T 1 T 2 Z +1. s 2 (t) dt < 1

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1 .. SEGNALI ELEMENTARI 5.. Segnli elemenri Alcuni segnli sono uilizzi molo sovene nello sudio di sisemi dinmici. Gli esempi dell sezione precedene ne hnno già evidenzii due: lo sclino e l sinusoide. Prim di considerre quesi e lcuni lri segnli elemenri, è il cso di considerre lcune proprieà bse.... Tipi di segnli. Un prim disinzione è r segnli periodici ed periodici. Un segnle che si ripee ugule se sesso d inervlli emporli regolri (..) s( + nt )= s(), 8n inero si dice periodico. Un segnle che non soddisfi l (..), nche solo per un vlore di, è deo periodico. Un segnle di dur fini è, ovvimene, periodico. Vl l pen di osservre che nessun segnle dell relà può essere periodico, o lmeno noi non possimo verne un prov inconfubile, perché per soddisfre l (..) dovrebbe ripeersi ugule se sesso per l eernià. Un combinzione linere di segnli periodici di sesso periodo T è, su vol, periodic di periodo T. Infi, se risul s ( + kt) =s () e s ( + kt) =s () s ( + kt)+bs ( + kt) =s ()+bs () L somm di segnli periodici, m di periodi diversi, non è deo che di luogo d un segnle periodico. Infi, se s () h periodo T ed s () h periodo T, l loro somm pes, per essere periodic, deve soddisfre l relzione: s ( + T )+bs ( + T )=s ( + nt )+bs ( + mt ) che implic che il periodo T deve essere il più piccolo vlore che soddisfi l relzione T = nt = mt con n ed m ineri, cioé che i due periodi sino legi dll relzione T T = m n o, deo lrimeni, che il rpporo r le frequenze o i periodi si esprimibile medine un numero rzionle. Alr disinzione è r segnli d energi fini e segnli poenz fini. Si dice energi fini un segnle s() per il qule si: (..) E = Z + s () d < E è de energi del segnle. Tle ermine h bisogno di essere inerpreo, non foss lro che per rendersi cono dell correezz dimensionle dell ffermzione. Il discorso ndrebbe

2 6. SISTEMI E SEGNALI ELEMENTARI ripeuo per segnli che rppresenino diverse grndezze fisiche. Siccome noi simo ineressi più diremene segnli elerici, ipoizzimo che s() si un segnle di ensione cioé rppreseni l vrizione emporle di un ensione in un circuio. L poenz insnne di queso segnle è s ()/R e l su energi è R s ()/R d, che è divers dll (..). Discorso nlogo vrrebbe per un segnle di correne. L (..) si può ssumere come energi del segnle nell ipoesi che il vlore resisivo si unirio. Rimne pur sempre vero che, prescindere d R, l (..) risul fini se lo è l energi. Anlogo discorso si può ripeere per l poenz medi di un segnle. Se si verific (..3) P = lim! Z + / / s () d < il segnle s() è deo poenz limi. Un segnle periodico non può che essere un segnle poenz limi (e lo è cermene se ssume vlori finii) e, quindi, d energi infini. Clcolre l su poenz non richiede il clcolo del limie nell (..3); bs medire nel periodo: Z +T/ P = s () d T T/... Sinusoide. L esempio clssico di segnle periodico è un sinusoide s() =A sin(! o + ') dove A è l mpiezz,! o l pulszione e ' l fse inizile (il vlore dell rgomeno dell funzione per = 0). L sinusoide si ripee ugule se sess d un disnz emporle T le che! o T =. Il periodo di un sinusoide di pulszione! o è, perciò: T =! o f = /T è l frequenz. V d sé che un sinusoide di frequenz f è periodic di periodo T =/f m, nche, di periodo T, 3T,...,NT. Un sinusoide con fse inizile / è chim cosinusoide e vle l relzione sin(! + /) = cos(!). L poenz medi di un sinusoide di mpiezz uniri vle: P m =! Z /! L su poenz di picco è 0 sin (!) d =! Z /! 0 cos(!) d = pple sin(!) 4! /! 0 = P p = mx sin (!) = Il rpporo r poenz di picco e poenz medi è deo fore di picco e, per un sinusoide vle.

