AM2: Tracce delle lezioni- I Settimana

Transcript

1 AM: Trcce delle lezioni- I Settimn FUNZIONI DI PIÚ VARIABILI Si n N. Un funzione rele di n vribili reli é un funzione f : A R, A R n = R... R n volte Il grfico di f é G f := {(x, f(x)) R n+ = R n R : x A}. Gli elementi di R n, detti nche unti o vettori di R n, si denotno come x = (x,..., x n ) e gli sclri x j si dicono comonenti o coordinte di x. I vettori di R ed R 3 si scrivono nche (x, y), (x, y, z). Primi esemi di funzioni di iú vribili:. f(x, y) = x + by, funzione linere di due vribili, h come grfico il ino (nello szio ordinrio) di equzione z = x + by. Piú in generle f(x) = f(x,..., x n ) = x n x n = n j= j x j (funzione linere) h er grfico un ierino in R n+ ssnte er l origine 0 := (0,..., 0).. f(x, y) = x + y. G f é l suerfice (nello szio crtesino Oxyz) ottenut ruotndo ttorno ll sse Oz l rbol nel ino Oxz di equzione z = x. I olinomi in n vribili. Dto α = (α,..., α n ) N n e x R n, scriveremo x α := n i= x α i i, α := α + + α n. Un olinomio di grdo nelle x i si scrive P (x) = c α x α α Un funzione vettorile (o vlori vettorili) di n vribili reli é un funzione f : A R m, A R n, m f(x) = (f (x,..., x n ),..., f m (x,..., x n )) Le f j si chimno le (funzioni) comonenti di f. Se n =, f si dice nche curv rmetric o cmmino in R m. Ad esemio, dto x R m, f(t) := tx é funzione (linere) su R vlori in R m ; l su immgine If = {tx : t R} é l rett in R m ssnte er l origine e er x (sottoszio linere generto d x). Un ltro esemio: fissto r > 0, f : θ (r cos θ, r sin θ), t [0, π) é (nel ino) l circonferenz di centro l origine e rggio r (in form rmetric). Piú in generle, un f : A R n, A R k é k-suerfice (rmetric) in R n. Ad esemio, f : (θ, ϕ) (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sin θ, R sin ϕ), θ [0, π), ϕ [ π, π ] é sfer (rmetric) di centro l origine e rggio R in R 3.

2 STRUTTURA ALGEBRICA e STRUTTURA METRICA in R n Ricordimo che un insieme V si dice szio vettorile (o linere) su R se sono definite un oerzione di ddizione V V V, (u, v) u + v un moltiliczione er sclri R V V, (t, v) tv tli che (V, +) si gruo commuttivo e (t+s)u = tu+su, t(u+v) = tu+tv, t(sv) = (ts)v, v = v u, v V, s, t R Gli elementi di uno szio vettorile si chimno unti o vettori. Chirmente, R n, dotto delle oerzioni (x,..., x n )+(y,..., y n ) := (x +y,..., x n +y n ), t(x,..., x n ) := (tx,..., tx n ) é szio vettorile su R. Interretzione geometric. Come noto, R si rresent medinte i unti di un ino crtesino Oxy. In tle ino, dto v R, l insieme R v := {tv : t R} é l insieme dei unti dell rett uscente dll origine O := (0, 0) e ssnte er v; {tv + u : t R} é l (rresentzione rmetric dell ) rett ssnte er u e rllel ll rett R v. In rticolre, u + v é il unto comune lle rette {tu + v : t R} e {u + tv : t R} e si chim trslzione di u lungo v. Tle interretzione geometric si estende l cso generle n >. Altri esemi R = R N = {α : N R} dotto delle oerzioni (α + β)(j) := α(j) + β(j) j N, (tα)(j) := tα(j) t R, j N R [,b] := {f : [, b] R} dotto delle oerzioni (f + g)(x) := f(x) + g(x) x [, b], (tf)(x) := tf(x) t R, x [, b] C([, b]) := {f : [, b] R, f continu}

