Corso di Matematica e Laboratorio Alcuni aspetti della teoria dell integrazione. Gabriele Bianchi

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1 Corso di Mtemtic e Lbortorio Alcuni spetti dell teori dell integrzione Gbriele Binchi Diprtimento di Mtemtic, Vile Morggni 67/A, Firenze E-mil ddress: gbriele.binchi@unifi.it

2 C.d.S. in Viticoltur ed Enologi Università di Firenze.. 017/1 Versione del 4 Gennio 01.

3 CAPITOLO 1 Alcuni spetti dell teori dell integrzione Ho rccolto in queste pgine lcune spiegzioni di spetti dell teori dell integrzione che non sono presenti nel libro di testo e che per me sono prticolrmente importnti. Questo cpitolo non sostituisce m ffinc il cpitolo sugli integrli del libro di testo. Più precismente, oltre l mterile di questo cpitolo vi e richiesto di studire nche i prgrfi. (eccetto il teorem indicto dl libro come primo teorem fondmentle del clcolo,.3 e.7 del vostro libro di testo. (Questi numeri si riferiscono ll terz edizione del libro. Mi scuso in nticipo per tutti gli errori che queste pgine sicurmente contengono e ringrzio in nticipo chi mi informerà di quelli trovti. 1. Cos è l integrle e perché è nto In queste pgine vorrei spiegre le motivzioni che hnno portto introdurre il concetto mtemtico chimto integrle. Mostrerò che ci sono vrie operzioni, in cmpi diversi delle scienze, che hnno forti crtteristiche in comune: l strrre e il vedere queste operzioni sotto l stess luce h portto questo concetto Are. Il concetto di re non è ovvio come sembr. Fino che si prl di insiemi A il cui contorno è ftto d un numero finito di segmenti non ci sono problemi né definire cos si intende per re né clcolrl. Bst d esempio scomporre l insieme A nell unione di tringoli che si sovrppongono l mssimo sui lti e l re di A non è nient ltro che l somm delle ree di questi tringoli. Se qulche pezzo dell frontier di A è curv, d esempio è un rco di prbol, già il clcolo dell re smette di essere scontto. Se poi A divent ncor più strno non solo il clcolre l re divent non scontto, m nsce nche l difficoltà di immginre che cos poss essere l re di un tle insieme. Come esempio considerte il qudrto Q = {(x, y : x [0, 1], y [0, 1]} e d Q levte tutti i punti del pino che hnno sciss (cioè coordint x rzionle. Cosi levte d Q tutti i punti dell rett verticle x = 1/, e poi nche tutti i punti delle rette x = 1/3 e x = /3, e poi tutti quelli delle rette x = 1/4 e x = /4, x = 3/4 e quelli delle rette x = 1/5 e x = /5, x = 3/5 e x = 4/5, e cosi vi levndo in un processo infinito. Quello che vi rimne è un insieme difficile d immginre. Che cos è l re di quell insieme, e qunto misur? In questo corso non ffronteremo questi insiemi mostruosi, m ci limiteremo trttre il clcolo dell re di insiemi più semplici. Il nostro primo esempio è l insieme B = {(x, y : x [0, 1], 0 y x } (vedi Fig. 1, cioè l insieme limitto dl segmento di estremi (0, 0 e (0, 1, dl segmento di estremi (0, 1 e (1, 1 e infine 3

4 4 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE B 4 B 1 B 3 B 1/4 /4 3/4 4/4 x Figur 1. L insieme B e i rettngoli che ne pprossimno l re qundo n = 4 d un rco contenuto nell prbol y = x. Mostrerò come si poss clcolre un pprossimzione dell su re, con un precisione buon qunto si vuole ( ptto di fre sempre più clcoli. Quest pprossimzione dipende d un prmetro, che è un numero intero positivo n. Per inizire fissimo questo prmetro n = 4. Dividimo il segmento di bse di A in 4 prti uguli. Le coordinte x degli estremi di tli suddivisioni sono 0, 1/4, /4, 3/4 e 1. Anche B viene diviso in 4 prti, un prte è quell contenut nell strisci verticle {(x, y : x [3/4, 1]} (e l chimo B 4, un ltr quell contenut in {(x, y : x [/4, 3/4]} (e l chimo B 3 e così vi. Approssimo B 4 con un rettngolo che h l bse coincidente con il segmento contenuto sull sse x e di estremi x = 3/4 e x = 4/4 e due lti verticli. Devo ncor definire qule si il lto superiore di questo rettngolo. Posso sceglierlo in tnti modi diversi, più o meno lto. Come esempio decido di sceglierlo d un ltezz ugule l vlore dell funzione y = x nell estremo destro dell intervllo [3/4, 1]. Scelgo il segmento quindi d ltezz y = (1 = 1. Anlogmente pprossimo B 3 con un rettngolo che h l bse coincidente con il segmento contenuto sull sse x e di estremi x = /4 e x = 3/4, due lti verticli e il qurto lto d ltezz y = (3/4, cioè y = 9/16. Ripeto lo stesso per B 1 e per B. L re di B l posso llor pprossimre trmite l somm delle ree dei quttro rettngoli e ottengo quindi ( indic essere pprossimtivmente ugule re(b re(b 1 + re(b + re(b 3 + re(b 4 = = 0, Quest è un pprossimzione che può essere migliort umentndo il prmetro n. Ad esempio scegliere n = vuol dire dividere l intervllo in prti uguli e pprossimre ognun delle prti in cui viene diviso l insieme nlogmente