3 .. SEGNALI ELEMENTARI 7 È il cso di ricordre l formul di Eulero, che si può oenere ricorrendo ll espnsione in serie di poenze dell funzione esponenzile e delle funzioni seno e coseno: exp(±!) = cos! ± sin! Ne consegue che nche l funzione exp(!) è periodic di periodo /! o e, lor, si prl di sinusoide compless. Sinusoidi di frequenze muliple di un frequenz minim o fondmenle si dicono rmoniche: l frequenz più bss si chim fondmenle, quell di frequenz doppi si chim second rmonic, quell di frequenz ripl erz rmonic e così vi. L somm di sinusoidi di frequenze muliple di un frequenz fondmenle cosiuisce un segnle di periodo pri ll inverso dell frequenz fondmenle, in quno l n-esim rmonic è pur sempre periodic di periodo /f. FIGURA... Somm di re sinusoidi di frequenz f, 3f, 5f.... Segnle rengolre e ond qudr. Si chim rengolre un segnle che mneng vlore cosne per u l su dur limi: (..4) rec, < = 0, > È, chirmene, un segnle di energi fini e l su energi vle. L somm di segnli rengolri ripeui disnz T dà luogo d un segnle periodico, di periodo T (..5) sq() = +X n= rec che viene deo ond qudr. Se = T/ l ond qudr si dice duy cycle 50%. L ond qudr (..5) oscill r 0 e ed h vlor medio /T. Un ond qudr con duy cycle 50% che oscill r + e h vlor medio nullo. nt

4 8. SISTEMI E SEGNALI ELEMENTARI Τ Τ Τ Τ+ FIGURA... Form d ond rengolre e ond qudr. È d osservre che il segnle rengolre (..4) è disconinuo in ± / ed il suo vlore in li puni srebbe indefinio. In un puno di disconinuià ssumeremo che il segnle ssum il vlore s( )= [s( )+s( + )]...3. Sclino (o grdino) unirio. Un segnle che bbimo già inconro negli esempi dell sezione precedene è lo sclino: esso è descriivo di un sollecizione cosne pplic prire d un do isne che, senz ledere l generlià, si può ssumere l isne zero. Lo sclino unirio si può definire come: FIGURA..3. Sclino unirio, > 0 u() = 0, < 0 Per i discorsi già fi, possimo ssumere che u(0) = Rmp uniri. È un segnle nullo per <0eche, per >0, cresce proporzionlmene :, > 0 r() = 0, < 0 Tle segnle può considerrsi come il risulo del pssggio dello sclino unirio rverso un inegrore: r() = Z u( ) d

5 .. SEGNALI ELEMENTARI 9 FIGURA..4. Rmp uniri...5. Prbol. L prbol (o rmp prbolic) è il segnle che si oiene ripplicndo l operore di inegrzione ll rmp: p() = Z r( ) d = p() FIGURA..5. Rmp prbolic sinc() 4 4 FIGURA..6. Seno crdinle Seno crdinle. Un funzione molo uilizz, come risulerà evidene nel seguio, è l cosidde funzione seno crdinle

