MATRICI E DETERMINANTI CENNI SUI SISTEMI LINEARI. Angela Donatiello 1

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1 MTRICI E DETERMINNTI CENNI SUI SISTEMI LINERI ngel Dontiello

2 Considerimo un insieme di numeri reli rppresentti tr prentesi qudre o tonde n n ij m m mn ( ) [ ] ij i,,m j,,n Si definisce mtrice un tbell di numeri reli disposti per righe e per colonne e costituit d m righe ed n colonne. Si dice che tle mtrice è del tipo m x n. Esempio m n l mtrice si dice rettngolre mtrice x Se Se m n l mtrice si dice qudrt, in tl cso non si prl più di tipo, bensì di ordine dell mtrice Not. Le mtrici si indicno con le lettere miuscole, mentre i loro elementi con le minuscole ngel Dontiello

3 DEFINIZIONI:. Un mtrice si dice null se sono nulli tutti i suoi elementi. Due mtrici si dicono dello stesso tipo se hnno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne 7 B e B sono mtrici x Gli elementi di ugul posto nelle suddette mtrici si dicono corrispondenti. Due mtrici dello stesso tipo si dicono uguli se sono uguli gli elementi corrispondenti B [ ik ] [ b ik ]. Si dice vettore rig un mtrice con un unic rig [ ] xn del tipo n ngel Dontiello

4 . Si dice vettore colonn un mtrice con un unic colonn del tipo m x m 6. In un mtrice qudrt gli elementi,,, nn costituiscono l digonle principle, mentre gli elementi n,, m costituiscono l digonle secondri In rosso l digonle principle e in blu quell secondri 7. In un mtrice qudrt gli elementi ik e ki che hnno gli stessi indici m invertiti si dicono coniugti, essi sono simmetrici rispetto ll digonle principle Esempio e Gli elementi che si trovno sull digonle principle sono coniugti di se stessi. ngel Dontiello

5 ngel Dontiello 8. L mtrice si definisce simmetric se gli elementi coniugti sono fr loro uguli ik ki 9. l mtrice si dice emisimmetric se gli elementi coniugti sono l uno l opposto dell ltro ik ki 6 6 In tl cso gli elementi dell digonle principle sono necessrimente nulli. L mtrice qudrt è dett mtrice identic o mtrice unità Gli elementi dell digonle principle sono tutti uguli d e tutti gli ltri elementi sono nulli

6 . L mtrice si dice digonle se h tutti gli elementi uguli zero, eccetto quelli dell digonle principle Se in prticolre risult n llor l mtrice si dice sclre. L mtrice identic è un prticolre mtrice sclre che su volt è un prticolre mtrice digonle. L mtrice identic si può nche indicre medinte il simbolo di Kronecker δ ik i i k k. Due mtrici sono dette simili se hnno lo stesso numero di righe e di colonne ( ij ) ( b ij ) B con i,,m j,,n ngel Dontiello 6

7 . Mtrice tringolre Un mtrice qudrt è dett tringolre qundo sono nulli tutti gli elementi l di sotto o l di sopr dell digonle principle. Nel primo cso l mtrice si dirà tringolre superiore, nel secondo cso si prlerà di mtrice tringolre inferiore.. Mtrice trspost Si chim mtrice trspost di un mtrice quell che si ottiene scmbindo, ordintmente, le righe con le colonne. L mtrice trspost si indic con il simbolo T Se l mtrice è del tipo m x n, l mtrice trspost srà del tipo n x m. ngel Dontiello 7

8 Esempio. Proprietà dell trspost: L trspost di un trspost è l mtrice stess: ( T ) T Se un mtrice è simmetric, llor ess coincide con l su trspost, cioè T T. Si chim mtrice oppost di un dt mtrice [ ] l mtrice dello stesso tipo con tutti gli elementi opposti [ ] ij ij ngel Dontiello 8