5 1. COSA È L INTEGRALE E PERCHÉ È NATO x Figur. L insieme B e i rettngoli che ne pprossimno l re qundo n = y y = f(x x Figur 3. Le idee precedenti pplicte ll insieme C. qunto ftto sopr (vedi Fig.. Ottengo re(b = = 0, Vedremo nel seguito che l re estt di B è 1/3. Se vessimo pplicto le stesse idee d un insieme C dell form {(x, y : x [0, 1], 0 y f(x} (vedi Fig. 3, dove f è un funzione positiv vremmo ottenuto, se vessimo scelto ncor n =, (1 re(c 1 f ( f ( + 1 ( 3 f + 1 ( 4 f f ( ( 6 f + 1 ( 7 f + 1 ( f, perché gli rettngoli hnno tutti bse 1/ e ltezze rispettivmente f(1/ il primo, f(/ il secondo e così vi. Un somm come quell in (1 si chim somm di Riemnn. E l somm di n termini in cui ognuno di essi è il prodotto dell mpiezz dell intervllino

6 6 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE moltiplicto per il vlore dell funzione in un punto del corrispondente intervllino. Questo tipo di somm st ll bse dell integrle e (prlndo un po imprecismente l integrle compre ogni volt che compre un somm di Riemnn. 1.. Clcolo dello spostmento prtire dll velocità. Supponimo desso che ci si un mcchin che si spost sull sse x in un certo intervllo di tempo, dicimo 0 t 30 secondi, e supponimo di conoscerne l velocità. Riuscimo clcolre di qunto si è spostt l mcchin in questi 30 secondi? Se l velocità è costnte l rispost è immedit: spostmento=velocità tempo. E se invece l velocità vri? Indichimo con v(t l funzione che esprime l velocità. Supponimo di conoscerne i vlori per lcuni tempi come nell tbell ( tempo (in s v(t (in m/s Qui un velocità negtiv signific un velocità nel verso decrescente dell sse x. Per clcolre un vlore pprossimto dello spostmento possimo rgionre così. Non conosco l velocità in tutti i primi 5 secondi m posso rgionevolmente supporre che in ogni 0 t 5 ess si non troppo divers dll velocità nell istnte inizile t = 0, cioè 31. In quei primi 5 secondi l mcchin si è quindi spostt in vnti di circ 5 31 m. Rgionndo nlogmente si cpisce che tr t = 5 e t = 10 l mcchin si e spostt in vnti di circ 5 5 metri. Tr t = 0 e t = 5 si è spostto ll indietro di circ 5 metri. Complessivmente spostmento ( + 5 ( 1. Possimo scrivere quest formul usndo l notzione v(t ottenendo (3 spostmento 5 v(0+5 v(5+5 v(10+5 v(15+5 v(0+5 v(5. Abbimo ncor un un somm di Riemnn, quest volt per l funzione v(t nell intervllo [0, 30]. Un pio di osservzioni. Se si consider il grfico dell funzione v(t qundo 0 t 30 si cpisce che l somm di Riemnn in (3 coincide con l somm delle ree dei 4 rettngoli che stnno sopr l sse t cui vengono poi sottrtte le ree dei rettngoli sotto l sse t. Di conseguenz nche l pprossimzione dello spostmento dt in (3 può essere interprett come l pprossimzione dell re compres tr il grfico di y = v(t e l sse t dove però l re sopr l sse t v sommt (v contt con il segno + mentre quell sotto l sse t v sottrtt (v contt con il segno.

7 1. COSA È L INTEGRALE E PERCHÉ È NATO 7 v(t t Figur 4. L funzione velocità v(t: l re dei rettngoli chiri viene sommt, quell dei rettngoli scuri viene sottrtt Clcolo dell quntità di cqu psst ttrverso un tubo conoscendo l portt. Supponimo desso che voi bbite un tubo, l cui estremità è immers in un recipiente. Voi vete uno strumento che misur l portt dell cqu che esce dl tubo. Questo tubo è ftto in modo che non solo può immettere cqu nel recipiente m può nche spirrl e si userà l convenzione che l portt è positiv se l cqu fuoriesce dl tubo ed entr nel recipiente, ed è invece negtiv se l cqu viene spirt dl recipiente ed entr nel tubo. D questi dti volete clcolre di qunto è cmbito il volume dell cqu nel recipiente. Anche in questo cso se l portt è costnte è fcile dre un rispost cmbimento del volume di cqu nel recipiente=portt tempo, mentre il cso non bnle è quello in cui l portt vri con il tempo. Supponete, per semplicità, che le misurzioni dell portt sino uguli quelle dell tbell (. Cioè che esse vengno ftte ogni 5 secondi tr t = 0 e t = 30 e che desso l second rig di quell tbell non rppresenti l velocità m l funzione portt p(t, misurt in litri/sec. Possimo rgionre esttmente come prim e ottenere un pprossimzione del volume cercto cioè cmbimento del volume di cqu nel recipiente ( + 5 ( 1. cmbimento del volume di cqu nel recipiente 5 p(0 + 5 p(5 + 5 p( p( p(0 + 5 p(5. Abbimo ncor un somm di Riemnn, quest volt per l funzione p(t in [0, 30] D un risultto pprossimto l risultto estto. Le somme di Riemnn viste nei tre esempi precedenti dnno in generle solo un risultto pprossimto, non un risultto estto. Aumentre il numero n di prti in cui si suddivide l intervllo (e quindi il numero di termini nell somm miglior l precisione m in genere non d ncor il risultto estto. Per vere il risultto estto bisogn prendere il vlore del limite delle somme di Riemnn l tendere di n ll infinito. Più