3 Combinzioni lineri e linere indiendenz, sottoszi lineri, bsi. Se u, v V e s, t R, su + tv é combinzione linere di u, v con coefficenti s, t. Dto A V, scriveremo < A >:= insieme delle combinzioni lineri di elementi di A. Diremo che v j, j =,..., sono tr di loro linermente indiendenti se t j v j = 0 t j = 0 j j=. V 0 V é sottoszio linere se u, v V 0, s, t R su + tv V 0. Chirmente < A > é sottoszio linere (generto d A). Esemi. Sino l := {α R : su j α(j) < + }, c 0 := {α R : α(j) j 0} l := {α R : j= α(j) < + } Allor, se, l c 0 l e sono sottoszi lineri di R. Che l si linere segue dll convessitá, qundo, di f(t) = t, i + b ( + b ), che dá unto α, β l α + β l. 3. Un sistem di vettori linermente indiendenti v i : i =,..., n che generino V si chim bse di V. Ricordimo che se V h un bse di n elementi, ogni ltr bse di V h esttmente n elementi, e tle numero si chim l dimensione di V. Se v j form un bse er V, llor ogni v V si scrive, in modo unico, nell form v = n j= c j v j. I numeri c j si chimno comonenti o coordinte di v nell bse v j. Ad esemio, se e = (, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., ) é l bse cnonic di R n, un vettore x di R n si scrive x = (x,..., x n ) = n j= x j e j (x j = comonenti o coordinte di x nell bse e j ). Trsformzioni lineri. Sino V, W szi vettorili su R. Un funzione L : V W si dice linere se L(su + tv) = sl(u) + tl(v) u, v V Chirmente IL = {L(u) : u V } e KerL := {v V : L(v) = 0} sono sottoszi lineri risettivmente di W, V. 3

4 Esemio. Dt A = ( ij ) i=,...,m;j=,...,n mtrice m n (m righe ed n colonne), l L A (x) := Ax = ( j x j,..., mj x j ) j= j= x = (x,..., x n ) R n é funzione (o trsformzione) linere d R n R m. L su immgine é un sottoszio linere ( di dimensione ri l rngo di A). Mtrice rresenttiv. Vicevers, se e i, i =,..., n, f j, j =,..., m sono bsi di V, W, risettivmente, ogni trsformzione linere d V W si rresent medinte un mtrice m n. Si inftti L trsformzione linere d V W. Sino, er ogni j, ij, i =,..., m le comonenti di Le j nell bse f i, cioé m Le j = ij f i i= Allor, se u = n j= x j e j e v := L(u) = m i= y i f i, si h ( m m ) m v = y i f i = Lu = x j L(e j ) = x j ij f i = ij c j f i i= j= j= i= i= j= ovvero, se y = (y,..., y m ), x = (x,..., x n ), osto A L := ( ij ), si h y = A L x Cioé, identificndo u ed Lu con le loro coordinte x ed y, L oer su x come A L, che si chim quindi mtrice rresenttiv di L nelle bsi dte. PRODOTTO SCALARE Si V szio linere su R. Un b : V V V si dice rodotto sclre in V se é simmetric b(u, v) = b(v, u) u, v V bilinere: b(su + tv, w) = sb(u, w) + tb(v, w), u, v, w V, s, t R ositiv b(u, u) > 0 u 0 Un rodotto sclre, se non c é confusione, si indic usulmente <.,. >. NOTA. Se <.,. > é rodotto sclre in V, llor, er ogni u V, le liczioni v < u, v > sono lineri. 4

