Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

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1 Politecnico di Milno orso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Integrli curvilinei di prim specie (integrli di densità) 15 Dicembre 215 Indice 1 Integrli di line di prim specie Elemento di lunghezz di un curv prmetrizzt Definizione di integrle curvilineo non-orientto Alcune interpretzioni dell integrle curvilineo Interpretzione fondmentle: l integrle di un densità di mss è l mss totle L lunghezz di un curv Bricentri di linee ric totle su un filo Are di un superficie Invrinz di un integrle di line di prim specie per riprmetrizzzione Formul del cmbio di vribile nell integrle Invrinz per riprmetrizzzione Esercizi 8 Pg. 1

2 1 Integrli di line di prim specie 1.1 Elemento di lunghezz di un curv prmetrizzt Un curv prmetrizzt nello spzio R 3 è un funzione [, b] R 3 t (t) = (x(t), y(t), z(t)), t [, b] Dunque, ssegn ogni istnte t [, b] un punto (t) nello spzio R 3. Supponimo che si di clsse 1, cioè che le sue componenti x(t), y(t), z(t) sino derivbili, con derivt continu, sull intervllo [, b]. Il vettore (t) = (x (t), y (t), z (t)) è il vettore tngente o vettore velocità istntne dell curv in t. Il sostegno di un curv è l immgine Im dell funzione, cioè l insieme di tutti i punti (t), l vrire di t in [, b]: Sostegno di = Im = {(t) R 3, t [, b]} Il modulo (o l lunghezz) di un vettore v = (v 1, v 2, v 3 ) in R 3 è, per definizione, v = v1 2 + v2 2 + v2 3 In prticolre, se (t) = (x (t), y (t), z (t)), bbimo L elemento di lunghezz dell curv è (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 ds = (t) dt = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt Noi non dremo un definizione rigoros dei simboli ds o dt, nche se ciò si potrebbe fre. M srà utile dre loro un nome, perché sono espressioni che comprirnno sotto il segno di integrle. Un curv prmetrizzt si dice semplice se è iniettiv. 1.2 Definizione di integrle curvilineo non-orientto Si or f = f(x, y, z) un funzione rele continu definit (lmeno) sul sostegno dell curv, ossi un funzione il cui dominio includ il sostegno dell curv. (In generle f srà un funzione definit su un perto U di R 3 contenente il sostegno dell curv). Definizione 1.1 L integrle di line (o curvilineo) di prim specie di f lungo l curv è b f ds = f((t)) (t) dt (1.1) = b f(x(t), y(t), z(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt (1.2) Dunque, l integrle curvilineo di prim specie f(x, y, z) ds si ottiene formlmente: 1) sostituendo l posto di x, y, z rispettivmente x(t), y(t), z(t); 2) sostituendo l posto dell elemento di lunghezz ds dell curv l espressione x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt 3) integrndo su [, b]. Pg. 2

3 Esempio 1.2 Si l rco di curv (elic cilindric) di equzioni prmetriche x = cos t (t) = y = sin t t 2π z = t lcolre z ds. Soluzione. Qui f(x, y, z) = z e ds = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt = ( sin t) 2 + (cos t) dt = 2 dt Dunque 2π z ds = t 2 dt = 2 2 π 2 2 Alcune interpretzioni dell integrle curvilineo Vedimo or lcune importnti interpretzioni dell integrle di line di prim specie. Negli esempi seguenti, prenderemo in considerzione un curv prmetrizzt semplice e il suo sostegno (che si può pensre, in termini fisici, come un filo). Dimostreremo più vnti che il risultto cui si rriv clcolndo l integrle di line di prim specie non dipende d come si prmetrizz il filo, né d qule orientzione si fissi su di esso. (Invrinz dell integrle di line di prim specie rispetto lle riprmetrizzzioni). 2.1 Interpretzione fondmentle: l integrle di un densità di mss è l mss totle Si un curv prmetrizzt semplice. L integrle di line di prim specie f(x, y, z) ds b f ds = f((t)) (t) dt (2.1) è un limite di somme del tipo = b f(x(t), y(t), z(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt (2.2) n f(pi ) s i i=1 dove s i è l lunghezz di un piccolo rchetto dell curv e Pi è un punto scelto (in modo rbitrrio) su di esso. Non import qule punto Pi si scelg, perché il segmentino di lunghezz s i è così piccolo che, su di esso, l funzione f si può pensre costnte. Pensimo che il sostegno dell curv si l idelizzzione di un filo e che l funzione f rppresenti un densità linere di mss. Questo signific che l mss m i di un piccolo rchetto di lunghezz s i è dt d Allor l integrle m i = f(p i ) s i (2.3) f(x, y, z) ds (2.4) si interpret come l mss totle del filo l cui densità linere di mss è f. Pg. 3