8 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE informlmente fr diventre n rbitrrimente grnde e trovre il numero l qule le somme di Riemnn si vvicinno sempre di più qundo n divent rbitrrimente grnde. Vedimo in concreto questo processo nel cso del clcolo dell re dell insieme B definito nell sottosezione (1.1. Si n un intero positivo rbitrrio e dividimo [0, 1] in n prti uguli. Chimimo x 0 = 0, x n = 1 e x 0 < x 1 < x < < x n 1 < x n gli estremi dell suddivisione. Ogni intervllo h mpiezz 1/n, il punto x 1 lo ottengo spostndomi destr di x 0 = 0 di 1/n ed h quindi coordint 1/n. Il punto x lo ottengo spostndomi destr di x 1 di 1/n ed h quindi coordint /n. Anlogmente l coordint di x i è i/n. Ogni rettngolo pprossimnte h bse 1/n. Scelgo le ltezze di questi rettngoli uguli l vlore di y = x nell estremo destro dell intervllo [x i 1, x i ]. Quindi il primo rettngolo h ltezz ugule l vlore di y = x in x 1, cioè ltezz (1/n. Il secondo h ltezz ugule l vlore di y = x in x, cioè ltezz (/n e così vi. L ultimo h ltezz (n/n (che è ovvimente 1, m mi è comodo scriverlo cosi. Allor l pprossimzione dell re che ottengo dividendo [0, 1] in n prti e scegliendo i rettngoli pprossimnti come descritto sopr è (4 re(b 1 n ( 1 n + 1 n ( n Posso riscrivere quest formul nche come n ( n 1 n + 1 ( n. n n (5 re(b 1 n 3 ( (n 1 + n. Per procedere nel clcolo mi serve un formul, che qui richimo senz drne un dimostrzione: l somm dei qudrti dei primi n numeri interi positivi è ugule ( (n 1 + n = Sostituendo (6 in (5 ottengo (7 re(b n(n + 1(n + 1 6n 3. n(n + 1(n Se si clcol quest espressione per vlori sempre più grndi di n si vede che ess divent sempre più vicin d 1/3 n pprossimzione dell re dt d (7 0,35 0,3434 0, , e si può dimostrre rigorosmente che n(n + 1(n + 1 lim n + 6n 3 = 1 3. Questo dimostr che l re estt di B è ugule d 1/3. L scelt delle ltezze dei rettngoli pprossimnti che bbimo ftto non è l unic possibile. Ad esempio se vessimo scelto l ltezz dell i-mo rettngolo come il vlore di y = x nell estremo sinistro dell intervllo [x i 1, x i ] (invece che nel destro, il primo rettngolo vrebbe vuto ltezz x 0, cioè 0, il secondo x 1, cioè (1/n,

9 1. COSA È L INTEGRALE E PERCHÉ È NATO 9 il terzo (/n, l ultimo ((n 1/n. Con clcoli simili i precedenti vremmo ottenuto re(b 1 n (0 + 1 ( ( n + 1 ( n 1, n n n n n n che è ugule n(n 1(n 1 re(b 6n 3. Per un singolo n l pprossimzione che ottenimo è divers d quell precedente, m il limite per n che tende + è ncor 1/ Definizione di integrle. Arrivimo desso ll definizione estt di integrle. Si f(x un funzione continu in un intervllo [, b]. Si n un intero positivo, dividimo [, b] in n prti uguli e chimimo x 0 =, x n = b e x 0 < x 1 < x < < x n 1 < x n gli estremi di quest suddivisione. Ovvimente ogni intervllino h mpiezz x = (b /n. Sceglimo desso come ci pice un punto z 1 nell intervllo [x 0, x 1 ], un punto z nell intervllo [x 1, x ] e così vi. Definimo l somm di Riemnn di f in [, b] ( x f(z 1 + x f(z + + x f(z n. Definimo desso l integrle di f tr e b (9 f(x dx = lim ( x f(z 1 + x f(z + + x f(z n. n + Osservimo che l integrle è un numero, non un funzione. Un commento sul perché di questo simbolo. Il simbolo di integrle ricord un S, per ricordre che esso nsce d un operzione di somm, il simbolo f(xdx ricord i singoli termini che compiono in un somm di Riemnn, che sono prodotti di x per vlori dell funzione f(x. Come si è visto prim nel clcolo dell re di B, l scelt dei punti z i può cmbire il vlore dell somm di Riemnn corrispondente d un fissto n, m non cmbi il vlore del limite per n e quindi non cmbi il vlore dell integrle. Come può essere interprett geometricmente l somm di Riemnn (? Vedi Fig. 5. Il punto z i determin l ltezz del rettngolo i-mo: il primo rettngolo pprossimnte h ltezz f(z 1, il secondo f(z e così vi. Allor x f(z 1 è l re del primo rettngolo se f(z 1 è positiv, ed è l re del primo rettngolo moltiplict per 1 se f(z 1 < 0. Ad esempio nell situzione dell figur l somm di Riemnn somm le ree dei primi rettngoli m sottre le ree degli ultimi. Per questo si h che l integrle può essere interpretto come un re con segno che somm le ree fr l sse x e l prte del grfico dell funzione che st sopr l sse x, m sottre le ree comprese tr l sse x e l prte del grfico sotto l sse x. Per fr prtic con l definizione di integrle usimol per clcolre 3 0 x dx. L interpretzione geometric ppen presentt ci dice che questo integrle è ugule