5 Esemi. Si e j : j =,..., n bse er V, vettorile. Dti u := u = n j= x j e j, v := u = n j= y j e j, < u, v > := x j y j j= é rodotto sclre. Prodotto sclre in C([, b]). < f, g >:= b f(x)g(x)dx. Norm. Si V vettorile. Un liczione di V in R, v v si dice norm in V se (i) v 0 v V e v = 0 se e solo se v = 0 (ii) tu = t u u V, t R (ositiv omogeneitá) (iii) u + v u + v u, v V (diseguglinz tringolre) Uno szio vettorile V, dotto di un norm, si dice Szio Normto CAUCHY-SCHWARTZ Si <.,. > rodotto sclre in V. Si v := < v, v > v V Allor < u, v > u v u, v V. Corollrio: v < v, v > é un norm. Prov. 0 < u + tv, u + tv > = u + t < u, v > + t v t < u, v > u v 0. Inoltre, < v, v > 0 e < v, v > = 0 v = 0. Infine : u + v = u + v + < u, v > u + v + u v = ( u + v ) Esemi. In R n. x := nj= x j é un norm (l norm euclide). L diseguglinz tringolre si scrive x j + y j j= x j j= + y j j= Se n =, (x, y) = x + y é l lunghezz del vettore (x, y), ovvero del segmento di estremi (x, y) e (0, 0). 5

6 Altre norme in R n. Se, x := ( nj= x j ) ; x := mx j x j. Prodotto sclre e norm in l. Se α, β l, llor, er ogni N risult N N N α(j)β(j) α(j) β(j) j= j= j= α(j) β(j) j= j= < + Dunque j= α(j) β(j) é ssolutmente convergente e dunque definisce un rodotto sclre su l, cui corrisonde l norm f = α = α(j) In C([, b]). L norm ssocit l rodotto sclre < f, g >= b ( ) b f (x)dx. L diseguglinz di Cuchy-Schwrz si scrive j= b b f(x)g(x)dx f (x)dx b g (x)dx f(x)g(x)dx é Ortogonlitá. Si <.,. > rodotto sclre in V. Due vettori u, v si dicono tr loro ortogonli se < u, v >= 0. Se A V, A := {v V : qud < v, h >= 0 é sottoszio linere. h A}. Si vede subito che A Teorem di Pitgor. < u, v >= 0 u + v = u + v. Inftti u + v =< u + v, u + v >= u + < u, v > + v. SPAZI METRICI Si X un insieme. Un d : X X : [0, + ) tle che (i) 0 d(u, v), u, v R n d(u, v) = 0 u = v (ositivitá) (ii) d(u, v) = d(v, u) u, v R n (simmetri) (iii) d(u, v) d(u, w)+d(w, v) u, v, w R n (diseguglinz tringolre) si chim distnz o metric su X e (X, d) si chim szio metrico. 6

7 Metric ssocit un norm. Si (V,. ) szio normto. Allor d(u, v) := u v é un metric su V NOTAZIONE. Si (X, d) szio metrico. Sino r > 0 e x 0 X. Scriveremo B r (x 0 ) := {x X : d(x, x 0 ) < r} B r (x 0 ) é l ll ert di rggio r e centro x 0. Se V é szio normto, é B r (x 0 ) = rb +x 0 := {rx+x 0 : x B } = B r +x 0 = {x+x 0 : x B r }, B r := B r (0) SUCCESSIONI CONVERGENTI in uno SPAZIO METRICO Si (X, d) szio metrico. Sino x k, x X. Allor x k k x d(x k, x) k 0 Se V é szio normto, v k k v v k v k 0. In R n, munito dell norm euclide. : v k k v in R n v k v k 0. (i) Si u k = (x k,,..., x k,n ), u = (x,..., x n ), llor v k k v x k,j x j k 0 x k, k x,..., x k,n k x n j= (ii) u k converge su k u k < + (m non vicevers) (iii) u k u, v k v tu k + sv k tu + sv t, s R CONTINUITÁ Sino (X, d) e (Y, ρ) szi metrici, x 0 A X. Un f : A Y si dice continu in x 0 se ɛ > 0 δ ɛ > 0 : d(x, x 0 ) δ ɛ ρ(f(x), f(x 0 )) ɛ ovvero ɛ > 0, δ := δ ɛ : f(b δ (x 0 )) B ɛ (f(x 0 )). f si dice continu in A se é continu in ogni unto di A. C(A, R n ) indicherá l clsse delle funzioni continue in A vlori in R n (C(A) := C(A, R)). Proosizione Si f : A Y, x A. Allor (i) f é continu in x (x n A, x n n x f(x n ) f(x)) (ii) Se Y = R m e f = (f,..., f m ), f é continu in x le f j sono continue in x. 7

