UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UIVERITÀ DEGLI TUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI CIEZE TATITICE CORO DI LAUREA I CIEZE TATITICE ED ECOOMICE Tsi di laura METODI APPROIMATI PER IL CALCOLO DEL RICIO DI TRUMETI FIAZIARI DERIVATI: METODOLOGIA E AALII UMERICA Rlaor: Ch.mo profssor FRACECO LII Corrlaor: Ch.mo profssor MICELE BOOLLO Lauranda: FRACECA VALETII AO ACCADEMICO 3

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3 Ai mii gniori a Ruggro

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5 Indic ITRODUZIOE..... pag. Capiolo GLI TRUMETI FIAZIARI. Inroduion L aioni. 6.3 L obbligaioni Gli srumni drivai I conrai forward...4. I conrai fuur..4.3 I conrai di opion Gli swap I warran I covrd warran... 6 Capiolo I PRIMI IDICATORI DEL RICIO. La duraa finaniaria duraion L grch.... Dfiniion di diffrnial... 3 I

6 .. Dfiniion di o piccolo 3..3 Dfiniion di funion rascurabil Dfiniion di drivaa Formula di Talor con il rso di Pano 4..6 Torma di Talor con il rso di Lagrang Il modllo di Black chols 6..8 L grch di una call di una pu sandard... 7 Capiolo 3 IL VALORE A RICIO VALUE AT RIK 3. Inroduion I modlli pr il calcolo dl valor a rischio L approccio paramrico Il valor a rischio di una singola aivià finaniaria L approccio dla-normal L approccio RiskMrics L approccio porafolio-normal L approccio dla-gamma La simulaion sorica La simulaion di Mon Carlo. 4 Capiolo 4 L EPECTED ORTFALL 4. Inroduion Cosruion di una misura di rischio Alra dfiniion di Epcd horfall Confrono ra Epcd horfall valor a rischio nl caso gaussiano Conclusioni.. 53 II

7 Capiolo 5 L APPROCCIO DELTA-GAMMA ELLA VARIAZIOE DI VALORE DI UO TRUMETO O LIEARE 5. Inroduion Oggo dl confrono Analisi di risulai... 6 COCLUIOI Appndic Appndic A 73 Appndic B Appndic C.. Appndic D.. 9 BIBLIOGRAFIA... 7 III

8 ITRODUZIOE I divrsi vni ch hanno carariao i mrcai finaniari di uo il mondo ngli ulimi dcnni hanno porao ad un aumno dlla volailià, uindi, dlla rischiosià. i possono ricordar alcuni provvdimni com l accordo Bron-Woods dl 97 ch sancisc l aboliion dlla parià fissa di assi di cambio, provocando un novol aumno dlla volailià nl mrcao monario; la diffusion di srumni finaniari complssi, com i ioli sruurai drivai, insguio al modllo di drminaion dl valor dll opioni opion pricing laborao da Black chols. i pnsi agli shock ch hanno colpio l conomia mondial com l crisi prolifr, il crollo di mrcai aionari nll oobr dl 987, il collasso dl isma Monario Europo nl mbr 99, gli avvnimni luuosi drammaici dll mbr ch hanno porao ad un aumno dlla volailià implicia in alcuni di principali conrai finaniari. A sguio di usi avvnimni l anion rivola vrso la misuraion dl rischio divna via via crscn, com è dimosrao anch in ma di rgolaion, basaa in gran par sull diriv dl Comiao di Basila. Il Comiao di Basila fu crao nl 974 dall banch cnrali di pasi apparnni al G, a sguio di un avvnimno rimaso pr molo mpo nlla mmoria dl mrcao: il fallimno dlla dsca Bankhaus rsa. Quso Comiao non lgifra, ma formula propos lin guida, uavia l prim propos, risalni al 988, sono divna normaiva vincolan in olr pasi. All banch vin imposa da uso Comiao l applicaion di un modllo di misuraion dl rischio pr garanir l sisna di un capial adguao a fron di ui i rischi ch scauriscono dall loro aivià.

9 Inroduion Alrnaivamn, l banch possono laborar un sisma inrno pr la valuaion dl rischio in accordo con alcun condiioni sabili dal Comiao ssso sooposo all approvaion dll auorià di vigilana naional. I principali rischi a cui sono soopos l isiuioni finaniari sono il rischio di mrcao, il rischio di crdio, il rischio di liuidià il rischio opraivo pr approfondimni si vda Bi. gli ulimi anni l banch hanno cominciao ad occuparsi dl rischio di crdio di ullo opraivo con la comparsa nl 988 di un documno sull adguaa parimonial dll banch, prdisposa dal Comiao di Basila pr la Vigilana Bancaria, chiamao Basila. l 999, il Comiao ha dciso di ffuar un scondo giro di consulaioni pr una proposa più dagliaa sulla rgolamnaion dll adguaa parimonial ch nlla vrsion final sosiuirà l Accordo dl 988 i succssivi mndamni. L aivaion di uso documno Basila è prvisa nl 6. lla si si porrà l anion sul rischio di mrcao ch ha assuno ngli ulimi anni una rilvana crscn pr ui coloro ch sabilmn oprano ni mrcai finaniari pr i moivi lncai prcdnmn. Con il rmin rischio di mrcao si innd la possibilià ch variaioni inas di faori di mrcao, uali pri aionari, pri dll mrci, assi di inrss, assi di cambio, volailià di pri, drminino una variaion al rialo o al ribasso dl valor di una posiion o di un porafoglio finaniario. Gli isiui bancari finaniari hanno sviluppao modlli saisico-mamaici pr la misuraion d il conrollo dl rischio di mrcao. La principal risposa è saa daa con l laboraion di modlli Valu a Risk VaR. Il VaR è divnao una misura sandard nll ambio dlla misuraion dl rischio di mrcao, poiché sprim, aravrso un numro, la misura dlla rischiosià di una posiion in aioni, opioni, cc., fissando una soglia pr l prdi ch vrrà supraa solo con una probabilià prsabilia. Un alra misura dl rischio è l Epcd horfall ch sinia in un unico valor la prdia mdia ch un porafoglio o una posiion può subir, in un arco mporal dfinio, con una cra probabilià. i è voluo crcar dll misur di rischio ch avssro cr cararisich, uali la smplicià, ossia dvono ssr l rispos ad una naural domanda sul rischio ch si incorr con un porafoglio; la grand applicabilià, cioè dvono por ssr applica

10 Inroduion sia a porafogli, i cui componni hanno un valor final linar, sia a porafogli ch conngono srumni il cui valor final non è linar, in uano dipnd dal valor di alr aivià; la compla, ossia dvono produrr un unica sima global pr i porafogli sposi a diffrni caus di rischio, ma ch siano anch corni, cararisica ch ha assuno imporana dopo l aricolo di Arnr, al 997. Alri du indicaori dl rischio di mrcao sono la duraa finaniaria l grch, ch sono misur di snsibilià snsiivi dl valor di mrcao di una posiion obbligaioni pr la duraa finaniaria, opioni pr l grch al muar dl conso di mrcao. L oggo dlla si saranno l grch, la cui imporana si può vdr nl fao ch sono uilia nl calcolo dl VaR anch in ambio normaivo infai u l banch l dvono fornir alla Banca d Ialia ch poi sulla bas di us calcola la rischiosià pr ogni isiuo finaniario. L obiivo dlla si è ullo di rovar una buona approssimaion, basaa sull grch, alla variaion di valor di uno srumno finaniario, ch ha assuno smpr più imporana ngli ulimi anni, cioè l opion. L imporana di usa approssimaion risid nl fao ch prm dal puno di visa compuaional un onr infrior rispo a ullo lgao al calcolo dl vro valor. Inolr usa approssimaion è uil nl calcolo dl VaR. 3

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12 Capiolo GLI TRUMETI FIAZIARI. ITRODUZIOE Il mrcao finaniario può ssr dfinio com l insim dgli organismi, dgli srumni dll cnich ch favoriscono il rasfrimno di mi finaniari dagli opraori ch prsnano un avano finaniario agli opraori ch vidniano un disavano finaniario. Qui vngono ngoia aivià finaniari uali aioni, obbligaioni, drivai, mon. I mrcai finaniari srvono a ridurr i rischi connssi all voluion fuura dll aivià conomica, ad invsir il risparmio sia prsonal ch d imprsa a raccoglir fondi pr invsimni produivi. Una classificaion di mrcai finaniari è ra mrcao primario mrcao scondario. Il mrcao primario individua ul complsso di opraioni aravrso l uali il pubblico di risparmiaori sooscriv srumni finaniari di nuova mission conro il vrsamno, a favor dll min, di mi finaniari. Il mrcao scondario individua il complsso di ngoiaioni su srumni finaniari già in circolaion collocai prsso il pubblico di risparmiaori. Da al disinion si rilva ch il mrcao primario svolg prvalnmn la funion di finaniamno dgli mini di srumni finaniari, mnr il mrcao scondario svolg prvalnmn la funion di faciliar gli invsimni i disinvsimni di srumni finaniari da par di risparmiaori, favorndon la liuidabilià. 5

13 Capiolo Gli srumni finaniari Pr uano riguarda il mrcao scondario si può disingur ra mrcai rgolamnai mrcai non rgolamnai. Dov pr i primi sisono modalià di ngoiaion sandardia sruur organiaiv assogga a spcifich disciplin, mnr i scondi sono mrcai non ufficiali, parallli, ch sorgono sponanamn, ma ch rivsono comunu una cra imporana. i mrcai vngono ngoiai divrsi srumni finaniari, ch sono conrai ch sabiliscono l nià l modalià di rasfrimni finaniari fra l pari. Adsso vrranno analiai singolarmn alcuni di usi srumni finaniari.. LE AZIOI Un aion è un iolo rapprsnaivo di uo di capial dll socià pr aioni rapprsna la misura dlla parcipaion dl socio nlla socià. Tu l aioni dvono avr ugual valor nominal. L aioni sono ioli a rddio variabil in uano il fruo dl prodoo dipnd dal livllo dgli uili consguii dalla socià da ulla par di uili ch gli amminisraori dlla socià dlibrano di disribuir agli aionisi. In prsna di uil da disribuir, a ogni aion vin assgnao un dividndo, pagao pr lo più in un unica soluion dopo l approvaion dl bilancio da par dll assmbla di soci. Assumndo la ualifica di socio, il possssor di aioni acuisa, fa salv l limiaioni prvis dall divrs ipologi di aioni, di dirii inrni alla parcipaion nll amminisraion dlla socià dirii avni connuo conomico. I primi consisono nl dirio dll aionisa di inrvnir in assmbla, di parcipar con il proprio voo alla formaion dlla volonà social, di prndr par alla discussion in assmbla far risular dal vrbal l propri dichiaraioni, di impugnar l dlibr dll assmbla, di simolar il collgio sindacal nllo svolgimno dlla funion di sorvgliana così via. I dirii di connuo conomico, invc, consisono nl dirio agli uili al rimborso dl capial. Al possssor dll aioni spa inolr il dirio di opion ch è dao dalla prlaion concssa agli aionisi di sooscrivr nuov aioni in occasion dll opraioni di aumno dl capial social. Tal prlaion gli assicura la ula dlla propria uoa di parcipaion nlla socià. Un alro dirio fondamnal è rapprsnao dal dirio di voo: sso consn di parcipar alla formaion dlla volonà social, di rgola, spa ad ogni aion. 6

14 Capiolo Gli srumni finaniari Prciò, s un socio dispon di più aioni, ha dirio a ani voi uan sono l aioni possdu. Ci sono divrsi ipi di aioni: aioni ordinari: assicurano ai possssori la parcipaion dira alla gsion dlla socià in uano danno pino por di voo, ma offrono minori dividndi aioni privilgia: assicurano ai possssori alcuni privilgi nlla disribuion dgli uili; il dirio di voo può ssr srciao sclusivamn nl corso dll assmbl sraordinari di soci aioni di risparmio: non danno dirio di voo, ma sono doa di maggiori privilgi nlla disribuion di dividndi aioni di godimno: non danno alcun dirio di voo, ma in sd di ripariion dll uil social possono ssr aribui ai soci ai uali vin rimborsao l ammonar dl capial corrispondn all aioni possdu.3 LE OBBLIGAZIOI ono ioli di dbio mssi dallo ao o da imprs al fin di finaniar i propri dbii o i propri progi; non rapprsnano uo di proprià dlla socià min. anno una scadna, in cui si rinra in posssso dl capial prsao. Tra l obbligaioni più imporani si hanno: obbligaioni a cdola nulla Zro coupon Bond: sono cararia dal fao ch non si hanno vrsamni di cdol ra il momno dll mission ullo dlla scadna dall min ai possssori. Un smpio è dao dai Buoni ordinari dl Tsoro BOT, ch rapprsnano lo srumno di mrcao monario più noo sino a pochi anni fa più diffuso. ono ioli al poraor con duraa di r, si, oppur dodici msi. Vngono mssi a un pro infrior alla pari, hanno un pro di rimborso pari a un valor nominal pari al aglio minimo sooscrivibil di uro. Il rndimno offro è drminao dalla diffrna ra il pro di rimborso ullo di mission rapporao alla duraa. u al diffrna grava una 7

