QUADRATURA NUMERICA A. SOMMARIVA

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1 QUADRATURA NUMERICA A. SOMMARIVA Conoscenze richieste. Integrle di Riemnn. Teorem di Weierstrss. Polinomi di Lgrnge. Derivte di ordine superiore. Opertori lineri limitti. Teorem di Weierstrss sull densità di uno spzio polinomile rispetto C([, b]) con [, b] chiuso. Progrmmzione in Mtlb/Octve. Conoscenze ottenute. Formule di qudrtur. Grdo di precisione. Formule interpoltorie. Formule di Newton-Cotes. Regol del trpezio e di Simpson. Formule composte. Errore di lcune formule di qudrtur. Formule pesi positivi. Errore formule di qudrtur di Newton-Cotes. Errore formule di qudrtur di Guss. Stbilità di un formul di qudrtur. Teorem di Poly- Steklov. 1. Qudrtur numeric. Problem Un clssico problem dell nlisi numeric è quello di clcolre l integrle definito di un funzione f in un intervllo vente estremi di integrzione, b (non necessrimente finiti) cioè I w (f) := I w (f,, b) = dove w è un funzione peso in (, b) [1, p.06, p.70]. L nostr intenzione è di pprossimre I(f) come I w (f) Q N (f) := f(x) w(x)dx N w i f(x i ) (1.1) I termini w i e x i [α, β] sono detti rispettivmente pesi e nodi. Sino (, b) l intervllo di integrzione (non necessrimente limitto), x 1,..., x N un insieme di N punti due due distinti, f C([, b]) un funzione w-integrbile cioè per cui esist finito I w (f). Not Se l intervllo è limitto, per il teorem di Weierstrss e l integrbilità dell funzione peso, questo è vero per qulsisi funzione continu in qunto f(x) w(x)dx f(x) w(x)dx f w 1 < +. Se N p N 1 (x) = f(x i )L i (x) Ultim revisione: 0 mrzo 017 Diprtimento di Mtemtic, Universitá degli Studi di Pdov, stnz 419, vi Trieste 63, 3511 Pdov, Itli (lvise@mth.unipd.it). Telefono:

2 è il polinomio che interpol le coppie (x i, f(x i )) con i = 1,..., N, dove l solito L i indic l i-simo polinomio di Lgrnge llor f(x)w(x)dx = = p N 1 (x)w(x)dx N f(x i )L i (x)w(x)dx ( N ) b L i (x) w(x)dx f(x i ) (1.) per cui, confrontndo con l formul (1.1) bbimo w i = L i (x) w(x)dx, i = 1,..., N. In virtù di qunto detto ppre nturle l seguente Definizione 1.1 (Formul interpoltori (Lgrnge, 1795)). qudrtur per cui si dice interpoltori. w k = f(x)w(x)dx Un formul di N w i f(x i ) (1.3) Definizione 1. (Grdo di precisione). Un formul L k (x) w(x)dx, k = 1,..., N (1.4) f(x)w(x)dx M w i f(x i ) h grdo di precisione lmeno N se e solo se è estt per tutti i polinomi f di grdo inferiore o ugule N. H inoltre grdo di precisione N se e solo se è estt per ogni polinomio di grdo N ed esiste un polinomio di grdo N + 1 per cui non lo si. Mostrimo or il seguente Teorem 1.1. Un formul f(x)w(x)dx N w i f(x i ) è interpoltori se e solo se h grdo di precisione lmeno N 1. Dimostrzione. 1.1 (Fcolttivo). Se l formul è interp., f(x)w(x)dx n w if(x i ) con w i = L i (x)w(x)dx, i = 1,..., n.