4 2.2 L lunghezz di un curv L lunghezz di un curv si può vedere come un integrle di line di prim specie: precismente, è l mss totle qundo l densità di mss è l funzione costnte ugule 1. Definizione 2.1 Si [, b] R 3 t (t) = (x(t), y(t), z(t)), t [, b] un curv prmetrizzt di clsse 1. L lunghezz di è ds = = b b (t) dt (2.5) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt (2.6) Si noti che l definizione h senso nche se l curv non è semplice (cioè non è iniettiv). Ad esempio, può essere l curv (t) = (cos t, sin t), con t [, 4π]. Quest curv non è semplice (è l circonferenz percors due volte) e l su lunghezz è 4π (due volte l lunghezz dell circonferenz). 2.3 Bricentri di linee Si [, b] R 3, t (t) = (x(t), y(t), z(t)), un curv prmetrizzt semplice. Pensimo l sostegno di come un line mterile nello spzio, ossi come ll idelizzzione di un filo. Supponimo che l densità linere di mss del filo si espress d un funzione λ = λ(x, y, z). Definizione 2.2 Il bricentro, o centro di mss, G dell line è il punto le cui coordinte sono dte d x λ(x, y, z) ds y λ(x, y, z) ds z λ(x, y, z) ds x G = λ(x, y, z) ds, y G = λ(x, y, z) ds, z G = (2.7) λ(x, y, z) ds Se l densità di mss λ è costnte, il bricentro si chim nche centroide. In questo cso, semplificndo il fttore costnte λ l numertore e l denomintore delle formule (2.7) e ricordndo che ds = L è l lunghezz dell curv, ricvimo per le coordinte del centroide le seguenti espressioni: x G = 1 L x ds 2.4 ric totle su un filo y G = 1 L y ds z G = 1 L z ds (2.8) Supponimo che su un filo sino presenti criche elettriche e si λ l densità linere di cric sul filo. Allor l quntità di cric Q presente su un piccolo trtto di filo di lunghezz (positiv) s è Q = λ(p ) s dove P è un qulunque punto sul trtto di filo. Allor, se il filo è sostegno di un curv prmetrizzt, l integrle λ ds si interpret come l quntità totle di cric elettric sul filo. Pg. 4

5 2.5 Are di un superficie Se è un curv nel pino (x, y) e f(x, y) > per ogni punto (x, y) sul sostegno dell curv, possimo intepretre l integrle f ds come l re dell superficie l cui bse è il sostegno di e l cui ltezz, sul punto (x, y) dell curv, è f(x, y). Figur 1: L integrle f ds è l re dell figur trtteggit, l di sopr del curv. 3 Invrinz di un integrle di line di prim specie per riprmetrizzzione Or enuncimo e dimostrimo in modo rigoroso il ftto che l integrle di line di prim specie lungo un curv non cmbi se si riprmetrizz l curv, nche mgri cmbindone l orientzione. Questo è ovvio, se si pens l significto di tle integrle come mss totle, o come lunghezz, o come cric totle. omincimo con il ricordre l formul del cmbio di vribile nell integrle. 3.1 Formul del cmbio di vribile nell integrle Tornimo studire il cmbio di vribili in un integrle definito (di Riemnn). (Il teorem seguente è già stto dimostrto; ne riportimo qui l enuncito per comodità). Teorem 3.1 (mbio di vribili negli integrli definiti) Si [, b] R un funzione continu sull intervllo [, b] ( < b) e si [α, β] [, b] un funzione biunivoc con derivt continu su ϕ un intervllo [α, β] (α < β). Allor: ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = β α f f(ϕ(t))ϕ (t)dt (3.1) Distinguimo esplicitmente i due csi possibili. Pg. 5

