Basi di Algebra Lineare. Ivan Zivko

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1 Bsi di Algebr Linere Ivn Zivko

2 Trigonometri

3 Rdinti Nelle scienze l unità di misur più ust per glingoli non sono i grdi, bensì i rdinti. Vle l seguente relzione: 36 o = π rd Per trovre qulsisi ngolo in rdinti si può quindi fre un proporzione. Per esempio: π = 9 36 = 9 36 π = π

4 Sin, Cos e Tn Le funzioni sin, cos e tn sono dei rpporti presenti nel tringolo rettngolo indipendenti dll su grndezz m solo di suoi ngoli. sin α = b c c β b cos α = c α tn α = b

5 Sin, Cos e Tn È chiro che vendo un ngolo e uno dei lti se ne può trovre un ltro: b = c sin α = c cos α..

6 Funzioni trigonometriche Funzione seno: Funzione coseno:

7 Sin, Cos e Tn Funzioni trigonometriche di lcuni ngoli prticolri: Angolo o 3 o 45 o 6 o sin 3 cos tn 3 3 3

8 Identità fondmentli: Sin, Cos e Tn sin cos tn sin cos

9 Angoli opposti: Sin, Cos e Tn sin sin cos tn cos tn

10 Teorem del seno Consider un tringolo qulsisi ABC. C c α b β γ A B b c sin sin sin

11 Teorem del coseno c b bcos Anlogmente vlgono nche: c b cbcos b c c cos Oss.: se l ngolo è 9 si ottiene il teorem di Pitgor.

12 Vettori

13 Introduzione Grndezze come lunghezz, tempertur o mss possono essere descritte d un semplice numero rele, ovvero uno sclre. Invece grndezze come velocità o ccelerzione hnno bisogno in più di ltre informzioni per essere descritte: direzione e verso.

14 Vettori geometrici Un segmento orientto come il seguente con ben definiti modulo(lunghezz), direzione (rett AB) e verso(d A verso B) si dice vettore. B A

15 Vettori geometrici Oss.: il vettore è indipendente dl punto di ppliczione. B B A A I segmenti (A,B) e (A,B ) sono rppresentti dllo stesso vettore.

16 Vettori geometrici L insieme di tutti i vettori geometrici nel pino è indicto con V. L insieme di tutti i vettori geometrici nello spzio è indicto con V 3.

17 Addizione di vettori: Vettori geometrici b b Metodo del prllelogrmmo Metodo del poligono

18 Vettori geometrici Sottrzione di vettori: b b b b b

19 Vettori geometrici Moltipliczione di un vettore per uno sclre V,3, Definimo il nuovo vettore : Modulo: Direzione: l stess di Verso: Se λ>: lo stesso di Se λ<: l opposto di

20 Vettori geometrici Esempio: 3

21 Vettori geometrici Proprietà: b b

22 Combinzioni lineri di vettori Def.: un combinzione linere di n vettori è un espressione del tipo... Il risultto è un vettore. n n

23 Dipendenz e indipendenz linere di vettori Def.: più vettori vengono detti linermente dipendenti se lmeno uno di essi può essere espresso come combinzione linere degli ltri. In cso contrrio sono linermente indipendenti.

24 Dipendenz e indipendenz linere di In V : Teorem vettori L' equzione, b lin. indipenden ti b solo se In prtic sono lin. indipendenti se non hnno l stess direzione.

25 Dipendenz e indipendenz linere di In V 3 : Teorem vettori L' equzione, b, c lin. indipenden ti b c solo se In prtic sono lin. indipendenti se non sono complnri.

26 Bsi in uno spzio vettorili Un bse è un insieme di vettori linermente indipendenti che gener tutto lo spzio vettorile. Cioè le combinzioni lineri dei vettori dell bse permettono di esprimere qulsisi vettore dello spzio vettorile.

