei puni di sciss =e =7π m non è defini nel puno di sciss =, il primopssodfreèlosudiodelie: ± 7 log ( ) = ³+( 3 ) ± α ( ) log ³+( 3 ) Ovvimene per risul log ³+ 3 = 3 ³ + o 3 α 5

26 Abbimo: ( ) α = ³+( 3 ) + log α ³( 3 ) ( 3 ) + o poichè segue ( ) α = ³+( 3 ) log ( ) 3 =+3 + o () = α 9 + o ( ) = log + o α 9 + o ( ) e log 9 + o ( ) = α = Sudimo l convergenz nel puno di sciss = Comincimo con lo sudio dell inegrle 7 ( ) α d, < log ³+( 3 ) Per quno deo risul 7 ( ) α d log ³+( 3 ) ( ) α ( 3 ), inolre poso oenimo ( ) α ( 3 ) d = α d = α d, in lre prole 7 ( ) α d log ³+( 3 ) α d l convergenz si oiene qundo α < = <α 6

27 le sesse considerzioni si possono pplicre ll inegrle: 7 ( ) α d, > log ³+( 3 ) Ricpiolndo possimo ffermre che l funzione non coninu f () è inegrbile in (, 7π) qundo α> 4] L funzione f () nell inervllo ( π, + ) è disconinu nei puni di sciss =e = Ovvimene poichè il ie f () =f ( π) π l funzione è inegrbile in qulsisi inorno (desro) del puno π Deerminimo l inegrbilià in = Si >> e α p log ( + ) d bbimo per α< e α p log ( + ) d α d = e α p d < + log ( + ) Sesso discorso per e α p log ( + ) d, con >> π Deerminimo l inegrbilià in = Si > α d e α log ( + ) d in queso cso e α p log ( + ) d p d log ( + ) ovvimene log ( + ) = + o ( ) 7

28 dunque e α p log ( + ) d p d in queso cso bbimo l inegrbilià per ogni α> Le sesse considerzioni sono vlide per e p α log ( + ) d con >> Deerminimo l inegrbilià per + Si >, considerimo l inegrle + e α p log ( + ) d Do che e > possimo scrivere e = + + e + α p log ( + ) d αp log () d queso come è noo è inegrbile se α Ricpiolndo l funzione è inegrbile per ogni α pprenene [; [ 8