9 Somm tr mtrici dello stesso tipo OPERZIONI CON LE MTRICI Si chim somm di due mtrici dello stesso tipo l mtrice dello stesso tipo ottenut sommndo gli elementi corrispondenti nelle due mtrici ssegnte. [ ] B [b ] C + B [ b ] ij ij + Proprietà dell somm:. L operzione di somm tr mtrici dello stesso tipo è un legge intern, in qunto l mtrice somm è nche ess dello stesso tipo.. L somm tr mtrici è commuttiv e ssocitiv: commuttiv: + B B + ssocitiv: ( + B) + C + (B + C). Esiste l elemento neutro dell somm che è l mtrice null : + +. Esiste l mtrice oppost di ogni mtrice, : + ( ) ( ) + Le mtrici con l operzione di somm così definit costituiscono un gruppo belino 9 ij + ij ngel Dontiello 9

10 ngel Dontiello Differenz tr mtrici dello stesso tipo L differenz tr mtrici dello stesso tipo e B è l somm dell mtrice con l opposto dell mtrice B. B) ( B + Esempio. B B B) ( B

11 Prodotto di un mtrice per uno sclre Dt un mtrice [ ] e un numero rele r R si chim prodotto dell mtrice per il ij numero (o del numero per l mtrice), l mtrice ottenut moltiplicndo per r tutti gli elementi di. Esempio r r [r 6 8 r r Proprietà:. r (s ) (r s). (r + s) r + s ( + B)r r + rb r (r.. n. T ) T NOT: Con l operzione di somm e l operzione di prodotto esterno così definito, l insieme delle mtrici di tipo m x n costituisce uno spzio vettorile. ij ] ngel Dontiello

12 ngel Dontiello Esempio. Verifichimo che T T ) (r r r T 6 9 r T 6 9 r 6 9 r) ( T

13 Prodotto tr due mtrici (prodotto righe per colonne) Si [ ] un mtrice di tipo m x s e si B [b ] ij un mtrice di tipo s x n. Le due mtrici sono tli che il numero di colonne dell prim è ugule l numero di righe dell second. Tli mtrici si dicono conformbili rispetto ll moltipliczione. Si definisce prodotto (righe per colonne) dell mtrice di tipo m x s per l mtrice B di tipo s x n, l mtrice P di tipo m x n il cui generico elemento pijsi ottiene moltiplicndo sclrmente l i esim rig di per l j esim colonn di B. ij P B p ij s k ik b kj i,,m j,,n Esempio. B B ngel Dontiello

14 ngel Dontiello Proprietà del prodotto tr mtrici:. Distributiv destr : C B C) (B + +. Distributiv sinistr: C B C) B ( + +. ssocitiv: C (B) (BC). Trspost del prodotto: T T T B B) ( B B B T T B T T ( ) B T

15 ngel Dontiello. Non commuttività: il prodotto tr mtrici non è in genere commutbile, B B 6. Esistenz dell elemento neutro: l mtrice identic è commutbile con qulsisi ltr mtrice qudrt dello stesso rodine e si h che I I d ciò si fferm che l mtrice identic è elemento neutro rispetto l prodotto tr mtrici 7. tle proprietà non è invertibile, nel senso che se il prodotto tr due mtrici è l mtrice null, non necessrimente un delle due mtrici deve essere null. Quindi si dice che non vle l legge di nnullmento del prodotto. Esempio: B B con e B 8. Per le mtrici non vle l legge di semplificzione del prodotto: C B C B Esempio. B C

16 ngel Dontiello 6 6 C B m C B Esercizi: ) B clcolre ( ) T B ) Determinre x e y in modo tle che si: y x 9

17 Si [ ] Determinnte di un mtrice qudrt n i,,n ik un mtrice qudrt di ordine n. k,,n n nn d ess è possibile ssocire un vlore numerico detto DETERMINNTE dell mtrice qudrt. det ik NOT: Il simbolo con cui si indic il determinnte non v confuso con quello di vlore ssoluto. Il determinnte di un mtrice può essere nche negtivo. NOT: non h senso prlre di determinnte per mtrici rettngolri. Il determinnte si definisce solo per mtrici qudrte. NOT: Forniremo le regole di clcolo del determinnte per mtrici di ordine,,,, n ngel Dontiello 7