27 Bsi in uno spzio vettorili Il numero dei vettori di un bse è detto dimensione dello spzio vettorile. Dunque: dim V dim V 3 3

28 Bsi ortonormte Le bsi ortonormte sono le bsi i cui vettori hnno modulo e sono ortogonli (cioè perpendicolri). e e 3 e e e In V : In V 3 : e e e 3

29 Vettori ritmetici Ogni vettore in V può essere espresso in modo unico come combinzione linere dei vettori dell bse. x x e e e x e x x e x e

30 Vettori ritmetici Abbimo quindi un corrispondenz biunivoc tr i vettori di V e le coppie di numeri reli: Allo stesso modo vle:, x x x R V 3 3 3, x x x x R V

31 Vettori ritmetici Def.: Il vettore x V n scritto nell form è detto vettore ritmetico (o lgebrico). x x x x 3... x n

32 Vettori ritmetici Le bsi in form ritmetic srnno: In V : In V 3 :, e e,, 3 e e e

33 Vettori ritmetici Qulsisi punto nel pino o nello spzio può essere descritto d un vettore. y P=(x,y) OP x y O x

34 Vettori ritmetici Somm di vettori: Moltipliczione con uno sclre: y x y x y y x x y x x x x x x

35 Vettori ritmetici È possibile ricvre nche il vettore ritmetico che leg due punti. y x A=(,5) O OB OA AB B=(5,) 5 OB 5 OA

36 Vettori ritmetici Il modulo (ovvero l lunghezz) dei vettori si può ricvre nel seguente modo: In V : In V 3 : y x y x z y x z y x

37 Il prodotto sclre in V 3 Il prodotto sclre dipende di moduli dei vettori coinvolti e dll ngolo tr essi. b γ Def.: dti due vettori e l ngolo che formno si definisce prodotto sclre come il numero: b b cos

38 Il prodotto sclre in V 3 Il segno del prodotto sclre dipende dll ngolo. b γ=9 o b b cos 9 <γ<9 b b cos 9 <γ<8 b b cos

39 Il prodotto sclre in R 3 Qundo bbimo i vettori ritmetici il prodotto sclre è definito come segue: b b b b b b b

40 Il prodotto sclre: proprietà Commuttiv: Associtiv: Distributiv: b b R c b c b ), ( ) ( c b c c b ) (

41 Il prodotto sclre: ppliczioni Clcolo del modulo: Ortogonlità di due vettori: 3 :, b b b

42 Il prodotto sclre: ppliczioni Clcolo dell ngolo tr due vettori: cos( ) b b cos b b

43 Il prodotto sclre Esempio: nel tringolo ABC con A=(-,,), B=(-,,) e C=(-5,,-3) determin l ngolo γ. C A γ B

44 Il prodotto vettorile Oss.: un tern ordint di tre vettori linermente indipendenti (quindi non complnri) è dett orientt positivmente (o tern destr) se essi sono disposti come segue: b c, b, c Possimo dire che un tern è destr se l rotzione che v dl vettore l gurdt dl 3 è ntiorri.

45 Il prodotto vettorile Def.: dti due vettori il prodotto vettorile è un vettore definito come segue: Modulo: Direzione: Verso: è un tern destr., V 3 b V 3 b c sin b b c b c c e c b,,

46 Il prodotto vettorile Significto geometrico c b b γ c b sin( ) h h re delprllelogrmmo

47 Il prodotto vettorile Usndo l form lgebric dei vettori il prodotto vettorile è definito come segue: b b b b b b b b b b

48 Il prodotto vettorile: ppliczioni Collinerità di due vettori: Clcolo dell re del prllelogrmmo costruito d due vettori. Clcolo dell ngolo tr due vettori: :, b b b b b b b sin ) sin(

49 Il prodotto vettorile: ppliczioni Esempio: distnz punto - rett P A B O

50 Il prodotto misto Def.: il prodotto misto è definito come un prodotto tr tre vettori in cui compre il prodotto sclre e il prodotto vettorile: ( b) Il risultto di tle operzione è uno sclre. c

