Integrazione. w j f(x j ) x j = a + h j 0 j N h = b a N

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1 Integrzione w j pesi f(x) dx = N j=1 w j f(x j ) N più piccolo possibile. Metodi spzitur fiss x b x j = + h j j N h = b N Chiusi: Aperti: x j, b x j, b / x j f 1 h h h h x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

2 Metodo del rettngolo x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 f(x) dx = h 4 f(x j ) j=1 f(x) dx = h 5 f(x j ) j=2 Considero l integrle tr e h. h f(x) dx = h ( f() + x f () + O(x 2 ) ) dx = h f() + h2 2 f () + O(h 3 ) Escludo quindi termini O(h 2 ).

3 Metodo del trpezio x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 L re del trpezio è 1 2 (bse1+bse2) ltezz. Are = 1 2 (f 1 + f 2 ) (x 2 x 1 ) = 1 2 h (f 1 + f 2 ) = f(x) dx h ( 1 2 (f 1 + f 2 ) (f 2 + f 3 )+ 1 2 (f 3 + f 4 ) + 1 ) 2 (f 4 + f 5 ) w 1 = w 5 = h 2 w 2 = w 3 = w 4 = h

4 Per ogni intervllo uso i due vlori estremi per clcolre l integrle, mentre per il rettngolo vlutvo l funzione solo in un punto. f(x) f() + f ()(x ) f(b) f() + f ()(b ) = f () = f(b) f() b f(x) f() + f(b) f() (x ) b f(x) dx = f() h + f(b) f() b (x ) 2 2 b = f() h + f(b) f() (b ) 2 b 2 = (b ) f(b) + f() 2

5 Formul di Simpson 2h f(x) dx = Af() + Bf(h) + Cf(2h) Sviluppo l serie di Tylor e uguglio termine termine f(x) = f() + xf () x2 f () x3 f () x4 f () 2h 2h f(x) dx = 2hf() + 2h 2 f () (2h)3 f () (2h)4 f () (2h)5 f () f(x) dx = 2hf() + 2h 2 f () h3 f () h4 f () h5 f () Uguglindo llo svilluppo del secondo membro

6 ] = Af()+B [f() + hf () + h2 2 f () + h3 6 f () + h4 24 f iv () [ ] +C f() + 2hf () + 2h 2 f () h3 f () h4 f iv () [ ] B = (A+B+C)f()+h(B+2C)f ()+h C f () [ 1 + h 3 6 B + 4 ] [ 1 3 C f () + h 4 24 B + 2 ] 3 C f iv () Poiché f(x) è rbitrri devono esere uguli i termini che moltiplicno le derivte dello stesso ordine: 1. A + B + C = 2h 2. h(b + 2C) = 2h 2 3. h 2 ( 1 2 B + 2C) = 4 3 h3 4. h 3 ( 1 6 B C) = 2 3 h4 5. h 4 ( 1 24 B C) = 4 15 h5

7 Le prime tre equzioni sono un sistem di 3 equzioni in 3 incognite. 1)A + B + C = 2h 2)h(B + 2C) = 2h 2 3)h 2 ( 1 2 B + 2C) = 4 3 h3 Sottrendo h volte 2) d 3) ottengo: h 2 C = 1 3 h3 C = h 3 B = 2h 2 3 h = 4 3 h A = 2h 4 3 h 3 h = 1 3 h A = C = 1 3 h B = 4 3 h

8 Considero or l qurt equzione: B + 8C = 4h con B = 4 3 h e C = 1 3 h 4 3 h h = 12 3 h = 4h L equzione è soddisftt. L quint equzione non è invece soddisftt e l errore è perciò O(h 5 ). L formul di Simpson integr esttmente i polinomi di grdo non superiore l terzo. 2h x 3 dx = x 4 4 2h = 24 h 4 4 = 4h4 1 3 hf(x = ) hf(x = h) + 1 hf(x = 2h) 3 = h h4 = 12 3 h4 = 4h 4

9 Considero il cso di N intervlli tr e b prendo x 1, x 2,..., x n spziti di h e si f(x i ) = f i. Prendo tnti intervllini di mpiezz 2h. f(x) dx = +2h +4h f(x) dx+ + + b 2h +2h f(x) dx +6h f(x) dx+ f(x) dx +4h f(x) dx = h ( 1 3 f f f ( 3) + h 1 3 f f f ) 5 +h ( 1 3 f N f N f ) N ( 1 f(x) dx = h 3 f f f f N + 1 ) 3 f N