3 Se f = p n 1 P n 1 llor p n 1 = n p n 1(x i )L i (x). D p n 1 = n p n 1(x i )L i (x), llor p n 1 (x)w(x)dx = = = n p n 1 (x i )L i (x)w(x)dx n p n 1 (x i ) L i (x)w(x)dx n w i p n 1 (x i ), (1.5) e quindi l formul h grdo di precisione n 1. Vicevers se è estt per ogni polinomio di grdo N 1 llor lo è in prticolre per i polinomi di Lgrnge L i P n 1, il che implic che w i = L i(x) w(x)dx e quindi i pesi sono proprio quelli dell formul interpoltori corrispondente nei nodi x 1,..., x N. Not. 1.. Osservimo che il precedente teorem dice che un formul di qudrtur N punti h grdo di precisione N 1 se e solo se i pesi sono del tipo dove l solito w i = è l i-simo polinomio di Lgrnge. L i (x)w(x)dx, i = 1,..., N L i (x) = N, j i (x x i ) x j x i. Formule di Newton-Cotes. Definizione.1 (Formule di Newton-Cotes (chiuse), (Newton 1676, Cotes 17)). Si [, b] un intervllo chiuso e limitto di R. Un formul S N (f) = N w if(x i ) tle che f(x)dx N w if(x i ) si dice di tipo Newton-Cotes chius (cf. [4, p.336]) se i nodi sono equispziti, cioè i pesi sono w i = x i = + (i 1) (b ), i = 1,..., N, N 1 L i (x)dx, i = 1,..., N, L i (x) = N, j i (x x i ) x j x i e quindi l formul è interpoltori e h grdo di precisione lmeno N 1. Vedimo lcune formule di Newton-Cotes (chiuse). Definizione. (Regol del trpezio). L formul si chim regol del trpezio. I(f) S 1 (f) := S 1 (f,, b) := Si dimostr che 3 (b ) (f() + f(b))

4 Figur.1. Regol del trpezio e di Cvlieri-Simpson per il clcolo di (rispettivmente re in mgent e in zzurro). 0.5 sin (x) dx Figur.. Regol del trpezio e di Cvlieri-Simpson per il clcolo di (rispettivmente re in mgent e in zzurro). 0.5 sin (x) dx l errore compiuto è E 1 (f) := I(f) S 1 (f) = h3 1 f () (ξ), ξ (, b) (.1) d (.1), si vede che il suo grdo di precisione è 1 in qunto se f P 1, llor f () (ξ) = 0 e quindi l formul è estt, se f P \P 1, llor f () (ξ) 0. Definizione.3 (Regol di Cvlieri-Simpson (Cvlieri 1635, Simpson 1743)). L formul I(f) S 3 (f) := S 3 (f,, b) := b [ f() + 4f( + b ] 6 ) + f(b) si chim regol di Cvlieri-Simpson. Si dimostr che l errore compiuto è E 3 (f) := I(f) S 3 (f) = h5 90 f (4) (ξ), h = b, ξ (, b) 4

5 il grdo di precisione è 3 (e non come previsto!) in qunto se f P 3, llor f (4) (ξ) = 0 e quindi l formul è estt, se f P 4 \P 3, llor f (4) (ξ) 0. Fcolttivo..1. Vedimo clcolndo i pesi, che in effetti le due formule sono interpoltorie. Regol del trpezio. Posti x 1 =, x = b bbimo che e quindi visto che w 1 bbimo L 1 (x) = x b b, L (x) = x b x b w 1 = L 1 (x) dx = b dx = 1 b = 1 (x b) b b = 1 (x b) b b = 1 b ( b) = b (x b) dx w = = 1 b L (x) dx = (x ) x b dx = 1 b b = 1 b (x ) b = b (x ) dx Fcolttivo... Cvlieri-Simpson. I rgionmenti sono nloghi. D ltr prte essendo quelle dei trpezi e Simpson regole rispettivmente venti e 3 punti con grdo e 4, llor sono entrmbe interpoltorie. Per ulteriori dettgli si confronti [1, p.5-58], [4, p ]. Qulor le funzioni d integrre non sino sufficientemente derivbili, un stim dell errore viene fornit dlle formule dell errore vi nucleo di Peno ([1, p.59]). Ricordimo che per N 8 le formule di Newton-Cotes chiuse hnno pesi di segno diverso e sono instbili dl punto di vist dell propgzione degli errori (cf. [3, p.196]). 3. Formule di Newton-Cotes composte. Visto che per N 8 le formule risultno instbili, ci si domnd se si possibile ottenere per N 8 delle formule stbili. Definizione 3.1 (Formule composte). Si suddivid l intervllo (chiuso e limitto) [, b] in N subintervlli T j = [x j, x j+1 ] tli che x j = + jh con h = (b )/N. Dlle proprietà dell integrle f(x) dx = N 1 j=0 xj+1 x j f(x) dx N 1 j=0 S(f, x j, x j+1 ) (3.1) dove S è un delle regole di qudrtur finor esposte (d esempio S 3 (f)). Le formule descritte in (3.1) sono dette composte. 5

