LEZIONE 9-6 maggio 2016 Campi vettoriali

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1 LEZIONE 9-6 mggio 216 mpi vettorili 1. Introduzione DEFINIZIONE 1.1. Dto un insieme S R 3, un cmpo vettorile F su S è un legge che ssoci d ogni punto di S un vettore F(x,y,z) di componenti (F 1 (x,y,z),f 2 (x,y,z),f 3 (x,y,z)). In ltri termini un cmpo vettorile F è un funzione F : S R 3 R 3 ESEMPIO 1.2. Il cmpo vettorile F (x,y,z) =,,z} è definito in tutto lo spzio e ssoci d ogni punto P = (x,y,z) R 3 il vettore verticle,,z}. Un cmpo vettorile che bbi l terz componente null si dice cmpo vettorile pino. F(x,y,z) = (F 1 (x,y,z), F 2 (x,y,z), ) 1.1. Il metodo delle freccette. Un modo di rppresentre un cmpo vettorile è quello di rppresentre i vettori F (x,y,z) in corrispondenz di un grigli di punti (x k,y k,z k ) dello spzio, rppresentzione ftt nturlmente disegnndo prtire d ciscuno dei punti (x k,y k,z k ) l freccett F (x k,y k,z k ) che rppresent il vettore. Alcuni vettori del cmpo vettorile pino F (x,y) = ( y,x) sono rppresentti in figur 1. FIGURA 1. mpo vettorile F(x, y) = ( y, x). Oltre l verso si noti che le freccette in Figur hnno nche lunghezze vribili d punto punto: l loro lunghezz inftti rppresent il modulo F (x,y) = y 2 + x 2. ESEMPIO 1.3. L forz che un mss M post nel punto (,,) esercit su un second mss m che si trov nell posizione (x,y,z) è rppresentt d F (x,y,z) = GMm 1 r 3 x, 1 r 3 y, 1 r 3 z }, r = x 2 + y 2 + z 2. L costnte G è un costnte che non dipende nè d m e M nè dll loro posizione. Il cmpo grvitzionle F (x,y,z) è diretto verso l origine e il suo modulo F è GMm r 2. 1

2 2 ESEMPIO 1.4. Il cmpo elettrico. L forz elettric F (x,y,z) esercitt d un cric elettric Q post nell origine (,,) su un cric q post nel punto P = (x,y,z) è dt d εqq F (x,y,z) = r 3 x, εqq } εqq r 3 y, r 3 z,r = x 2 + y 2 + z 2 dove ε è un costnte che dipende dll unità di misur utilizzt. OSSERVAZIONE 1.5. I cmpi grvitzionle ed elettrico considerti nei due esempi precedenti sono cmpi rdili: essi hnno cioè direzione prllel l rggio x, y, z} vlori che dipendono solo dll distnz r = x 2 + y 2 + z 2 si trtt cioè di cmpi espressi come F (x,y,z) = ϕ(r)x, y, z} Si f : R 3 R, con f 1, 2. Il cmpo del grdiente f (x,y,z) = f x (x,y,z), f y (x,y,z), f z (x,y,z)} è un cmpo vettorile detto cmpo del grdiente di f. Se f = f (x,y) è un funzione di due vribili, llor f (x,y) è un cmpo vettorile pino o di R 2. ESEMPIO 2.1. Il cmpo del grdiente di f (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 è F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) (vedi figur 2). FIGURA 2. Il cmpo del grdiente di x 2 + y 2 + z Un fenomeno di ortogonlità. I vettori f (x,y) sono perpendicolri lle linee di livello f (x,y) = k. Inftti, si Φ(t) = ϕ 1 (t),ϕ 2 (t)} un rppresentzione prmetric dell curv di livello Si h, quindi, : f (x,y) = k (1) f (ϕ 1 (t),ϕ 2 (t)) = k, t I.

