Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2017/2018 FUNZIONI INTEGRALI

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Rosalia Lupi
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1 Univrsià Carlo Caano Inggnria gsional Analisi mamaica aa 7/8 FUNZIONI INTEGRALI ESERCIZI CON SOLUZIONE 6 ) Daa la funzion F d a) calcolar F, F ', '' F ; b) scrivr l quazion dlla ra angn nl puno ; c) scrivr il polinomio di Taylor al scondo ordin in rapprsnar la funzion nll inorno considrao F 6 La funzion ingranda è coninua su R, pr il orma di Torriclli-Barrow: a) d ' ' 5 b) L quazion dlla ra angn è: y F( ) ()( ) sosiundo i valori onui si oin: y c) Il polinomio di Taylor arrsao al scondo ordin in è: '() P, ( ) F() ()( ) P, ( ) ( ) 5 Dduciamo il sgun grafico nll inorno di nndo cono dl fao ch la drivaa prima nl puno è posiiva ma è minor di uno la drivaa sconda è maggior di zro:

2 d ln a) calcolar sudiar la drivaa prima individuando vnuali puni di massimo /o minimo; F b) calcolar il sgun limi: lim ln ) Daa la funzion F a) Il dominio dlla funzion è uo l insim di numri rali (la funzion ingranda è prolungabil con coninuià in ) Calcoliamo la drivaa: ln Il dnominaor è smpr posiivo, quindi il sgno dlla drivaa prima dipnd dal numraor ; sudiamo il sgno di : Quindi è un puno di minimo local, è un puno di massimo local infin è un puno di minimo local b) Il limi dao si prsna com forma di indcision, applichiamo il orma di d l Hospial (sono vrifica u l iposi): F ln lim lim lim ln ln ln ) Calcolar la drivaa prima pr ciascuna dll sguni funzioni ingrali: ln a) F d sin b) G d 5 ln a) 6 ' F 8 ;

3 sin b) G' cos 5 sin ( ) ( 5 ) ) Individuar il dominio dll sguni funzioni ingrali, moivando la scla ffuaa: F a) b) d ; d F a) La f è coninua nll insim,, ; pr la funzion ingranda risula un infinio di ordin / quindi è ingrabil in snso gnralizzao Possiamo concludr affrmando ch il dominio dlla funzion F coincid con uo l insim di numri rali b) La f è coninua nll insim,, ; pr la funzion ingranda risula un infinio di ordin quindi non è ingrabil in snso gnralizzao Possiamo concludr affrmando ch il dominio dlla funzion F, ch dv ssr coninua in sso, coincid con l insim, 5) Daa la funzion F d a) drminar il dominio; b) calcolar la drivaa prima; c) scrivr il polinomio di MacLaurin di scondo grado disgnar il grafico nll inorno di ; d) calcolar il limi dlla funzion pr a) La f è coninua nll insim,, ; pr la funzion ingranda risula un infinio di ordin quindi non è ingrabil in snso gnralizzao Possiamo concludr affrmando ch il dominio dlla funzion F, ch com abbiamo già affrmao nll srcizio prcdn, dv ssr coninua nl suo dominio, coincid con l insim,; b) Pr calcolar la drivaa prima basa ricordar il orma di Torriclli Barrow: ; c) Il polinomio di MacLaurin è il sgun: P F F ' calcoliamo: F, F ', ' ln F '',! ln da cui F '' 9

4 ln Possiamo scrivr il polinomio richiso: P Dai risulai 8 onui il grafico dlla funzion nll inorno dl puno è il sgun: d) Pr la funzion ingranda è un infinio di ordin maggior di qualunqu ponza di, quindi non è ingrabil in snso gnralizzao; risula lim F( ) (noiamo ch la funzion ingranda pr, è posiiva l inrvallo di ingrazion è crscn) 6) Daa F d, sudiarla racciar un grafico qualiaivo La funzion ingranda f () è coninua nll insim,,, ma pr è ingrabil in snso gnralizzao (poiché risula ssr un infinio di ordin /), quindi il dominio di F è uo l insim di numri rali Calcoliamo i limii alla fronira dl dominio: lim F lim d poiché l ingranda pr nd a l inrvallo di ingrazion è crscn Pr quano riguarda F lim lim d l poiché pr la funzion ingranda nd a con ordin maggior di qualunqu ponza di con quindi il limi risula un valor finio; inolr, poiché la funzion ingranda è ngaiva l inrvallo di ingrazion è dcrscn, il valor dl limi risula posiivo La ra di quazion y l è un asinoo orizzonal pr Calcoliamo la drivaa prima: F calcolando i limii alla fronira dlla drivaa prima: ', il dominio dlla drivaa prima è l insim R puno lim F ' lim ; analizziamo il lim F ' lim concludiamo ch il puno è un puno di cuspid Inolr il sgno dlla drivaa prima è posiivo pr quindi la F è crscn, ngaivo pr quindi la F è dcrscn

5 Calcoliamo la drivaa sconda: F '', il sgno di F '' dipnd dal sgno dl faor ; F è convssa pr, F è concava pr in ha un flsso a angn obliqua Alla luc di risulai onui il grafico qualiaivo dlla funzion risula:

6 ESERCIZI SENZA SOLUZIONE Calcolar la drivaa prima pr ciascuna dll sguni funzioni ingrali: a) F d G ln 7 ln b) d ; F Daa d a) drminar il dominio; b) calcolar la drivaa prima la drivaa sconda; c) scrivr il polinomio di Taylor di scondo grado cnrao nl puno disgnar il grafico nll inorno di Calcolar il sgun limi: lim ln sin d Daa F ln d : a) drminar il dominio; b) calcolar i limii alla fronira dl dominio; c) calcolar sudiar la drivaa prima la drivaa sconda; d) disgnar un grafico qualiaivo compaibil con i risulai onui 5 Daa F d : a) calcolar il dominio; b) calcolar i limii alla fronira dl dominio; c) calcolar vnuali puni di massimo /o di minimo; d) indicar vnuali puni di non drivabilià classificarli; ) rapprsnar un grafico qualiaivo compaibil con i risulai onui

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