15 Capiolo Gli srumni finaniari assaion dl,5% prlvaa al momno dll mission mdsima. Dall auunno dl 997 il Tsoro ha dao avvio a una riforma dlla mpisica di mission ch aualmn prvd a fin ms l mission di ioli smsrali a mà ms ulla di ioli rimsrali annuali obbligaioni a cdola fissa Coupon Bond: si hanno vrsamni di cdol cosani in rmini nominali, no sin dalla daa di mission d a da prsabili. Un smpio è dao dai Buoni dl Tsoro plurinnali BTP ch sono ioli rimborsabili in un unica soluion alla scadna rcani un asso nominal fisso, pagabil a cadna smsral. L mission avvin normalmn a un pro soo la pari il rimborso è prviso al valor nominal al no dlla assaion dl,5% calcolaa sulla vnual diffrna ra il pro dl rimborso il pro di collocamno. L mission di BTP vin ffuaa con dcri minisriali, da pubblicarsi nlla Gaa Ufficial, sui uali sono indicai gli impori, la duraa, l scadn, l da, il asso di rndimno, l modalià di assgnaion. I BTP hanno aualmn una duraa di 3, 5,, 3 anni vngono mssi con priodicià rgolar ch vd a iniio ms l offra di BTP a r dici anni d a mà ms l offra dll scadn a r, cinu rna anni obbligaioni a cdola variabil: il valor dll cdol dipnd da una rgola di indiciaion ad un paramro di rifrimno. È noo l ammonar solo dlla prima cdola. L da di pagamno sono prsabili. Un smpio è dao dai Crificai di crdio dl Tsoro CCT, ch sono ioli ch prvdono una prima cdola fissa sono doai di un mccanismo di indiciaion finaniaria dll cdol succssiv in rlaion ai rndimni di BOT mission prcdn. Al valor di vola in vola ricalcolao dlla cdola si aggiung una maggioraion dnominaa sprad di nià fissa pr l inra duraa dl prsio. La loro mission avvin con cadna mnsil, a un pro normalmn soo la pari il rimborso è prviso in un unica soluion alla scadna al valor nominal al no dlla assaion dl,5% calcolaa sull vnual diffrna ra il pro dl rimborso il pro di collocamno. La duraa all mission di CCT è aualmn di s anni obbligaioni sruura: sono ioli obbligaionari il cui rimborso rnumraion sono lgai all andamno di alcuni paramri finaniari, com indici aionari o 8

16 Capiolo Gli srumni finaniari paniri di indici aionari, aioni o paniri di aioni, valu. Un smpio è rapprsnao da indui linkd. È uno srumno finaniario composo: cioè è un prodoo ch driva dall union di un iolo a rddio fisso di una opion call vdr pagin succssiv, acuisaa dall invsior, su un iolo aionario o su un indic di Borsa. Il iolo consn di onr un profio commisurao all vnual appramno dl soosan di rifrimno, garanndo comunu il rimborso dl capial anch uando il soosan si sia dprao. La componn opional può ssr di ipo sandard o soico a sconda dll modalià di appramno dl soosan di rifrimno. Al riguardo ngli ulimi anni us obbligaioni hanno incorporao opioni soich smpr più complss, ch hanno prmsso di arar i ioli sruurai in oggo all spcifich sign dlla clinla o dll n min con un lvao connuo di flssibilià opraiva obbligaioni convribili: rapprsnano una cagoria di ioli inrmdia ra un obbligaion un aion. Ess, infai, offrono la possibilià all obbligaionisa di mannr una posiion crdioria ni confroni dll min, oppur di convrir nro un drminao priodo o ad una cra daa il iolo obbligaionario in iolo aionario assumr di consguna lo saus di socio. La convrsion dll obbligaioni convribili è chiamaa dira uando min dll obbligaioni min dll aioni sono la mdsima socià, invc è da indira uando l obbligaioni sono mss da un soggo, ipicamn la banca, l aioni sono mss da un alra socià. Il prsio obbligaionario convribil si disingu inolr in prsio oalmn convribil uando l inro ammonar può ssr convrio prsio parialmn convribil uando solo una par dl prsio può ssr convria in aioni. La dlibra di mission dl prsio obbligaionario convribil è prsa dall assmbla sraordinaria dgli aionisi dlla socià ch consualmn dlibra un aumno di capial pr un ammonar corrispondn al valor nominal dll aioni da aribuir in convrsion, a mno ch la convrsion dl prsio avvnga in favor di aioni di compndio già sisni. Il asso d inrss nominal di ioli obbligaionari convribili è infrior, a parià di u l alr condiioni, a ullo di un iolo obbligaionario ordinario; al diffrna sprim il pro dlla facolà di convrsion a favor dl possssor dll obbligaioni convribili 9

17 Capiolo Gli srumni finaniari.4 GLI TRUMETI DERIVATI I drivai sono srumni finaniari il cui valor dipnd da ullo di alr variabili soosani. gli anni rcni, i drivai sono divnai smpr più imporani nl mondo dlla finana. I fuur l opioni vngono ora ngoiai in mol bors. I conrai forward, gli swap divrsi ipi di opion vngono rgolarmn raai fuori borsa da isiuioni finaniari, gsori di fondi socià, ni cosiddi mrcai OTC ovr h counr. psso i drivai vngono anch incorporai in missioni aionari o obbligaionari. I principali srumni drivai sono: i conrai forward, i conrai fuur, i conrai d opion, gli swap, i warran, i covrd warran..4. I conrai forward ono drivai paricolarmn smplici. ono accordi pr acuisar o vndr un aivià ad una cra daa fuura, pr un cro pro. Di solio vngono sipulai fuori borsa ra du isiuioni finaniari o ra un isiuion finaniaria d uno di suoi clini. i conrai forward, una dll pari assum una posiion lunga si impgna a comprar l aivià soosan ad una spcifica daa, pr un cro pro. L alra par assum una posiion cora si impgna a vndr l aivià alla sssa daa, pr lo ssso pro. Il pro spcificao in usi conrai è chiamao pro di consgna. Vin fissao al momno dlla sipula, in modo ch il valor dl conrao pr nramb l pari sia nullo. Ciò significa ch non cosa nulla assumr una posiion lunga o cora. I conrai forward vngono comunmn uiliai pr coprirsi dai rischi di cambio. Il pro forward, ad una cra daa, è il pro di consgna ch si drminrbb s il conrao vniss concluso in ulla daa. È imporan disingur ra pro forward pro di consgna. I du pri sono uguali uando il conrao vin concluso ma, in gnr, divrgono col passar dl mpo.

18 Capiolo Gli srumni finaniari Il valor final paoff di un conrao forward lungo scrio su una uanià uniaria dll aivià soosan è: K. dov K è il pro di consgna è il pro spo dll aivià alla scadna dl conrao. Analogamn, il valor final di un conrao forward coro scrio su una uanià uniaria dll aivià soosan è: K.. Qusi valori possono ssr posiivi o ngaivi..4. I conrai fuur ono accordi ra du pari pr comprar vndr un aivià ad una cra daa fuura, pr un cro pro. ono di norma raai in Borsa. Pr rndr possibili l ngoiaioni, la Borsa spcifica cri aspi sandard dl conrao. Dal momno ch i du conrani non ncssariamn si conoscono, la Borsa fornisc anch un mccanismo ch assicura all du conropari ch il conao vrrà onorao. l fuur non vin spcificaa una daa spcifica pr la consgna. Il conrao è idnificao dal ms di consgna la Borsa spcifica il priodo duran il ms, in cui la consgna dv ssr ffuaa. Pr l mrci, il priodo di consgna spsso coincid con l inro ms. Gli invsiori con posiion cor hanno il dirio di scglir il momno in cui ffuar la consgna all inrno dl priodo spcificao dalla Borsa. La Borsa spcifica la uanià di aivià soosan ch dv ssr consgnaa pr ogni conrao, il modo in cui il pro fuur dv ssr uoao, a vol, i limii nro i uali il pro può muovrsi nl corso di una giornaa. l caso mrci, la Borsa spcifica anch la ualià dl prodoo il luogo di consgna. L aivià soosani ai divrsi conrai sono rapprsna da un ampia gamma di mrci comodi fuurs, rlaivi a bni di consumo primari di aivià finaniari financial fuurs, rlaivi a dposii ioli di ao, valu, indici aionari. I financial fuurs possono ssr disini in:

19 Capiolo Gli srumni finaniari currnc fuurs: sono conrai ch rapprsnano l impgno alla cssion o all acuiso a rmin valua a un cambio prfissao. La posiion si chiud con l ffivo riiro dlla valua in usion alla scadna di conrai, oppur rami la vndia o l acuiso di conrai nro al daa inrs ra fuurs: sono invc di conrai ch rapprsnano l impgno alla cssion o all acuiso a rmin di ioli a asso fisso con cararisich drmina ad un pro prfissao. La posiion di ali conrai si chiud con l ffiva consgna o l ffivo riiro di ioli in usion alla daa di scadna, oppur rami la vndia o l acuiso di conrai nro al daa sock ind fuurs: sono conrai ch rapprsnano l impgno a consgnar o a riirar a rmin una somma in conani onua moliplicando la diffrna ra il valor dll indic di Borsa alla chiusura dll ulimo giorno di conrai il pro a cui i conrai fuur sono sai originariamn conclusi pr un cofficin cosan di valuaion. Gli indici di Borsa sono sosanialmn dll mdi arimich smplici o pondra calcola facndo rifrimno all uoaioni di un prdrminao panir di ioli, slionao fra ulli prsni sul mrcao. L du maggiori Bors nll uali si ngoiano conrai fuur sono il Chicago Board of Trad CBOT la Chicago Mrcanil Echang CME. Chicago è la cià dov, nl 97, nacuro i primi conrai rlaivi a mari prim bsiam. Anch in Ialia sono du i mrcai dov vngono scambiai usi conrai: il Mrcao Ialiano Fuur MIF il Mrcao Ialiano di Drivai IDEM. Al MIF vin raao il comparo obbligaionario, si uoa il fuur sul BTP sul RIBOR. All IDEM vngono scambiai du conrai fuur, il FIB3, ossia il fuur sull indic di Borsa Mib3, il MIDE, ossia il fuur sull indic di Borsa omonimo. Il dbuo di usi conrai si è avuo nl mbr 99 con il fuur sui BTP il 8 ovmbr 994 è saa la vola dl Fib3.

