Metodi a un passo per problemi ai valori iniziali

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1 Cpitolo 4 Metodi un psso per problemi i vlori inizili 4.1 Metodo di Eulero esplicito e implicito e metodo dei trpezi Si consider il problem differenzile i vlori inizili u (t) = f(t, u(t)) (4.1) u(t 0 ) = u 0 (4.2) Per l risoluzione numeric del problem (4.1) (4.2) si consider l intervllo [t i, t f ] con t 0 [t i, t f ), in cui si vuole clcolre l soluzione e dove si suppone vlgno per l funzione f le condizioni di l esistenz e unicità dell soluzione u(t). Si considerno i punti t 0, t 1, t 2,... distnz predefinit l uno dll ltro, ovvero t 1 = t 0 +, t 2 = t 1 +,... Il termine è detto psso o intervllo di discretizzzione. Un metodo un psso consiste nel clcolre un pprossimzione dell soluzione per t = t 1, t 1 = t 0 +, not l soluzione in t 0 fornit dll condizione inizile; in seguito il metodo clcol l pprossimzione dell soluzione in t 2 = t 1 + vendo clcolto l pprossimzione in t 1. In generle, dunque, un metodo un psso consiste nel clcolre un pprossimzione dell soluzione per t = t n+1 = t n + not un pprossimzione in t n. Si denot con u n un pprossimzione clcolt in t n dell soluzione estt u(t n ). Il più semplice metodo un psso per l risoluzione numeric del problem (4.1) (4.2) è il metodo di Eulero 1. Si consider l equzione (4.1) per t = t 0 u (t 0 ) = f(t 0, u(t 0 )) e si sostituisce il termine sinistr con l pprossimzione in vnti dell derivt e il suo errore di discretizzzione u(t 1 ) u(t 0 ) + O() = f(t 0, u(t 0 )) 1 Si vedno pp. 422 e 271, rispettivmente dei volumi 11 e 12 dell Oper omni, series prim pubblicti d Birkuser, Lipsi, nel 1913 e nel Il metodo di Eulero è nce denominto metodo di Eulero esplicito oppure metodo di Eulero in vnti o metodo dell poligonle di Eulero-Cucy (Cucy, 1840). 37

2 38 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI ovvero 2 u(t 1 ) = u(t 0 ) + f(t 0, u(t 0 )) + O( 2 ) (4.3) Trscurndo il termine in O( 2 ), si u 1 il vlore tle ce ed essendo u 0 = u(t 0 ), L errore commesso l primo psso è u 1 = u(t 0 ) + f(t 0, u(t 0 )) u 1 = u 0 + f(t 0, u 0 ) e 1 = u(t 1 ) u 1 Per clcolre l pprossimzione dell soluzione per t = t 2, llor si L errore commesso nel clcolo di u 2 è u 2 = u 1 + f(t 1, u 1 ) e 2 = u(t 2 ) u 2 Si not ce l errore globle è l somm di due fttori: il primo fttore è l errore locle di troncmento (O()), ovvero l errore ce si commette eseguendo un psso del metodo per il problem con l condizione inizile dt dll soluzione clcolt l psso precedente ed è legto ll errore di discretizzzione dell derivt, il secondo fttore è dovuto ll propgzione dell errore locle di troncmento dei pssi precedenti. L errore e 1 commesso dopo un psso del metodo di integrzione coincide con l errore locle di troncmento. In generle, not un pprossimzione u n dell soluzione u(t) per t = t n, il metodo di Eulero è definito per n = 0, 1,... come u n+1 = u n + f(t n, u n ) (4.4) In generle un metodo un psso può essere scritto nell form u n+1 = u n + Φ(t n, u n, ) (4.5) Per il metodo di Eulero si Φ(t n, u n, ) = f(t n, u n ) Per vlutre l ccurtezz di un metodo numerico (4.5) si deve studirne l errore locle di troncmento e l errore globle. L errore locle di troncmento commesso d un metodo un psso in t n+1, si definisce T n+1 = u(t n+1) u(t n ) Φ(t n, u(t n ), ) (4.6) 2 L formul (4.3) può essere ottenut considerndo lo sviluppo in serie di Tylor dell funzione u(t), i.e.: u(t 1 ) u(t 0 + ) = u(t 0 ) + u (t 0 ) + O( 2 ) e utilizzndo u (t 0 ) = f(t 0, u(t 0 )) oppure integrndo (4.1) medinte l formul dei rettngoli ll funzione f, i.e., t1 t 0 u (t)dt = t1 t 0 f(t, u(t))dt = u(t 1 ) u(t 0 ) = f(t 0, u(t 0 )) + O( 2 ) (si vedno i Complementi l cpitolo - Ricimi sulle formule semplici di integrzione).