3 2. IL AMPO DEL GRADIENTE 3 Derivndo l (1) rispetto t secondo l regol di derivzione delle funzioni composte si trov f x ϕ 1(t) + f y ϕ 2(t) = ovvero f (Φ(t)) Φ (t) = cioè f (x,y) è perpendicolre l vettore Φ (t) tngente nel punto P = (x,y). ESEMPIO 2.2. Il cmpo del grdiente di f (x,y) = x 2 + 3y 2 è F (x,y) = (2x, 6y) In figur 3 sono rppresentte lcune ellissi, linee di livello di f, e lcuni vettori del cmpo F. FIGURA 3. Linee di livello e grdiente di f (x,y) = x 2 + 3y Un condizione necessri. Si F = F 1 (x,y), F 2 (x,y)} = U(x,y) un cmpo pino, l uguglinz delle derivte seconde miste U xy = U yx F 1 y = F 2 x Anlogmente, nel cso di cmpi tridimensionli, l uguglinz delle derivte miste U xy = U yx U xz = U zx U zy = U yz F = A(x,y,z), B(x,y,z), (x,y,z)} = U(x,y,z) A y = B x A z = x y = B z Se le componenti del cmpo F non verificno le uguglinze indicte il cmpo non è un cmpo grdiente. ESEMPIO 2.3. Il cmpo F = y,2x} non è un cmpo grdiente: inftti y y x 2x

4 4 3. Lvoro di cmpi vettorili 3.1. Premess. L fisic definisce il lvoro di un forz F reltivo llo spostmento del suo punto di ppliczione lungo il segmento l come il prodotto sclre F l Detto t il versore di l ed s l lunghezz riesce quindi F l = F t s Se lo spostmento del punto di ppliczione nzichè essere lungo un segmento si svolgesse su un poligonle l 1 l 2... l n il lvoro è nturlmente definito dll somm dei lvori su ciscun segmento l k n F l k = k=1 n F t k s k k=1 Il pssggio d spostmenti lungo un poligonle quelli lungo un curv è prevedibile e trsform un sommtori in un integrzione. Il vlore del lvoro W dipende nturlmente dl verso con cui lo spostmento viene percorso: se in un verso si ottiene il vlore W nel verso opposto si ottiene W Il clcolo integrle. Assegnti: l curv, su cui si esegue lo spostmento, curv di rppresentzione prmetric il versore tngente Φ(t) = ϕ 1 (t).ϕ 2 (t),ϕ 3 (t)}, t [,b] T (t) = Φ (t) Φ = α(t),β(t),γ(t)} t [,b] (t) versore che pertnto definisce il verso di percorrenz su corrispondente lle t crescenti, un cmpo vettorile F(x,y,z) = F 1 (x,y,z),f 2 (x,y,z),f 3 (x,y,z)}, componenti continue su si può considerre il lvoro W del cmpo F lungo percors nel verso delle t crescenti che viene clcolto trmite l integrle curvilineo (2) F(Φ(t)) T(t)ds, F(Φ(t)) T(t) = F 1 (Φ(t))α(t) + F 2 (Φ(t))β(t) + F 3 (Φ(t))γ(t) 3.3. Algoritmo di clcolo. Tenut presente l definizione di integrle curvilineo lungo un curv di rppresentzione prmetric Φ(t), ds = Φ (t) dt = (t) + ϕ 2(t) + ϕ 2(t) dt si h F(Φ(t)) T(t)ds = b ϕ 2 1 F(Φ(t)) T(t). Φ (t) dt = 2 3 b F(Φ(t)) Φ (t)dt Scrivendo esplicitmente il prodotto sclre,si ottiene quindi per il lvoro l espressione seguente b ( F1 (Φ(t))ϕ 1(t) + F 2 (Φ(t))ϕ 2(t) + F 3 (Φ(t))ϕ 3(t) ) dt.