6 0. SISTEMI E SEGNALI ELEMENTARI sin sinc() = che è un seno l cui mpiezz viene vri inversmene. È un funzione pri, in quno rpporo di due funzioni dispri, e in =0h vlore unirio. Per rendersene cono bisogn usre l formul di l Hospil. Di queso segnle vremo modo di prlre mpimene nel seguio..3. Trsformzioni di vribile indipendene Tr le operzioni che si possono eseguire sui segnli, le rsformzioni dell vribile indipendene rivesono un ruolo di rilievo ed è comunque uile considerrle nel momeno in cui si snno esminndo le proprieà dei segnli elemenri. Si vedrà, infi, che esse possono essere esremmene uili. Comincimo dll più semplice: l rslzione..3.. Trslzione. Supponimo che s() si il segnle invio d un loprlne qundo si scol un disco. Come si dovrebbe rppresenre il segnle corrispondene l suonre lo sesso disco il giorno dopo? Se T è l inervllo emporle corrispondene d un giorno, il segnle s() rirdo di un giorno è esprimibile come s( T ), in quno nell isne T esso ssume il vlore s(t T )=s(0) e nel generico + T esso ssume il vlore s( + T T ) che s() ssumev nell isne. Con simile rgionmeno si può verificre che s( + T ) è il segnle s() nicipo di T. Nurlmene h senso prlre di rirdi o nicipi se l vribile elemenre è un empo. Nel cso più generle è più correo prlre di rslzione verso vlori cresceni o descresceni dell vribile sess. Per bnle che poss essere le rsformzione, vl l pen di considerre lmeno un esempio. Come esempio prendimo un segnle l cui descrizione richied di specificre diverse espressioni memiche in diversi inervlli emporli: 8 < ( +), << s() =, << 0 : ( ), 0 << + Un rslzione desr di.5 drebbe luogo : 8 < ([.5] + ), <.5 < s(.5) =, <.5 < 0 : ([.5] ), 0 <.5 < + o. meglio, 8 < ( +0.5), 0.5 << 0.5 s(.5) =, 0.5 <<.5 : (.5),.5 <<.5 Come uleriore esempio, si osservi che il rengolo (..4) può essere oenuo dll somm di due sclini rsli nel empo:

7 .3. TRASFORMAZIONI DI VARIABILE INDIPENDENTE s() s(.5) 3 3 FIGURA.3.. Esempio di rslzione. rec = u( + ) u( ) u(+ /) / / / / u( /) FIGURA.3.. Rengolo come combinzione di due sclini..3.. Riblmeno. Il segnle s( ) si oiene dl segnle s() medine un riflessione inorno ll isne =0. Esso rppresen l effeo di un inversione dell sse dei empi. Ad esempio, se, 0 << (.3.) s() = 0, lrove s( ) = + 0 < < 0 lrove + = <<0 0 lrove s() s( ) FIGURA.3.3. Esempio di inversione del empo.

8 . SISTEMI E SEGNALI ELEMENTARI Ques operzione è uile per esminre proprieà di simmeri di un segnle. Un segnle si dice pri se s( ) =s(), dispri se s( ) = s(). Un generico segnle può decomporsi nell su pre pri e nell su pre dispri: s() =s p ()+s d () dove s p () è de pre pri di s() e vle s p () = [s()+s( )] menre s d (), de pre dispri, vle s d () = [s() s( )] Sempre con riferimeno ll esempio precedene, le pri pri e dispri del segnle (.3.) sono: * 0.5( ) 0 << s p () = 0.5( + ) <<0 0 lrove * 0.5( ) 0 << s d () = 0.5( + ) <<0 0 lrove s () p s () d / / / FIGURA.3.4. Pre pri e pre dispri di (.3.)

9 s() s().4. L IMPULSO 3 s(0.5) / FIGURA.3.5. Esempi di compressione ed espnsione di scl Cmbimeno di scl. Se l vribile indipendene di s() viene moliplic per, in modo che il segnle diveni s( ) il segnle risul un versione di s() con l scl dei empi scl di / : si rerà di un versione compress se >, espns se <. Se il fore è negivo, olre d un cmbimeno di scl si osserv un riblmeno dell sse dei empi. A iolo di esempio, in figur.3.5 sono rppresene re versioni del segnle (.3.): s(), s() e s(0.5): Vle l pen or di considerre l combinzione di rslzione e cmbimeno di scl. Come modific il solio segnle (.3.) il seguene cmbimeno di vribile: s(3 )? 3 +, 0 < 3 < s(3 ) = = 0, lrove 3 +, = 3 0, lrove << + 3 = s(3[ /3]) cioé bisogn prim pplicre l sclur e, successivmene, l rslzione di /3. Se si pplic prim l rslzione e poi l sclur per 3, l enià dell rslzione deve essere pri, per vere lo sesso risulo. Ne consegue che l operzione di cmbimeno di scl, come quell di riblmeno che si può considerre come un cso pricolre con = non commu con quell di rslzione..4. L impulso Adesso, nonosne che si si già dedic l sezione. i segnli elemenri, bisogn prlre di un nuovo segnle elemenre, molo pricolre: l impulso o funzione del di Dirc. Si prend un funzione rengolre di mpiezz pri ll inverso dell su dur: "T rec( "T ) Al diminuire di ", il rengolo diven sempre più sreo ed lo: l su re, però, rimne sempre ugule. Se "! 0, l funzione ssume vlori sempre nulli, rnne in =0, dove ssume vlore infinio. Ques srn funzione ( rigore è un disribuzione) è quello che si chim impulso, si indic con () e grficmene si rppresen con il simbolo di figur.4. In bse quno deo: lim "!0 "T rec( )= () "T