3 4.1. METODO DI EULERO ESPLICITO E IMPLICITO E METODO DEI TRAPEZI 39 Quest relzione è frequentemente scritt u(t n+1 ) = u(t n ) + Φ(t n, u(t n ), ) }{{} soluzione clcolt in t n+1 con soluzione estt in t n +T n+1 L errore locle di troncmento T n+1, moltiplicto per il psso, è llor ugule ll differenz tr l soluzione estt u(t n+1 ) e l soluzione clcolt in t n+1 con il metodo un psso prtendo d u(t n ) come vlore inizile in t n. 3 L errore globle è l psso t n dto d In generle: e n = u(t n ) u n un metodo un psso ordine di ccurtezz p se l errore locle di troncmento del metodo è O( p ). Il seguente risultto fornisce un mggiorzione dell errore globle in termini di errore locle di troncmento. Si suppone ce il metodo (4.5) bbi ordine p e si T n σ p 3 In modo equivlente si può definire l errore locle di troncmento T n+1 come T n+1 = u(t n+1; u n ) u n Φ(t n, u n, ) (4.7) dove con u(t n+1 ; u n) si è indict l soluzione estt del problem di Cucy (4.1) con condizione inizile u n. D (4.7)e d (4.5) si ottiene T n+1 = u(t n+1; u n ) u n Φ(t n, u n, ) = u(t n+1; u n ) u n u n+1 u n = u(t n+1; u n ) u n+1

4 40 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI un mggiorzione dell errore locle di troncmento. Si suppone inoltre ce Φ(t, u, ) soddisfi l condizione di Lipscitz rispetto ll vribile u con L Φ costnte di Lipscitz. Allor 4 ( ) u(t n ) u n σp e L Φ(t n t 0 ) 1 L Φ (4.8) Si pplic questo risultto generle per ottenere un mggiorzione dell errore globle per il metodo di Eulero. Se u(t) è derivbile con continuità fino l secondo ordine e dlle differenze finite in vnti si scrive T n+1 = u(t n+1) u(t n ) f(t n, u(t n )) = u(t n+1) u(t n ) u (t n ) ( = u (t n ) + ) 2! u (ξ n ) u (t n ) = 1 2 u (ξ n ) dove ξ n è un punto tr t n e t n+1. Posto σ = 1/2ū con ū = mx t [t0,t f ] u (t) si 5 T n+1 σ (4.9) D (4.9), si vede ce il metodo di Eulero è un metodo del primo ordine. Essendo L l costnte di Lipscitz dell funzione f(t, u), L Φ = L, l formul (4.8) per il metodo di Eulero, divent ( e L(t n t ) 0) 1 e n σ (4.10) L Dll formul (4.8) si vede ce per tendente 0, l errore globle del metodo di Eulero tende zero. Prticmente si procede ssegnndo un tollernz prefisst T OL e scegliendo il psso di integrzione in modo ce l errore, per un certo vlore t n, risulti inferiore ll tollernz prefisst. L formul (4.10) ssicur ce l errore tr l soluzione nlitic (incognit) e l pprossimzione numeric clcolt con il metodo di Eulero rimne inferiore T OL se ( e L(t n t 0) 1 e n σ L ) < T OL = < L σ(e L(tn t0) 1) T OL Nell implementzione l clcoltore di un metodo numerico, i dti reli di un problem e i risultti di operzioni tr numeri reli sono pprossimti con numeri di mccin, introducendo così un errore di rrotondmento e un propgzione dell errore stesso. Supponimo ce ρ 0 si l errore di rrotondmento dovuto ll memorizzzione inestt l clcoltore del vlore inizile u 0 e ce d ogni psso n del metodo si commett un errore ρ n. Si suppone ce ρ n ρ per n = 0, 1, Per l dimostrzione del risultto si ved p. 368 in Iscson E., Keller H.B.: Anlysis of Numericl Metods, Jon Wiley & Sons, New York, 1966 (ripubblicto d Dover Publ. Inc., New York, 1994). nel seguito del cpitolo riferito come Iscson e Keller (1966), oppure p. 318 in Süli E., Myers D.F.: An Introduction to Numericl Anlysis, Cmbridge University Press, Cmbridge, Si not ce con l eccezione di csi elementri, il clcolo dell costnte di Lipscitz non è bnle. Posto g(u) = f/ u, llor l costnte L può essere clcolt medinte lgoritmi per il clcolo del mssimo globle dell funzione g(u) per < u <. Posto invece (t) = df/dt, il vlore ū può essere clcolto medinte lgoritmi per il clcolo del mssimo globle dell funzione (t) per t 0 t t f. 6 Il termine mggiornte ρ è il prodotto di un costnte per l precisione di mccin eps. Si ricord ce un numero rele x, scritto nell notzione posizionle x = 0.d 1 d 2...d t d t+1... β p, con d i cifre dell mntiss (d 1 0) e β l bse, viene pprossimto l clcoltore con il numero finito x = 0.d 1 d 2...d t β p e, l errore reltivo ce si commette è mggiorto dll

5 4.1. METODO DI EULERO ESPLICITO E IMPLICITO E METODO DEI TRAPEZI 41 Allor, il metodo non produrrà u n come pprossimzione dell soluzione in t n, bensì l quntità v n ottenut dl metodo perturbto v n+1 = v n + Φ(t n, v n, ) + ρ n+1 v 0 = u 0 + ρ 0 È possibile fornire un formul nlog 7 ll (4.8) ce mggior l errore tr l soluzione estt u(t n ) e l pprossimzione v n u(t n ) v n σp+1 + ρ ( ) e L Φ(t n t 0 ) 1 + e L Φ(t n t 0 ) u(t 0 ) v 0 (4.11) L Φ Si osservi in figur l dipendenz d dell errore per p = 1 e si noti l presenz di due fttori contrstnti. Qundo il psso è piccolo il termine σ/l Φ dell formul (4.11) è piccolo m cresce il termine ρ/(l Φ ) dovuto ll errore di rrotondmento in qunto vengono effettute più operzioni di mccin; vicevers, qundo il psso è grnde, cresce il termine σ/l Φ m si riduce ρ/(l Φ ) in qunto sono ricieste meno operzioni di mccin. L implementzione del metodo di Eulero è molto semplice. L lgoritmo ce clcol un pprossimzione dell soluzione con il metodo di Eulero nel punto t F o in un punto successivo precisione di mccin, i.e., x x x eps con eps = β 1 t. Il numero rele x può essere un dto del problem o un risultto di un operzione; in qunto il risultto di un operzione tr numeri finiti può non essere un numero finito e necessrimente viene pprossimto con un numero finito. In tl cso, qundo il risultto di un operzione è un dto di un operzione successiv, l errore commesso in precedenz si propg. 7 Per l dimostrzione si ved p. 375 in Iscson e Keller (1966).