8 L dimostrzione di (i) é come nel cso f : R R. L (ii) segue dl ftto che f(x n ) f(x) f j (x n ) f j (x) er j =,..., m. Proosizione Sino A R n, f, g : A R m continue in u A. Allor (i) αf + βg é continu in u α, β R (ii) se m =, fg é continu in u e, se g(u) 0 nche f é continu in u g (ii) se f(a) B e φ : B R é continu in f(u), llor φ f é continu in u. ESEMPIO IMPORTANTE. Le funzioni lineri d R n R m sono continue. Un form linere l : R n R si rresent medinte un vettore : l(x) = l( n j= x j e j ) = n j= x j l(e j ) =< x, > ove = (l(e ),..., l(e n )). Siccome (Cuchy-Schwrtz) < x x 0, > x x 0, l é continu. Un trsformzione linere L : R n R m si rresent medinte un mtrice: L(x) = L( n j= x j e j ) = n j= x j L(e j ) = n j= x j [ m i= < Le j, f i > f i ]. (f i bse cnonic in R m ). Cioé L(x) = Ax ove A = (< Le j, f i >) i=,...,m;j=,...,n. Siccome Ax = m i= [ n j= ij x j ] m i= [ x n j= ij] = x [ ij ij], e L(x) L(x 0 ) = A(x x 0 ), vedimo che L é funzione continu. ESEMPI: (i) i olinomi in x,..., x n, ex(x +...+x n), sin(x... x n ), sono funzioni continue. (ii) Si f(x, y) := xyn se x + y 0, f(0, 0) = 0 (x +y ) Se n 4, f é continu in (0, 0): xy x + y xy n y y n 3 y n 3 (x +y ) x +y Se n = 3, f é discontinu in (0, 0) erché f(x, mx) = m3 x 0. (+m ) m Se n =,, d f(x, mx) = 3 segue che f non é limitt ttorno x 3 n (+m ) (0, 0), e quindi non é continu in (0, 0) erché g continu in u δ > 0 : g(v) g(v) g(u) + g(u) + g(u) se v u δ. Notimo che, fissto y, x f(x, y) é continu, e lo é nche y f(x, y) er ogni fissto x, e ció qule che si n N. L continuitá in x ed y é quindi un rorietá molto iú debole dell continuitá nel comlesso delle vribili. (iv). Si f(x, y) = xy log(x n + y m ), f(0, 0) = 0. Provimo che f é continu (nche) in (0, 0). Possimo suorre e x + y e n m. D xy n ( x n + y n ) segue xy log(x n +y m ) ( x n + y m ) n log(x n +y m ) ɛ se (x n + y m ) δ er un δ = δ ɛ oortuno, erché t n log t 0 l tendere di t