10 10 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE y x 0 z 1 z z 3 x x 1 x 3 x n 1 x n z n 1 z n x y = f(x Figur 5. Interpretzione dell somm di Riemnn in termini di ree con segno y 1 3 x y = x Figur 6. Grfico di x. ll re di un tringolo di bse e ltezz meno l re di un tringolo di bse e ltezz 1, cioè che 3 0 x dx = 1 = 3. Clcolimo l integrle usndo l definizione. Ho che x = 3/n, x 0 = 0, x 1 = 3/n, x = 6/n,..., x i = 3i/n, e quindi l somm ( divent x ( z 1 + x ( z + + x ( z n. Mettendo in evidenz x e sommndo tr di loro tutti i termini (che sono n ho x (n (z 1 + z + + z n 1. Adesso sceglimo z i ugule ll estremo sinistro dell intervllo [x i 1, x i ], cioè z i = 3i/n. Scrivendo esplicitmente il vlore di x, il vlore di z i e mettendo in evidenz

11 . METODO DELLE PRIMITIVE PER CALCOLARE UN INTEGRALE 11 il fttore 3/n ottengo (10 3 (n 3n n ( n. Mi serve desso l seguente formul, nlog ll (6, e nche quest dt senz dimostrzione: l somm dei primi n numeri interi positivi è n(n n =. Sostituendo quest espressione in (10 ottengo l seguente formul per l somm di Riemnn di x in [0, 3]: ( 3 n n 3n(n + 1 n cioè 9(n n Il limite di tle espressione per n + è 6 9/ che coincide con 3/, come ci si spettv. (11. Metodo delle primitive per clcolre un integrle In queste pgine presento due metodi per clcolre l integrle f(x dx. Il primo utilizz un funzione primitiv di f. Questo metodo di clcolo h il vntggio di dre un risultto estto e di essere molto semplice d pplicre un volt che si conosce l primitiv. Il problem con questo metodo è che il trovre l primitiv di f può essere molto complicto. Inizimo con il definire cos è un primitiv di f. Definizione.1. Dt un funzione f ed un intervllo I, un funzione F definit in I si chim primitiv di f se l derivt di F è ugule d f in ogni x I, cioé F (x = f(x per ogni x I. Il termine ntiderivt è un termine equivlente quello di primitiv. Ad esempio x è un primitiv di x in R, sin x è un primitiv di cos x in R, ln x è un primtiv di 1/x in (0,. Anche x + 45 è un primitiv di x su R, così come nche x 5 e, più in generle, x + C, qulsisi si l costnte C. Ci son quindi infinite primitive di un funzione f, tutte quelle che si ottengono prtire d un prticolre primitiv F sommndogli un costnte qulsisi. Un domnd nturle è se oltre queste primitive ne esistono nche ltre. Il prossimo teorem ci dice di no. Teorem.. Se F è un primitiv di f sull intervllo I, llor l più generle primitiv di f in I è dove C è un costnte rbitrri. F (x + C