6 42 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI (vicino t F meno di ), in linguggio Fortrn, si scrive medinte un ciclo di do red(, ) t0, tf, u0, n = 0; tn = t0; un = u0 5 un = un + f(tn, un) n = n + 1 tn = tn + if(tn.le.tf) goto5 write(, ) tn, un, n stop end Si indic con f un function di due rgomenti reli in cui si memorizz l funzione f del problem. Si consider or l equzione (4.1) per t = t 1 u (t 1 ) = f(t 1, u(t 1 )) e si sostituisce il termine sinistr con l pprossimzione ll indietro dell derivt e il suo errore di discretizzzione ovvero u(t 1 ) u(t 0 ) + O() = f(t 1, u(t 1 )) u(t 1 ) = u(t 0 ) + f(t 1, u(t 1 )) + O( 2 ) Trscurndo il termine in O( 2 ), dunque commettendo un errore locle di troncmento del primo ordine, tenendo conto ce u(t 0 ) = u 0, si il primo psso del metodo di Eulero implicito 8 u 1 = u 0 + f(t 1, u 1 ) Al psso n, il metodo di Eulero implicito si scrive u n+1 = u n + f(t n+1, u n+1 ) (4.12) L importnte differenz tr il metodo di Eulero esplicito e quello implicito è l presenz di u n+1 in mbo i membri dell formul (4.12). Dunque, se si eccettuno csi eccezionli in cui l funzione f(t, u) è esplicitbile rispetto ll vribile u, si clcol u n+1 come soluzione dell equzione non linere (nell vribile u): u = u n + f(t n+1, u) Si vedrnno in seguito, delle tecnice per il clcolo di u n+1 per i metodi impliciti. 9 Si osserv ce nce il metodo di Eulero implicito può essere scritto come un metodo d un psso dell form (4.5), definendo in modo implicito l funzione Φ(t n, u n, ) = f(t n +, u }{{} n + Φ(t n, u n, ) }{{} t n+1 u n+1 ) 8 Il metodo di Eulero implicito viene nce detto metodo implicito o metodo completmente implicito o metodo di Eulero ll indietro. Il metodo di Eulero implicito, come quello esplicito, si può ricvre come sviluppo di Tylor dell funzione u in t rispetto d u ed lle sue derivte in t, oppure, con il metodo di integrzione dei rettngoli tr gli estremi t n e t n+1 dove l funzione f d integrre è vlutt nel secondo estremo. 9 Si ved il cpitolo Sistemi del primo ordine, equzioni implicite e problem dell stiffness.

7 4.1. METODO DI EULERO ESPLICITO E IMPLICITO E METODO DEI TRAPEZI 43 Anlizzimo or, l formul (4.8) per il metodo di Eulero implicito. L errore locle di troncmento è dto d T n+1 = u(t n+1) u(t n ) f(t n+1, u(t n+1 )) = u(t n+1) u(t n ) u (t n+1 ) = 1 2 u (η n ) dove η n è un punto tr t n e t n+1. Allor, come per il metodo di Eulero esplicito (4.9) si T n+1 σ Il metodo di Eulero implicito è un metodo del primo ordine. Per il clcolo dell costnte di Lipscitz del metodo L Φ si osserv ce Φ(t, u, ) Φ(t, v, ) = f(t +, u + Φ(t, u, )) f(t +, v + Φ(t, v, )) dunque, se L < 1, si L u + Φ(t, u, ) (v + Φ(t, v, )) L u v + L Φ(t, u, ) Φ(t, v, ) (1 L) Φ(t, u, ) Φ(t, v, ) L u v Quindi si può definire l costnte di Lipscitz dell funzione Φ ce descrive il metodo L Φ = L (1 L) (4.13) Allor dll formul (4.8), per tendente 0, l errore globle del metodo di Eulero implicito tende zero. Per umentre l ordine di ccurtezz di un metodo d un psso è necessrio ottenere il metodo dll risoluzione numeric dell integrle tr t n e t n+1 medinte formule di integrzione tn+1 tn+1 u (t)dt = f(t, u(t))dt (4.14) t n t n Un metodo d un psso, implicito, con un ccurtezz del secondo ordine è il metodo dei trpezi 10 u n+1 = u n + 2 [f(t n, u n ) + f(t n+1, u n+1 )] (4.15) Il metodo si motiv fcilmente scrivendo u(t n+1 ) u(t n ) = tn+1 t n u (t)dt = tn+1 t n f(t, u(t))dt e pplicndo l formul semplice dei trpezi per integrre l funzione f ce pprossim l re dell regione definit d f in [t n, t n+1 ] con l re del trpezio di ltezz e bsi f(t n, u(t n )) e f(t n+1, u(t n+1 )) si ottiene u(t n+1 ) u(t n ) = 2 [f(t n, u(t n )) + f(t n+1, u(t n+1 ))] + E T (4.16) 10 Si not ce i metodi di Eulero esplicito, implicito e dei trpezi possono essere scritti medinte un formul generle u n+1 = u n + ((1 θ)f(t n, u n ) + θf(t n+1, u n+1 )) con 0 θ 1. Per θ = 0 si ottiene il metodo di Eulero esplicito, per θ = 1 quello di Eulero implicito e per θ = 1/2 il metodo dei trpezi.