5 3. LAVORO DI AMPI VETTORIALI 5 OSSERVAZIONE 3.1. Il lvoro dello stesso cmpo F su percors nel verso delle t decrescenti è l opposto di quello indicto sopr. Tle cmbio di segno si ottiene nche, utomticmente, pensndo ll integrle ( F1 (ϕ(t))ϕ 1(t) + F 2 (ϕ(t))ϕ 2(t) + F 3 (ϕ(t))ϕ 3(t) ) dt. b con gli estremi e b scmbiti. Quindi, per il lvoro di un cmpo F lungo un curv si ritrovno i fenomeni di lternnz di segno che si erno stbiliti per gli integrli in un vribile. Il cso di un curv pin, contenut d esempio nel pino z =, può essere considerto come un cso prticolre in cui F 3 = e F 1 e F 2 dipendono solo d x e y: l formul di clcolo si riduce pertnto b ( F1 (Φ(t))ϕ 1(t) + F 2 (Φ(t))ϕ 2(t) ) dt. ESEMPIO 3.2. Si il qurto di circonferenz di centro l origine, rggio r = 1 percors dl punto A = (1,) l punto B = (,1) e si F = y, x}. Il lvoro di F su tle curv, rppresentt prmetricmente d è pertnto F T ds = x = cos(t), y = sin(t), t [,π/2] π/2 sin(t), cos(t)} sin(t), cos(t)}dt = π 2 Il lvoro dello stesso cmpo F reltivo l segmento d A B, rppresentto prmetricmente d x = 1 t, y = t, t [,1] è invece 1 F T ds = t, 1 t} 1,1}dt = 1 AB I lvori di uno stesso cmpo lungo due percorsi diversi d A B possono riuscire differenti. OSSERVAZIONE 3.3. Se è un curv chius, l integrle (2) è nche detto circuitzione di F lungo e si indic con il simbolo F(Φ(t)) T(t)ds. ESEMPIO 3.4. Si F(x,y,z) = x,y,z}) e si il segmento dll origine l punto (1,2,3). Un rppresentzione prmetric di è ϕ (t) = 1,2,3}, pertnto il lvoro 1 x = t, y = 2t, z = 3t, t [,1] (ϕ 1 (t) + 2ϕ 2 (t) + 3ϕ 3 (t))dt = 14 1 t dt = 7. ESEMPIO 3.5. Si F(x,y) = y,3x} e si : x = cost, y = sint, t [,2π]. Si h 2π (sin 2 t + 3cos 2 t)dt = 4π.

6 L notzione delle forme differenzili. L lgoritmo di clcolo del lvoro di un cmpo F = F 1,F 2,F 3 } lungo l curv prmetrizzt d Φ(t) = ϕ 1 (t),ϕ 2 (t),ϕ 3 (t)}, t [,b] b F1 (Φ(t))ϕ 1(t) + F 2 (Φ(t))ϕ 2(t) + F 1 (Φ(t))ϕ 1(t) } dt si indic spesso nche con l notzione delle forme differenzili F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz} notzione suggerit dll interpretzione dei differenzili dx = ϕ 1(t)dt, dy = ϕ 2(t)dt, dz = ϕ 3(t)dt L notzione delle forme differenzili è prticolrmente utile nel cso di curve costituite d poligonli coordinte, cioè formte d segmenti prlleli gli ssi coordinti. ESEMPIO 3.6. Si F = F 1,F 2,F 3 } detti si l poligonle OAB O = (,,),A = (1,,),B = (1,1,), = (1,1,1) F T ds = OA F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz AB B Inftti su ciscuno dei tre segmenti che compongono OAB le rispettive tre prmetrizzzioni comportno che su OA vri solo l prim coordint, quindi T ds = dx, su AB vri solo l second T ds = dy, su B vri solo l terz T ds = dz. 4. Il lvoro dei cmpi grdiente TEOREMA 4.1 (Teorem fondmentle del clcolo per gli integrli curvilinei). Sino (1) F = U(x,y,z) un cmpo grdiente definito su S, insieme perto di R 3, (2) S un curv orientt, d A B. Allor (3) U(x,y,z) T ds = U(B) U(A) DIMOSTRAZIONE. Si Φ(t) l rppresentzione prmetric di si h, tenuto conto dell regol di derivzione delle funzioni composte, U(Φ(t)) Φ (t) = U x ϕ 1(t) + U y ϕ 2(t) + U z ϕ 3(t) = d dt U(Φ(t)) Ne segue quindi U(x,y,z) T ds = b cioè l differenz di U tr i due estremi. d U(Φ(t))dt = U(Φ(b)) U(Φ()) dt