20 Capiolo Gli srumni finaniari.4.3 I conrai di opion Vngono raai nll bors di uo il mondo anch ni mrcai ovr h counr da banch alr isiuioni finaniari. L aivià soosani includono l aioni, gli indici aionari, l valu, l obbligaioni, l mrci i conrai fuur. Esisono du ipi fondamnali di opioni: call pu. L opioni call danno al poraor il dirio di comprar un aivià nro una cra daa, pr un cro pro. L opioni pu danno al poraor il dirio di vndr un aivià nro una cra daa, pr un cro pro. Il pro indicao nl conrao è do pro d srciio srik pric; la daa indicaa nl conrao è da daa di scadna mauri. i disinguono in opioni urop, cioè ull ch possono ssr srcia solo alla scadna, opioni amrican ch invc possono ssr srcia in ogni momno duran la loro via. L opioni urop sono in gnr più facili da analiar alcun proprià di ull amrican sono spsso ddo da ull dll corrispondni opioni urop. Un opion può anch ssr da: in h mon: s la diffrna ra pro d srciio pro di mrcao dl bn soosan è a favor dl dnor dll opion, pr cui l srciio di usa comporrbb un nraa di cassa ou of h mon: s la diffrna fra pro d srciio pro di mrcao dl bn soosan è a sfavor dl iolar dll opion, pr cui non si ha srciio a h mon: s pro d srciio pro di mrcao dl soosan sono circa uguali. i dv nfaiar ch l opioni danno al poraor il dirio non il dovr di far ualcosa. Bisogna noar ch pr acuisar un conrao di opion si sosin un coso. L opioni appna dscri sono chiama sandard. gli anni rcni, l banch l alr isiuioni finaniari hanno usao mola immaginaion pr crar drivai non sandard ch vadano inconro all ncssià dlla clinla. Talvola, usi drivai vngono vndui diramn dall isiuioni finaniari ai propri clini sociari. In 3

21 Capiolo Gli srumni finaniari alr occasioni, vngono inglobai in missioni obbligaionari o aionari al fin di rndrl più arani pr gli invsiori. Alcuni drivai fuori sandard sono smplici porafogli di du o più call pu sandard. Alri sono molo più complssi. La possibilià di crar nuovi drivai smbra ssr sna limi. Qusi ipi di drivai sono chiamai opioni soich. Un ipo di opioni soich sono l opioni con barrira. L opioni con barrira sono opioni il cui valor final dipnd dal fao ch il pro dll aivià soosan raggiunga o mno, in un cro priodo di mpo, un dao livllo, chiamao appuno barrira. Possono ssr disin in opioni sogg a cancllaion knock-ou opions in asa di validaion knock-in opions. L prim cssano di sisr uando il pro dll aivià soosan raggiung una cra barrira. L scond iniiano ad sisr solo uando il pro dll aivià soosan raggiung una cra barrira. i hanno divrsi ipi di opioni barrira: l down-and-ou call pu: sono opioni knock-ou. i raa di call pu ch cssano di sisr uando il pro dll aivià soosan scnd fino a raggiungr una cra barrira, < pro dl soosan l down-and-in call pu: rapprsnano l corrispondni opioni knock-in. i raa di call pu ordinari ch iniiano ad sisr solo uando il pro dll aivià soosan scnd fino a < l up-and-ou call pu: sono anch ss opioni knock-ou. i raa di call pu ch cssano di sisr uando il pro dll aivià soosan sal fino a > l up-and-in call pu: sono l corrispondni opioni knock-in. i raa di call pu ch iniiano ad sisr solo uando il pro dll aivià soosan sal fino a >. 4

22 Capiolo Gli srumni finaniari.4.4 Gli swap ono accordi privai ra du socià pr scambiarsi di fuuri pagamni. L accordo dfinisc l da in cui i pagamni vngono scambiai il modo in cui dvono ssr calcolai. I du principali ipi di swap sono: su assi d inrss inrs ra swap su valu currnc swap. Lo swap su assi d inrss consis in: una par, B, si m d accordo con la conropar A pr pagarl, pr un cro numro di anni sulla bas di un capial di rifrimno do capial noional, un asso fisso prdrminao. A sua vola, la par A si impgna a pagar alla par B, sullo ssso capial noional pr lo ssso priodo di mpo, un asso variabil. L valu in cui sono sprssi i du insimi di pagamni sono l sss. lla sua forma più smplic, lo swap su valu compora lo scambio dl capial dgli inrssi a asso fisso di un prsio dnominao in una valua conro il capial gli inrssi a asso fisso di un prsio dnominao in un alra valua. Occorr spcificar il capial in ciascuna dll du valu. Di solio, i capiali, vngono scambiai all iniio alla fin dllo swap sono scli in modo al da ssr approssimaivamn uivalni in bas al asso di cambio corrn all iniio dllo swap. Un smpio chiarisc la dinamica dll opraion di swap: si ipoii ch la socià abbia in corso un finaniamno passivo a asso fisso dll % con via rsidua di 5 anni. La socià Y risula, al conrario, indbiaa sulla mdsima scadna a asso variabil pari all Euribor a 6 msi. Il capial di dbio pr nramb l socià sia pari a milioni di uro. i ipoii, inolr, ch la socià dsidri rasformar il asso passivo da fisso a variabil in bas o ad as di riduion di assi o pr valuaioni inrni alla composiion dl proprio aivo ch paralllamn la socià Y, pr moivaioni oppos, ringa convnin ssr indbiaa a asso fisso. L inrs ra swap prm all du socià di convrir il proprio indbiamno nl asso dsidrao. Infai la socià si impgnrà a vrsar alla conropar un flusso di inrssi pari all Euribor a 6 msi di vola in vola drminao, spcularmn, la socià Y si impgnrà a vrsar alla socià gli inrssi rlaivi all ammonar dfinio nlla misura dll %. Alla scadna di ciascun priodo di mauraion dgli inrssi i flussi rali di pagamno saranno drminai dal saldo di du ammonari. 5

23 Capiolo Gli srumni finaniari.4.5 I warran ono opioni mss da una socià o da un isiuion finaniaria. i prsnano com ioli al poraor ch danno, conro il pagamno di un prmio, il dirio alla sooscriion, alla vndia o all acuiso alla o nro la daa di scadna, di un cro uaniaivo di ioli aionari, obbligaioni sociari o valu, ad un pro prfissao. Quando il dirio è srciail solo ad una cra daa piraion da si parla di warran uropo, al conrario s il dirio è srciail in ualsiasi giorno comprso ra la daa di mission la daa di scadna si parla di warran amricano. Vngono scrii dall socià sui loro sssi ioli. In caso di srciio, l socià mono nuov aioni ch vndono, al pro d srciio, ai possssori di warran. Prano, l srciio compora l aumno dl numro dll aioni in circolaion. I warran sono opioni call ch vngono spsso mss consualmn a dll obbligaioni, pr far sì ch us risulino più inrssani pr i risparmiaori. Tipicamn, i warran scadono dopo un cro numro di anni. Una vola mssi, vngono ngoiai sparaamn dall obbligaioni all uali rano sai originariamn unii. psso è prviso ch il warran possa ssr srciao anicipaamn solo in una par dlla sua via a vol il pro d srciio aumna con il passar dl mpo. È conraabil nl Mrcao lmaico aionario Ma..4.6 I covrd warran ono srumni divrsi dai warran, aravrso i uali il sooscrior, conro il pagamno di un prmio, acuisisc l opion di vndr pu covrd warran o di acuisar call covrd warran alla di ipo uropo o nro la daa di scadna di ipo amricano, un cro uaniaivo di aivià soosan, ad un pro sabilio srik pric. ono srumni drivai prché il loro valor corrn driva dall andamno di un aivià finaniaria alla ual ssi si rifriscono. Possono avr divrs aivià soosani uali: indici aionari, assi d inrss, rappori di cambio, ioli di sao d aioni. 6

24 Capiolo Gli srumni finaniari Rifrndosi ad aivià finaniari di divrsa naura non smpr raggiungono la scadna con la consgna fisica di ioli, ma liuidano solamn un diffrnial monario ra il valor dll aivià d il pro di srciio. Con usi srumni assum rilvana il conco di muliplo, ch è dfinio com il numro di unià dll aivià soosan ch sono acuisibili o vndibili srciando un covrd warran. Ad smpio, s il muliplo è pari a ciò significa ch srvono covrd warran pr acuisar un unià dll aivià soosan. La loro ngoiaion avvin prsso il Mrcao lmaico aionario. 7

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26 Capiolo I PRIMI IDICATORI DEL RICIO. LA DURATA FIAZIARIA DURATIO Gli invsimni in ioli obbligaionari sono soggi al rischio dl asso di inrss ch è dao dal cambiamno dl pro di mrcao di un drminao invsimno a sguio dl muar dl rndimno richiso dagli invsiori. Un smplic approccio alla gsion dl rischio dl asso d inrss è rapprsnao dalla duraa finaniaria duraion. Essa è la mdia pondraa dll scadn di ciascun flusso di cassa associao a un iolo obbligaionario, dov il faor di pondraion è dao dall incidna dl valor aual di ciascun flusso di cassa sul valor aual complssivo dl iolo. In formula: D F r P. dov: D duraa finaniaria,,n, indica la scadna di riscossion di flussi di cassa cdol o rimborso dl capial di cui è carariao un iolo obbligaionario 9

27 Capiolo Gli srumni finaniari sommaoria rispo a F flussi di cassa drivani dal iolo al mpo r faor di scono al asso r P pro dl iolo, ch è dao dalla sommaoria di flussi aualiai F r. Essa uindi misura il mpo ch il poraor di un obbligaion dv andr, in mdia, prima di ricvr capial inrssi. La duraa finaniaria è pari alla duraa anagrafica pr i ioli privi di cdola dal momno ch pr usi sis un solo flusso in nraa ch uindi ha pondraion pari al %. Invc è smpr infrior alla duraa anagrafica nl caso di ioli munii di cdola; pr ali ioli inolr è comprsa fra la scadna dlla prima cdola la daa di ingral rimborso. A parià di scadna di alr condiioni, la duraa finaniaria è più lvaa pr i ioli con cdola rlaivamn bassa, dal momno ch, in al caso, nd ad ssr maggior l imporana rlaiva, in rmini di valor aual, di flussi più rmoi, in paricolar dl pro dl rimborso. La duraa finaniaria è uindi, in primo luogo, un indicaor corro dlla duraa di un iolo obbligaionario; inolr, com prcdnmn do, è un indic di rischio dl asso d inrss. Tal circosana driva dal fao ch la duraa finaniaria sprim la snsibilià dl pro di un iolo a asso fisso rispo al variar dl rndimno in uano è ricavabil sulla bas dlla sgun rlaion, basaa sulla drivaa prima rispo al rndimno dlla funion ch sprim il pro in funion dl rndimno: dp P D.. d r r Il scondo mmbro dlla rlaion sprim in rmini analiici l lasicià punual dl pro di un iolo obbligaionario al variar dl rndimno. Prano un lvaa duraa finaniaria è indic di lvaa snsibilià dl pro dl iolo al variar dl asso di rndimno di mrcao vicvrsa. Di solio si impiga, invc dlla duraa finaniaria, la duraa finaniaria modificaa modifid duraion :

28 Capiolo Gli srumni finaniari D M D..3 r Infai la rlaion. può ssr scria com: dp P d r D r.4 dalla ual driva dp P M d r.5 D Il valor dlla duraa finaniaria, com do, fornisc l lasicià punual dl pro di un iolo obbligaionario al variar dl rndimno; pr variaioni discr di rndimni la duraa finaniaria consn di simar, con un grado di approssimaion smpr più ampio all amplificarsi dlla variaion dl rndimno, la variaion dl pro di un iolo obbligaionario al variar dl rndimno. In alr parol P P M D r.6 ovvro P P D r i.7 dov: P è la diffrna di pro uindi PP pr variaion prcnual di pro. r è la variaion dl asso d inrss. La duraa finaniaria pora a soosimar sovrasimar gli aumni l riduioni di pro dl iolo obbligaionario connssi con una riduion aumno dl rndimno richiso. L rror ch si compi impigando la duraa finaniaria pr simar l variaioni di pro è ano maggior uano maggior è la variaion di rndimni rispo al rndimno corrn; uindi l approssimaion dlla variaion di pro ch driva dall applicaion dlla duraa finaniaria è accabil solo pr variaioni di ridoo ammonar dl rndimno.

29 Capiolo Gli srumni finaniari Il moivo di al rror consis nl fao ch la rlaion ch lga pro dl iolo obbligaionario rndimno ffivo dllo ssso è di ipo curvilino, mnr la duraa finaniaria sprim la ra angn a al curva nl puno idnificao dal rndimno corrn dl iolo. Più ci si allonana dal puno di angna, maggior è l rror ch si compi approssimando la curva pr mo di una ra. L rror, olr ch proporional al divario di assi di rndimno, è ano maggior uano più convssa è la curva ch rapprsna la rlaion fra pro rndimno.. LE GRECE L isiuioni finaniari ch vndono ai clini opioni o alri drivai, nl mrcao ovr h counr, si rovano a dovr affronar il problma dlla gsion dl rischio ch è ad ssi associao. l opioni sono uguali a ull ch vngono raa in Borsa, l isiuioni finaniari possono ricomprar in Borsa l sss opioni ch hanno vnduo ai clini, nuraliando così la loro sposiion. Invc, uando l opioni vngono adaa all ncssià di clini non corrispondono ai prodoi sandardiai raai in Borsa, la coprura dll sposiion è molo più difficil. Pr risolvr il problma è possibil usar l cosidd lr grch o più smplicmn grch. Ogni grca misura una divrsa dimnsion dl rischio di una posiion su opioni. L obiivo dgli opraori è ullo di gsir l grch in modo ch ui i rischi siano accabili. L grch sono dla, gamma, ha, rho, vga. Il dla di un opion è dfinio com drivaa dl pro dll opion rispo al pro dll aivià soosan. Il gamma di un opion è la drivaa dl dla dll opion rispo al pro dll aivià soosan, ossia la drivaa sconda dl valor dll opion rispo al pro dll aivià soosan. Il ha di un opion è la drivaa dl valor dll opion rispo al mpo. Il rho di un opion è la drivaa dl valor dll opion rispo al asso d inrss. Il vga di un opion è la drivaa dl valor dll opion rispo alla volailià dll aivià soosan.