8 44 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI Se f C 2 ([t 0, t f ]) llor l errore espressione 11 E T = 3 12 f (η n ) dove η n è un punto (ξ n, u(ξ n )) e ξ n (t n, t n+1 ). Per il metodo dei trpezi si Φ(t n, u n, ) = 1 2 [f(t n, u n ) + f(t n+1, u n+1 )] = 1 2 [f(t n, u n ) + f(t n +, u n + Φ(t n, u n, )] llor, come per il metodo di Eulero implicito, l funzione Φ(t n, u n, ) è definit in form implicit. Dll formul (4.6) e per l (4.16), se u C 3 ([t 0, t f ]), l errore locle di troncmento per il metodo dei trpezi divent T n+1 = u(t n+1) u(t n ) dunque 1 2 [f(t n, u(t n )) + f(t n+1, u(t n+1 ))] = 2 12 f (η n ) = 2 12 u (ξ n ) T n mx t [t 0,t f ] u (t) σ 2 (4.17) Il metodo dei trpezi è dunque un metodo del secondo ordine. Se si vuole utilizzre l formul (4.8) per stimre l errore nell formul dei trpezi, procedendo come per il metodo di Eulero implicito, si ce se L 2 < 1, l costnte di Lipscitz del metodo dei trpezi vle L L Φ = (1 1 2 L) Le formule (4.8) e (4.17) implicno ce l errore globle dell formul dei trpezi è O( 2 ). 4.2 Consistenz e convergenz Nello studio dell pprossimzione numeric di un soluzione dell equzione differenzile (4.1) clcolt medinte un metodo d un psso (4.5), importnz il concetto di consistenz. Si fornisce l seguente definizione: Definizione di consistenz. l equzione differenzile (4.1) se Un metodo numerico d un psso (4.5) è consistente con Φ(t, u, 0) = f(t, u) (4.18) Si osserv ce vle u(t + ) u(t) u (t) per 0 (e u (t) = f(t, u(t)) ) Φ(t, u(t), ) Φ(t, u(t), 0) per 0 dunque, dll definizione (4.6), se un metodo un psso è consistente, l errore locle di troncmento tende zero per tendente zero. 11 Per il clcolo dell errore E T si vedno i Complementi l cpitolo - Ricimi sulle formule semplici di integrzione.

9 4.3. METODI RUNGE KUTTA 45 I metodi di Eulero esplicito e implicito e il metodo dei trpezi sono consistenti. 12 Con il concetto di consistenz si deve introdurre nce il concetto di convergenz dell pprossimzione u n ll soluzione u(t n ). Definizione di convergenz. Un metodo numerico d un psso (4.5) è convergente se u n converge u(t) per n e 0 per ogni t [t 0, t f ] ed ogni condizione inizile u 0 (vedi figur). Si osserv ce dll formul (4.8) si ce se un metodo un psso è consistente, llor è convergente. In reltà è possibile mostrre 13 nce l condizione necessri ovvero ce se un metodo un psso è convergente, llor è consistente. 4.3 Metodi Runge Kutt Il metodo di Eulero esplicito è un metodo del primo ordine di ccurtezz m è estremmente semplice d implementre in qunto per ottenere u n+1 si deve vlutre un volt sol l funzione f in (t n, u n ). I metodi di Runge Kutt clcolno l pprossimzione u n+1 con ordine di ccurtezz mggiore scrificndo l efficienz in qunto vlutno l funzione f in punti intermedi tr (t n, u(t n )) e (t n+1, u(t n+1 )). Si consider l seguente fmigli di metodi espliciti dove u n+1 = u n + [c 1 K 1 + c 2 K 2 ] (4.19) K 1 = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + α, u n + βk 1 ) 12 Il metodo di Eulero esplicito è consistente in qunto Φ(t, u, ) = f(t, u) per ogni dunque nce per = 0 e, dlle espressioni di Φ(t, u, ) per i metodi di Eulero implicito e dei trpezi rispettivmente, si Φ(t, u, 0) = f(t, u). 13 Ad esempio, p. 71 in Henrici P.: Discrete Vrible Metods in Ordinry Differentil Equtions, J.Wiley & Sons Inc., New York, 1962.