7 5. IL POTENZIALE 7 ESEMPIO 4.2. Si U(x,y) = 3x 2 + 5xy 4y 2 e si F = U, si l curv di rppresentzione prmetric Φ(t) : x = 1 +t, y = t 2, t [,3]}. Si h 3 U(x,y) T(t)ds = 6(1 +t) + 5t 2, 5(1 +t) 8t 2 } 1, 2t}dt = = 3 6(1 +t) + 5t 2 + 2t(5(1 +t) 8t 2 ) } dt = 99 Il risultto ottenuto è in ccordo con il precedente teorem A = Φ() = (1,) U(A) = 3 B = Φ(3) = (4,9) U(B) = 96 U(x, y) T(t)ds = U(B) U(A) U(B) U(A) = 99 PROPOSIZIONE 4.3. Il precedente teorem (4.1) implic che il lvoro di un cmpo grdiente lungo un curv chius, estremi A e B coincidenti, è zero. DIMOSTRAZIONE. Risultto ovvio tenuto conto dell (3) con Φ() = Φ(b), A = B. PROPOSIZIONE 4.4. Se esiste un curv chius tle che il lvoro F T ds vuol dire che F non è un cmpo grdiente. I cmpi grdiente si dicono nche cmpi conservtivi. 5. Il potenzile DEFINIZIONE 5.1. Si F(x, y, z) un cmpo vettorile: ogni funzione U(x, y, z) per l qule riesc F(x,y,z) = U(x,y,z) prende il nome di potenzile di F Non è ovvio decidere se un cmpo F mmett potenzili, si cioè un cmpo grdiente. Ovvimente se U(x,y,z) è potenzile di F nche ogni ltr funzione U(x,y,z)+k con k costnte è potenzile di F: in ltri termini esistono infiniti potenzili, come, nel cso unidimensionle, esistevno infinite primitive. L proprietà, Proposizione (4.3) dei cmpi grdiente di compiere lvoro nullo lungo le curve chiuse giustific il nome dto loro di cmpi conservtivi ESEMPIO 5.2. Le funzioni U(x, y) = x y + k sono tutte potenzili del cmpo F = y, x}. Il Teorem 4.1, pgin 6, F(γ(t)). T(t)ds = γ(a,b) γ(a,b) U. T(t)ds = U(B) U(A) h provto che i cmpi grdiente F = U compiono lvoro nullo sulle curve chiuse: quindi ogni cmpo che compi lvoro non nullo su qulche curv chius non potrà essere un cmpo grdiente.

8 8 ESEMPIO 5.3. Il lvoro del cmpo pino F(x,y) = } y x 2 + y 2, x x 2 + y 2 lungo l circonferenz di centro l origine e rggio r = 1 vle 2π F(x,y) T(t)ds = 1dt = 2π Quindi il cmpo F(x, y) ssegnto non è un cmpo grdiente, ovvero non esiste lcun funzione U(x,y) di clsse 1 tle che F(x,y) = U(x,y) ostruzione di un potenzile. Si F = A(x,y), B(x,y)} un cmpo pino, regolre in tutto il pino, le cui componenti verifichino le condizioni di comptibilità A y (x,y) = B x (x,y) Per costruire un potenzile, cioè un funzione U(x,y) tle che F = U si può procedere l modo seguente si determinno le primitive di A(x,y) rispetto d x, cioè V (x,y) = x si sceglie l c(y) in modo che V y (x,y) = A(t,y)dt + c(y) V x (x,y) = A(x,y) x ovvero, tenuto conto che A y (t,y) = B x (t,y), V y (x,y) = ESEMPIO 5.4. Si Riesce ostruimo x V (x,y) = A y (t,y)dt + c (y) = B(x,y) B x (t,y)dt + c (y) = B(x,y) B(,y) + c (y) = x F = x 3 + 3xy, y x2 } (x 3 + 3xy) y = (y x2 ) x (t 3 + 3t y)dt + c(y) = 1 4 x x2 y + c(y) V y (x,y) = 3 2 x2 + c (y) = y x2 c (y) = y 2 c(y) = 1 3 y3 + c Ne segue che le funzioni U(x,y) = 1 4 x x2 y y3 + c U = x 3 + 3xy, y x2 } sono tutte potenzili di F.