Ortogonalità di funzioni

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1 Cpitolo 0 Ortogonlità di funzioni 01 Funzioni linermente indipendenti e funzioni ortogonli Si (, b) un intervllo dell sse rele Si dice le n + 1 funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x), definite in (, b), sono linermente indipendenti se non esiste lcun combinzione linere di esse α 0 φ 0 (x) + α 1 φ 1 (x) + + α n φ n (x) con coefficienti α 0, α 1,, α n non tutti nulli, l qule risulti essere identicmente null in (, b) In cso opposto, le funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x), si dicono essere linermente dipendenti Un crtterizzzione di funzioni linermente indipendenti è dt dl seguente risultto sull mtrice di Grm Si definisce l mtrice di Grm di ordine n + 1 φ 0(x)φ 0 (x)dx φ 0(x)φ 1 (x)dx φ 0(x)φ n (x)dx G = φ 1(x)φ 0 (x)dx φ 1(x)φ 1 (x)dx φ 1(x)φ n (x)dx φ n(x)φ 0 (x)dx b φ n(x)φ 1 (x)dx φ n(x)φ n (x)dx ovvero, ricordndo l definizione di prodotto sclre tr funzioni continue su un intervllo (, b), l elemento g ij dell mtrice G è definito g ij = φ i, φ j = φ i (x)φ j (x)dx i = 0,, n; j = 0,, n Si not che se le funzioni φ j (x), j = 0,, n sono vlori reli, l mtrice di Grm è simmetric Teorem: le funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x), definite in (, b) e, ivi continue e limitte, sono linermente indipendenti se e solo se l mtrice di Grm è simmetric e definit positiv; le funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x), definite in (, b) e, ivi continue e limitte, sono linermente dipendenti se e solo se l mtrice di Grm è simmetric e semidefinit positiv (singolre) 317

2 318 CAPITOLO 0 ORTOGONALITÀ DI FUNZIONI In not si riport l dimostrzione dell condizione sufficiente 1 Si not che i monomi {1, x, x,, x n } sono funzioni linermente indipendenti Infine, se le funzioni φ j (x), j = 0,, n sono i monomi x j e [, b] = [0, 1], l mtrice di Grm è l mtrice di Hilbert, di ordine n + 1, che h elementi h ij = 1 (i + 1) + (j + 1) 1 i, j = 0,, n Si riport l definizione di ortogonlità per funzioni continue rispetto l prodotto sclre definito in precedenz Definizione Due funzioni f e g definite in (, b) e, ivi continue e limitte, si dicono ortogonli se f, g f(x)g(x)dx = 0 Si definisce llor un sistem ortogonle di funzioni φ 0 (x), φ 1 (x), φ (x), definite in (, b) e, ivi continue e limitte, se φ i, φ j φ i (x)φ j (x)dx { 0 per i = j = 0 per i j Supponimo che le funzioni φ j (x), j = 0, 1,, definite in (, b) e, ivi continue e limitte, soddisfino φ j α T Gα = (α 0, α 1,, α n ) T φ j (x) dx = 1 1 Si α R n+1 un vettore qulsisi diverso dl vettore nullo Il vlore α T Gα si scrive φ 0, φ 0 α 0 + φ 0, φ 1 α φ 0, φ n α n φ 1, φ 0 α 0 + φ 1, φ 1 α φ 1, φ n α n Posto q = Gα, l componente i esim di q si scrive Posto q i = φ i, φ 0 α 0 + φ i, φ 1 α φ i, φ n α n φ n, φ 0 α 0 + φ n, φ 1 α φ n, φ n α n = α 0 φ i (x)φ 0 (x)dx + α 1 φ i (x)φ 1 (x)dx + + α n φ i (x)φ n (x)dx ϕ(x) = α 0 φ 0 (x) + α 1 φ 1 (x) + + α n φ n (x) = α j φ j (x) j=0 l componente i esim del vettore q divent q i = φ i (x)ϕ(x)dx = α j φ i (x)φ j (x)dx j=0 Se l funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x) sono linermente dipendenti, esisternno dei vlori non tutti nulli ᾱ 0, ᾱ 1,, ᾱ n per cui n j=0 ᾱjφ j (x) = 0, ovvero ϕ(x) = 0; per tutti gli ltri vlori α j ᾱ j, j = 0,, n, si h ϕ(x) 0 Se l funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x) sono linermente indipendenti, llor n j=0 α jφ j (x) 0 per ogni vettore α = (α 0, α 1,, α n ) T diverso dl vettore nullo, dunque ϕ(x) 0 Si h che ( b n α T Gα = α i q i = α i α j φ i (x)φ j (x)dx = α i φ i (x)) α j φ j (x) dx = ϕ(x) dx i=0 i=0 j=0 i=0 j=0 llor φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x) linermente indipendenti = φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n(x) linermente dipendenti = ϕ(x) dx > 0 = α T Gα > 0 α 0 ϕ(x) dx 0 = α T Gα 0 α 0