10 46 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI dove i prmetri c 1, c 2, α e β devono essere determinti. Si not ce il metodo di Eulero esplicito pprtiene quest fmigli di metodi con c 1 = 1 e c 2 = 0. Comunque, si cercno metodi con lmeno il secondo ordine di ccurtezz. Per l definizione di un metodo un psso, per il metodo (4.19) si Φ(t n, u n, ) = c 1 f(t n, u n ) + c 2 f(t n + α, u n + βk 1 ) e per l definizione di consistenz (4.18) si ce il metodo (4.19) è consistente se e solo se c 1 + c 2 = 1. Per il clcolo dell errore locle di troncmento sono necessrie le derivte di ordine superiore di u(t n ). Per lo sviluppo di Tylor si 14 u (t n ) = f u (t n ) = f t +f u f... = u(t n+1 ) = u(t n )+f+ 2 2 (f t + f u f)+o( 3 ) Nell espressione di Φ(t n, u(t n ), ) si svilupp in serie di Tylor il termine dunque f(t n + α, u(t n ) + βf(t n, u(t n ))) = f + (α)f t + (βf)f u + O( 2 ) L errore locle di troncmento divent Φ(t n, u(t n ), ) = c 1 f + c 2 (f + αf t + βf u f) + O( 2 ) (4.20) T n+1 = u(t n+1) u(t n ) Φ(t n, u(t n ), ) = f + 2 (f t + f u f) + O( 2 ) Φ(t n, u(t n ), ) (per lo sviluppo di Tylor di u(t n+1 )) = f + 2 (f t + f u f) + O( 2 ) [ c 1 f + c 2 (f + αf t + βf u f) + O( 2 ) ] (per l formul (4.20)) = f + 2 (f t + f u f) + O( 2 ) (c 1 + c 2 )f c 2 (αf t + βf u f) + O( 2 ) dunque, ffincè il metodo (4.19) si del secondo ordine deve essere c 1 + c 2 = 1 α = β c 2 α = 1 2 Il metodo d un psso (4.19) si dice metodo di Runge Kutt esplicito due stdi. Sono metodi di Runge Kutt espliciti due stdi di ordine 2 i seguenti 15 u n+1 = u n + 2 [f(t n, u n ) + f(t n+1, u n + f(t n, u n ))] c 1 = c 2 = 1 ; α = 1 metodo di Eulero migliorto o metodo di Heun (Heun, 1900) 2 u n+1 = u n + [f(t n + 2, u n + 2 f(t n, u n ))] c 1 = 0; c 2 = 1; α = 1 2 metodo di Eulero modificto o metodo dell poligonle migliorto u n+1 = u n + 4 [f(t n, u n ) + 3f(t n + 2 3, u n f(t n, u n ))] c 1 = 1 4 ; c 2 = 3 4 ; α = Per semplicità di notzione si us f per indicre f(t n, u(t n )) e così nce per le derivte, d esempio con f t si indic f t(t n, u(t n)). 15 Si ved Colltz L.: Te Numericl Tretment of Differentil Equtions, 3rd edition, Springer, Berlin, 1960.

11 4.3. METODI RUNGE KUTTA 47 Con procedimenti nlogi si possono costruire metodi di Runge Kutt espliciti di ordine superiore. Il clssico metodo di Runge Kutt, esplicito, quttro stdi, del qurto ordine, è il seguente (Runge, 1895; Kutt, 1901) con 16 u n+1 = u n + 6 [K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ] (4.21) K 1 = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + 2, u n + 2 K 1) K 3 = f(t n + 2, u n + 2 K 2) K 4 = f(t n +, u n + K 3 ) Nell tbell seguente sono confrontti, prità di numero di vlutzioni dell funzione f(t, u(t)), lcuni metodi di Runge Kutt per il problem cmpione { u (t) = u(t) + 1 u(0) = 0 In tbell si riport il vlore dell soluzione clcolt con i metodi di Eulero, di Eulero modificto e con il metodo (4.21) (riferito come Runge-Kutt 4 ) e dell soluzione estt. Si not ce l errore globle è dello stesso ordine dell errore locle di troncmento. Eulero Eulero modificto Runge Kutt 4 sol. estt t = = 0.05 = In generle i metodi Runge Kutt q stdi nno espressione q u n+1 = u n + c j K j j=1 in prticolre si nno i metodi di Runge Kutt espliciti con K 1 = f(t n, u n ) j 1 K j = f(t n + α j, u n + β ji K i ) j 1 α j = i=1 β ji i=1 j = 2,..., q j = 2,..., q 16 Si not ce se f(t, u) non dipende d u, llor K 2 = K 3 e il metodo di Runge-Kutt (4.21) si riduce ll regol di Simpson per l integrzione numeric tr t n e t n+1. Poicé l errore di integrzione con l regol di Simpson è O( 5 ), il metodo (4.21) è del qurt ordine.