12 1 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE Dimostrzione. Si devono provre due cose. L prim, l piu semplice, è che F (x + C è ncor un primitiv di f. Questo ftto è un conseguenz dell regol di derivzione dell somm e del ftto che l derivt di un funzione costnte è null, cioé del ftto che (F (x + C = F (x + C = F (x + 0 = f(x. L second cos che dobbimo provre è che non ci sono primitive di f diverse d F + C. Per fr ciò prendimo un qulsisi primitiv G e dimostrimo che nche ess è ugule F + C, per un opportun scelt di C. Per fre ciò mostrimo che l derivt di G(x F (x è ugule zero in ogni x I. Inftti (G(x F (x = G (x F (x = f(x f(x = 0 in ogni x I. Qui bbimo sfruttto il ftto che G = F = f, perché si G che F son primitive di f. Adesso ll funzione G F pplico il terzo corollrio del Teorem di Lgrnge, quello che dice che se un funzione h derivt null in tutti i punti di un intervllo llor tle funzione è costnte. Posso concludere che G(x F (x = C per un opportun costnte C ed ogni x I. Quest formul è equivlente G(x = F (x + C. Pssimo desso descrivere il metodo di clcolo. Esso è il contenuto del prossimo teorem, chimto Teorem fondmentle del clcolo perché leg insieme i due concetti oggetto dell brnc dell mtemtic chimt Clcolo, cioé l derivt (su cui si bs il concetto di primitiv e l integrle. (Ad essere precisi ci son due forme del Teorem fondmentle del clcolo, e il vostro libro chim il prossimo teorem Secondo Teorem fondmentle del clcolo. Teorem.3 (Teorem fondmentle del clcolo. Se f è continu nell intervllo [, b], llor f(xdx = F (b F ( dove F è un qulsisi primitiv di f in [, b]. Dimostrzione. Dividimo l intervllo [, b] in n prti uguli e chimimo x l lunghezz di ciscuno degli n intervlli che ottenimo. Per semplicità supponimo desso che n si 4. Allor (1 F (b F ( = (F (b F (x 3 + (F (x 3 F (x + + (F (x F (x 1 + (F (x 1 F (. Il Teorem di Lgrnge, pplicto ll funzione F nell intervllo [x 3, b], dice che esiste un numero c 4 (x 3, b (perché lo chimo c 4 invece di c srà chiro fr poco tle che F (b F (x 3 b x 3 = F (c 4. Quest formul può essere riscritt come F (b F (x 3 = F (c 4 x.

13 3. METODI PER CALCOLARE UNA APPROSSIMAZIONE DI UN INTEGRALE 13 M siccome F è un primitiv di f llor F coincide con f e quindi l formul può essere riscritt nche come (13 F (b F (x 3 = f(c 4 x. In modo nlogo si dimostr che esistono c 1 (, x 1, c (x 1, x e c 3 (x, x 3 tli che (14 F (x 3 F (x = f(c 3 x; F (x F (x 1 = f(c x; F (x 1 F ( = f(c 1 x. Grzie (13 e (14, l formul (1 desso divent F (b F ( = f(c 1 x + f(c x + f(c 3 x + f(c 4 x. Ciò che si è ftto con n = 4 può essere ripetuto con qulsisi vlore di n ottenendo F (b F ( = f(c 1 x + f(c x + + f(c n x. Di conseguenz si h nche ( F (b F ( = lim f(c 1 x + f(c x + + f(c n x = n f(xdx. Definizione.4. Il simbolo [F (x] b è un modo comptto di scrivere F (b F (. Cioé [ ] b F (x := F (b F (. Utilizzimo il teorem per clcolre due integrli già clcolti precedentemente trmite l definizione. Poiché x 3 /3 è un primitiv di x llor 1 [ ] x x 3 1 dx = = = Inoltre poiché x x / è un primitiv di x llor 3 ] 3 x dx = [x x = ( 3 3 ( 0 0 = Metodi per clcolre un pprossimzione di un integrle Come ho già ccennto nell sezione precedente il problem con il clcolre un integrle usndo un primitiv può stre nel ftto che il trovre l primitiv di f può essere molto complicto. Addirittur per molte funzioni l primitiv, pur esistendo, non può esser scritt in nessun modo usndo combinzioni di funzioni elementri. Per queste funzioni l primitiv è un funzione nuov, non clcolbile trmite combinzioni di tsti presenti sulle clcoltrici scientifiche. In queste situzioni il metodo delle primitive non è utile l clcolo di (11. I metodi per clcolre un pprossimzione di un integrle l contrrio sono molto semplici e possono essere usti con ogni funzione. Possono richiedere molti clcoli, second dell bontà dell pprossimzione che si vuole ottenere. Non

14 14 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE dnno il vlore estto m solo un su pprossimzione. Essi si bsno tutti sostnzilmente sull uso di somme di Riemnn. Tutte le somme di Riemnn sono pprossimzioni dell integrle e l pprossimzione miglior l crescere di n. Adesso ci ponimo nell seguente situzione. Abbimo disposizione un cert potenz di clcolo e sceglimo il prmetro n il più lto possibile comptibilmente con l potenz di clcolo che bbimo (d esempio bsso se bbimo solo un foglio di crt ed un clcoltrice tscbile, medio se bbimo un computer ed un foglio di clcolo (tipo Excel o Clc dell suite Open/LibreOffice, lto se bbimo un computer e un softwre ftto ppost. Fissto questo vlore n si cerc l formul che contiene n (o n + 1 termini (e quindi richiede di clcolre circ n volte il vlore di f e che meglio pprossim l integrle. Fissimo lcune notzioni: x = b n x 0 =, x 1 = + x, x = + x,..., x i = + i x,..., x n = b. Inoltre indichimo con x i il punto medio dell intervllo i-mo, cioè x i = x i 1 + x i. 1 Nel seguito metteremo sempre ll prov i metodi presentti nel clcolo di 1/x dx. Il metodo delle primitive ci d il vlore estto di tle integrle: ( x dx = ln Metodo dei punti medi. E il metodo che si ottiene utilizzndo come pprossimzione l somm di Riemnn ( con i punti z i uguli i punti medi degli intervlli [x i 1, x i ]. Cioè (16 ( f(x dx M n := x f(x 1 + f(x + + f(x n. Usimo quest regol per clcolre (15 con n = 5. Abbimo x = 0., x 0 = 1, x 1 = 1., x = 1.4, x 3 = 1.6, x 4 = 1., x 5 =, x 1 = 1.1, x = 1.3, x 3 = 1.5, x 4 = 1.7, x 5 = 1.9. Ottenimo 1 1 ( 1 x dx = L differenz tr il risultto estto e quello ottenuto d quest regol con n = 5 è , dell ordine di 1/1000.