18 Determinnte di un mtrice qudrt di ordine Si []. Nel cso di mtrici di ordine il determinnte è il numero stesso, ossi l unico elemento di cui è costituit l mtrice. det [] Esempio. [ ] Determinnte di un mtrice qudrt di ordine Si il determinnte di un mtrice qudrt di ordine è il numero che si ottiene dll differenz del prodotto tr gli elementi dell digonle principle con quello degli elementi dell digonle secondri det det Esempio. 6 ngel Dontiello 8

19 ngel Dontiello 9 Esercizi:. Clcol il determinnte delle seguenti mtrici 6 B α α α α sen cos cos sen C α α tg tg D E + +. Risolvere l equzione: x x x

20 Minore complementre di un elemento di mtrice n n Considero l mtrice prendimo un elemento ik dell mtrice n n nn ed escludimo dll mtrice l i esim rig e l k- esim colonn d esempio n n n n nn Rimrrà un mtrice di ordine n n n nn ngel Dontiello

21 Il determinnte di quest mtrice si chim MINORE COMPLEMENTRE dell elemento scelto M n n nn Esempio: Elimino l prim rig e l terz colonn M 6 6 ngel Dontiello

22 Clssificzione degli elementi Prendimo un elemento ik, se i + k pri ik si dice di clsse pri se i + k dispri si dice di clsse dispri Complemento lgebrico dell elemento ik Il complemento lgebrico del elemento ik non è ltro che il minore complementre dell elemento ik preceduto dl segno + o dl segno second che l elemento considerto si di clsse pri o di clsse dispri. ik ik ( ) i+ k M ik Determinnte di un mtrice qudrt di ordine n> Il determinnte di un mtrice qudrt di ordine n > è dto dll somm dei prodotti degli elementi di un rig o di un colonn qulsisi per i rispettivi complementi lgebrici. det fissndo l rig k det + fissndo l colonn k k k k k kn kn kk + kk + nknk ngel Dontiello

23 ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( + ) + ( 6) + ( ) 6 9 Si può provre che si ottiene lo stesso risultto nche scegliendo righe o colonne diverse. Regol di Srrus (solo per mtrici x ) Per le mtrici x esiste un procedimento più semplice per il clcolo del determinnte. Si scrivono gli elementi dell mtrice e si ggiungono destr dell mtrice le prime due colonne dell mtrice stess. Si considerino poi l digonle principle e le sue prllele (in rosso) e l digonle secondri e le sue prllele (in blu). Il determinnte è dto dll somm del prodotto dell digonle principle con i prodotti delle sue prllele d cui si sottre il prodotto dell digonle secondri con i prodotti delle sue prllele. ngel Dontiello

24 ngel Dontiello Esempio: OSS. Ricordimo il determinnte simbolico che permette di determinre il prodotto vettorile tr vettori, note le loro tre componenti spzili. Esempio di clcolo del determinnte di un mtrice qudrt x 7 7 Not: per il clcolo del determinnte conviene scegliere l rig o l colonn che contiene il mggior numero di zeri, in modo tle d ridurre notevolmente i clcoli

25 Proprietà dei determinnti. Il determinnte dell mtrice è ugule l determinnte dell su trspost T T. Se tutti gli elementi di un rig o di un colonn sono nulli, il determinnte è nullo pplicndo Srrus si vede che. Scmbindo fr loro due righe (o due colonne) il determinnte cmbi segno scmbimo l prim colonn con l second ( ) ngel Dontiello

26 . Se in un mtrice qudrt due righe o due colonne sono proporzionli (in prticolre uguli) il determinnte dell mtrice è nullo. l prim e l terz colonn sono proporzionli 7 6 clcolndo con Srrus tle determinnte si prov che. Se si moltiplicno gli elementi di un line di un mtrice qudrt per uno sclre k, il determinnte dell mtrice rest moltiplicto per lo sclre k. k k k k k( ) k 6. Teorem di Binet. Dte due mtrici qudrte dello stesso ordine, e B, e detto C il loro prodotto, il determinnte dell mtrice è ugule l prodotto dei determinnti delle due mtrici e B. 7 B 7 det det B 6 det( B) ngel Dontiello 6