12 48 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI ed i metodi di Runge Kutt impliciti 17 con q K j = f(t n + α j, u n + β ji K i ) α j = q i=1 β ji i=1 j = 1,..., q j = 1,..., q Come si è visto nel cso dei metodi di Runge Kutt due stdi, l consistenz per un metodo q stdi, è soddisftt se vle l condizione q c j = 1 j=1 Il metodo di Eulero implicito e il metodo dei trpezi sono metodi di Runge Kutt impliciti 18 due stdi di ordine di ccurtezz uno e due rispettivmente. Tutti i metodi un psso sono metodi di Runge Kutt. Si potrebbe pensre, llor, ce umentndo gli stdi di un metodo di Runge Kutt umenti nce l ordine di ccurtezz. Per i metodi di Runge Kutt espliciti vle il risultto di Butcer (1965) ce leg il numero q di vlutzioni dell funzione con l ordine di ccurtezz p in cui si evidenzi ce non è conveniente usre metodi con q elevto (vedi tbell). q p per q 8 si p q Controllo del psso per i metodi Runge Kutt È possibile modificre il prmetro di discretizzzione d ogni psso generndo i metodi Runge Kutt psso vribile. Tli metodi modificno il psso utilizzndo un criterio di controllo sull stim dell errore locle di troncmento. Si n = t n+1 t n, e si T n+1 l errore locle di troncmento in t n+1 commesso d un metodo di ordine p e u n+1 l soluzione clcolt. 17 I metodi di Runge Kutt impliciti si ottengono integrndo l funzione f(t, u(t)) tr t n e t n+1 medinte l integrzione gussin (qudrtur gussin). Si ved, d esempio II.7 in Hirer E., Wnner G., Nørsett S.P.: Solving Ordinry Differentil Equtions I. Nonstiff Problems, Second Edition, Springer, Berlin, oppure 6.3 in Deuflrd P., Bornemnn F.: Scientific Computing wit Ordinry Differentil Equtions, Springer, New York, L ide di usre l formul di qudrtur di Guss per l integrzione di equzioni differenzili risle Hmmer e Hollingswort (1955). 18 Il metodo di Eulero implicito e il metodo dei trpezi si ottengono dll espressione di un metodo di Runge Kutt due stdi implicito con u n+1 = u n + c 1 K 1 + c 2 K 2 K 1 = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + α 2, u n + β 21 K 1 + β 22 K 2 ) e con c 1 + c 2 = 1 e α 2 = β 21 + β 22, ponendo c 1 = 0, c 2 = 1 e α 2 = 1, β 21 = 0, β 22 = 1 per il metodo di Eulero implicito e c 1 = c 2 = 1 2 e α 2 = 1, β 21 = β 22 = 1 per il metodo dei trpezi. 2

13 4.3. METODI RUNGE KUTTA 49 Si ce (cfr. (4.7)) n T n+1 = u(t n+1 ; u n ) u n+1 (4.22) dove u(t n+1 ; u n ) è l soluzione estt del problem di Cucy con condizione inizile ugule u n. Dunque vle ce n T n+1 = p+1 n ψ(t n, u n ) + O( p+2 n ) (4.23) con ψ funzione dipendente d t n e d u n (d esempio, per il metodo di Eulero si ψ(t n, u n ) σ, con σ l costnte dell formul (4.9)). L errore globle espressione e n+1 = u(t n+1 ) u n+1 = u(t n+1 ) u(t n+1 ; u n ) + u(t n+1 ; u n ) u n+1 = u(t n+1 ) u(t n+1 ; u n ) + n T n+1 (4.24) Il termine u(t n+1 ) u(t n+1 ; u n ) descrive l errore dovuto ll propgzione dell errore locle di troncmento nei pssi precedenti e se ssumimo ce l soluzione si sintoticmente stbile rispetto ll vrizione delle condizioni inizili, llor si ce u(t n+1 ) u(t n+1 ; u n ) << e n+1 (4.25) Dunque, dlle formule (4.24) e (4.25), per stimre l errore globle si cerc un stim dell errore locle di troncmento. Si ũ n+1 l soluzione clcolt in t n+1 con un metodo un psso di ordine p con p > p; si ssume p = p + 1. Si pone est n+1 = ũ n+1 u n+1 (4.26) e indicndo con T n+1 l errore locle di troncmento ce si commette clcolndo l soluzione ũ n+1 in t n+1, si può scrivere est n+1 = (u(t n+1 ; u n ) u n+1 ) (u(t n+1 ; u n ) ũ n+1 ) = n T n+1 n Tn+1 = n T n+1 + O( p+2 n ) (4.27) Dunque est n+1 è un stim sintoticmente corrett dell errore locle di troncmento per il psso n. D (4.23) si est n+1 = n T n+1 + O( p+2 n ) = p+1 n ψ(t n, u n ) + O( p+2 n ) (4.28) Per il clcolo del psso n, si sceglie il criterio ssoluto est n+1 T OL (4.29) dove T OL è un tollernz prefisst. Il criterio (4.29) è cimto criterio dell errore per psso (error per step (EPS)). Se l condizione (4.29) non è soddisftt, si clcolno u n+1 e ũ n+1 (e dunque est n+1 d (4.26)) con un psso n ridotto di un prmetro di riduzione α (α < 1). Se si sceglie Si ved p. 115 in α = ( ) 1 T OL p+1 est n+1 (4.30) Smpine L.F., Gordon M.K.: Computer Solution of Ordinry Differentil Equtions. Te Initil Vlue Problem, W.H. Freemn & Co., Sn Frncisco, 1975.