15 3. METODI PER CALCOLARE UNA APPROSSIMAZIONE DI UN INTEGRALE 15 y y = 1 x x Figur 7. I rettngoli ssociti ll regol del punto medio: le prti che escono fuori dll insieme si compensno con le prti dell insieme lscite vuote. y y = 1 x x Figur. I trpezi ssociti ll regol del trpezio. 3.. Metodo del trpezio. Questo metodo prende il nome dl ftto che per pprossimre l re corrispondente d un integrle invece di usre n rettngoli si usno n trpezi. Ad esempio se lo pplichimo l clcolo di (15 (con n = 5 l re viene pprossimt trmite i trpezi in Figur. Il primo trpezio h bse mggiore ugule l vlore dell funzione in x = 1, bse minore ugule l vlore dell funzione in x = 1. e ltezz ugule x = 0.. L su re è quindi 1/ (1/1+1/ Rgionndo nlogmente si vede che l somm delle ree dei 5 trpezi è ugule 0. ( ( ( ( (

16 16 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE Si osservi che il termine 1/1. compre volte, uno nell re del primo trpezio ed uno nell re del secondo. Lo stesso succede nche per 1/1.4, 1/1.6 e 1/1.. Tenendo conto di questo l somm delle 5 ree può essere riscritt nche come 0. ( = In questo cso l differenz tr l pprossimzione e l integrle estto è 0.004, nche in questo cso dell ordine di 1/1000. Nel cso generle questo metodo pprossim l integrle trmite l regol (17 f(x dx T n := x ( f(x 1 + f(x + f(x f(x n 1 + f(x n. Osservimo i coefficienti 1,,,...,, 1 nell somm. Chimimo S n l pprossimzione ottenut scegliendo nell somm di Riemnn ( z i ugule ll estremo sinistro dell intervllo [x i 1, x i ], e chimimo D n quell ottenut scegliendo z i ugule ll estremo destro di [x i 1, x i ], cioè S n = x f(x 0 + x f(x x f(x n 1, D n = x f(x 1 + x f(x + + x f(x n. Allor è fcile mostrre che T n è l medi tr D n e S n T n = D n + S n Metodo di Simpson. Questo metodo può essere pplicto solo qundo n è pri. L formul è l seguente (1 f(x dx Sim n := x ( f(x 0 + 4f(x 1 + f(x f(x 3 + f(x f(x n + 4f(x n 1 + f(x n. Notte i coefficienti 1, 4,, 4,,...,, 4, 1 che ppiono nell somm in (1. Se pplichimo questo metodo, con n = 6, l clcolo di (15 ottenimo x = 1/6, x 0 = 1, x 1 = 7 6, x = 6, x 3 = 9 6, x 4 = 10 6, x 5 = 11 6, x 6 =, e, visto che f(x 1 = 1/(7/6 = 6/7, f(x = 1/(/6 = 6/ e così vi 1 1 x dx 1 ( L differenz tr il vlore estto dell integrle e quello pprossimto è , dell ordine di 1/

17 3. METODI PER CALCOLARE UNA APPROSSIMAZIONE DI UN INTEGRALE Stime dell errore di pprossimzione commesso. Riepiloghimo in un tbell i vlori che si ottengono pplicndo le formule precedenti per pprossimre (15 per lcuni vlori di n. Ricordo che il vlore estto è ln 0, n M n T n Sim n , Riportimo nche in un tbell gli errori commessi con i metodi precedenti. Indichimo con Errore M l differenz tr il vlore estto dell integrle e il vlore pprossimto ottenuto con il metodo dei punti medi. Definimo in modo nlogo Errore T e Errore Sim. Alcune osservzioni: n Errore M Errore T Errore Sim (1 I metodi dei punti medi e del trpezio hnno lo stesso ordine di precisione, m l errore nel metodo dei punti medi è circ l metà di quello con il trpezio. Il metodo di Simpson è molto più preciso. ( Rddoppindo n gli errori Errore M e Errore T si dividono circ per 4, mentre Errore Sim si divide circ per un fttore 16. I prossimi due teoremi dnno delle stime teoriche che sono coerenti con le osservzioni ftte per questo esempio. Teorem 3.1 (Stim dell errore nei metodi dei punti medi e del trpezio. Supponimo che f bbi derivte prime e seconde in ogni x [, b]. Si K un costnte scelt in modo che risulti f (x K qulunque si x [, b]. Allor (19 Errore M K(b 3 K(b 3 4n, Errore T 1n. Teorem 3. (Stim dell errore nel metodo di Simpson. Supponimo che f bbi derivte prime, seconde, terze e qurte in ogni x [, b]. Si K un costnte scelt in modo che risulti f (4 (x K qulunque si x [, b]. Allor (0 Errore Sim K(b 5 10n 4. Il simbolo f (4 indic l derivt qurt di f. Vorrei soffermrmi su cos si e come si determini l costnte K che ppre nei due teoremi, perché nell mi esperienz questo è un spetto difficile d comprendere per gli studenti. Per fissre le idee prlimo del Teorem 3.1, discorsi nloghi