27 7. Se gli elementi di un rig (o di un colonn) si sommno quelli corrispondenti di un ltr rig (o colonn), tutti moltiplicti per un stess costnte, il determinnte non cmbi. 6 sommimo lle second rig l terz moltiplict per - Tle proprietà è utile per semplificre il clcolo del determinnte, cercndo cioè di ottenere righe o colonne con un elevto numero di zeri. 8. Se un rig (o colonn) è combinzione linere di due o più ltre prllele, il determinnte è nullo. ngel Dontiello 7

28 . Determinnte di un mtrice digonle Determinnti notevoli Il determinnte di un mtrice digonle è ugule l prodotto degli elementi dell su digonle principle. n Dimostrzione: Dimostrimolo per semplicità per un mtrice digonle di ordine, spendo che il risultto è però più generle. ngel Dontiello 8

29 Per clcolre il determinnte di sceglimo indifferentemente un rig o un colonn qulsisi. Osservimo subito che in tutte le righe o le colonne gli elementi sono tutti nulli eccetto uno. d esempio, scegliendo l prim rig si h che:. Determinnte di un mtrice sclre Se l mtrice è sclre, il suo determinnte è dto dll potenz n esim (pri ll ordine dell mtrice stess) dell elemento che si ripete lungo l digonle principle. 8. Determinnte dell mtrice identità. I essendo un prticolre mtrice sclre. ngel Dontiello 9

30 . Determinnte di un mtrice tringolre Il determinnte di un mtrice tringolre è dto dl prodotto degli elementi che compongono l digonle principle, così come vviene per le mtrici digonli. In generle se l ordine è n nn. Determinnte del prodotto di uno sclre per un mtrice qudrt Se r è uno sclre e un mtrice qudrt di ordine n, si h che il determinnte del prodotto di uno sclre per un mtrice è ugule l determinnte di per l potenz n esim dello sclre r. r r n Esercizi. (svolti in ul) ngel Dontiello

31 Mtrice invers di un mtrice qudrt Si definisce mtrice invers di un mtrice qudrt, di ordine n, un mtrice, se esiste, nch ess qudrt di ordine n, tle che moltiplict destr e sinistr per di come risultto l mtrice identic. I Se un mtrice mmette invers si dice che è invertibile. Teorem dell unicità dell invers L invers di un mtrice qudrt, se esiste, è unic. C.N.S. sull esistenz dell mtrice invers. Condizione necessri e sufficiente per l esistenz dell mtrice invers di un mtrice qudrt è che det Inftti, Pertnto I I ngel Dontiello

32 Regole per clcolre l mtrice invers L mtrice invers - di un mtrice è ugule l rpporto tr l trspost dell mtrice formt di complementi lgebrici dell mtrice dt e il determinnte dell mtrice stess. n * n T n nn n * dove T in cui ij rppresentno i complementi lgebrici degli n nn elementi dell mtrice ngel Dontiello

33 Per clcolre l mtrice invers è necessrio seguire il seguente procedimento: ) Clcolre il determinnte dell mtrice, in qunto se fosse nullo, non vrebbe lcun significto ricercrne l invers. ) Clcolre l mtrice * dei complementi lgebrici ) Determinre l trspost dell mtrice, T ) Dividere l mtrice * T per il determinnte dell mtrice. * * Esempio: Dt l mtrice clcolrne l invers Innnzitutto vlutimo il determinnte di è un mtrice non singolre Clcolimo l mtrice *, ossi l mtrice dei complementi lgebrici ngel Dontiello

34 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) Pertnto * * T n * n Infine: T n nn Proprietà dell inversione ( ) ( T ) ( ) T (B) B ngel Dontiello