6 Figur 3.1. Formul dei trpezi compost per il clcolo di 0.5 sin (x) dx (re in mgent) Formule di Newton-Cotes composte: trpezi compost. Vedimo due csi prticolri. Definizione 3. (Formul dei trpezi). h = (b )/N. L formul Sino x i = + ih, i = 0,..., N con S (c) b 1 (f, N) := N [ f(x0 ) + f(x 1 ) f(x N 1 ) + f(x ] N) (3.) si chim dei trpezi (o del trpezio compost). Si mostr che l errore compiuto è per un certo ξ (, b) E (c) 1 (f) := I(f) S(c) 1 (b ) (f, N) = h f () (b ) (ξ), h = 1 N. il grdo di precisione è 1, m reltivmente ll Regol del trpezio, per N 1, il psso h è minore. Sotto certe ipotesi, l stim E (c) 1 (f) C N è conservtiv. Teorem 3.1 (Formul di Eulero-Mc Lurin). Se l integrnd f C M+ ([, b]) llor M f(x)dx = S (c) 1 (f, N) B ( ) k (k)! hk f (k 1) (b) f (k 1) () B M+ (M + )! h(m+) (b )f (M+) (ξ), ξ (, b) dove B k sono i numeri di Bernoulli (Bernoulli, 1713). Se f C M+ ([, b]) e f (k 1) (b) = f (k 1) (), per k = 1,..., M f(x)dx S (c) 1 (f, N) = B M+ (M + )! h(m+) (b )f (M+) (ξ), ξ (, b) e deducimo che E (c) 1 (f) C N M+. In reltà l errore può perfino decrescere più rpidmente. Teorem 3.. Si suppong f : [0, π] R si 6

7 periodic con periodo π, nlitic, soddisfi f(z) M nel semipino Im(z) >, > 0. Allor per ogni N 1 e l costnte π è l più piccol possibile. I N (f) I(f) πm e N Formule di Newton-Cotes composte: Cvlieri-Simpson compost. Definizione 3.3 (Formul di Cvlieri-Simpson compost). Fissti N subintervlli, si h = b N. Sino inoltre x k = + kh/, k = 0,..., N. L formul I(f) S (c) 3 (f, N) := [ ] N 1 h N 1 f(x 0 ) + f(x r ) + 4 f(x s+1 ) + f(x N ) 6 r=1 s=0 è not come di Cvlieri-Simpson compost. Si mostr che l errore compiuto è per un certo ξ (, b) (3.3) E (c) 3 (b ) (f) := I(f) S(c) 3 (f, N) = 180 ( ) 4 h f (4) (ξ) il grdo di precisione è 3, m reltivmente ll regol di Cvlieri-Simpson, per N 1, il psso h è minore. 4. Formule gussine. Problem Nelle formule interpoltorie di Newton- Cotes (come d esempio l regol del Trpezio o di Cvlieri-Simpson) i nodi x 1,..., x n sono equispziti, il grdo di precisione δ è generlmente ugule lmeno n 1 m in lcuni csi, come per l regol di Cvlieri-Simpson, ugule l numero di nodi n. Considerimo or formule vlide nche su intervlli (, b) non necessrimente limitti, vlide per certe funzioni peso w : (, b) R, che prità di nodi hnno grdo di precisione mggiore. Definizione 4.1 (Funzione peso). Un funzione w : (, b) R (non necessrimente limitto) si dice funzione peso, se (cf. [1, p.06, p.70]) 1. w è nonnegtiv in (, b);. esiste ed è finito per ogni n N; 3. se x n w(x) dx g(x)w(x) dx per un qulche funzione nonnegtiv g llor g 0 in (, b). 7