18 1 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE vlgono nche per il Teorem 3.. In quel cso K è un qulsisi numero che si mggior o ugule del vlore mssimo del vlore ssoluto di f in [, b], cioè K mx [,b] f. Per determinre K in un cso concreto si possono d esempio pplicre le tecniche di ricerc del vlore mssimo di un funzione su un intervllo ll funzione f in [, b] e scegliere K ugule tle vlore mssimo. Supponimo d esempio che si vogli pplicre il Teorem x dx. In questo cso l derivt second di 1/x è /x 3, il suo vlore ssoluto in [1, ] è ncor /x 3 e mx f = mx [1,] [1,] x 3 =, perché /x 3 è un funzione decrescente (l su derivt prim è 6/x 4 che è sempre negtiv in [1, ] e il suo vlore mssimo è ssunto qundo x = 1. Allor posso scegliere K = in (19. Se invece vessi voluto stimre 1 1 x dx trmite il Teorem 3. vrei potuto clcolre mx f (4. [1,] Poiché il vlore ssoluto dell derivt qurt di 1/x in [1, ] è 4/x 5 e nche quest funzione è decrescente in [1, ], si h che mx f (4 = 4. [1,] L stim (0 vle llor in questo cso con K = 4. Provimo d pplicre questi due teoremi ll integrle (15. Come ppen osservto con questo integrle posso prendere K = in (19 e posso prendere K = 4 in (0. Allor i due teoremi precedenti dnno le seguenti stime per gli errori commessi nel clcolre (15 con i vri metodi Errore M ( 13 ( 13 4( 15 4n, Errore T 1n, Errore Sim 10n 4. Queste stime dipendono d n e se d esempio voglimo delle stime per n = 10 ottenimo Errore M , Errore T , Errore Sim Confrontndo questi numeri con quelli corrispondenti d n = 10 nell tbell degli errori riportt sopr si può vedere che nel cso di (15 le stime dte di teoremi sono più pessimiste dell reltà. Queste stime possono essere uste nche per cpire come scegliere n in modo d rggiungere un cert ccurtezz. Ad esempio se voglimo clcolre 1 1 xdx con un ccurtezz superiore 10 6 (un milionesimo trmite il metodo del Trpezio qule n dobbimo scegliere? Bst scegliere n in modo che ( 1 3 1n 10 6

19 4. ALCUNE APPLICAZIONI DELL INTEGRAZIONE 19 cioè n 409. Se usimo invece il metodo di Simpson bst richiedere 4( n , cioè n 0. Un ltro esempio: per clcolre 0 ex dx trmite il metodo dei punti medi con un ccurtezz superiore 0, 0001 che n dobbimo scegliere? Per rispondere inizimo clcolndo il vlore di K. In questo cso f = (4x + e x, e il suo vlore ssoluto coincide con f. Poiché 0 x llor 4x = 1 e e x e. Quindi f (x 1e 4 e posso scegliere K = 1e 4. Per vere un ccurtezz superiore 0, 0001 devo scegliere n in modo che cioè n 11. 1e 4 ( 0 3 4n Alcune ppliczioni dell integrzione 4.1. Aree. Un insieme A si dice normle rispetto ll sse y se può essere scritto come A = {(x, y R : x [, b], g(x y f(x}, per un opportun scelt delle costnti, b e delle funzioni continue f e g. In questo cso l re di A può essere clcolt trmite l formul seguente re(a = ( f(t g(t dt. Notte che f(t g(t è l lunghezz dell sezione verticle di A che si trov sull rett x = t. Quindi l formul precedente può essere lett come re(a = lunghezz(sezione di A con l rett x = t dt. 4.. Volumi. Supponimo desso che B si un insieme tridimensionle che bbi un sse di simmetri di rotzione. Fissimo il sistem di riferimento in modo che tle sse si l sse x e si f l funzione che ne descrive il profilo, cioè suponimo che B poss essere scritto come B = {(x, y, z R 3 : x [, b], y + z f(x}, per un opportun scelt di e b. Questo modo di scrivere l insieme ppre se d esempio l sezione di B con il pino xy (cioé il pino contenente gli ssi x e y è delimitto di grfici di y = f(x e di y = f(x. Anlogmente compre se, per ogni t [, b], l sezione di B con il pino x = t (cioé il pino ortogonle ll sse x e pssnte per il punto (t, 0, 0 è un cerchio di rggio f(t. Supponimo che f si un funzione continu. In questo cso il volume di B può essere clcolto trmite l formul volume(b = πf(t dt.