51 Significto geometrico: Il prodotto misto ( c b b) c volume delprllepipedo

52 Il prodotto misto Osservzioni: Il vlore ssoluto del risultto però non cmbi mi qulsisi si l ordine dei vettori o delle operzioni. Vle nche: c b c b c b c b ) ( ) ( ) ( ) ( det ) ( c b c b c b c b

53 Equzione dell rett nello spzio Qulsisi rett nello spzio può essere determint d un punto P =(x ; y ; z ) e d un vettore direzionle. P d r : OP OP t d P t R

54 Equzione dell rett nello spzio Al vrire del prmetro t l punt del vettore OP, e quindi il punto P, percorre tutt l rett r. 3 : d d d t z y x z y x r

55 Mtrici

56 Introduzione Un mtrice si può descrivere come un tbell ordint di elementi, ognuno dei quli h un posizione ben precis. M

57 Introduzione Se il numero di righe è n e il numero di colonne è m, llor diremo che è un mtrice di dimensione nxm. Ogni elemento dell mtrice potrà essere identificto dlle coordinte rig (i) e colonn (j).

58 Introduzione

59 Introduzione Si utilizzno per esempio per: rppresentre dti che dipendono d due vribili, risolvere sistemi di equzioni, tture trsformzioni geometriche di figure, ecc.

60 Introduzione A dipendenz delle sue dimensioni possimo distinguere lcuni tipi di mtrici: Mtrici rettngolri, d es. (4x3) Mtrici qudrte, d es. (3x3) Mtrici colonn (o vettori), d es. (3x) Mtrici rig, d es. (x3)

61 Scilb: costruire un mtrice In scilb, qulsisi elemento è considerto un mtrice. Anche un qulsisi numero è trttto come un mtrice x. Esempio: per costruire l mtrice dell prim slide bst inserire: --> M=[ 3; 4 5 6; 7 8 9]

62 Operzioni con mtrici Prodotto con uno sclre: è l moltipliczione di un mtrice con un numero (ovvero uno sclre). In questo cso ogni elemento dell mtrice viene moltiplicto per questo numero. Esempio: moltipliczione di uno sclre λ con un mtrice qulsisi 4x4:,, 3, 4,,, 3, 4,,3,3 3,3 4,3,4,4 3,4 4,4,, 3, 4,,, 3, 4,,3,3 3,3 4,3,4,4 3,4 4,4

63 Operzioni con mtrici Somm/sottrzione di mtrici: è possibile solo se le mtrici hnno le stesse dimensioni! In questo cso gli elementi delle due mtrici che sono nell medesim posizione vengono sommti o sottrtti. Esempio:

64 Operzioni con mtrici Prodotto di mtrici: è possibile moltiplicre tr loro due mtrici A e B solo se il numero di colonne di A è ugule l numero di righe di B. m n m p p n p n p m m n C B A

65 Operzioni con mtrici Esempio: 4 3 4

66 Operzioni con mtrici Proprietà del prodotto tr mtrici: Non vle l proprietà commuttiv! A B B A Vle l proprietà ssocitiv: A BC ABC

67 Scilb: operzioni Sino A e B due mtrici, λ uno sclre. Somm e sottrzione: --> A+B --> A-B Prodotto con uno sclre: --> λ*a Prodotto di mtrici: --> A*B

68 Operzioni con mtrici Proprietà del prodotto tr mtrici: L elemento neutro (detto mtrice identità) esiste solo nell moltipliczione con mtrici qudrte! n n n n n n A I A n I n

69 Scilb: mtrice identità Esiste un comndo in Scilb che cre l mtrice identità di qulsisi dimensione: --> eye(num. righe, num. colonne) Esempio: l mtrice identità 3x3 si troverà nel seguente modo: --> eye(3,3)