10 4. SISTEMI E SEGNALI ELEMENTARI δ () FIGURA.4.. Rppresenzione grfic dell impulso o del di Dirc. e Z + () = ( ) = () Il discorso fo con l funzione rengolo può essere ripeuo con lre funzioni, compreso il seno crdinle, senz che, però, si ggiung molo quno già deo. L impulso h un significo chiro solo se compre ll inerno di un inegrle. In pricolre, quell che può essere consider l espressione che lo definisce è: (.4.) Z b x() () = x(0) purché <0 <b e sempre che x() si coninu in 0. Per giusificre queso risulo, si riorni l rengolo di bse e lezz inversmene proporzionli. Se il rengolo viene moliplico per un funzione x(), ne risul un funzione sempre null, rnne per < "T/ dove vle x()/("t ). Mn mno che "! 0, si ripee il discorso dello sringersi e dell lzrsi del rengolo e il conribuo di x() si riduce x(0): si ende, perciò, un rengolo di bse "T e lezz x(0)/("t ) l cui re vle x(0) Proprieà dell impulso. L equzione (.4.) che definisce l impulso ne evidenzi l cpcià di esrrre il vlore di un funzione in un isne. Infi: (.4.) Z + x() ( )d = x( ) L dimosrzione discende immedimene dll (.4.): Z + x() ( )d = Z + x(& + ) (&)d& = x( ). Un relzione simile è quell che por concludere che, se si moliplic un impulso pizzo nell isne per un funzione x() il risulo è un impulso nello sesso isne, l cui re vle x( ):

11 .4. L IMPULSO 5 (.4.3) x() ( ) =x( ) ( ) Infi: Z Z x() ( ) d = x( ) ( ) d = x( ) Ques nozione viene uilizz per indicre l esrzione di un cmpione d un segnle (cioé il suo vlore in un isne di empo ben preciso). Menre l (.4.), infi, rppresen il vlore cerco come un numero, l (.4.3) loclizz esmene nel empo lo sesso vlore. Un cmbimeno di scl dell vribile indipendene influisce, ovvimene, sul risulo: Z + Se ne può concludere che x() ( + b) d = Z + & x b (&) d& = x( ( + b) = ( + b ). Ulim considerzione è quell reliv lle derive dell impulso. L deriv dell impulso, indic con 0 () e grficmene come in figur.4., è de doppieo (double in inglese) ed è defini così: (.4.4) Z + x() 0 ( ) d = x 0 ( ) b ) sempre che x() si do di deriv in =0. L (.4.4) si può ricvre dll definizione delδ () FIGURA.4.. Simbolo del doppieo (deriv dell impulso). l impulso (.4.) medine inegrzione per pri (ricordndo che D(AB) =AD(B)+BD(A), dove D( ) rppresen l operore di derivzione): Z + x() 0 ( ) d = x() ( ) + Z + x 0 () ( ) d = x 0 ( )

12 6. SISTEMI E SEGNALI ELEMENTARI (.4.5) Applicndo ripeumene lo sesso rgionmeno, si può dimosrre che: Z + x() (k) ( ) d =( ) k x (k) ( ). Tui gli inegrli, per semplicià, sono si indici con esremi. Se gli esremi fossero si l finio, d esempio e, i risuli srebbero si idenici, sempre che l inervllo [, ] conenesse l isne in cui si rov l impulso (d esempio, nell (.4.5), se < < ). In cso conrrio, ui gli inegrli consideri vrrebbero zero. Si consideri, infi, l inegrle Z ( ) d Per quno ppen osservo, le inegrle vle 0 finché <0 e vle solo se >0. Si osserv, quindi, che l inegrle dell impulso è lo sclino. Dulmene, l deriv dello sclino unirio è l impulso unirio: R ( ) d = u() d u() = () d