3 0 POLINOMI ORTOGONALI 319 ovvero le φ j (x), j = 0, 1,, sono normlizzte; llor le funzioni φ 0 (x), φ 1 (x), φ (x), costituiscono un sistem ortonormle di funzioni se { 1 per i = j φ i, φ j φ i (x)φ j (x)dx = 0 per i j Un esempio di sistem ortonormle è il sistem trigonometrico definito nell intervllo [ π, π] { 1, cos x, sin x } cos x sin x,,, π π π π π Assegnto un qulsisi sistem di funzioni linermente indipendenti ψ 0 (x), ψ 1 (x), ψ (x), definite in (, b) e, ivi continue e limitte, esiste un processo di ortogonlizzzione che combinndo linermente le funzioni del sistem, costruisce un nuovo sistem di funzioni φ 0 (x), φ 1 (x), φ (x), che risult ortogonle Per costruire le funzioni φ 0 (x), φ 1 (x), φ (x), si può procedere con l formul φ 0 (x) = ψ 0 (x) φ 1 (x) = r 10 φ 0 (x) + ψ 1 (x) φ (x) = r 0 φ 0 (x) + r 1 φ 1 (x) + ψ (x) φ n (x) = r n0 φ 0 (x) + r n1 φ 1 (x) + + r nn 1 φ n 1 (x) + ψ n (x) Affinché si soddisftt l condizione di ortogonlità φ n, φ j = 0, j = 0,, n 1, del sistem di funzioni φ 0 (x), φ 1 (x), φ (x),, si deve porre r nj = ψ n, φ j φ j, φ j Questo processo di ortogonlizzzione prende il nome di processo di ortogonlizzzione di Grm Schmidt Il processo di ortogonlizzzione di Grm-Schmidt si dimostr per induzione 3 Si osserv che se si moltiplicno le funzioni di un sistem ortogonle {φ n }, n = 0, 1,, per rbitrri fttori costnti, il sistem rimne ortogonle Si utilizz questo ftto per normlizzre le funzioni del sistem ed vere un sistem ortonormle A tle scopo è sufficiente dividere l funzione φ n (x) per l su norm 0 Polinomi ortogonli Defnizione I polinomi φ 0 (x), φ 1 (x), definiti in un intervllo [, b] con φ j (x) di grdo j, j = 0, 1,, sono ortogonli rispetto ll funzione peso 4 w(x), se φ i, φ j w(x)φ i (x)φ j (x)dx = 0 per i j Dt un funzione f(x) si può sempre ottenere un funzione normlizzt f(x) come f(x) = f(x)/ f 3 Si ved eg, 44 in Atkinson KE: An Introduction to Numericl Anlysis, Second Edition, John Wiley & Sons, New York, Si può generlizzre l definizione di norm di un funzione f vlori reli e continu nell intervllo [, b], e di prodotto sclre tr due funzioni f e g vlori reli e continue nell intervllo [, b], introducendo un funzione peso w(x) 0 per

4 30 CAPITOLO 0 ORTOGONALITÀ DI FUNZIONI Si hnno i risultti seguenti: 3 i polinomi ortogonli sono funzioni linermente indipendenti; si {φ j (x)}, j = 0, 1, un insieme di polinomi ortogonli, llor ogni polinomio p(x) di grdo n si scrive come combinzione linere dei polinomi ortogonli {φ j (x)} di grdo j, j = 0,, n, ie, ed nche p(x) = j=0 p, φ j φ j, φ j φ j(x) p, φ j = 0 per j = n + 1, n +, si {φ j (x)}, j = 0, 1, un insieme di polinomi ortogonli definiti in [, b], llor φ j (x), j = 0, 1, h esttmente j zeri distinti in (, b) È possibile fornire un relzione ricorsiv per il clcolo di polinomi ortogonli monici 5 {q j (x)} Tle formul si chim formul di ricorrenz tre termini e si scrive: 6 dove q 0 (x) = 1 q 1 (x) = x 1 q k (x) = (x k )q k 1 (x) b k q k (x) k k = xq k 1, q k 1 q k 1, q k 1 b k = q k 1, q k 1 q k, q k k = 1,, k =, 3, 03 Principli sistemi di polinomi ortogonli I sistemi di polinomi ortogonli differiscono tr loro per diversi vlori degli estremi dell intervllo di definizione e per differenti funzioni peso x [, b]: ( 1 b f = w(x)f(x) dx) f, g = w(x)f(x)g(x)dx Per l funzione peso si richiede che i momenti definiti come µ k = x k w(x)dx esistno e sino finiti 5 I polinomi monici sono quei polinomi q(x) che hnno coefficiente principle, ovvero il coefficiente ssocito ll mssim potenz di x, ugule d 1 Si osserv che, in generle, i polinomi monici non sono funzioni normlizzte; d esempio q 0 (x) = 1 non h norm ugule d 1 se vlutto tr 1 e 1: ( 1 ) 1/ q 0 = 1 = 1 dx = 1 In questo cso il polinomio normlizzto è q 0 (x) = q 0 (x)/ 6 Per un dimostrzione si ved eg, p 68 in Johnson LW, Riess RD: Numericl Anlysis, Second Edition, Addison Wesley, Reding MA, 198