14 50 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI llor α è pprossimtivmente il più grnde vlore per cui il criterio (4.29) viene soddisftto. Inftti, sostituendo α n d n, l nuov differenz est [2] n+1 tr le soluzioni ũ n+1 e u n+1 clcolte con psso α n, espressione (vedi (4.28)) est [2] n+1 = α p+1 p+1 n ψ(t n, u n ) + α p+2 O( p+2 n ) = α p+1 ( p+1 n ψ(t n, u n ) + O(α p+2 n )) = α p+1 ( p+1 n ψ(t n, u n ) + O( p+2 n )) = α p+1 est n+1 Dunque l scelt (4.30) di α, soddisf est [2] n+1 = αp+1 est n+1 τ Se l condizione (4.29) è soddisftt, si clcol l nuov stim est n+2 (medinte (4.26) con n + 2 l posto di n + 1) con un psso n+1 incrementto rispetto l psso n di un prmetro α, (α > 1), n+1 = α n. Si può mostrre ce l scelt (4.30) permette di soddisfre il criterio di controllo del psso (4.29) nce per est n Il criterio (4.29) può essere sostituito dl criterio ssoluto dell errore per unità di psso (error per unit step (EPUS)) oppure reltivo est n+1 n T OL oppure est n+1 T OL n t f t 0 est n+1 n u n+1 T OL oppure est n+1 T OL n u n+1 t f t 0 Il metodo più noto psso vribile è il metodo Runge Kutt Felberg (Felberg, 1970) ce us due metodi di Runge Kutt espliciti di ordine 4 e 5 ( quttro e sei stdi rispettivmente). Nelle formule del metodo i prmetri K j dei metodi di Runge Kutt di ordine 4 e 5 sono selezionti in modo d usre solo sei vlutzioni di funzioni, ovvero il metodo di ordine 4 us quttro (dei sei) livelli K j del metodo di ordine 5 m con pesi c j diversi. Il metodo è stto implementto 21 in linguggio Fortrn nell routine RKF Dll formul (4.28) per est n+2 si ottiene est n+2 = p+1 n+1 ψ(t n+1, u n+1 ) + O( p+2 n+1 ) Sviluppndo in serie di Tylor l funzione ψ, si ce ψ(t n+1, u n+1 ) = ψ(t n, u n ) + O( n ), dunque Allor (4.30) implic est n+2 T OL. 21 Si ved 6.8 in est n+2 = (α n ) p+1 ψ(t n, u n ) + O( p+2 n ) = α p+1 est n+1 Forsyte G.E., Mlcolm M.A., Moler C.B.: Computer Metods for Mtemticl Computtions, Prentice-Hll Inc., Englewood Cliffs NJ, oppure in Jonson L.W., Riess R.D.: Numericl Anlysis, Second Edition, Addison Wesley, Reding MA, I metodi così generti sono nce detti metodi di Runge Kutt inglobti (embedded Rung Kutt metods) e in generle pplicno un metodo Runge-Kutt di ordine p ed uno di ordine p + 1 utilizzndo il minore numero di livelli possibili.

15 4.3. METODI RUNGE KUTTA 51 Un metodo ce utilizz due metodi di Runge-Kutt impliciti, uno di ordine 5 l ltro di ordine 3, con controllo dttivo del psso, è implementto nei linguggi Fortrn e Mtlb nel codice RADAU5 d Hirer e Wnner (1991). 22 In mbiente Mtlb sono implementti due risolutori ode23 (Bogcki e Smpine, 1989) e ode 45 (Dormnd e Prince, 1980) ce utilizzno, rispettivmente, i metodi di Runge-Kutt espliciti di ordine 2 e 3 e i metodi di ordine 4 e 5 con controllo del psso. Nel cso dei metodi di Runge-Kutt di ordine 4 e 5, il metodo implementto in Mtlb di Dormnd e Prince differisce dl metodo di Felberg in qunto utilizz 7 livelli K j con l ultimo livello ugule l primo del psso successivo Il codice RADAU5 utilizz l formul di qudrtur di Rdu per il clcolo dei punti di vlutzione dell funzione f nelle formule di Runge-Kutt. Si ved l referenz Hirer E., Wnner G.: Solving Ordinry Differentil Equtions II. Stiff nd Differentil-Algebric Problems, Second Edition, Springer, Berlin, e il sito ttp:// irer/softwre.tml 23 Nelle prime versioni di Mtlb, il codice ode45 implementv il metodo di Felberg. Dll versione Mtlb 5, ode45 si bs sul metodo di Dormnd e Prince. Altri codici in linguggio Fortrn ce usno metodi di Runge-Kutt inglobti sono DVERK (Hull, Enrigt e Jckson, 1975) e RKSUITE (Brnkin, Gldwell e Smpine, 1992).

16 52 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI 4.4 Complementi l cpitolo - Ricimi sulle formule semplici di integrzione Si f(x) un funzione vlori reli definit su un intervllo ciuso e limitto [, b]; si suppone di dover vlutre l integrle di f I = f(x)dx Nel cso in cui f(x) si un funzione continu, il teorem fondmentle del clcolo integrle ssicur l esistenz su [, b] di un funzione F (x), dett primitiv di f(x), tle ce I = F (b) F () Tuttvi non sempre l F (x) è esprimibile in termini di funzioni elementri, 24 ed nce qundo questo è possibile, il clcolo di F (b) ed F () può essere oneroso. Per questo motivo è importnte disporre di metodi numerici per il clcolo pprossimto dell integrle. Considerimo f(x) funzione continu su [, b] ciuso e limitto. Poicé l integrle di f(x) rppresent l re dell regione definit dll funzione f(x), un semplice pprossimzione dell integrle è quell ottenut dll re del rettngolo di bse [, b] e di ltezz f(); si dunque l seguente formul dei rettngoli dove f(x)dx = I R + E R I R = f()(b ) Se si suppone l funzione f C 1 ([, b]), l errore E R ce si commette qundo si pprossim l integrle di f con I R espressione E R = (b )2 f (η) η [, b] 2 Inftti, dl teorem fondmentle del clcolo integrle F (x) F () = x f(ξ)dξ ovvero F (x) = f(x) dunque f C 1 ([, b]) implic F C 2 ([, b]). Dll formul di Tylor si llor F (b) = F () + (b )F () + f(x)dx = (b )f() + (b )2 F (η) η [, b] 2 (b )2 f (η) 2 Se si pprossim l re dell regione definit dll funzione f(x), con l re del trpezio le cui bsi vlgono rispettivmente f() e f(b) e l cui ltezz vle b, si ottiene l formul dei trpezi ce pprossim l integrle di f 24 Si ved f(x)dx = I T + E T Grdsteyn I.S., Ryzik I.W.: Tble of Integrls, Series nd Products, Acdemic Press, New York, per un rccolt complet di integrli.