30 Capiolo Gli srumni finaniari Pr comprndr il conco di grca il suo uilio è ncssario fornir una dfiniion di diffrnial di spansion in sri di Talor... Dfiniion di diffrnial ia I un inrvallo, : I una funion un puno di I. i dic ch è diffrniabil in, s sis una funion linar L a a al ch pr f f a o..8 è diffrniabil in la funion linar L :, L a, pr cui val.8 si chiama diffrnial di in d è indicaa con d ; il suo valor ah nl puno h sarà indicao con d h. Un orma imporan dic ch la condiion ncssaria sufficin affinchè : I sia diffrniabil in è ch sia drivabil in. Pr comprndr mglio la dfiniion di diffrnial si dvono spigar alcuni conci... Dfiniion di o piccolo i dic ch è o piccolo di g pr ch nd a si scriv f o g pr.9 uando è rascurabil rispo a g pr ndn a. 3

31 Capiolo Gli srumni finaniari..3 Dfiniion di funion rascurabil Una funion sis una funion h al ch: è rascurabil rispo ad una funion g pr ndn a, uando f g h. lim h....4 Dfiniion di drivaa i dic ch la funion è drivabil in s il limi f h f lim f ' h h. sis com numro ral finio. Il numro è do drivaa di in. La funion, avn com dominio l insim di valori in cui è drivabil il cui valor in è ugual a, è chiamaa drivaa di...5 Formula di Talor con il rso di Pano iano n un numro naural una funion dfinia in un inorno di un puno c drivabil n vol in c. Allora sis uno un solo polinomio P di grado n ch vrifica la pr c..3 n f P o c Quso è anch l unico polinomio di grado n al ch P k k c f c pr k n.4 d è dao dalla formula 4

32 Capiolo Gli srumni finaniari 5 k n o k k c k c f P..5 osiundo l sprssion.5 di P nlla.3 oniamo la cosidda formula di Talor con il rso di Pano n k n o k k c o c k c f f pr c.6 ov il cosiddo rso, dl ual si vidnia la proprià di ssr n c o, è la diffrna ra il polinomio. La proprià di Pano dl rso dlla formula di Talor è di carar local non può ssr uiliaa pr onr alcuna informaion di ipo uaniaivo sui valori dlla funion. Ossia dà informaioni solo di ipo asinoico...6 Torma di Talor con il rso di Lagrang ia I un inrvallo, n una funion drivabil n vol in I. Allora pr ogni coppia di puni c di I sis almno un puno comprso ra c al ch R P f n n.7 dov P n è il polinomio di Talor di grado n rlaivo a inorno al puno c n k k k n n n c k c f c n c f c c f c c f c f P... ' ' '.8 R n è il rso di Lagrang ch è dao da n n n c n f R..9 Quso orma può ssr sso anch a funioni ch hanno l driva di ui gli ordini.

33 Capiolo Gli srumni finaniari si può mosrar ch lim R n n. pr ui gli in ualch inrvallo I, allora si può concludr ch pr in I, k f c k f lim Pn c. n k k cioè può ssr sprssa com somma di una sri infinia di rmini ch sono pon inr posiiv di - c moliplica pr una cosan la sri convrg pr ui gli in I. Tali polinomi di grado infinio sono chiamai sri di pon o sri di Talor...7 Il modllo di Black chols Pr calcolar il valor dll grch è ncssario conoscr il valor dll opion. La valuaion finaniaria di un opion può ssr ffuaa pr mo dl modllo sviluppao da Black chols. Il modllo di Black chols, nlla sua formulaion bas, poggia sui sguni assuni: il pro dllo srumno soosan è coninuo il asso di inrss privo di rischio, a brv, è noo cosan pr u l scadn la variana di profii è cosan i mrcai di capiali sono prfi sono cioè possibili vndi allo scopro, sna cosi di ransiion né ass, i mrcai oprano coninuamn. Il procsso socasico ch gnra i profii può ssr modlliao uiliando il moo gomrico browniano : in ogni inrvallo di mpo arbirario d, il logarimo di profii ha una disribuion normal con mdia µd variana d. In uso modo il profio oal può ssr dscrio com d µ d d. 6

34 Capiolo Gli srumni finaniari dov d è una disribuion normal con mdia ro variana d. Basandosi su us prmss, nl 973 Black chols drivarono la famosa uaion pr l opioni urop, succssivamn ssa da Mron al caso di opioni su aioni ch pagano un dividndo coninuo...8 L grch di una call di una pu sandard L formul di Black chols dl pro, c, di una call uropa dl pro, p, di una pu uropa su un iolo ch paga un dividndo coninuo sono: c r d K d.3 p K r [ d ] [ d ].4 dov d ln r K.5 a funion di disribuion di una variabil normal con mdia nulla dviaion sandard pari a uno. pro dl soosan K pro d srciio srik pric r asso d inrss privo di rischio composo coninuamn dividndo dividnd ild volailià dl pro dl soosan via rsidua dll opion, sprssa in fraion d anno Il valor dll grch pr us opioni è: c d p d 7

35 Capiolo Gli srumni finaniari c, p ' d c ' d r d rk d p ' d r [ d ] rk [ d ] K r d c K r p [ d ] vga c, p d ' i rimanda all appndic A pr il pricing dll opioni con barrira pr il valor dll grch, dla gamma, di us opioni. 8

36 Capiolo 3 IL VALORE A RICIO VALUE AT RIK 3. ITRODUZIOE Qusa modologia fu sviluppaa pr siniar in un unico numro u l informaioni rlaiv ai rischi di un porafoglio, in modo ch i calcoli fossro rlaivamn smplici, rlaivamn rapidi facilmn comunicabili comprnsibili da managr di formaion non cnica. Il Valu a Risk VaR è una granda di naura saisica, misura la massima prdia associaa ad un porafoglio di aivià finaniari ch, con un drminao livllo di confidna, porà vrificarsi dnndo il porafoglio a posiioni inalra. Più prcisamn, daa una probabilià dl -% un priodo di giorni, il VaR è la prdia ch ci si aspa vnga ccdua solo con una probabilià dll % ni prossimi giorni. Il VaR ha rapprsnao un significaivo passo in avani in rifrimno all grch ch sono l più radiionali misur basa sulla snsibilià dll variabili di mrcao. Quso prché il VaR:. si applica ad ogni srumno finaniario d è sprsso nlla sssa unià di misura, cioè soldi prsi. Al conrario, l grch sono misur cra ad hoc pr spcifici srumni o variabili di rischio sono sprss in diffrni unià di misura 9

37 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk. includ una sima dgli vni fuuri prm di rasformar in un singolo numro il rischio di un porafoglio. L grch, al conrario, sono misur ch dicono di uano varia lo srumno finaniario a fron dlla variaion di una variabil da cui dipnd. l caso di porafogli complssi sposi a mol variabili di rischio, il calcolo dl VaR soo l aspo compuaional può ssr molo arduo. Quindi si rnd ncssario ricorrr ad assunioni, a vol anch fori, sia sulla dipndna funional dgli srumni finaniari ch sull disribuioni di probabilià. Al momno dll inrpraion di risulai finali nl loro uso è ncssaria la consapvola dll iposi ch sono sa fa, ossia ch il risulao onuo è rlaivo al livllo di confidna sclo al priodo di mpo considrao. 3. I MODELLI PER IL CALCOLO DEL VALORE A RICIO Il VaR è un prcnil dlla disribuion Profii Prdi. -% è un livllo di confidna è l -simo prcnil dlla disribuion di probabilià dl cambiamno di valor dlla posiion ossia Profii Prdi, V V T V, dov V è il valor in di un porafoglio V T è il suo valor alaorio a una daa fuura T, si ha ch: Pr V. 3. Il VaR al livllo - è dao da: VaR 3. ossia è il uanil dlla disribuion ch lascia alla sua sinisra l % di probabilià. Tr di possibili modi pr il calcolo dl valor a rischio sono: l approccio paramrico anch do approccio varianacovariana o analiico la simulaion sorica 3

38 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk la simulaion di Mon Carlo L approccio paramrico è ullo ch più si avvicina all dfiniioni ai conci drivai dalla modrna oria di porafoglio in uano sprim il Valu a Risk com muliplo di dviaioni di profii o dll prdi dl porafoglio. In gnral, vin uiliao in prsna di porafogli composi da srumni finaniari con paoff linari ad smpio obbligaioni o dposii, mnr la simulaion di Mon Carlo è prfria nl caso di porafogli i cui srumni sono carariai da dipndn non-linari com l opioni. La simulaion sorica si pon in una posiion inrmdia. La simulaion di Mon Carlo è, in gnr, l approccio ch vin prfrio. Tuavia, uando i porafogli in oggo sono carariai da rischi non-linari poco significaivi l approccio paramrico può rapprsnar una buona approssimaion. i illusrano l cararisich gnrali di r modi di calcolo. 3.. L approccio paramrico i assum ch l variaioni di paramri di mrcao si disribuiscano in modo normal. Da ciò driva ch la mdia la variana dlla disribuion di valori di porafoglio possono ssr calcola a parir dalla mdia dalla variana di paramri di mrcao soosani. Il conco dl Valu a Risk si basa su alcun smplici considraioni: il rischio oal si compon dl rischio non-sismaico o spcifico ch può ssr ridoo pr mo dlla divrsificaion il rischio sismaico o di mrcao ch non può ssr divrsificao si vda aman 987 pr misurar il rischio, nl caso dll approccio paramrico, si dv assumr ch la disribuion di probabilià di rndimni sgua una forma normal una disribuion normal si cararia pr du soli paramri: la mdia, ch indica la posiion dl cnro dlla campana gaussiana la dviaion sandard, ch indica invc la sua forma più o mno appiaia. All approccio paramrico apparngono divrsi modi, ch vrranno raai singolarmn. 3

39 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk 3... Il valor a rischio di una singola aivià finaniaria Il valor a rischio pr un singolo bn è sprsso dalla sgun formula: VaR V 3.3 dov V è il valor dl bn, è la misura dlla volailià, sprssion ch è lgaa all iposi di indipndna di rndimni, è una grca ch rapprsna la snsibilià dll aivià finaniaria a variaioni dl faor di mrcao ni confroni dl ual l aivià è sposa, - è l invrsa dlla disribuion normal sandard cumulaiva, ossia il uanil dlla normal, -, com già viso, è il livllo di confidna dsidrao. i supponga di volr misurar il valor a rischio connsso a una posiion in un Bp dcnnal con valor di mrcao pari a 5 mila uro, con duraa finaniaria duraion modificaa pari a 6. Volndo onr una misura di rischio giornaliro con un livllo di confidna dl 99% - - è uindi pari a,33 avndo simao una volailià giornalira dl asso dcnnal dl,5%, si ha: VaR 5 6,33,5 5 Un VaR di 5 uro indica ch dnndo il Bp dcnnal a posiioni inalra pr un giorno la massima prdia ch si porbb sopporar non risulrà maggior, nl 99% di casi, a 5 uro L approccio dla-normal Pr calcolar il rischio di un porafoglio di più aivià finaniari si considrano i cofficini di corrlaion fra i rndimni di divrsi faori di mrcao coinvoli. Quso approccio par dall analisi dlla volailià di rndimni di faori di mrcao ipoia ch ali rndimni siano disribuii normalmn. Ossia prvd ch il VaR di un porafoglio di posiioni sia misurao sulla bas di cofficini di corrlaion fra i rndimni di divrsi faori di mrcao: 3