5 03 PRINCIPALI SISTEMI DI POLINOMI ORTOGONALI 31 Si riportno in quest sezione i principli sistemi di polinomi ortogonli e le rispettive crtteristiche Si elenc: il nome dei polinomi ortogonli, l intervllo di definizione (, b), l funzione peso w(x), l notzione e l rppresentzione (un espressone esplicit del polinomio), l equzione differenzile di cui il polinomio ortogonle è soluzione, il vlore dell norm l qudrto, e l formul ricorsiv Polinomi di Chebyshev nome: polinomi di Chebyshev (del primo tipo) intervllo: [ 1, 1] 1 funzione peso: 1 x notzione e rppresentzione: T n (x) = cos(n rccos x) T n (x) 1 equzione differenzile: (x 1)u + xu n u = 0 norm l qudrto: 1 T n (x) { } π per n = 0 dx = 1 1 x π per n 1 formul ricorsiv: T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T j+1 (x) = xt j (x) T j 1 (x) j 1 Inoltre, gli zeri x i, i = 1,, n, di T n (x) sono dti dll formul ( ) ((n + 1 i) 1)π x i = cos i = 1,,, n n Ad esempio per T 1 (x) si h x 1 = 0, per T (x) si h x 1 = / e x = /, per T 3 (x) si h x 1 = 3/, x = 0 e x 3 = 3/ Se x [ 1, 1] e z [, b], gli zeri del polinomio di Chebyshev di grdo n definito in [, b] sono dti d 7 z i = (b ) ( ((n + 1 i) 1)π cos n ) + + b i = 1,,, n Polinomi di Legendre nome: polinomi di Legendre intervllo: [ 1, 1] funzione peso: 1 notzione e rppresentzione: P n (x) = 1 d n (x 1) n n n! dx P n n (x) 1 equzione differenzile: (x 1)u + xu n(n + 1)u = 0 norm l qudrto: 1 7 Se x [ 1, 1] e z [, b] llor vlgono le formule 1 P n (x) dx = n + 1 x = z b + b b (b ) ( + b) z = x +

6 3 CAPITOLO 0 ORTOGONALITÀ DI FUNZIONI formul ricorsiv: P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P j+1 (x) = 1 j + 1 [(j + 1)xP j(x) jp j 1 (x)] j 1

7 03 PRINCIPALI SISTEMI DI POLINOMI ORTOGONALI 33 Polinomi di Chebyshev del secondo tipo nome: polinomi di Chebyshev del secondo tipo intervllo: [ 1, 1] funzione peso: 1 x notzione e rppresentzione: S n (x) = sin[(n+1) rccos x] 1 x equzione differenzile: (x 1)u + 3xu n(n + )u = 0 norm l qudrto: 1 formul ricorsiv: 1 1 x S n (x) dx = π S 0 (x) = 1 S 1 (x) = x S j+1 (x) = xs j (x) S j 1 (x) j 1 nome: polinomi di Lguerre intervllo: [0, ) funzione peso: e x Polinomi di Lguerre notzione e rppresentzione: L n (x) = e x d n (x n e x ) dx n equzione differenzile: xu + (1 x)u + nu = 0 norm l qudrto: formul ricorsiv: L 0 (x) = 1 0 e x L n (x) dx = (n!) L 1 (x) = 1 x L j+1 (x) = 1 j + 1 [(j + 1 x)l j(x) jl j 1 (x)] j 1 nome: polinomi di Hermite intervllo: (, ) funzione peso: e x Polinomi di Hermite notzione e rppresentzione: H n (x) = ( 1) n e x dn (x n e x ) dx n equzione differenzile: u xu + nu = 0 norm l qudrto: formul ricorsiv: 0 H 0 (x) = 1 H 1 (x) = x e x H n (x) dx = n n! π H j+1 (x) = xh j (x) jh j 1 (x) j 1

8 34 CAPITOLO 0 ORTOGONALITÀ DI FUNZIONI