70 L mtrice trspost Dt un mtrice A se ne può ricvre un ltr scmbindo le righe con le colonne. L nuov mtrice ottenut si dice mtrice trspost e si indic con A T. Esempio: T A A

71 L mtrice trspost Proprietà dell trsposizione: A B T A T B T T A B B T A T

72 Scilb: mtrice trspost Se A è un mtrice, e voglimo ricvre l su trspost con Scilb, dobbimo ggiungere l postrofo dopo l letter: --> A

73 L mtrice invers Se esiste l elemento neutro possimo llor supporre che esiste nche l elemento inverso, o nel nostro cso l mtrice invers, che indichimo con A -. A A Siccome l elemento neutro esiste solo per le mtrici qudrte, ciò vle nche per l invers. Non tutte le mtrici qudrte hnno l invers! A A I

74 L mtrice invers Esempio: A A

75 Scilb: mtrice invers Se A è un mtrice, e se l invers esiste, il comndo per trovrl è: --> inv(a)

76 Scilb: mtrice invers Se A è un mtrice, e se l invers esiste, il comndo per trovrl è: --> inv(a)

77 Il determinnte Dgli elementi di un mtrice qudrt è possibile estrpolre un prticolre numero, detto determinnte, che mi d lcune informzione che vedremo in seguito.

78 Per un mtrice x: Il determinnte A= det A = A = Esempio: clcolimo il determinnte delle mtrici A e B. A= 6 6 B= 6 4

79 Il determinnte Per un mtrice 3x3: Esempio: A A

80 Il determinnte Se il determinnte è diverso d zero llor l mtrice possiede l invers, in cso contrrio no!

81 Scilb: determinnte Il comndo in Scilb per il clcolo del determinnte di un mtrice A è il seguente: --> det(a)

82 Proprietà del determinnte. Se un colonn o un rig dell mtrice è compost d zeri llor il determinnte è zero.

83 Proprietà del determinnte. Se scmbimo tr di loro due colonne (oppure due righe) il segno del determinnte cmbi.

84 Proprietà del determinnte 3. Moltiplicndo un colonn (o un rig) per uno sclre nche il determinnte viene moltiplicto per quel numero.

85 Proprietà del determinnte 4. Se due colonne o due righe sono proporzionli llor il determinnte è nullo.

86 Proprietà del determinnte 5. Sommndo un colonn un ltr ev. moltiplict per un numero il determinnte non cmbi.

87 Proprietà del determinnte 6. Il determinnte dell trspost è ugule l determinnte dell mtrice inizile.

88 Il determinnte: metodo di Guss Se un mtrice h tutti zeri sopr o sotto l digonle llor il determinnte è ugule ll moltipliczione degli elementi sull digonle: A Si possono sfruttre le proprietà per portre un mtrice in quest form. 33

89 Il determinnte: metodo di Guss

90 Sistemi di equzioni Un sistem di equzioni è un insieme di equzioni. Le equzioni srnno qunte sono e incognite. Esempio: x y 6 x y 9

91 Sistemi di equzioni Un sistem di equzioni può essere descritto nche come un moltipliczione di mtrici y x y x y x

92 Sistemi di equzioni Potendo clcolre l invers si potrebbe per esempio risolvere il sistem nel seguente modo: A S C S A C

93 Sistemi di equzioni È possibile risolvere un sistem di equzioni usndo il metodo di Guss-Jordn usndo le seguenti regole: Un rig può essere divis o moltiplict per un numero rele diverso d zero. Ad un rig se ne può ggiungere (o sottrrre) un ltr moltiplict eventulmente per un numero.