6 1) Se ϕ è crescente (cioè ϕ (t), ϕ(α) = e ϕ(β) = b), si h: b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt (ϕ(α) =, ϕ(β) = b) (3.2) 2) Se ϕ è decrescente (cioè ϕ (t), ϕ(α) = b e ϕ(β) = ), ricordndo che b f(x)dx = b f(x)dx, si h: b β f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt (ϕ(α) = b, ϕ(β) = ) (3.3) α Si vede llor subito che i due csi (ϕ crescente o decrescente) si possono rissumere, oltre che nell form (3.1), nche nel modo seguente: b f(x)dx = β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt (3.4) Inftti, qundo ϕ (t) si h ϕ (t) = ϕ (t) e quindi l (3.4) si riduce ll (3.2), mentre se ϕ (t) si h ϕ (t) = ϕ (t), e si ottiene l (3.3). 3.2 Invrinz per riprmetrizzzione Si [, b] R 3 t (t) = (x(t), y(t), z(t)), t [, b] un curv prmetrizzt (di clsse 1 ) e si f un funzione definit sul sostegno di. Ricordimo che l integrle di line di prim specie di f lungo è dto d b f ds = f((t)) (t) dt (3.5) = b f(x(t), y(t), z(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt (3.6) Or riprmetrizzimo l curv. Questo signific che considerimo un cmbio di prmetro [α, β] ϕ [, b] (3.7) dove ϕ è un funzione biunivoc di clsse 1. Se chimimo t il prmetro su [, b] e τ (si legge tu ) il prmetro su [α, β], scriveremo L curv [α, β] t = ϕ(τ), o più semplicemente t = t(τ) (3.8) R 3 che si ottiene come composizione di ϕ e si chim riprmetrizzzione di medinte ϕ: = ϕ, (τ) = (ϕ(τ)) (3.9) [, b] R 3 ϕ = ϕ [α, β] Pg. 6

7 Diremo che l curv = ϕ e l curv sono equivlenti. Se ϕ (τ) > (per ogni τ [α, β]) si dice che e hnno l stess orientzione. Se invece ϕ (τ) <, si dice che hnno orientzioni opposte. Teorem 3.2 (Invrinz dell intergle curvilineo rispetto l cmbio di prmetrizzzione) Sino e due curve prmetrizzte equivlenti (non import se con l stess orientzione oppure no): [, b] R 3 ϕ = ϕ [α, β] Si f un funzione continu sul loro (comune) sostegno. Allor f ds = f ds (3.1) Dimostrzione. Per l regol di derivzione dell funzione compost, bbimo Si h llor: f ds = β α f((τ)) (τ) dτ (τ) = d dτ [(ϕ(τ)] = (ϕ(τ)) ϕ (τ) (3.11) Per definizione di integrle curvilineo. = β α f((ϕ(τ))) (ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ Per l (3.11). = b f((t)) ( (t) dt = f ds Per l formul (3.4) (mbio di vribili: t = ϕ(τ)). Per definizione di integrle curvilineo. Q.E.D. In prticolre, dl teorem di invrinz dell intergle curvilineo rispetto l cmbio di prmetrizzzione segue che: L lunghezz di un curv prmetrizzt non dipende dl modo in cui l si prmetrizz. Pg. 7

8 4 Esercizi Esercizio 4.1 lcolre l lunghezz dell circonferenz di rggio R. Soluzione. Un prmetrizzzione dell circonferenz di rggio R è (t) = (x(t), y(t)) = (R cos t, R sin t), t [, 2π] Il vettore tngente è (t) = ( R sin t, R cos t), il cui modulo è (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t = R Quindi l lunghezz dell circonferenz è dt d: 2π (t) dt = 2π R dt = 2πR Esercizio 4.2 lcolre l lunghezz dell curv prmetrizzt (t) = (e 2t, 2e t, t), t [, 1]. Qul è l mss totle del sostegno dell curv, se l su densità linere di mss è costnte e ugule δ? Soluzione. L lunghezz dell curv è ds = (t) dt = 4e 4t + 4e 2t + 1 dt = (2e 2t + 1) dt = [ e 2t + t ] 1 = e2 Se l densità linere di mss δ è costnte, l mss totle è dt dll integrle δ ds = δ ds = δ Lunghezz = δ e 2 Esercizio 4.3 lcolre l lunghezz dell elic cilindric (t) = ( cos t, sin t, bt), t [, 2π] (4.1) z x y Figur 2: L elic dell qule si vuole clcolre l lunghezz. Pg. 8