8 Tr gli esempi più noti ricordimo 1. Legendre (scoperti nel 1785): w(x) 1 in [, b] limitto;. Jcobi (scoperti nel 1834): w(x) = (1 x) α (1 + x) β in ( 1, 1) per α, β 1; 3. Chebyshev (scoperti nel 1853): w(x) = 1 1 x in ( 1, 1); 4. Lguerre (scoperti nel 1879): w(x) = exp ( x) in [0, ); 5. Hermite (scoperti nel 1864): w(x) = exp ( x ) in (, ); Not I polinomi di Hermite erno già przilmente noti Lplce (1810). Si suppong or di dover clcolre per qulche funzione f : (, b) R I w (f) := f(x)w(x) dx. Il problem è evidentemente più generle di quello di clcolre un integrle del tipo f(x)dx con f C([, b]), [, b] limitto, visto che l integrnd f w non é necessrimente continu in [, b] (si consideri d esempio il peso di Chebyshev che h un singolrità in = 1, b = 1) oppure può succedere che l intervllo si illimitto come nel cso del peso di Lguerre o Hermite. Problem. 4.. Esistono nodi x 1,..., x n e pesi w 1,..., w n (detti di Guss-nome funzione peso) per cui le reltive formule di qudrtur di tipo interpoltorio bbino grdo di precisione δ = n 1, cioè clcolino esttmente p(x)w(x) dx per ogni polinomio p il cui grdo è minore o ugule n 1? L rispost è ffermtiv, come si può vedere in [1, p.7]. Teorem 4.1 (Esistenz e unicità delle formule gussine (Jcobi, 186) ). Per ogni n 1 esistono e sono unici dei nodi x 1,..., x n e pesi w 1,..., w n per cui il grdo di precisione si lmeno n 1. I nodi sono gli zeri del polinomio ortogonle di grdo n, e i corrispettivi pesi sono w i = φ n (x) = A n (x x 1 )... (x x n ) L i (x)w(x)dx = L i (x)w(x)dx, i = 1,..., n. Dimostrzione. 4.1 ([3, p.09]). Per prim cos mostrimo che in effetti con tle scelt dei nodi l formul interpoltori h grdo di precisione lmeno n 1, che i pesi sono univocmente determinti e positivi. Sino p n 1 P n 1 e q n 1, r n 1 P n 1 tli che p n 1 = q n 1 φ n + r n 1. 8

9 q n 1(x)φ n (x)w(x)dx = (q n 1, φ n ) w = 0, poichè φ n è il polinomio ortogonle rispetto w di grdo n; inftti essendo (φ k, φ n ) w = 0, k = 0 < n necessrimente d q n 1 = n 1 k=0 γ kφ k bbimo n 1 (q n 1, φ n ) w = ( γ k φ k, φ n ) w = k=0 n 1 γ k (φ k, φ n ) w = 0 l formul è interpoltori per costruzione (vedere l definizione dei pesi!), per cui estt per ogni polinomio di grdo n 1 in qunto bst su n punti due due distinti; se x k è uno zero di φ n llor k=0 p n 1 (x k ) = q n 1 (x k )φ n (x k ) + r n 1 (x k ) = r n 1 (x k ). Quindi, bbimo p n 1 (x)w(x)dx = = 0 + = q n 1 (x)φ n (x)w(x)dx + r n 1 (x)w(x)dx = r n 1 (x)w(x)dx n w k r n 1 (x k ) n w k p n 1 (x k ) (4.1) per cui tle formul h grdo di precisione lmeno n 1. Dimostrzione. 4.. Inoltre, come dimostrto d Stieltjes nel 1884, i pesi w i = L i (x)w(x)dx, i = 1,..., n sono positivi. Inftti l formul è estt per ognuno dei qudrti dei polinomi di Lgrnge reltivo i punti x 1,..., x n in qunto deg(l i )=(n 1), l formul h grdo di precisione lmeno n 1, per cui, per ogni j = 1,..., n, 0 < L j(x)w(x)dx = n w k L j(x k ) = n w k δ j,k = w j. Se esistesse un ltr formul interpoltori con grdo di precisione lmeno n 1 e vesse nodi { x j },...,n, pesi { w j },...,n, 9

10 per prim cos i pesi srebbero positivi poichè il grdo di precisione è lmeno n 1 e quindi srebbe estt per il j-simo polinomio di Lgrnge L j d cui 0 < L j(x)w(x)dx = n w k L j ( x k ) = w j, per j = 1,..., n. D ltr prte se L j è il j-simo polinomio di Lgrnge (vente grdo n 1), poichè φ n è il polinomio ortogonle di grdo n rispetto l peso w, e w j > 0 bbimo che d 0 = (φ n, L j ) w = φ n (x) L j (x)w(x)dx = n w k Lj ( x k )φ n ( x k ) = w j φ n ( x j ) (4.) necessrimente x j = x j e visto che questo implic L j = L j ricvimo nche w j = L j(x)w(x)dx = L j(x)w(x)dx = w j per cui l formul gussin cerct è unic. 5. Sull errore di qudrtur delle formule di Newton-Cotes e di Guss. Fcolttivo Rigurdo gli errori compiuti d lcune formule di qudrtur. Teorem 5.1 ([1], p. 64). Si l regol di Newton-Cotes I(f) I n (f) = n i=0 w i,nf(x i,n ). se n è pri e f C (n+) ([, b]) llor con I(f) I n (f) = C n h n+3 f (n+) (η), η (, b) C n = 1 (n + )! n 0 µ (µ 1)... (µ n)dµ; se n è dispri e f C (n+1) ([, b]) llor con I(f) I n (f) = C n h n+ f (n+1) (η), η (, b) C n = 1 (n + 1)! n 0 µ(µ 1)... (µ n)dµ; Si osserv fcilmente che qunto visto in precedenz per l regol del trpezio e l regol di Cvlieri-Simpson, è consistente con questi due teoremi. Per qunto concerne l errore compiuto dlle formule gussine, Teorem 5. (Mrkov?,[1], p. 7). Si f C (n) (, b) con (, b) limitto e supponimo I w (f) = f(x)w(x)dx I n (f) = 10 n w i,n f(x i,n )

