Calcolo Numerico I - A.A Laboratorio 7 - Approssimazione di integrali

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1 Clcolo Numerico I - A.A Lbortorio 7 - Approssimzione di integrli π sin(x) dx(= 2) Integrli proposti cos(x)exp(sin(x)) dx(= exp(sin(10)) exp(sin( 10))) 1 dx(= tn(5) tn( 5)) 1 + x2 Metodo dei trpezi composito Sino x k per k = 1,... m + 1 i punti dell suddivisione dell intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli di ugule mpiezz H = (b )/m. L formul dei trpezi compositi si ottiene pprossimndo l funzione integrnd f in ogni sottointervllo k = 1,..., m con il polinomio di grdo 1 che interpol f nei nodi x k e x k+1, estremi dell intervllo k-esimo f(x) dx H m (f(x k ) + f(x k+1 )). 2 k=1

2 Mtlb implement il metodo dei trpezi composito nell built in function Itr=trpz(x,y), dove le scisse x e le ordinte y sono ottenute dl comndo >>x=linspce(,b,m+1) >>y=fun(x); % fun: inline function contenente f(x) essendo m il numero di sottointervlli utilizzti. Esercizio. Si pprossimi con il metodo dei trpezi composito il vlore degli integrli proposti e si verifichi che l errore è O(H) 2. Metodo di Cvlieri-Simpson composito Sino ncor x k per k = 1,... m + 1 i punti dell suddivisione dell intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli di ugule mpiezz H = (b )/m. L formul di Cvlieri-Simpson composit si ottiene pprossimndo l funzione integrnd f in ogni sottointervllo k = 1,..., m con il polinomio di grdo 2 che interpol f nei nodi x k e x k+1, estremi dell intervllo k-esimo e nel punto medio di tle intervllo x k+1 H/2 f(x) dx H 6 [f(x 1)+f(x m+1 )+2 m m+1 f(x k )+4 (f(x k ) H/2)]. k=2 Si implementi tle metodo nell funzione Mtlb Ics=cv simpson(fun,,b,m); 2 k=2

3 dove fun rppresent l inline function dell funzione integrnd,,b sono gli estremi di integrzione e m il numero di sottointervlli. Esercizio. Si pprossimi con il metodo di Cvlieri-Simpson composito il vlore degli integrli proposti e si verifichi che l errore è O(H) 4. Metodi dei Trpezi e di Simpson dtttivi Esercizio. Si scriv l function trp dttivo che, prtendo d un numero di sottointervlli m = 1, pprossimi f(x)dx con l formul dei trpezi composit e itertivmente rddoppi il numero di sottointervlli m 2m fino qundo l errore stimto I 2m I m si minore di un tollernz prefisst. Si usi l intestzione dell function function [Itrp,m]=trp_dttivo(,b,fun,mmx,toll) dove,b,fun sono, rispettivmente, gli estremi di integrzione e l funzione integrnd toll è l tollernz prefisst (per esempio toll = 1e-4) mmx è il numero mssimo di suddivisioni (per esempio mmx = 15 che permette fino m = 2 mmx intervlli) e dove 3

4 Itrp è il vlore pprossimto dell integrle m è il numero di suddivisioni. Si testi il codice sugli esempi di riferimento e si confronti l errore stimto con l errore rele commesso. Not. Mtlb offre il comndo I=qud(f,,b,toll) che implement il metodo di Simpson dttivo (più furbo del precedente!). In un metodo dttivo l suddivisione dell intervllo di integrzione è costruit dinmicmente dl metodo in modo d cercre fornire un errore inferiore d un stim volut. Esercizio. Si pprossimino gli integrli degli esempi di riferimento con il comndo Mtlb qud usndo l precisione 1e-10. Si verifichi qul è l errore effettivmente commesso. Qudrtur di Guss Legendre L formul di qudrtur di Guss Legendre si può esprimere come n f(x) dx w i f(z i ) i=1 4

5 dove z i e w i, i = 1,..., n sono, rispettivmente, i nodi e i pesi di Guss Legendre (già mppti nel generico intervllo [, b]) e clcolbili in Mtlb trmite l funzione zwlegendre. Esercizio. Si pprossimi il vlore dell integrle I j = 1 0 x j dx = 1, j = 1, 2,..., 12, (j + 1) usndo successivmente n = 1, 2,..., 6 nodi di qudrtur. Fino qule vlore di j l formul di qudrtur risult estt l vrire di n? Il risultto è coerente con l teori? 5