17 4.4. COMPLEMENTI AL CAPITOLO - RICHIAMI SULLE FORMULE SEMPLICI DI INTEGRAZIONE53 con I T = b (f() + f(b)) 2 Per qunto concerne l errore E T ce si commette qundo si pprossim l integrle di f con I T, se l funzione f C 2 ([, b]) si può dimostrre 25 ce vle E T = (b )3 f (η) η [, b] 12 Si osserv ce nel cso dell formul dei rettngoli e dei trpezi si è pprossimt l funzione f(x), rispettivmente, con l funzione costnte y = f() e con l rett pssnte per i punti (, f()) e (b, f(b)). Se si consider l formul di Lgrnge per il clcolo dell rett pssnte per i punti (x 0, f(x 0 )) e (x 1, f(x 1 )) con x 0 = e x 1 = b, si p 1 (x) = f(x 0 )l 0 (x) + f(x 1 )l 1 (x) con Dunque, l 0 (x) = x x 1 x 0 x 1 l 1 (x) = x x 0 x 1 x 0 f(x)dx = p 1 (x)dx + E T = x1 x 0 x1 = f(x 0 ) x 0 l 0 (x)dx + f(x 1 ) = f(x 0 )w 0 + f(x 1 )w 1 + E T (f(x 0 )l 0 (x) + f(x 1 )l 1 (x))dx + E T x1 x 0 l 1 (x)dx + E T con e w 0 = w 1. w 0 = w 1 = x1 x x 1 dx = x 1 x 0 x 0 x 0 x 1 2 x1 x x 0 dx = x 1 x 0 x 0 x 1 x 0 2 Si vuole or pprossimre l funzione f(x) con l prbol pssnte per i punti (, f()), (c, f(c)) e (b, f(b)) con c punto di mezzo tr e b, i.e., c = ( + b)/2. Costruimo or l prbol pssnte per questi tre punti. Si denotno con x 0, x 1 e x 2 rispettivmente i punti, c, b. Il polinomio p 2 (x) di grdo 2 e pssnte per i punti (x i, f(x i )), i = 0, 1, 2 può essere clcolto medinte l formul (formul di Lgrnge) p 2 (x) = f(x 0 )l 0 (x) + f(x 1 )l 1 (x) + f(x 2 )l 2 (x) 25 Definimo con p 1 (x) l rett pssnte per i punti (, f()) e (b, f(b)). Dll espressione del resto per il polinomio di interpolzione di grdo n si ce con η [, b]. Dunque f(x) p 1 (x) = (x )(x b) f (η) 2 (x )(x b) E T = f (η)dx = f (η) (x 2 xb x + b)dx = 1 2 f (η) 2x3 3x 2 b 3x 2 + 6bx x=b (b )3 x= = f (η) 6 12

18 54 CAPITOLO 4. METODI A UN PASSO PER PROBLEMI AI VALORI INIZIALI dove l 0 (x), l 1 (x) e l 2 (x) sono polinomi di secondo grdo così definiti: l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) Dunque l integrle I di f(x) tr gli estremi e b può essere pprossimto dll formul di Cvlieri-Simpson (o formul di Simpson) dove I S = b 6 f(x)dx = I S + E S ( f() + 4f( + b ) 2 ) + f(b) ed E S è l errore ce si commette qundo si pprossim I con I S. Inftti si, I s = = f(x 0 ) p 2 (x)dx = x2 Medinte il cmbio di vribili si w 0 = x2 x 0 x 0 l 0 (x)dx + f(x 1 ) (f(x 0 )l 0 (x) + f(x 1 )l 1 (x) + f(x 2 )l 2 (x)) dx x2 = f(x 0 )w 0 + f(x 1 )w 1 + f(x 2 )w 2 l 0 (x)dx = e nlogmente si clcolno e w 0 = w 2. w 1 = x = b 2 t + + b 2 x 0 l 1 (x)dx + f(x 2 ) x2 x [, b] t [ 1, 1] (x x 1 )(x x 2 ) 1 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) dx = 1 l 1 (x)dx = 4 6 (b ) w 2 = x 0 l 2 (x)dx t(t 1) b 2 2 dt = b 6 l 2 (x)dx = b 6 Si può dimostrre 26 ce, posto = (b )/2 l errore E S espressione E S = 5 90 f iv (η) (η [, b]) Esistono ltre formule di integrzione in cui l funzione gli estremi non viene considert nel clcolo dell integrle. L più not, e più semplice di queste, è l formul del punto di mezzo (midpoint rule) ed è bst sull interpolzione dell funzione integrnd f(x) con l funzione costnte f( +b 2 ), ovvero dove (p. 310 in Iscson e Keller (1966)) f(x)dx = (b )f( + b 2 ) + E P M con = (b )/2. E P M = 3 12 f (η) η [, b] 26 Si ved e.g., p. 310 in Iscson e Keller (1966).