11 Figur 5.1. Grfico in scl semilogritmic dell funzione n+1 (n!) 4 (n+1)[(n)!] 3. si un formul gussin rispetto ll funzione peso w. Allor E n (f) := I w (f) I n (f) = γ n A n(n)! f (n) (η), η (, b) dove A n è il coefficiente di grdo mssimo del polinomio ortogonle φ n di grdo n, γ n = In prticolre, b φ se w 1, [, b] [ 1, 1] llor n(x)w(x)dx. E n (f) = n+1 (n!) 4 (n + 1)[(n)!] 3 f (n) (η), η ( 1, 1). 6. Stbilità di un formul di qudrtur. Problem Si (, b) un intervllo non necessrimente limitto, w un funzione peso in (, b). Inoltre supponimo posto f j = f(x j ) si I w (f) := f(x)w(x) dx S(f) := invece di {f j } j si dispong di un loro pprossimzione { f j } j. Ci si chiede come cmbi il vlore dell integrle, vlutndo invece η w j f j, (6.1) I w (f) := D f(x)w(x) dx S n (f) := η η S(f) = w j f j, S(f) = w j fj, 11 η w j fj. (6.)

12 ricvimo per l disuguglinz tringolre η η S(f) S(f) = w j (f j f j ) w j f j f j Quindi l quntità η w j mx f j f j. (6.3) j η w j è un indice di stbilità dell formul di qudrtur S. Se l formul h grdo di precisione lmeno 0 llor w(x)dx = 1 w(x)dx = η w j. Si h η w j η w j con l disuguglinz strett se e solo se qulche peso w j è negtivo. Di conseguenz, w(x)dx = η w j η w j con l disuguglinz strett se qulche peso w j è negtivo. Quindi l presenz di pesi negtivi peggior l indice di stbilità η w j, mentre se sono tutti positivi w(x)dx = η w j. 7. Alcune norme di opertori. Proposizione Se (, b) è limitto llor l opertore S : (C([, b]), ) R, definito d S(f) = η w j f j. è linere e continuo ed h norm η w j. Not Questo teorem dice che l indice di stbilità corrisponde ll norm S = mx f C([,b]),f 0 S(f) f 1

13 dell opertore S. Dimostrzione Per il teorem di Weierstrss esiste f ed è η η η η S(f) = w j f j w j f j w j mx f j w j f j e quindi I n è linere e continuo con norm minore o ugule η w j. In prticolre, scegliendo opportunmente f si prov che l norm dell opertore di qudrtur coincide con η w j. S = Proposizione. 7.. Se (, b) è limitto I = mx f C([,b]),f 0 S(f) mx f C([,b]),f 0 f I(f) f = Dimostrzione. 7.. D I(f) = f(x)w(x)dx w(x)dx = w 1. f(x) w(x)dx w(x)dx f = w 1 f e I(1) = w 1, deducimo che I = w Teorem di Stieltjes: legme tr errore di qudrtur e miglior pprossimzione polinomile. Teorem 8.1 (Stieltjes). Si (, b) un intervllo limitto, f C([, b]), w : (, b) R un funzione peso. Se η I n (f) = w j f j, con f j = f(x j ) è un formul di qudrtur vente grdo di precisione lmeno n, posto E n (f) = I(f) I n (f), si h η E n (f) w 1 + w j min f q n. (8.1) q n P n Dimostrzione