35 Sottomtrici Si consideri un mtrice m x n. Le sottomtrici sono mtrici p x q con p me q n che derivno dll mtrice dt scegliendo d quest lcune righe e lcune colonne. Esempio: 7 Si consideri or di quest mtrice un sottomtrice scegliendo come elementi le intersezioni dell e rig con l, e colonn. Minore di un mtrice B Si un mtrice di tipo m x n. Fr tutte le sottomtrici di si considerino quelle qudrte di ordine p. Si chim minore di ordine p di un mtrice il determinnte di un qulsisi sottomtrice qudrt di ordine p estrtt d. Oss. L estrzione vviene sopprimendo lcune righe e lcune colonne dll mtrice. Si osserv inoltre che i minori non possono vere ordine superiore l minimo vlore tr m ed n. ngel Dontiello

36 Esempio: 7 Minori di ordine : ; ; ; Minori di ordine : Minori di ordine 7 Rngo o crtteristic di un mtrice 7 7 Si definisce rngo o crtteristic di un mtrice m xn il mssimo ordine dei minori non nulli. Esempio. Nell esempio citto precedentemente, l mtrice può vere l mssimo rngo, in qunto non è possibile estrrre minori di ordine mggiore. bbimo osservto che due minori di ordine sono nulli, m si può verificre che nche tutti gli ltri minori di ordine sono nulli, pertnto il rngo non può essere. bbimo trovto minori di ordine non nulli, pertnto il rngo è. Oss: Se è un mtrice qudrt di ordine n, il suo rngo è n se e solo se il determinnte dell mtrice non è nullo. ngel Dontiello 6

37 ngel Dontiello 7 Esempio. Si determini il rngo dell seguente mtrice. Il rngo dell mtrice deve essere minore o ugule. Si osserv che l second e l terz colonn sono tr loro proporzionli, pertnto un qulunque minore di ordine srà necessrimente nullo. Si consideri quindi il minore 6 Pertnto il rngo dell mtrice è. Esempio. Discutere il rngo dell seguente mtrice l vrire del prmetro. Essendo un mtrice qudrt di ordine, il rngo può essere l più. 6

38 ngel Dontiello 8 Se Rngo ) ( ) )( ( Pertnto per tutti i vlori del prmetro diversi d e il rngo è. nlizzimo cos ccde nel cso in cui e Se l unico minore di ordine non nullo è in tl cso il rngo è. Se Non è possibile individure nessun minore di ordine non nullo, pertnto il rngo è.

39 SISTEMI LINERI E MTRICI m x x x m x x x n n x mn x n n x n b b b n (*) form normle o cnonic di un sistem linere di m equzioni in n incognite. Il sistem si dirà omogeneo se tutti i termini noti sono uguli. Si definisce soluzione del sistem ogni n pl ordint ( c,,cn ) di numeri tli che le equzioni del sistem sino contempornemente soddisftte. Form mtricile: m m n n mn x x x xn b b b bn mtrice dei coefficienti vettore delle incognite vettore dei termini noti (*) x b ngel Dontiello 9

40 In generle non è possibile fornire un lgoritmo preciso per l risoluzione di un sistem linere. Se m nè possibile solo indicre l esistenz o meno di soluzioni medinte un teorem noto come teorem di Rouché Cpelli. Se però il numero di equzioni coincide con il numero delle incognite, llor è possibile considerre il seguente metodo Metodo dell mtrice invers Se l mtrice dei coefficienti è un mtrice qudrt non singolre, ossi con, llor il sistem mmette un e un sol soluzione x Inftti se, llor esiste l mtrice invers di, Pertnto si può scrivere x b x b b. x b Esempio. Risolvere il sistem x x x + x + x x x + x medinte il metodo dell mtrice invers. Scrivimo il sistem in form mtricile x b ngel Dontiello

41 ngel Dontiello x x x l mtrice non è singolre, pertnto il sistem mmette un e un sol soluzione Si clcol l invers e si ottiene. Pertnto effettundo il prodotto righe per colonne. Quindi le soluzioni del sistem sono ;x ;x x b x