40 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk VaR Vi i i V j j j ij i j 3.4 dov ij rapprsna il cofficin di corrlaion fra il rndimno dl faor di mrcao i il rndimno dl faor di mrcao j, la sua sprssion è la sgun: ij ij 3.5 i j dov ij è la covariana ra il rndimno dllo srumno i il rndimno dllo srumno j, i j sono rispivamn la variana dllo srumno i dllo srumno j. Quso è un indic normaliao ch s assum valor indica dipndna linar saa con cofficin angolar posiivo, vicvrsa s assum valor indica dipndna linar saa con cofficin ngaivo. assum valor significa ch l du variabil sono incorrla in snso for. Quando si ha un porafoglio ral composo da numros posiioni, divin più agvol ricorrr all algbra maricial pr il calcolo dl rischio. i considri un porafoglio composa da r posiioni, A, B C, rispivamn cararia da valor a rischio pari a VaR A, VaR B, VaR C. I valori a rischio rlaivi all singol posiioni possono ssr sprssi in forma vorial com: VaRA V ~ VaRB 3.6 VaR C I cofficini di corrlaion rlaivi ai rndimni di r faori di mrcao rilvani possono ssr sprssi in forma maricial nl sgun modo: C BA CA AB CB AC BC 3.7 Il valor a rischio dl porafoglio può, a uso puno, sprimrsi com: 33

41 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk VaR ~ ~ T V C V 3.8 T dov V ~ rapprsna il rasposo dl vor V ~. L approccio dla-normal ipoia ch solo i rndimni di faori di mrcao siano carariai da una disribuion normal congiuna non anch i pri dll posiioni L approccio RiskMrics Quso approccio alla gsion dl rischio di mrcao, inrodoo nl 994 dalla banca d affari amricana J. P. Morgan, è ssnialmn la combinaion di una modologia analiica pr la misuraion dl rischio finaniario di corrispondni dai saisici ncssari pr l applicaion dl modo pr il calcolo dl valor a rischio. Pur sooposa a numros criich rlaiv all iposi uilia all cnich di calcolo propos, usa modologia si è affrmaa in brv mpo fino a divnir lo sandard di mrcao pr la misuraion dl VaR. i ha una sri di iposi smplificaioni ch limiano la validià dll approccio RiskMrics ch dvono prano ssr nu in considraion. La prima assunion smplificaric è sull disribuioni normali dll variaioni ni rndimni nl valor dl porafoglio. Essa consn di radurr facilmn ualsiasi livllo di confidna sclo pr il calcolo dl VaR in una spcifica fraion di dviaioni sandard. Tuavia la disribuion di rndimni dl porafoglio può risular anch novolmn divrsa da ulla normal uindi il VaR non risula più un smplic muliplo dlla dviaion sandard di rndimni dl porafoglio. L iposi ch l sposiion dl porafoglio al rischio di mrcao possa ssr simaa assumndo una disribuion normal si basa, olr ch sull assunion di rndimni pr l singol aivià finaniari disribuii normalmn, anch sull assunion di linarià nlla rlaion ra usi ulimi il rndimno dl porafoglio aggrgao dlla banca. Ciò non risula valido nl caso in cui il porafoglio in oggo connga opioni. Infai la rlaion ra il pro dll aivià soosan il pro dll opion non è di ipo linar, di consguna la disribuion di rndimni non risula normal anch nl caso in cui lo foss ulla di rndimni dll aivià soosani. 34

42 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk La sconda smplificaion prvd la cosana nl mpo dll volailià dll corrlaioni sima sulla bas di dai sorici. In ralà, l variabilià l corrlaioni non sono cosani nl mpo possono cambiar anch in modo significaivo, in paricolar duran priodi di srma insabilià di mrcai finaniari si vda Gallo Pacini. La ra iposi smplificaric riguarda il conco di mappaura di flussi di cassa cash flow mapping, ovvro la dscriion di fuuri flussi di cassa pr ciascuna dll aivià finaniari connu in porafoglio. RiskMrics assum ch i flussi aivi passivi avvngano solamn in un numro discro limiao di puni nodi o vrici o bucks lungo l ass mporal ch siano ui di naura drminisica. Un smpio di gruppo di vrici è: m 3m 6m a a 3a 4a 5a 7a 9a a 5a a 3a. Mappar un flusso di cassa significa spararlo ra du adiacni vrici. La figura mosra com un flusso di cassa aual rifrio al 6anno è sparao in flussi di cassa sinici rifrii ai vrici di 5anni 7anni. Figura 3.. Esmpio di mappaura di flussi di cassa Dopo la mappaura, un porafoglio di srumni finaniari è rasformao in un porafoglio di flussi di cassa sandard. La mappaura comincia con l inrpolaion linar di assi d inrss, cioè: L - R

43 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk dov R R L, è la scadna di un iolo obbligaionario privo di cdol rocoupon bond, L R sono i vrici adiacni sinisro dsro, L R sono i corrispondni assi di rndimno dl iolo privo di cdol ro ras ai vrici sinisro dsro. Pr prsrvar il valor aual V dl flusso di cassa, dovrmmo avr la sgun uivalna: - - L - R V WL L R WR C. 3. La mappaura dl flusso di cassa dovrbb anch prsrvar la snsiivià dl valor aual di cambio ni assi di rndimno pr i du vicini vrici. Quso è uivaln a prndr la drivaa parial di 3. rispo a L R mnr nr W R, W L C cosani. Ciò ch si oin è: W L - L L - 3. L W R - R - - R 3. R C L R. 3.3 R L Quindi l ammonar di V uro invsii in un iolo obbligaionario privo di cdol con scadna al mpo può ssr rapprsnao da un porafoglio di V uro il L valor aual di W L invsii in un iolo obbligaionario con scadna ugual al vric sinisro, - uro il valor aual di W R invsii in un iolo obbligaionario R con scadna ugual al vric dsro, una posiion di conan di L R. R L 36

44 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk L approccio porafolio-normal Quso approccio calcola il VaR di un porafoglio composo da più posiioni di rischio parndo diramn dalla volailià dl rndimno dl porafoglio, sna scomporr us ulimo nll su componni principali. i basa sull iposi ch il rndimno dl porafoglio sia disribuio normalmn. Tal iposi è giusificaa in uno di sguni casi: a. s il porafoglio è composo da un numro lvao di posiioni la cui disribuion, al limi, nd a una normal b. s i rndimni dl porafoglio sono ffivamn disribuii normalmn la composiion dl porafoglio rsa cosan c. s il porafoglio è composo da un insim di posiioni ognuna dll uali è carariaa da un rndimno disribuio normalmn L approccio dla-gamma l misurar il VaR di una singola aivià così com ullo rlaivo a un inro porafoglio, è possibil considrar la drivaa prima dla, sconda gamma o convssià, dl pro rispo al rndimno dl faor di mrcao rilvan. L sprssion dl VaR pr la singola aivià è la sgun: VaR i Vi i i 3.4 i ch driva dallo sviluppo in sri di Talor. Quso approccio prsna un livllo di prcision maggior nl calcolo dl VaR pr ull posiioni ch prsnano una rlaion non-linar rispo ai faori di mrcao, com l posiioni in ioli obbligaionari o in opioni. L approccio dla-gamma risula aluano complsso s nl calcolar il VaR dll singol posiioni si uilia la volailià dl valor di mrcao aniché la volailià dl faor di rischio. 37

45 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk I r aspi più imporani dll approccio varian-covarian sono: la scla dl livllo di confidna la scla dl priodo mporal di rifrimno la sima dlla volailià. Il livllo di confidna - dfinisc il grado di avvrsion al rischio dlla singola isiuion finaniaria, sprim impliciamn il livllo di proion dai movimni avvrsi di faori di mrcao ch si innd onr. Dao ch l approccio paramrico ricorr all iposi di disribuion normal di rndimni, la soluion di al problma si raduc nll uilio di un drminao muliplo dlla dviaion sandard com misura dllo scnario pssimisico dunu pr la drminaion dlla massima prdia ponial. Tipicamn si sclgono pr - valori dl 95% o dl 99%: più ampio è il livllo di confidna adoao - 95% sabilisc un inrvallo di confidna più ampio di - 99%, maggior è la prcision dl VaR nl fornir una sima dl rischio, ma minor è il conribuo dl VaR in rmini informaivi, dao ch vin sclusa una gamma più risra di valori. Il priodo mporal di rifrimno di solio è pari a giorno, siman lavoraiv giorni o un ms. L iposi fondamnal è ch la composiion dl porafoglio rsi immuaa nll arco mporal considrao: prciò, la scla dll orion mporal dipnd dalla fruna con cui il porafoglio è sooposo a movimnaioni dal priodo ncssario pr la liuidaion dl porafoglio. Ovviamn pr onr la sima dl VaR con priodo di rifrimno di un giorno si uiliranno sim dlla volailià giornalir. Pr rasformar la volailià giornalira in una volailià rlaiva ad un priodo più lungo, sna ricalcolar u l variaioni, si uilia la sgun formula: dov volailià rlaiva al priodo g volailià giornalira 3.5 g 38

46 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk priodo mporal pr il ual si vuol calcolar la volailià. In alr parol il passaggio dalla volailià giornalira a ulla simanal o mnsil può ssr ffuao moliplicando la prima pr la radic uadraa dl numro di giorni di ngoiaion prsni nll arco mporal considrao. Tal passaggio rova giusificaion nll iposi di indipndna o di non corrlaion srial di rndimni giornaliri ch compongono il priodo. La sima dlla volailià di faori di mrcao, o dll posiioni è un aspo piuoso criico. Volndo solo accnnar il problma, si possono raggruppar in r principali cagori i modi uiliai pr la sima dlla volailià. La prima cagoria è rapprsnaa dai modlli basai sull volailià corrlaioni sorich ch uiliano ali sim com prvision di volailià corrlaion fuur. Tali modlli, molo diffusi pr la loro smplicià, prsnano lo svanaggio di ipoiar una disribuion sabil nl mpo, in conraso con l vidna mpirica. Il scondo modo uiliao pr la prvision di volailià corrlaioni è rapprsnao dai modlli dlla famiglia GARC Gnralid Auorgrssiv Condiional roskdasici, i uali ipoiano ch l volailià l corrlaioni siano variabili nl mpo. Con usi modlli dai dai sorici si possono cosruir poi dll prvisioni pr l volailià fuur. Infin, il ro cririo è rapprsnao dall uilio dll prvisioni dll volailià dll corrlaioni implici ni pri dll opion. Ossia dal pro dll opioni si ricava una sima dlla volailià ch alro non è ch la prvision dl mrcao rlaiva alla volailià ch si manifsrà nl corso dlla via dll opion. Alla bas dll approccio paramrico vi sono du iposi rlaiv ai rndimni di faori di mrcao: variana cosan omoschdasicià disribuion normal. Tali iposi sono spsso smni dal comporamno ral dll variabili finaniari. La volailià, ad smpio di ioli aionari uoai in borsa, si può ossrvar com non sia cosan nl mpo. Infai ssa subisc dll fluuaioni significaiv. Tal fnomno, indicao con il rmin di volaili clusring, sa ad indicar ch i faori di 39

47 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk mrcao prsnano spsso priodi di maggior volailià ch possono anch prsisr pr priodi prolungai. L iposi di normalià dlla disribuion di rndimni è saa oggo di criich basa sull sguni conclusioni mpirich: l disribuioni di rndimni dll aivià finaniari prsnano gnralmn dll cod più spss fa ails di ull propri dlla normal. Tal cararisica prnd il nom di lpocurosi il picco inorno alla mdia è gnralmn più lvao di ullo di una disribuion normal, ossia la probabilià di onr risulai molo più vicini alla mdia è più lvaa di ulla nl caso di disribuion normal. Tal fnomno prnd il nom di lpocurosi l variaioni di pro, consgunmn i rndimni, dll aivià finaniari sono gnralmn disribui in modo non prfamn simmrico. Tal fnomno prnd il nom di asimmria, ch in gnr sarà ngaiva. 3.. La simulaion sorica Quso modo non richid alcuna assunion riguardo la disribuion di probabilià di rndimni. In un modllo di simulaion sorica si ipoia ch i poniali cambiamni ni rndimni siano bn rapprsnai dalla loro disribuion mpirica sorica, cioè dai cambiamni rgisrai in un priodo passao. Inolr non richid alcuna mappaura di flussi di cassa pr ridurr la dimnsionalià di dai. All inrno dlla simulaion sorica sisono du misur dl VaR: il VaR paramrico ullo non paramrico. In nrambi i ipi di VaR sisono alcun fasi ch dvono ssr ncssariamn ffua, cioè: a. la scla dl priodo di dnion holding priod b. il calcolo saisico uiliando una bas sorica formaa da n rndimni passai dll variaioni di valor inrvnu nl priodo di dnion 4