9 DEFINIZIONE ( di limite) Si f : A R, A R n. Si Ḃ r (u) = B r (u) \ {u}. Si u 0 tle che Ḃ r (u 0 ) A é non vuoto r > 0. Allor lim f = l ( ɛ > 0, δ ɛ > 0 : u A u u Ḃδ ɛ (u 0 ) f(u) l ɛ) 0 lim f = + ( M > 0, δ ɛ > 0 : u A u u Ḃδ ɛ (u 0 ) f(u) M) 0 Se B r A é non vuoto er ogni r > 0, llor lim f = l ( ɛ > 0, R ɛ > 0 : u A, u R ɛ f(u) l ɛ) u + lim f = + ( M > 0, R M > 0 : u A, u R M f(u) M) u + NOTA. Come er le funzioni di un vribile si vede fcilmente che (i) f h limite l er u tendente u 0 ( u tendente + ) (u n A, u n u 0, u n u 0 ( u n + ) f(u n ) l) (ii) (Cuchy) f h limite finito l er u tendente u 0 ( ɛ > 0, δ ɛ > 0 : u, v A Ḃδ ɛ (u 0 ) f(u) f(v) ɛ) f h limite l er u tendente + ( ɛ > 0, R ɛ > 0 : u, v A, u, v R ɛ f(u) f(v) ɛ) ESEMPI. (i) Si f(x, y) = xy x +y se x + y 0. Dll NOTA-(i) si vede subito che lim u u0 f(u) = f(u 0 ) u 0 0. Invece, xy lim f(u) e lim f(u) non esistono: f(tx, ty) u 0 u + x +y (ii) Si f(x, y) = x y se x + y 0. Come sor, lim f(u) = x +y u u0 f(u 0 ) u 0 0. Ed é nche lim f(u) = 0: x y x x +y ; u 0 x +y Poi, lim f(u) non esiste: f(x, x) = x u + x ± ±. (iii) Si f(x, y) = rctn x se y 0. Se x y n x 0 e y n 0 llor xn yn (signx) e quindi rctn xn (signx) x ) π. Poi, siccome f(x, = (signx) π, l f yn 4 non h limite l tendere di (x, y) (0, 0). 9

10 ESERCIZI E COMPLEMENTI. Sino, q > esonenti coniugti, cioé + q =. Allor xy x + y q q x, y R ( diseguglinz di Holder in R) ( ) Dto x = (x,..., x n ) R n, si x := x j j=. Allor x j y j x y q x, y R n ( diseguglinz di Holder in R n ) j= Infine, osto R := {x : N R}, si h x j y j x j j= j= y j q j= q x, y R ( Holder in R ) Prov. Per ogni y 0 l funzione x xy x, x 0 é sueriormente limitt e rggiunge il suo mssimo in x(y) tle che y x = 0 ovvero x(y) = y e tle mssimo vle y y y D qui l diseguglinz di Holder in R: D quest segue subito l versione in R n : x j y j x y n x j q x + q j= j= xy x y j q y q q = q y y q x, y 0. q = + q = Infine, er vere Holder in R, bst ssre l limite nell diseguglinz = y q q. x j y j x j j= j= y j q j= q. L Diseguglinz di Minkovskii: x+y x + y x, y R n. Segue d Holder: x + y n x j + y j x j + n x j + y j y j j= ( ) ) x j + y j q( ) q x +( x j + y j q( ) q y. Inftti, essendo q( ) =, j= j= trovimo x + y = x + y q x + y. j= 0

11 . Dti α, β > 0, si f(x, y) = x α y β x + y se x + y 0, f(0, 0) = 0 Provre che f é continu in (0, 0) se e solo se α + β >. Se α + β 0, f(tx, ty) = t α+β f(x, y) non v zero l tendere di t zero (se x + y 0) e quindi f non é continu in (0, 0). Si dunque α + β > 0. Se α é f(x, y) x α y β x +y 0 0. Anlogmente se β. Rest d considerre il cso α, β <. In tl cso, δ : = α+β (0, min{α, β}) e ossimo scrivere f(x, y) = x α δ y β δ x + y ( x δ y δ ) ove δ > 0, α δ > 0, β δ > 0, α + β δ =. Dll diseguglinz di Holder, segue che, se 0 < r, s, r + s = llor (rendendo : = r, q : = s nell diseguglinz di Holder) x r y s r x + s y x + y x, y R e quindi x α δ y β δ x + y e quindi f(x, y) x δ y δ x +y 0 0.