14 Se q P n è un polinomio rbitrrio di grdo n, vendo l formul di qudrtur grdo di precisione lmeno n, ed I(q) = I n (q). Ricordimo inoltre che gli opertori I ed I n sono lineri e quindi I n (f q) = I n (f) I n (q), I(f q) = I(f) I(q). Per qunto visto I n (f) I n f, I(f) f w 1. Quindi, se q P n è il polinomio di miglior pprossimzione di f, d I n (f) I n f = η w j f, I(f) f w 1, min qn P n f q n = f q. bbimo d cui l tesi. E n (f) = I(f) I n (f) = I(f) I n (q) + I n (q) I n (f) I(f) I n (q) + I n (q) I n (f) I(f) I(q) + I n (q f) I(f q) + I n (f q) w 1 f q + I n f q = ( w 1 + I n ) f q η = w 1 + w j min f q n. q n P n Not. 8.1 (Importnte!). L interesse di questo teorem è il legme col polinomio di miglior pprossimzione. Risult importnte osservre che in η E n (f) w 1 + w j min f q n. (8.) q n P n contribuiscono i prodotti di due termini. 1. Il primo è dovuto ll funzione peso e ll stbilità dell formul di qudrtur.. Il secondo è dto esclusivmente dll miglior pprossimzione di f (e non fw). Quindi se w è un funzione peso con fw non regolre m f regolre llor l utilizzo di formule gussine rispetto ll funzione peso w, come nticipto prim, offre risultti potenzilmente migliori, come suggerito di teoremi di Jckson sull miglior pprossimnte polinomile di un funzione f, che forniscono stime di min q n P n f q n con f C([, b]) (dotndo C([, b])) dell norm infinito). Esempio 8.1. Qule esempio considerimo un formul 14

15 pesi positivi, grdo di precisione n 0. Necessrimente, posto E n (f) = f q n, I n = i w i = i w i = w 1 = esttmente l costnte 1, I = w 1, ricvimo w(x)dx, in qunto l formul integr I(f) I n (f) ( i w i + w 1 )E n (f) = w 1 E n (f). Se d esempio w 1 nell intervllo ( 1, 1), d w 1 = si h che I(f) I n (f) 4 E n (f). Esercizio 8.1. Si clcoli l integrle 1 1 exp (x) 1 x dx con l formul di Guss-Legendre e un formul di Guss-Jcobi con esponenti α = 1/ e β = 0. Qule delle due srà d usre e perchè? 9. Teorem di Poly-Steklov, sull convergenz delle formule di qudrtur. Si w : (, b) R un funzione peso, con (, b) limitto. Sotto queste ipotesi, se f continu in [, b] llor fw L 1 (, b). Definit l fmigli di formule {S n } n N (con g.d.p. non necessrimente n) I w (f) := f(x)w(x)dx S n (f) := introducimo l errore dell formul n-sim E n (f) := Ci si domnd qundo E n (f) := f(x)w(x)dx f(x)w(x)dx i=0 i=0 Teorem 9.1 (Poly-Steklov, [3], p.0). Sino [, b] un intervllo comptto, i=0 w i,n f(x i,n ) (9.1) w i,n f(x i,n ). w i,n f(x i,n ) 0. S n (f) = i=0 w i,nf(x i,n ), n = 0, 1,... un sequenz di formule di qudrtur tle che I w (f) S n (f). E n (f) := f(x)w(x)dx i=0 w i,nf(x i,n ). 15

16 Condizione necessri e sufficiente ffinchè per ogni f C([, b]) lim E n(f) = 0 n + è che 1. esist M R per cui si bbi w i,n M (indip. d n);. per ogni k N si bbi lim n + E n (x k ) = 0. Dimostrzione Supponimo che 1. esist M R tle che per ogni n si bbi. per ogni k N si bbi w i,n M; lim E n(x k ) = 0. k + Per un teorem di densità dovuto Weierstrss, per ogni τ 1 > 0 esiste un polinomio p tle che f p τ 1. Fissto n, per l definizione di norm degli opertori, si h che e dto che I w = w 1 I w = I w (g) sup g C([,b]),g 0 g Similmente implic che I w (g) I w g = w 1 g, g C([, b]) (9.) S n = S n (g) sup g C([,b]),g 0 g w i,n S n (g) S n g = w i,n g. (9.3) Posto g = f p in I w (g) w 1 g, S n (g) i w i g, E n (f p) = I w (f p) S n (f p) I w (f p) + S n (f p) w 1 f p + ( = w 1 + w i,n ) w i,n f p f p ( w 1 + M) τ 1. (9.4) 16