20 0 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE Notte che ciò che compre dentro l integrle è l re di un cerchio di rggio f(t, cioè l re dell sezione di B con il pino x = t. In reltà l formul precedente è un cso prticolre di un formul più generle. Se C è un insieme in R 3 di form non troppo selvggi, vle l formul volume(c = re(sezione di C con il pino x = t dt Lunghezze di curve. Si D un rco del grfico di un funzione f, d esempio l prte del grfico formt di punti l cui coordint x è compres tr e b, cioè (vedi Fig. 9 D = {(x, y R : x [, b], y = f(x}. Come si può clcolre l lunghezz di D? Supponimo che f si un funzione continu e che nche l su derivt f si un funzione continu. Allor l lunghezz di D può essere clcolt trmite l formul lunghezz(d = 1 + f (x dx. Dimostrzione. Dividimo l intervllo [, b] in n prti uguli e dimo i simboli x, x 0, x 1,..., x n il solito significto. Si P 0 = (, f(, P 1 = (x 1, f(x 1, P = (x, f(x e così vi fino P n = (b, f(b. Considerimo l curv D pprox formt dll unione del segmento P 0 P 1, del segmento P 1 P etc etc, cioè D pprox = P 0 P 1 P 1 P P P 3 P n 1 P n. L lunghezz di D pprox pprossim quell di D. y P 1 P P 3 P 0 P 4 P 5 y = f(x x 0 = x 1 x x 3 x 4 x 5 = b x Figur 9. Le curve D (line continu e D pprox (line trtteggit nel cso n = 5. Clcolimo l lunghezz di P 0 P 1. Per il teorem di Pitgor (1 lunghezz(p 0 P 1 = (x 1 + (f(x 1 f(.

21 4. ALCUNE APPLICAZIONI DELL INTEGRAZIONE 1 Per il Teorem del vlor medio di Lgrnge, pplicto d f e ll intervllo [, x 1 ], esiste un punto c 1 (, x 1 tle che f(x 1 f( = f (c 1 (x 1. Sostituimo quest espressione di f(x 1 f( in (1 e ottenimo ( lunghezz(p 0 P 1 = (x 1 + f (c 1 (x 1. Se mettimo in evidenz (x 1 = x in ( ottenimo lunghezz(p 0 P 1 = (x f (c 1 = x 1 + f (c 1. Con un rgionmento nlogo si dimostr che esiste c (x 1, x tle che lunghezz(p 1 P = x 1 + f (c e, più in generle, che per ogni i esiste c i (x i 1, x i tle che lunghezz(p i 1 P i = x 1 + f (c i. Sommndo tutte queste lunghezze si ottiene lunghezz(d lunghezz(d pprox = lunghezz(p 0 P 1 + lunghezz(p 1 P + + lunghezz(p n 1 P n = x 1 + f (c 1 + x 1 + f (c + + x 1 + f (c n. Chimimo desso g(x := 1 + f (x. Usndo g possimo scrivere l espressione sopr come lunghezz(d x g(c 1 + x g(c + + x g(c n. Quest è un somm di Riemnn dell funzione g in [, b]. Fcendo tendere n ll infinito l pprossimzione di D pprox per D divent sempre più precis e l somm di Riemnn tende g(x dx. Quindi lunghezz(d = Infine ricordndo l definizione di g si h g(x dx. lunghezz(d = L dimostrzione è conclus. 1 + f (x dx Esempi di ppliczioni dell integrle d ltre scienze. Rivedimo desso gli esempi delle sottosezioni 1. e 1.3. Se v(t e p(t indicno rispettivmente l velocità e l portt come definite in quelle sottosezioni llor (3 (Posizione qundo t = 5 (Posizione qundo t = 0 = = (Spostmento tr t = 0 e t = 5 = 5 0 v(t dt.

22 1. ALCUNI ASPETTI DELLA TEORIA DELL INTEGRAZIONE e nlogmente (4 (Volume di liquido nel recipiente qundo t = 5 (Volume di liquido nel recipiente qundo t = 0 = 5 0 p(t dt. Questi due esempi non sono csi prticolri m esempi di un situzione più generle. Per spiegre questo inizimo d osservre che ciò che st dentro l integrle è l velocità con cui ciò che st fuori vri l pssre del tempo, cioè (5 v(t = velocità con cui vri l posizione rispetto l tempo = derivt dell funzione posizione rispetto l tempo e (6 p(t = velocità con cui vri il volume di liquido nel recipiente rispetto l tempo = derivt dell funzione volume di liquido nel recipiente rispetto l tempo. Tutte le volte che bbimo un grndezz, chimimol A(t, che vri con il tempo ho che (7 A(t A(t 1 = t t 1 (velocità con cui A vri rispetto l tempo dt. L formul (7 è un conseguenz del teorem fondmentle del clcolo in un delle sue due versioni. Tle teorem inftti può essere riscritto come segue. Teorem 4.1. Se F (t è un funzione l cui derivt è continu llor ( F (t F (t 1 = t t 1 F (t dt. Inftti F (t è un primitiv dell su derivt F (t (è un ftto ovvio. Allor visto che l velocità con cui A vri rispetto l tempo non è ltro che l derivt di A rispetto l tempo l formul (7 segue d (.