94 Sistemi di equzioni Riprendimo l esempio precedente: A questo punto si può scrivere in modo semplificto: y x y x y x 9 6

95 Sistemi di equzioni Sfruttndo le regole ccennte sopr l obiettivo è quello di ottenere l mtrice identità sinistr dell brr, utomticmente destr si ricvernno le soluzioni: Dividimo l rig per :

96 Sistemi di equzioni Aggiungo ll rig l moltiplict per -:

97 Sistemi di equzioni Moltiplico l rig per /3:

98 Sistemi di equzioni Aggiungo ll rig l moltiplict per ½: Le soluzioni quindi sono: , 5 y x

99 Sistemi di equzioni Risolvendo si può incorrere in tre diversi tipi di soluzione. Soluzione determint: z y x

100 Sistemi di equzioni Soluzione impossibile: L ultim rig signific: che è chirmente impossibile. x y z 3

101 Sistemi di equzioni Soluzione indetermint: In prtic x e y sono in funzione di z, cioè fcendo vrire z vrino nche le soluzioni x e y, quindi ci sono infinite soluzioni. qulunque z z y z x

102 Clcolo dell mtrice invers Usndo lo stesso metodo è possibile ricvre nche l invers di un mtrice. Esempio: cerchimo l invers dell mtrice A. A

103 Clcolo dell mtrice invers Esempio: riscrivimo come prim. Ricvndo l mtrice identità sinistr dell brr, destr si creerà utomticmente l invers

104 Appliczioni lineri, utovlori e utovettori

105 Appliczioni lineri Def.: Sino E e F due spzi vettorili reli. Un ppliczione f : E F si dice linere se:. f x y f x f y. f x f x È possibile dimostrre che ogni ppliczione linere si può rppresentre trmite un mtrice (dett mtrice dell ppliczione), e vicevers ogni mtrice relizz un ppliczione linere.

106 Appliczioni lineri Oss.: siccome vlgono le proprietà lineri, per esempio in R 3 bbimo: L mtrice dell ppliczione è formt di vettori delle immgini delle bsi: e f x e f x e f x e x e x e x f x f 3,, e f e f e f A

107 Appliczioni lineri Esempio: voglimo crere l ppliczione dell proiezione di un vettore d R 3 R. Allor vle: Quindi: ' ', : 3 y x z y x R R P,, 3 e f e f e f A

108 Appliczioni lineri Vedremo più vnti che esistono ppliczioni che fnno ruotre i vettori, o ne ricvno il simmetrico, o come nell esempio ne fnno un proiezione, oppure ncor gli fnno cmbire bse. Tuttvi esistono prticolri vettori l cui direzione non viene modifict dlle mtrici dell ppliczione, sono detti utovettori.

109 Autovettori e Autovlori Def.: Si f un ppliczione linere. Uno sclre λ si dice utovlore di f se esiste un vettore non nullo per il qule vle: v In form mtricile: f Av v v Il vettore che soddisf quest relzione si chim utovettore di f reltivo ll utovlore λ. utovlore utovettore

110 Autovettori e Autovlori Esempio: In questo cso il vettore è utovettore! A f ) ( ) ( e f e f e e f f 3 4 A Mtrice dell'ppliczione :

111 Esempio: Autovettori e Autovlori f ( ) A Siccome ci srebbero infiniti utovettori con l stess direzione e stesso utovlore, per definizione si prende quello normlizzto (con modulo=): u

112 Autovettori e Autovlori In generle però di solito non si conoscono gli utovettori e gli utovlori di un mtrice, m bisogn ricvrli! Prim si trovno gli utovlori. Per frlo sfruttimo l seguente equzione: det dove λ è l utovlore. A I

113 Autovettori e Autovlori Per l mtrice dell esempio precedente srebbe quindi: det I A

114 Autovettori e Autovlori Ottenimo in questo cso un equzione di grdo, le cui soluzioni sono i nostri utovlori: 7 5,

115 Autovettori e Autovlori Or possimo trovre nche i reltivi utovettori: 5:

116 : Autovettori e Autovlori

117 Trsformzioni geometriche come ppliczioni lineri

118 Simmetri rispetto ll sse y in R

119 Simmetri rispetto ll origine in R

120 Rotzione in R

121 Proiezione d R3 R

122 Rotzione in R 3 rispetto ll sse z