17 Di conseguenz E n (f p) ( w 1 + M) τ 1, per ogni n N. Si osservi che il secondo membro dell precedente disuguglinz non dipende d n. Poichè lim n E n (p) = 0, per ogni τ > 0 esiste Ñ (τ ) N tle che se n Ñ (τ ) llor E n (p) τ. Di conseguenz fissto ɛ > 0 e posto τ 1 = ɛ/( ( w 1 + M)), τ = ɛ/, bbimo che esiste N(ɛ) = Ñ (ɛ/) tle che se n N(ɛ) llor e E n (f p) ( w 1 + M) τ 1 = ( w 1 + M) ɛ ( w 1 + M) = ɛ/ E n (p) τ = ɛ/. Quindi, dll linerità di E n, per n N(ɛ) = Ñ (τ ) E n (f) E n (f) E n (p) + E n (p) = E n (f p) + E n (p) ɛ + ɛ = ɛ (9.5) che permette di concludere dll definizione di limite che lim n E n (f) = 0. Mostrimo che se lim n + E n (f) = 0 llor esiste M R indipendente d n per cui si bbi w i,n M. Supponimo che per ogni f C([, b]) si lim n E n (f) = 0. Essendo E n (f) = I w (f) S n (f) bbimo S n (f) = I w (f) E n (f) e quindi per l disuguglinz tringolre e I w (f) w 1 f S n (f) I w (f) + E n (f) w 1 f + E n (f). Poichè lim n E n (f) = 0 necessrimente lim n E n (f) = 0 e quindi, dll definizione di limite, segue fcilmente che esiste M(f) R (indipendente d n, m dipendente d f) tle che S n (f) M(f) <. Il teorem di uniforme limittezz (tlvolt citto come di Bnch-Steinhus) [, p.58] stbilisce che se L n è un sequenz di opertori lineri limitti d uno spzio di Bnch V uno spzio di Bnch W, per ogni v V l sequenz {L n (v)} n è limitt, llor Nel nostro cso sup L n < +. n 17

18 V (C([, b]), ), W R sono spzi di Bnch, posto L n S n, opertore linere limitto con norm S n = i=0 w i,n, se f C([, b]) bbimo che l sequenz {S n (f)} n è limitt in qunto esiste M(f) < indipendente d n tle che S n (f) M(f) <. Per il teorem di Bnch-Steinhus, d S n = i=0 w i,n si h sup n ( ηn ) w i,n i=0 = sup S n < +. n e quindi esiste M finito tle che i=0 w i,n M < +, n N. Il secondo punto d dimostrre è ovvio in qunto per ogni k, si h x k C([, b]). Not L intervllo [, b] è limitto per cui il teorem di Poly non è pplicbile per funzioni peso quli Guss-Lguerre e Guss-Hermite. Si osservi che in generle le formule di errore introdotte nei cpitoli precedenti, implicvno l convergenz in cso l integrnd f fosse sufficientemente regolre. Nel teorem di Poly-Steklov si chiede esclusivmente che f C([, b]), senz però offrire stime dell errore compiuto Alcune conseguenze e osservzioni sul Teorem di Poly-Steklov. Teorem 9.. Considerimo un formul su un dominio limitto, con i pesi w i,n positivi. Ess è convergente per ogni f C([, b]) se e solo se è convergente per ogni polinomio p. Dimostrzione. 9.. Se è convergente per ogni f C([, b]) llor lo è sicurmente per ogni p P n. Per il teorem di Poly-Steklov, bst mostrre che se converge sui polinomi llor, in queste ipotesi, si h che i=0 w i,n < M per ogni n. Poichè converge sui polinomi, lo è in prticolre per p(x) 1, d cui i=0 w i,n = i=0 w i,n = S n (1) n I(1) = w(x)dx e quindi sup n ( i=0 w i,n ) < M con M indipendente d M. Teorem 9.3. Un formul gussin su un dominio limitto è convergente. Dimostrzione Si un formul di Guss, su un dominio limitto, con n nodi {w i,n },...,n positivi. Per qunto detto, è convergente per ogni f C([, b]) se e solo se è convergente per ogni polinomio p. M ciò è verificto bnlmente in qunto essendo il grdo di precisione lmeno n 1, fissto k, per n ceil((k + 1)/) si h E n (x k ) = 0. Quindi, essendo tutti gli zeri contenuti in (, b), possimo pplicre il teorem di Poly-Steklov e dedurre che l crescere del numero di punti n dell formul gussin si h che lim E n(f) = 0 n + 18