48 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk c. l applicaion di ali variaioni sorich al valor corrn dl porafoglio, onndo così n ipoici cambiamni di valor d. la scla dl livllo di confidna l calcolo dl VaR paramrico l fasi ch dvono ssr ffua sono:. il calcolo dlla mdia dlla dviaion sandard dll variaioni sorich di valor dl porafoglio onu in c. f. la soraion dalla mdia dl numro di dviaioni sandard ncssari pr onr il livllo di confidna prsclo. l caso di VaR non-paramrico, si ffuranno invc l sguni fasi: g. ordinamno dll variaioni di porafoglio ipoich calcola in c. dal risulao miglior al risulao pggior h. sima dlla massima prdia ponial: ad smpio s il livllo di confidna prsclo è il 95%, si considrrà il valor corrispondn al 97,5 prcnil dll ordinamno ffuao in g. I prgi dlla simulaion sorica sono ch è srmamn smplic, non dvono ssr svol sim di paramri, i dai dll sri sorich non dbbono ssr laborai. La disribuion mpirica di faori di mrcao è cauraa nlla sua ingrià. Inolr vngono suprai i problmi posi da non linarià non monoonicià di paoff. Un limi dlla simulaion sorica è cosiuio dall iposi implicia ch i dai sorici cosiuiscano l raliaioni di disribuioni indipndni idnicamn disribui. Ma s la disribuion soosan di rndimni di faori di mrcao non è cosan nl mpo, non è possibil considrar la disribuion mpirica com una sua rapprsnaion. Un scondo limi è lgao alla lungha dlla sri sorica di rifrimno. In gnr l sri conngono poch ossrvaioni, ciò provoca una scarsa dfiniion dll cod dlla disribuion mpirica di probabilià. Ma incrmnar il più possibil la lungha dlla sri sorica di rifrimno può ssr ngaivo pr 4

49 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk moivi lgai alla sabilià dlla disribuion. Un ulimo problma drivan dall uilio di modi di simulaion sorica è rlaivo all innsià di calcolo richisa. Qusa risulrà ano maggior uano più numrosi complssi sono gli srumni in porafoglio uano più lvao è il numro di faori di mrcao cui il porafoglio risula snsibil La simulaion di Mon Carlo Quso modo consis nl simular divrs vol il valor di singoli lmni cosiuni il porafoglio. Pr il calcolo dl valor orico dl porafoglio spsso si uilia in prima approssimaion l spansion in sri di Talor. In bas ad ssa, il valor di un bn avn cararisich di non linarià, può ssr approssimao com: rivaluaionporafoglio,5 vga r 3.6 dov - è la variaion simulaa dl valor dl bn, - è la variaion simulaa dlla volailià dl bn, r r r - è la variaion simulaa di assi di inrss,,, vga, sono l grch, cioè l driva pariali di funioni non-linari, ipich di srumni con opionalià. L approccio richid l sguni fasi di calcolo:. simulaion dll variaioni di ui i paramri di mrcao rilvani assi, pri, volailià, ch avvin aravrso l uilio di modlli mamaico-saisici ad smpio il modllo di Vasick ch prm di simar l andamno di assi d inrss nl mpo. calcolo dll variaioni dl valor di porafoglio pr ciascuno dgli scnari simulai, in bas a un cro algorimo di rivaluaion com ad smpio l spansion in sri di Talor 3. ripiion di passi.. pr un cro numro di vol in gnr vol, al fin di onr una disribuion dll variaioni dl valor di porafoglio 4

50 Capiolo 3 Il valor a rischio Valu a Risk 4. ordinamno di risulai di cui al puno 3.: il valor a rischio è il prcnil lgao al livllo di confidna sclo. Quindi, la simulaion di Mon Carlo gnra dll rapprsnaioni di variabili casuali, rasforma usi numri in alrani scnari di mrcao li applica, aravrso la rivaluaion, al porafoglio, al fin di gnrar una disribuion di profii prdi. La simulaion di Mon Carlo è indicaa pr caurar gli impai non-linari di paramri, consn di uiliar divrs disribuioni di probabilià mpirich, inolr è in grado di gnrar un ampia scla di possibili scnari voluivi pr ciascuna dll variabili rilvani. Tra i lai ngaivi occorr porr la complssià mamaica gli lvai mpi compuaionali ad ssa lgai. 43

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52 Capiolo 4 L EPECTED ORTFALL 4. ITRODUZIOE Con l aumno dll imporana dlla misuraion dl rischio, nasc la ncssià di vdr uali proprià dovrbb avr una saisica di un porafoglio in modo al da ssr considraa una buona misura di rischio. Infai, fu pubblicao un aricolo da Arnr, al 997, in cui vniva affronao pr la prima vola il problma dlla dfiniion di una misura corn di rischio. La dfiniion di misura corn di rischio è la sgun: si considri un insim V di variabili casuali a valori rali; una funion p: V è chiamaa misura di rischio s è: i. monoona:, Y V, Y $ py p ii. sub-addiiva:, Y, Y V $ py p py iii. omogna posiiva : V, h >, h V $ ph h * p iv. invarian ranslaional : V, a $ pa p a orprndnmn il VaR, la misura dl rischio adoaa com miglior procdura da molissim banch, non è smpr una misura corn di rischio prché non soddisfa, nl caso di disribuioni divrs da ulla guassiana, l assioma di sub-addiivià. 45

53 Capiolo 4 L Epcd horfall Qusa proprià sprim il fao ch un porafoglio composo da sooporafogli avrà un ammonar di rischio ch è al più la somma dll ammonar di rischio di suoi singoli sooporafogli. Il rischio global di un porafoglio è la somma di rischi dll su pari solamn nl caso in cui l caus di usi rischi agiscono nlla sssa dirion. In ui gli alri casi il rischio global sarà minor dlla somma di suoi rischi pariali uso grai alla divrsificaion dl rischio. Pr una misura sub-addiiva, la divrsificaion conduc smpr a una riduion dl rischio, mnr pr l misur ch violano uso assioma, la divrsificaion produc un incrmno nl loro valor uando i rischi pariali sono provocai da vni ch non hanno un andamno saamn concord. Un alra criica al VaR è ch non fornisc una sima pr l ampia dll prdi in ugli scnari dov la soglia dl VaR è supraa. Quindi nasc l signa di rovar una misura alrnaiva al VaR ch sia corn anch nl caso di disribuioni non normali. L Epcd horfall E è una misura sub-addiiva dl rischio ch dscriv uano l prdi sono ampi, in mdia, uando ss ccdono il livllo dl VaR. Il sgun smpio rao da Acrbi, al mosra com E rispa il principio di sub-addiivià mnr il VaR non lo rispa: Probabilià Porafoglio A Porafoglio B Porafoglio AB 3% 7 7 % 9 9 3% 7 7 % 9 9 9% Valor iniial 98,9 98,9 97,8 VaR 5% 8,9 8,9 7,8 E 5%,9,9 7,8 i noa com il VaR onuo dal porafoglio somma è maggior dlla somma di VaR di singoli sub-porafogli. i ossrva anch ch E dà risulai opposi usi sono sub-addiivi. 46

54 Capiolo 4 L Epcd horfall E fornisc ulriori informaioni circa la coda dlla disribuion Profii Prdi Profi and Loss. Mamaicamn, possiamo dfinir l Epcd horfall com la mdia condiionaa dll prdi di un porafoglio dao ch ss sono maggiori dl VaR. ia, com nl capiolo prcdn, V V T V il cambiamno di valor dlla posiion, ossia Profii Prdi, dov V è il valor in di un porafoglio V T è il suo valor alaorio a una daa fuura T, allora E può ssr scrio com sgu: Epcd horfall E[V V < VaR] 4. Anch s l Epcd horfall non è al momno usao ampiamn com il VaR, è una saisica uil ch fornisc imporani informaioni addiionali. In paricolar, prm il confrono diro dll cod dll du disribuioni. i può pnsar ad E com una misura mdia di uano psan è la coda dlla disribuion. E ha anch alcun proprià dsidrabili ch al VaR mancano. Ad smpio, soo alcun condiioni cnich, E è una funion convssa di psi dl porafoglio, us proprià lo rndono srmamn uil nl risolvr problmi di oimiaion uando si vuol minimiar il rischio soggo a cri vincoli. Pr comprndr mglio ch cos è il valor a rischio l Epcd horfall la loro diffrna si può ossrvar il sgun grafico: Figura 4.. Il VaR l E nlla disribuion Profii Prdi 47

55 Capiolo 4 L Epcd horfall 4. COTRUZIOE DI UA MIURA DI RICIO L formul dll E ra da Acrbi Tasch sono sa ripora a mno dl sgno, ch non cambia il loro significao ma solo il puno di visa con cui si guardano l cos. E rispond alla domanda di ual nià sia la prdia mdia ch si incorr nll % di casi pggiori dl porafoglio considrao. E rapprsna un modo diffrn dal VaR pr misurar il rischio di mrcao. Ora ci si occupa dlla drminaion dlla sima di usa misura di rischio. ia la variabil casual ch dscriv il valor fuuro dl profio o la prdia di un porafoglio su un cro fissao orion mporal da oggi, sia, la prcnual ch rapprsna un campion di casi pggiori pr il porafoglio ch vogliamo analiar sia sup { P[ ] } il uanil dlla disribuion. Vi è anch un alra saisica ch rispond alla prcdn domanda, cioè il valor aso condiionao soo il uanil o il ail condiional pcaion TCE: TCE E[ ] 4. ma solo nl caso in cui ci si rsring a funioni di disribuion dl porafoglio coninu. Infai pr disribuioni gnrali può violar la condiion di sub-addiivià. i suppon di avr un numro n di raliaioni { i } {i,,n} di una variabil casual, si dv ordinar il campion in modo crscn far la mdia di primi % valori. Dopo avr fao uso si dfinisc l ordin dll saisich n com i valori ordinai di n-upl,, n si approssima il numro dgli % lmni nl campion aravrso w [ n ] ma {m m n, m }, ossia la par inra di n%, una scla ch pr un n grand può ssr cambiaa con alri inri arroondando o roncando vicino ad n%. L insim dgli % casi pggiori è uindi rapprsnao dal più piccolo w di risulai,, n. i può dfinir il sgun simaor naural pr -uanil : n w : n. 4.3 Il naural simaor pr la prdia mdia nll % di casi pggiori è dao smplicmn da: 48

56 Capiolo 4 L Epcd horfall 49 w E w i n i n : mdia dgli % più piccoli risulai i. 4.4 i noa ch lo simaor pr TCE è: n i n i i n w n i w n i TCE } { } { : : mdia di ui i n. 4.5 È smplic vdr ch n E è sub-addiivo pr ogni fissao n. Considrando du variabili Y un numro di raliaioni simulan {i,yi} {i,,n}, si può provar facilmn la sub-addiivià di n E : : : : Y E E w Y w Y Y E n n w i n i n i w i n i n. 4.6 Una dimosraion simil porbb fallir pr n TCE. Ora si può spandr la dfiniion di E: w w E n i w i n i w i n i n } { : : n i w i n i n i n i n w n i w n n i w } { } { : } { : : : : : n i w i wn n i i n w n i w n i w } { } { : } { : : : n i wn n i i n w n n w n w n n i w n i } { : } { : : :. 4.7

57 Capiolo 4 L Epcd horfall si ha: lim w : n n 4.8 con probabilià uno, dovrbb ssr facil concludr ch con probabilià uno si ha anch: lime n n E[ ] P[ ] {. 4.9 L uaion 4.8 non è valida in gnral, uavia è sao dimosrao da Acrbi, Tasch ch l uaion 4.9 è più robusa infai val in gnral. i può ora dar la sgun dfiniion di E: sia il profio-prdia di un porafoglio su uno spcifico orion mporal sia, un fissao livllo di probabilià, l E di un porafoglio è dfinio com sgu: E E[ ] P[ ]. 4. { Qusa dfiniion fornisc una misura dl rischio ch soddisfa prfamn ui gli assiomi dlla dfiniion di misura di rischio. Qusa formulaion è saa inrodoa pr la prima vola da Acrbi, al, dov è saa daa una dimosraion gnral di sub-addiivià, la ual non è basaa sul lim dlla prcdn prova 4.6 di sub- n addiivià di E n. ll uaion 4., il rmin P[ ] dv ssr inrprao com la par ccssiva da sorarr al valor aso E ], dov { } ha [ { probabilià maggior di. Quando al conrario P [ ], poiché si ha smpr una disribuion di probabilià coninua, il rmin sparisc uindi si ha ch E TCE. 4.3 ALTRA DEFIIZIOE DI EPECTED ORTFALL La smplicià di E può ssr appraa solo non dfinndolo com una combinaion di valori asi. Esis infai una rapprsnaion ch rivla in modo 5