10 Metodo di Guss Fino d or mi sono bsto sullo sviluppo in serie di Tylor per trovre formule sempre più ccurte di integrzione. Migliorndo le formule potevo integrre polinomi di ordine sempre crescente. Cerco un formul che, dto un numero finito di punti, si estt per i polinomi di grdo più lto possibile. Finor le formule hnno usto punti equispziti. Se uso l rbitrrietà che ho ncor nello scegliere x j posso trovre formule che integrno polinomi di grdo più lto. Considero solo integrli tr e 1. Ogni ltro integrle su di un intervllo finito può essere ricondotto questo con un cmbio di vribili. Se suppongo di conoscere i punti x j dove viene vlutt l funzione, posso rislire i pesi w j per i quli deve essere moltiplicto p(x j ) per rendere estto l integrle. Il sistem di N equzioni in N incognite w j p(x)dx = N w j p(x j ) j=1 d un soluzione unic se si conderno i primi N monomi 1, x, x 2, x 3,..., x N e le loro combinzioni lineri, quindi tutti i polinomi di grdo inferiore N.

11 Posso llor usre l scelt degli x j per integrre nche polinomi di grdo superiore. Definisco i polinomi di Legendre P n (x). P (x) = 1 P 1 (x) = x np n (x) = (2n 1)xP n (x) (n 1)P n 2 (x) Per n = 2: 2P 2 (x) = 3xP 1 (x) P (x) = 3x 2 1 = P 2 (x) = 3 2 x2 1 2 Se p(x) è un polinomio di grdo 2N 1 posso scrivere p(x) = q(x)p N (x) + r(x) dove q(x) e r(x) sono rispettivmente quoziente e resto, entrmbi di grdo N 1. Ne segue in prticolre che: p(x) dx = q(x)p N (x) dx + r(x) dx

12 Sfrutto or un prticolre proprietà dei polinomi di Legendre, quell di essere ortogonli tutti i polinomi di grdo inferiore, cioè q(x)p N (x) dx = se q(x) è di grdo inferiore N p(x) dx = r(x) dx = N w k r(x k ) k=1 L integrzione del polinomio di grdo 2N 1 è ridott quell di un polinomio di grdo N 1, che però non conosco. Uso l rbitrrietà nello scegliere x j per liberrmi di r(x) Poiché p(x) = q(x)p N (x) + r(x) Scelgo per x j i vlori degli N zeri di P N (x), che esistono e sono reli. Allor, dto che trovo p(x j ) = q(x j )P N (x j ) + r(x j ) = r(x j )

13 p(x) dx = N w k r(x k ) = k=1 N w k p(x k ) k=1 x k e w k questo punto non dipendono d p(x), q(x) e r(x), m solo d P N (x) che sono funzioni fisste qundo si sceglie N e sono tbulte un volt per tutte. Per un generic funzione f(x) si scriverà: f(x) dx = N w k f(x k ) k=1 Quest formul N punti è estt per polinomi fino l grdo 2N 1. Integr bene funzioni polinomili o che ssomiglino polinomi. Non v ust con funzioni come: e x ed e x2 Per estremi di integrzione qulsisi uso un cmbimento di vribile f(x) dx x = + b 2 + b 2 y con y 1, dx = b dy ottengo 2 f(x) dx = b 2 f( + b 2 + b y) dy 2

14 Metodi gussini per funzioni non polinomili Se devo integrre un funzione del tipo x n exp( x 2 ) il metodo visto prim non si prest. Però è possibile estenderlo in modo d poter integrre con precisione quest funzione, purché si usini i polinomi di Hermite l posto di quelli di Legendre. L formul d integrzione è llor N exp( x 2 )f(x) = wi H f(x H i ) dove x H i sono or gli zeri dei polinomi di Hermite che sono definiti d i=1 H (x) = 1 H 1 (x) = 2x H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n e che hnno l proprietà exp( x 2 )H n (x)h m (x) = 2 n n! πδ n,m Esistono formule per integrre funzioni del tipo exp( x)p(x) con i polinoni di Lguerre e p(x) 1 x 2 con i polinomi di Chebychev

15 Esercizi Scrivere un progrmm che clcoli sin(x) x dx Scrivere un progrmm che clcoli e x2 /2 dx Scrivere un progrmm che verifichi che l errore nel metodo di Simpson è O(h 5 )