Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 10 - Integrazione numerica

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1 Complementi di Mtemtic e Clcolo Numerico A.A Lbortorio 10 - Integrzione numeric Dt un funzione f vlori reli per pprossimre b fornisce l funzione predefinit integrl Sintssi: q=integrl(f,,b) input: f funzione integrnd, b estremi di integrzione output: q pprossimzione dell integrle f(x)dx, Mtlb il vlore pprossimto q viene clcolto cercndo di portre gli errori ssoluto e reltivo commessi l di sotto di tollernze fisste che per defult sono 1e-10 per l errore ssoluto e 1e-6 per quello reltivo. Esercizio 1 Approssimre l integrle cos(10x)e sin(10x) dx (= esin(100) e sin(100) ) 10 con l funzione integrl di Mtlb. Clcolre l errore ssoluto e l errore reltivo e verificre che corrispondno ll precisione di defult.

2 Per modificre uno o entrmbi i vlori di defult delle tollernze si segue l sintssi: q=integrl(f,,b, AbsTol,vl1, RelTol,vl2) dove vl1 e vl2 sono i nuovi vlori rispettivmente dell tollernz per l errore ssoluto e per quello reltivo. Not Bene: integrl cerc di soddisfre si l tollernz per l errore ssoluto che per quello reltivo m non necessrimente le soddisf entrmbe. Più precismente integrl cerc di soddisfre q - I <= mx(abstol,reltol* q ) dove I denot il vlore estto dell integrle e q quello pprossimto quindi second dell scelt delle tollernze srà grntito che uno dei due errori reltivo o ssoluto si sotto l tollernz scelt, il che non signific che non possno esserlo entrmbi. Esercizio 2 Ripetere ltre due volte l Esercizio 1 modificndo le tollernze per l errore ssoluto e reltivo nel modo seguente: ) AbsTol= 1e-1 RelTol=1e-6 b) AbsTol= 1e-16 RelTol=1e-8 Clcolre gli errori ssoluto e reltivo e confrontre i risultti ottenuti nei vri csi incluso quello di defult. Si osserv che nel cso ) solo l errore ssoluto scende sotto l tollernz indict e gli errori risutno mggiori rispetto l cso di defult; Nel cso b) solo l errore reltivo scende sotto l tollernz richiest e gli errori risultno minori rispetto l cso di defult; 2

3 Formule di qudrtur semplici per pprossimre b f(x)dx sono d esempio: I pm (f) = (b )f( +b 2 ) Punto medio I t (f) = (b ) 2 (f()+f(b)) Trpezi I sim (f) = (b ) 6 (f()+4f( +b 2 )+f(b)) Cvlieri Simpson Def: Un formul di qudrtur I si dice che h grdo di precisione p se è estt per polinomi di grdo minore o ugule p, ovvero I(f) = b f(x)dx f P p Le formule del punto medio e dei trpezi hnno grdo di precisione 1, l formul di Simpson h grdo di precisione 3. Esercizio 3 Assegnti i seguenti integrli: 5 2 7x 5dx; 5 2 5x 2 3x+8dx; 5 2 3x 3 2x 2 +5x 1dx scegliere in mnier pproprit un tr le seguenti formule di qudrtur semplici: punto medio, trpezi e Simpson e clcolre gli integrli indicti. Confrontre il risultto con l soluzione estt clcolt utilizzndo il comndo polyint. 3

4 Formule di qudrtur composite Scegliendo un prtizione dell intervllo di integrzione in fissti sottointervlli = x 1 < x 2 < < x m+1 = b e sfruttndo l dditività dell integrle rispetto l dominio di integrzione ovvero b n xi+1 f(x)dx = f(x)dx i=1 si generno formule composite pplicndo un formul di qudrtur semplice su ogni sottointervllo dell prtizione dt. Formul dei trpezi composit f(x)dx con l formul dei trpezi composit, si considerno i punti di coordinte (x k,y k ), x 1 = x 2 x m+1 = b, y k = f(x k ) e si clcol l quntità: Per pprossimre b I c T = m k=1 x i h k 2 (y k +y k+1 ) dove h k = (x k+1 x k ), k = 1,...m Mtlb fornisce un funzione di libreri che implement tle metodo: Sintssi: q=trpz(x,y) input: x nodi di qudrtur y = f(x) funzione integrnd nei nodi di qudrtur output: q pprossimzione dell integrle 4

5 Esercizio 4 Si pprossimino i seguenti integrli (tr prentesi i vlori estti): π/2 0 sin(x) dx (= 1) cos(x)esin(x) dx (= e sin(10) e sin(10) ) A tl scopo si consideri un suddivisione dell intervllo di integrzione[, b] in m sottontervlli di ugule mpiezz H = b m e si utilizzi il metodo dei trpezi compositi per diversi vlori di m = 10, 100, 1000, Per ogni integrle si clcoli l errore ssoluto e si compili l seguente tbell Si verifichi che l errore è O(H 2 ). m H Errore ssoluto

6 Formul del punto medio composit Per pprossimre b f(x)dx con l formul del punto medio composit, possimo suddividere l intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli diugulempiezzh = b m individutidipuntix k = +(k 1)H, k = 1,...,m+1 e clcolre l quntità: m IPM c = H f(x k + H 2 ), k=1 (Si osservi che l funzione integrnd v vlutt nei punti medi dei sottointervlli di mpiezz H). Esercizio Si scriv un funzione Mtlb con l sintssi indict che implementi l formul del punto medio composit su m sottointervlli di ugule mpiezz.. Sintssi: q=pmedc(,b,m,f) input:, b estremi di integrzione m f numero dei sottointervlli funzione integrnd output: q pprossimzione dell integrle 6

7 Metodo di Cvlieri Simpson composit Per pprossimre b f(x)dx con l formul di Cvlieri-Simpson composit, possimo suddividere l intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli di ugule mpiezz H = b m individuti di punti x k = + (k 1)H, k = 1,...,m+1 e clcolre l quntità: [ ] ISIM c = H m m f(x 1 )+2 f(x k )+4 f(x k + H 6 2 )+f(x m+1) k=2 (Si osservi che l funzione integrnd v vlutt si negli estremi che nei punti medi dei sottointervlli di mpiezz H). Esercizio Si scriv un funzione Mtlb con l sintssi indict che implementi l formul di Cvlieri Simpson composit su m sottointervlli di ugule mpiezz.. Sintssi: q=simpsc(,b,m,f) input:, b estremi di integrzione k=1 m f numero dei sottointervlli funzione integrnd output: q pprossimzione dell integrle 7

8 Esercizio 5 Si considerino i seguenti integrli (tr prentesi i vlori estti): 2( 1 1 x +ex) dx (= log(2)+e 2 e) x 2 dx (= rctn(5)) e si ripet qunto richiesto nell Esercizio 4 m utilizzndo i codici sviluppti per i metodi del punto medio e di Simpson compositi. Si clcoli il vlore ssoluto dell errore commesso e si compili l seguente tbell per ciscun integrle e ciscun metodo. m H Errore ssoluto Siverifichichel erroreèo(h 2 )perilmetododelpuntomedioechel errore è O(H 4 ) per il metodo di Simpson, con H = b m. 8