19 qulsisi si l funzione continu f C(, b). Teorem 9.4. Un sequenz di formule composte, bste su regole pesi positivi e g.d.p. n 0, risult convergente qulor l mpiezz delle suddivisioni tend 0. Dimostrzione. 9.4 (Fcolttiv). Si consideri l suddivisione m = {τ i } i=0,...,m dell intervllo (, b) con nodi dell formul in questione. τ i < τ i+1, τ 0 =, τ m = b Visto che l formul compost h pesi positivi, risult convergente per ogni f C([, b]) se e solo se è convergente per ogni polinomio p. Mostrimo che è convergente per qulsisi polinomio p. Osservimo che tle formul compost integr esttmente ogni funzione polinomile trtti di grdo n su e che se s m,n è l interpolnte polinomile trtti di grdo n dell funzione f reltivmente ll suddivisione m e i nodi di qudrtur, f(x)dx = = d cui se f C (n+1) ([, b]) E n (f) = = (f(x) s m,n)dx + (f(x) s m,n)dx + i=0 s m,ndx f(x)dx w i,n f(x i,n ) (f(x) s m,n)dx 1 dx f s m,n (b ) f s m,n w i,n f(x i,n )dx (9.6) (b ) h(n+1) f (n+1) (n + 1)! (9.7) Siccome un polinomio f(x) = x k è infinitmente derivbile, f (n+1) è continu in [, b] e quindi per il teorem di Weierstrss f (n+1) è finito. Di conseguenz, se l successione di formule composte è tle che l mssim mpiezz h dell suddivisione tende 0 llor E n (x k ) 0. Per il teorem di Poly- Steklov si h così che l formul compost pesi positivi f(x)w(x)dx w i,n f(x i,n ) (9.8) è tle che qulsisi si l funzione continu f, E n (f) 0 qundo l mssim mpiezz dei subintervlli tende 0. 19

20 Teorem 9.5 (Fcolttivo). Un formul I n (f) f(x)w(x)dx := I(f) pesi positivi convergente sui polinomi e vente grdo di precisione lmeno 0 risult convergente sulle funzioni continue trtti in [, b]. Dimostrzione. 9.5 (Fcolttiv). Se f è tle funzione, si dimostr che per ogni ɛ > 0 esistono due funzioni f 1, f C([, b]) tli che f 1 f f e f 1 f ɛ. Osservimo che Poichè l formul è pesi positivi, f 1 f f implic che I n (f 1 ) I n (f) I n (f ). Essendo f 1 f f, f 1 (x)w(x)dx f(x)w(x)dx f (x)w(x)dx. Per il teorem di Poly-Steklov bbimo inoltre che essendo f 1, f C([, b]) llor lim n E n (f 1 ) = 0 e lim n E n (f ) = 0. Or notimo che Per l linerità degli opertori I, I n I(f 1 ) I n (f ) I(f) I n (f) I(f ) I n (f 1 ). (9.9) E n (f 1 ) + I n (f 1 f ) = (I(f 1 ) I n (f 1 )) + I n (f 1 f ) = I(f 1 ) I n (f ) (9.10) E n (f ) + I n (f f 1 ) = (I(f ) I n (f )) + I n (f f 1 ) = I(f ) I n (f 1 ) (9.11) Inoltre I n (f f 1 ) = w k (f (x k ) f 1 (x k )) w k f f 1 (9.1) I n (f 1 f ) = I n (f f 1 ) Quindi d (9.9), in virtù di (9.11), (9.1) E n (f) I(f ) I n (f 1 ) = E n (f ) + I n (f f 1 ) E n (f ) + mentre d (9.9), in virtù di (9.10), (9.13) E n (f 1 ) cioè E n (f 1 ) w k f f 1 (9.13) w k f f 1 w k f f 1 E n (f 1 ) + I n (f 1 f ) = I(f 1 ) I n (f ) E n (f) w k f f 1 E n (f) E n (f ) + w k f f 1 Dl ftto che w k = w(x)dx < +, lim n E n (f 1 ) = lim n E n (f ) = 0 e f f 1 ɛ, dll rbitrrietà di ɛ deducimo che E n (f) 0. 0

21 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI [1] K. Atkinson, Introduction to Numericl Anlysis, Wiley, [] K. Atkinson e W. Hn, Theoreticl Numericl Anlysis, Springer, 001. [3] V. Comincioli, Anlisi Numeric, metodi modelli ppliczioni, Mc Grw-Hill, [4] A. Qurteroni e F. Sleri, Introduzione l clcolo scientifico, Springer Verlg,