58 Capiolo 4 L Epcd horfall molo più rasparn la dira dipndna dal paramro dalla funion di disribuion F P. Infai inroducndo la funion invrsa gnraliaa di F: F p inf{ F p } 4. si può mosrar ch E può ssr facilmn sprsso com la mdia di F p in un livllo di confidna p, ]: E. 4. * F p dp Qusa è la più imporan dfiniion di E. La raabilià mamaica di usa dfiniion la fa paricolarmn adaa pr lo sudio dll proprià analiich di E. Pr smpio la coninuià in, ch è una proprià ch il VaR non condivid, è vidn in 4. mnr non è ovvia in 4.. Una sprssion alrnaiva d uivaln alla 4. è saa rcnmn formulaa da Rockafllar, Urasv, dov la rminologia -condiional VaR è adoaa pr E : E TCE - TCE VaR 4.3 P[ ] con. Qusa rlaion, ch può ssr facilmn drivaa da 4. moliplicando dividndo pr P ][, prm di mr in vidna ch in gnral E TCE. Qui pr il VaR è saa uiliaa una dfiniion diffrn da ulla daa nl capiolo prcdn, ma analoga. Il VaR di un porafoglio è dfinio com la prdia minima ch sso può subir in un drminao orion mporal nll % di casi pggiori. 5

59 Capiolo 4 L Epcd horfall 4.4 COFROTO TRA EPECTED ORTFALL E VALORE A RICIO EL CAO GAUIAO Confroniamo ora i valori assuni dal VaR dall E nl caso gaussiano pr alcuni livlli di confidna. L sprssion dl VaR nl caso gaussiano è la sgun: VaR 4.4 dov è il uanil dlla normal sandardiaa. Mnr l sprssion pr E smpr nl caso gaussiano è: * f d E 4.5 usa formula è ugual allo simaor ch ra sao prcdnmn indicao con TCE. Ponndo, i risulai ch si ongono sono: VaR E,5,65,6,,33,67, 3, 3,37 i può uindi mosrar ch s la disribuion è normal, E VaR sono lgai da una rlaion di proporionalià. In nrambi i casi si raa di mulipli dlla volailià dl porafoglio. Invc, s la disribuion è non normal, posiioni divrs possono ssr cararia, a parià di VaR, da E srmamn diffrni. E assum smpr un valor più alo rispo al VaR, com si può ossrvar dal sgun grafico: 5

60 Capiolo 4 L Epcd horfall 4 4 E VaR..4.5 Figura 4.. Confrono ra i valori assuni dall E dal VaR 4.5 COCLUIOI L E è un modllo dlla class dll misur corni dl rischio ch ci prm di non rinunciar ai vanaggi dl VaR. Infai E è: univrsal: può ssr applicao ad ogni srumno ad ogni causa soosan dl rischio complo: produc un unica, global sima pr porafogli sposi a diffrni caus di rischio un smplic conco: è la risposa ad una naural domanda sul rischio ch si incorr con un porafoglio. Un aspo inrssan dll E è ch s una banca dcidr di uiliarlo pr calcolar il rischio di suoi porafogli è sufficin ch modifichi il suo sisma di Risk- Managmn basao sul VaR. Inolr usa modifica può ssr faa con un piccolo sforo compuaional, incnivando uindi l banch ad uiliar uso srumno. 53

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62 Capiolo 5 L APPROCCIO DELTA-GAMMA ELLA VARIAZIOE DI VALORE DI UO TRUMETO O LIEARE 5. ITRODUZIOE i capioli prcdni si è crcao di dfinir divrs misur dl rischio di mrcao, ora si riprndono in considraion l grch, al fin di rovar una buona approssimaion alla variaion di valor dll opion, srumno non linar ch ha avuo un rapido sviluppo ngli ulimi anni. i è rivola l anion al problma dlla ricrca di un approssimaion dlla vra variaion dl valor di uno srumno finaniario anch pr moivi compuaionali. Infai s pr drminar la variaion si uiliass il vro valor sarbb ncssario calcolar du pricing, ullo di oggi ullo uando è rascorso un cro priodo. invc si uilia un valor approssimao è sufficin il calcolo di un solo pricing il calcolo di una o du driva. L onr compuaional in uso caso è uindi minor. Un sofwar ch gsisc una grand uanià di dai, com in uso caso, dv avr com cararisica l fficina, ossia la capacià di svolgr opraioni uiliando un insim di risors mpo spaio ch siano accabili pr l un. Quindi il sofwar è fficin uando uiliiamo un approssimaion dlla vra 55

63 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar variaion. i sarà maggiormn convini dlla sua uiliaion uando si vdranno i buoni risulai onui. Lo srumno, uiliao pr rovar un approssimaion alla variaion, è l approccio dla-gamma. Quso approccio assum, ch il cambiamno di valor di uno srumno, soggo a dinamich non linari, possa ssr approssimao dal dla la drivaa prima dl valor dll opion in rlaion allo srumno soosan dal gamma la drivaa sconda dl valor dll opion con rifrimno allo srumno soosan. La formulaion di al approccio dla-gamma è la sgun: P 5. dov: P variaion dl pro dll opion variaion dl pro dl soosan sono rispivamn l grch dla gamma. Il modo in usion inroduc un approssimaion analiica alla rlaion di non linarià, adoando l spansion in sri di Talor. Esisono approcci più gnrali, ch ndono a considrar anch l alr grch com il vga la drivaa prima rispo alla volailià, il rho la drivaa prima rispo ai assi di inrss il ha la drivaa prima rispo al mpo a scadna. C è anch un approccio più smplic, chiamao modo dla, ch è localmn linar. La sua sprssion è la sgun: P. 5. L imporana di us misur di rischio la si può vdr nl fao ch u l banch dvono, pr normaiva, fornir alla Banca d Ialia, il dla, il gamma il vga al fin di calcolar l indic di rischio dll singol banch. 5. OGGETTO DEL COFROTO La vrifica mpirica riguarda il confrono ra la variaion approssimaa dl valor dll opion, onua con l approccio dla con ullo dla-gamma, con la vra 56

64 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar variaion. In sguio si valurà la ncssià di ricorrr all uilio anch di alr grch. i è dciso di vrificar la bonà di us approssimaioni pr l opioni sandard pr un ipo di opion non sandard. Tra l mol opioni non-sandard la scla è ricadua sull opioni barrira, sono opioni ch cssano o iniiano ad sisr uando il pro dl soosan raggiung una cra barrira bisogna prsar anion al fao ch barrira srik sono du cos diffrni. L opioni barrira sono molo diffus hanno avuo un grand succsso, dovuo al fao ch pur garanndo funionalià analogh a ull offr dall opioni sandard, richidono nl conmpo un minor sborso in rmini di prmio. i sono considra solo l opioni call non anch l pu, in uano pr la call-pu pari ciò ch val pr l call val anch pr l pu. Infai la rlaion call-pu pari affrma ch: pu call pro dl soosan valor aual dl pro d srciio. 5.3 Quindi gli sssi problmi ch si inconrano con la call, si risconano anch con la pu. L opioni barrira prsnano un paoff molo più non linar rispo a ullo di un opion sandard com si può ossrvar dal sgun grafico: Call,.5,.5,,.,.5 CallUOrikMin,,.5,.5,,,,,., Figura 5.. Confrono pricing di una call sandard con una call barrira 57

65 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar Il sofwar mamaico uiliao è Mahcad i in ambin Windows 98, ch è uno srumno pr il calcolo numrico simbolico. Quso sofwar è carariao da facilià d uso nlla scriura dgli algorimi mamaici pr ssr paricolarmn vrsail, infai il suo uilio è simil a ullo di un linguaggio di programmaion, ciò ha prmsso la dichiaraion l assgnaion dll variabili considra nll analisi. i è considrao il caso in cui ci sia un aumno dall % al 4% dl pro dl soosan. Il confrono è sao ffuao pr i casi in h mon pro d srciio pari a ad smpio pro dl soosan pari a, a h mon pro d srciio pari a ad smpio pro dl soosan pari, ou h mon pro d srciio pari a ad smpio pro dl soosan pari a 9 pr u l opioni rann pr ull la cui dfiniion non lo prmva. Pr il calcolo dl valor dll opion gli lmni da considrar sono: la volailià, ch è saa faa variar dal % al 35%, in paricolar i valori ch ha assuno sono sai %, % 35% il asso d inrss, ch è sao fissao pari al,5%. on è sao fao variar prché si è ossrvao ch il suo cambiamno ha poco impao sul valor dll opion il pro d srciio, ch è sao fissao pari a il dividndo, ch è sao poso pari a ro, prché si sa facndo un confrono con opioni uindi il soosan dll opion non è ncssariamn un aion. Inolr il dividndo assum smpr un valor piccolo la via rsidua, ch si è considraa uando è lunga, ossia pari a un anno, uando è brv, ossia pari a,5 r msi la barrira, il cui valor è sao sabilio a sconda dl ipo di opion considraa. Ad smpio nl caso dlla call up-and-ou < K < la barrira dv assumr un valor molo più alo dl pro dl soosan dl pro d srciio, alrimni il valor dll opion è prossimo a ro il rba, ch è una spci di prmio di consolaion pr il caso in cui i movimni dl soosan si rivlino dl uo sfavorvoli pr il dnor dl conrao. È sao 58

66 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar fissao pari ro, prché è una cosan moliplicaa pr una probabilià, ch è rapprsnaa da una normal, si sa già ch i du approcci riscono ad approssimar bn la disribuion normal. Da noar ch alcuni inpu sono sai imposai mnr alri sono sai fai variar uso prché alcuni rano più imporani di alri nl calcolo dl valor dllo srumno finaniario. i è sclo di considrar solo alcuni valori pr gli inpu prché si volva ossrvar uano l approssimaion dlla variaion dl pro dll opion, onua con i du approcci ra buona in drmina siuaioni, ad smpio uando l opion è in, ou, ah-mon, uando c è una variaion dlla volailià, uando la via rsidua dll opion è pari a uando è pari a,5, uando la variaion dl soosan è lvaa, uando la barrira assum un valor prossimo o lonano rispo allo srik. on si sono uiliai di valori vri prché nl calcolo dl valor dll opion ullo imporan non è il valor dl pro dl soosan dl pro d srciio ma il loro rapporo, com si può vdr nlla formula.5 dlla dfiniion dll argomno dlla disribuion normal. Pr l opioni barrira non vin considrao il caso up-and-ou con < K il caso up-and-in con < K, prché l opion è smpr ou-h-mon, ossia assum smpr valori prossimi allo ro. I passi sguii nll analisi sono il calcolo dl pricing dll opioni, la drminaion dlla loro vra variaion dovua all aumno dl pro dl soosan, il calcolo dlla variaion approssimaa onua uiliando i du approcci, infin la drminaion dgli rrori rlaivi prcnuali pr ogni modo, la cui sprssion è la sgun: ValorVro ValorApprossimao Error. 5.4 ValorVro In paricolar pr il calcolo dl pricing si dv dfinir in un primo momno l variabili uili all analisi, succssivamn si assgnano di valori agli inpu ncssari al calcolo di us variabili. Infin us variabili sono richiama il programma Mahcad rsiuisc il loro valor. 59

67 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar Pr capir mglio com funiona Mahcad si vda il sgun smpio: dfiniion dlla variabil di inrss: br Call, b, r, K,, : cnorm d, K,,, b K r cnorm d, K,,, b assgnaion agli inpu di un valor: :.35 : : r :.5 K : b :.5 si richiama la variabil il programma rsiuisc il valor:.483 Call, b, r, K,, Prima di passar all analisi risula uil chiarir i du approcci in paricolar ch cosa misurano l du grch, dla gamma, considra. Il dla misura la variaion isanana dl pro dlla call pr ogni variaion uniaria dl pro dl soosan ad smpio il soosan aumna di, s il dla è, il valor dlla call aumna di. Pr l opioni call sandard, si può affrmar ch: è crscn rispo al soosan è dcrscn rispo allo srik il mpo ha ffi conrasani dipnd s l opion è in o ou-h-mon la volailià ha ffi conrasani dipnd s l opion è in o ou-h-mon. Il gamma è il asso di variaion dl dla: è massimo uando soosan srik assumono lo ssso valor. In praica, s ad smpio il gamma è molo piccolo, uso vuol dir ch il dla rispond lnamn all variaioni dl pro, gli aggiusamni pr mannr il porafoglio nural rispo al dla, non andranno fai di frun. 6