9 Soluzione. Il vettore tngente è (t) = ( sin t, cos t, b) e il suo modulo è (t) = 2 sin 2 t + 2 cos 2 t + b 2 = 2 + b 2 Allor l lunghezz dell elic è dt dll integrle 2π (t) dt = 2π 2 + b 2 dt = 2π 2 + b 2 Dimo un interpretzione geometric. Tglimo il cilindro (sul qule si vvolge l elic) lungo l direttrice pssnte per il punto (,, ), e sviluppimo il cilindro su un pino, l elic divent l digonle di un tringolo rettngolo (perché l terz componente z(t) = bt dipende linemente d t) i cui cteti sono l circonferenz rettifict - di lunghezz 2π - e l ltezz dell elic, che è ugule 2πb. Dunque l su lunghezz è (2π)2 + (2πb) 2 = 2π 2 + b 2 2π 2 + b 2 2πb 2π Figur 3: L lunghezz dell elic è l digonle del rettngolo di dimensioni 2π e 2πb. Esercizio 4.4 lcolre l lunghezz dell curv che è grfico dell funzione y = x 3, x [, 1] Soluzione. Il grfico può essere visto come il sostegno dell curv prmetrizzt x(t) = t, y(t) = t 3, t [, 1] Il vettore tngente è ( 1, 3 ) t 2 l cui lunghezz è t L lunghezz del grfico è [ 4 4 t dt = 9 2 ( ) 3/2 ] t = 8 ( ( 13 ) 27 4 )3/2 1 = Pg. 9

10 Esercizio 4.5 lcolre l lunghezz dell cicloide: (t) = (R(t sin t), R(1 cos t)), t [, 2π] (4.2) y 2 1 (t) = (t sin t, 1 cos t) 1 5 2π x Figur 4: L cicloide è l curv descritt d un punto di un circonferenz di rggio R (in figur R = 1) qundo l circonferenz rotol, senz striscire, sull sse delle x. Soluzione. Si h: (t) = Ricordndo l formul di bisezione 1 cos t = sin t 2 2 bbimo: Lunghezz = 2π R 2 (1 cos t) 2 + R 2 sin 2 t = R 2 1 cos t R 2 1 cos t dt = 2R 2π t [, 2π] sin t 2 dt = 2R 2 cos t 2 2π = 8R Esercizio 4.6 lcolre l integrle (curvilineo di prim specie) (3x y + z) ds, dove è l curv prmetrizzt (t) = (3t, 4t 1, t + 5), con t [, 2]. Soluzione. L curv prmetrizzt è un segmento di rett, il cui elemento di line ds è ugule ds = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt = dt = 26 dt L funzione f(x, y, z) = 3x y + z, ristrett lungo l curv, è f(x(t), y(t), z(t)) = (3(3t) (4t 1) + (t + 5)), t [, 2] Quindi l integrle d clcolre è (3x y + z) ds = 2 (3(3t) (4t 1) + (t + 5)) dt = 2 (6t + 6) 26 = Pg. 1

11 Esercizio 4.7 Trovre le coordinte del bricentro dell semicirconferenz di equzioni prmetriche: x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t [, π] (4.3) penst come un filo di densità linere costnte. Soluzione. Per motivi di simmetri, il bricentro si deve trovre sull sse delle y. Le sue coordinte (x, y) sono dte, per definizione, d: x = 1 x ds, y = 1 y ds L L dove L è l lunghezz dell curv. Nel nostro cso L = πr e ds = R dt. Quindi: x = 1 πr y = 1 πr π π R cos t R dt = R π R sin t R dt = R π π π cos t dt = sin t dt = 2 π R Esercizio 4.8 Si consideri l curv r, nello spzio tridimensionle R 3, di equzioni prmetriche: r(t) = t 2 i + 2 cos t j + 2 sin t k, t [, π]. Si dimostri che l curv è semplice (cioè iniettiv). Si clcoli l mss totle del filo costituito dll immgine dell curv r, nell ipotesi che l densità linere di mss si δ(x, y, z) = x. Soluzione. Per dimostrre che l curv è iniettiv, bst osservre che l su prim componente x(t) = t 2 è un funzione iniettiv sull intervllo [, π]. Si h ṙ(t) = 2t i 2 sin t j + 2 cos t k, t [, π], e quindi: ṙ(t) = 4t = 2 t 2 + 1, t [, π]. L funzione δ(x, y, z) = x, ristrett ll curv r(t) = (t 2, 2 cos t, 2 sin t), è dt d: δ(x(t), y(t), z(t)) = x(t) = t 2 = t = t ( t = t perché t [, π]). Quindi l mss totle è dt dl seguente integrle curvilineo: π δ(r(t)) ṙ(t) dt = π π x(t) 2 t2 + 1 dt = 2t t dt = 2 [ (t ) ] 3/2 π = 2 [ (π ) ] 3/ Pg. 11