68 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar Pr l opioni call sandard, si può affrmar ch: l opioni ou o in-h-mon hanno un gamma piccolo, prché non sono snsibili a cambiamni dl soosan l opioni a-h-mon pr l uali vi è una scadna abbasana vicina hanno un gamma lvao, riflndo il fao ch l'opion può ssr vicina all'srciio o mno un gamma basso, indica ch il dla dll'opion cambia lnamn pr un dao cambiamno dl pro dl soosan. Al conrario, un gamma alo, indica ch il dla è molo snsibil. Il gamma è in praica una misura dlla convssià dll'opion. Qus proprià non valgono in gnral pr l opioni barrira. Inolr il dla può assumr valori maggiori di uno o ngaivi mnr pr la call sandard assum valori ra ro uno, il gamma può assumr anch valori ngaivi mnr pr la call sandard assum solo valori posiivi. 5.3 AALII DEI RIULTATI Dopo avr illusrao l modalià con l uali è sao raliao il confrono di du approcci con la vra variaion di valor dll opion, è possibil lncarn i risulai. Qusi confroni vngono fai in rmini di: rror rlaivo prcnual rror assoluo valor vro valor approssimao nl caso in cui i valori dll opion siano molo piccoli, ossia uando l rror rlaivo prcnual divna fuorvian. l caso in cui manchi poco alla scadna dl conrao d opion si compi un rror maggior rispo al caso in cui manchi ano mpo. Quso è giusificao dal fao ch il pricing di un opion è dao dalla somma di du lmni, uno è il valor inrinsco inrinsic valu l alro è il im valu. 6

69 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar Il valor inrinsco è dfinio com il massimo ra ro il valor ch l opion avrbb s foss srciaa immdiaamn. Il im valu è dao dalla diffrna ra il valor dll opion il valor inrinsco. Rapprsna uano un invsior è disposo a pagar, olr al valor inrinsco, nlla sprana ch il soosan si muova concordmn con la posiion prsa, facndo così aumnar di valor l opion dnua. All avvicinarsi dlla scadna dll opion, ossia uando diminuiscono l possibilià di srciar con profio l opion, il im valu si riduc progrssivamn fino ad ssr pari a ro alla scadna dl conrao. Quindi nl caso in cui alla scadna dll opion manchi molo mpo il im valu, ch cosiuisc la par non linar, ha più rilvana nl valor complssivo dllo srumno finaniario prciò mglio si applicano i modlli. i può ossrvar ch con valori lvai dlla volailià si ongono rrori minori. Pr capir la causa di ciò si possono ossrvar i grafici soo riporai pr l opion call sandard pr alcuni ipi di opioni barrira in cui si pongono a confrono i valori dl loro pricing, mannndo cosani ui gli lmni rann la volailià Call,.5,.5,,.,.5 Call,.5,.5,,.,.5 Call,.5,.5,,.35, Figura 5.. Confrono pricing di una call sandard con volailià diffrni 6

70 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar 4.8 CallDIrikMa,,.5,.5, 95,,,,.,.5 CallDIrikMa,,.5,.5, 95,,,,.,.5 CallDIrikMa,,.5,.5, 95,,,,.35, Figura 5.3. Confrono pricing di una down-and-in > K con volailià diffrni CallDOrikMin,,.5,.5, 5,,,,., CallDOrikMin,,.5,.5, 5,,,,., CallDOrikMin,,.5,.5, 5,,,,.35, Figura 5.4. Confrono pricing di una down-and-ou > K con volailià diffrni i noa ch i grafici dl pricing all aumnar dlla volailià divnano più convssi nl caso di una call sandard di una call knock-in, mnr nl caso di una call knockou divnano più concavi, uindi mglio si adaano l approssimaioni dl scondo ordin. Pr comprndr ancora mglio pr ual moivo con valori lvai dlla volailià si commono rrori maggiori, bisogna considrar il fao ch la volailià, ch ha impao solo sul im valu dll opion non in ullo inrinsco, uando è lvaa fa si ch ci siano maggiori probabilià ch l opion vnga srciaa, uindi il im valu ha un pso considrvol nl valor dll opion. Quando la variaion dl pro dl soosan è lvaa, ad smpio dll ordin dl 4%, vin commsso un rror maggior, uso prché i du approcci si basano sull approssimaion in sri di Talor ch val pr variaioni infinisim. In gnr l rror assoluo minor vin commsso uando l opioni sono ou o ah-mon, ciò è dovuo al fao ch in usi casi il valor dll opion è cosiuio dalla sola componn mporal, dal momno ch il valor inrinsco è prossimo a ro. 63

71 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar Quindi gli approcci si adaano mglio in us siuaioni, in cui il valor dll opion è dao da un lmno non linar. Quando la barrira è vicina o ugual al pro d srciio, l rror si modifica rispo al caso in cui la barrira assuma un valor divrso dal pro d srciio. Pr smpio si considri la call down-and-ou > K, s la barrira assum un valor molo più piccolo dl pro d srciio, allora usa non influisc nl pricing dll opion. Al conrario s si pon K o s comunu i valori sono moli vicini la barrira influisc in modo al da rndr il pricing irrgolar, uindi con l approccio dla-gamma si orranno dgli rrori minori. L approccio dla-gamma, com si può ossrvar dai sguni grafici, drmina smpr rrori minori rispo all approccio dla. 5 Valor prcnual Dla Dla-Gamma Figura 5.5. Confrono dgli rrori di du approcci pr la call sandard 64

72 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar Valor prcnual Dla Dla-Gamma Figura 5.6. Confrono dgli rrori di du approcci pr la call up-and-in > K< Valor prcnual Dla Dla-Gamma Figura 5.7. Confrono dgli rrori di du approcci pr la down-and-ou > K Il moivo di uso lo si può capir ossrvando il pricing dll call sandard non sandard figura 5.. ch hanno una forma ch ricorda una parabola. In alcuni casi con l opioni knock-in uando l opion call sandard è ou-hmon uindi il suo valor è uasi ro, vngono commssi dgli rrori rlaivi prcnuali piuoso lvai, ch non sanno ad indicar ch gli approcci non sono in grado di spigar bn la vra variaion. Ma sono dovui al fao ch i valori dll opioni sono molo vicini allo ro uindi l rror rlaivo prcnual divna fuorvian. 65

73 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar Il fao ch con l rror rlaivo vngano commssi dgli rrori lvai non dv proccupar, in uano i modlli considrai non si basano sulla variaion rlaiva dl soosan, ma smplicmn sulla variaion di pri. Anch in alcuni casi con l opion call up-and-ou con < K < vngono commssi grandi rrori ciò è dovuo al fao ch il pricing dll opion vdr figura 5.. è molo non linar, uindi l approccio dla risula non adao, ullo dlagamma risc ad approssimar mglio ma non com con gli alri ipi di opioni. Con l opioni down-and-ou con > K con l down-and-ou con > K, l approssimaion onua con i du approcci è molo buona infai pr l prim l rror mdio nl caso dl modllo dla è pari a,4% con ullo dla-gamma è pari allo,%, pr l scond si ha nl caso dla rror pari al,8% pr l approccio dlagamma rror pari a,%. Adsso si vogliono confronar gli rrori commssi dalla call sandard dall call barrira considrando ui i vari ipi assim, pr uso si calcola il loro valor mdio pr ognuno dgli approcci. Error mdio % con Error mdio % con approccio dla approccio dla-gamma Call sandard 4,%,98% Call barrira 9,73%,54% i ossrva ch con la call sandard con nrambi i modi l rror è minor rispo all opioni barrira considra assim. i ha anch ch l approccio dla-gamma risc ad approssimar mglio il vro valor dlla variaion, infai vngono commssi rrori piuoso piccoli. Qusi rrori, in ralà, sono infriori, infai si è faa la mdia considrando anch i casi in cui l opion ha valor prossimo a ro uindi l rror in usi casi può risular molo lvao anch s in ralà la variaion è piccolissima. Allora si ripora l rror mdio considrando solo i casi in cui il valor dll opion è suprior a uno: Error mdio % con Error mdio % con approccio dla approccio dla-gamma Call sandard 3,%,% Call barrira 7,39%,49% 66

74 Capiolo 5 L approccio dla-gamma nlla variaion di valor di uno srumno non linar L rror dll approccio dla con l opioni barrira l rror è comunu ancora rlaivamn lvao, uso prché si fa la mdia con l opion up-and-ou < K < ch non risula bn approssimaa dall approccio dla, com viso prcdnmn. L imporana di dla gamma si può vdr anch nl calcolo dl valor a rischio. Com do ni capioli prcdni du modi pr calcolar il VaR sono: VaR i VaR V Vi i i i i i i dov V è il valor dllo srumno finaniario, è la misura dlla volailià, sono rispivamn dla gamma, - è il uanil dlla normal sandard, -, è il livllo di confidna, è il priodo di dnion. Qus du modologi dl calcolo dl VaR non sono alro ch du approssimaioni, infai il vro valor dl VaR è dao da: n n VaR i Vi i Pi i i 5.4 dov P è il valor dllo srumno nl caso in cui il valor dl soosan sia pari a:. 5.5 Com nl caso dlla variaion di valor al calcolo dl vro valor si prfriscono di modi approssimai prché pr drminar il vro valor è ncssario il calcolo di du pricing mnr pr l approssimaioni è sufficin il calcolo di un pricing di una o du driva di uso. Quindi ni modi approssimai l onr compuaional è minor. 67

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76 COCLUIOI L obiivo ch ci si ra prfissai con uso lavoro, ch è sao raggiuno, è ullo di rovar una buona approssimaion alla variaion di valor dll opion, srumno finaniario carariao da un valor final non linar. ono sa considra sia l opioni sandard ch ull non sandard, in paricolar ull con barrira. L approccio uiliao pr approssimar il vro valor è basao sull grch, dla gamma, da cui prnd il nom di approccio dla-gamma. Dall analisi ffuaa è risulao ch gli rrori compiui con l approccio dlagamma non sono molo lvai infai sono dllo,% pr l opion call sandard dllo,49% pr l opion non sandard uindi può ssr considrao un buon modo di approssimaion dlla variaion dl valor dll opioni, anch s può divnar fuorvian nl caso di opioni prossim alla scadna. Qusa approssimaion ci prm di lavorar da una par con dai accurai dall alra ci prm di svolgr i calcoli in manira più vloc, infai non è ncssario il calcolo di du pricing, ch richidrbbro un novol onr compuaional. Dai risulai onui è mrso ch la volailià ha una cra imporana nlla drminaion dl valor dll opion uindi un vnual snsion a usa analisi può ssr faa considrando nll approssimaion dlla variaion anch la grca vga, ossia la drivaa dl valor dll opion prima rispo alla volailià. L sprssion dl modllo divna la sgun: P vga 69

77 dov con indichiamo la variaion dlla volailià. Un alra snsion è ulla di valuar la bonà dl approccio dla-gamma anch pr alr opioni soich non sandard molo diffus, com l Bs of, ossia opioni scri su du o più aivià rischios o l Asiaich, ossia opioni il cui valor final dipnd dal pro mdio dl soosan o dal pro mdio d srciio pr approfondimni si vdano Rubinsin 99 ull.

78 APPEDICE

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80 Appndic A ll pagin succssiv è riporao il pricing l grch dla gamma, da m calcola, dll opioni con barrira. Alcun di us vrranno uilia nll analisi svola. 74

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82 Appndic A Lgnda: d o ln r K ln ln o K ln ln r r a funion di disribuion di una variabil normal con mdia nulla dviaion sandard pari a uno. pro dl iolo al mpo ro K pro d srciio srik pric r asso d inrss privo di rischio composo coninuamn dividndo dividnd ild volailià sul pro dll aion via rsidua dll opion rimborso rba barrira 76

83 Appndic A 77 call down-and-ou con > K d K d c r o dao K r K d r d K r

84 Appndic A 78 call down-and-in con > K K c r r dai r r T K r K r r 4

85 Appndic A 79 call down-and-ou con > K K c r o dao K r K K K r K K K K r 4

86 Appndic A 8 call down-and-in con > K K d K d c r o r o dai K r r r K d K K r r K d 4 r K K K r 4

87 Appndic A 8 call up-and-ou con < K c uao

88 Appndic A 8 call up-and-in con < K d K d c r r o uai d K d r o r ] [ d r d ] [ r 4

89 Appndic A 83 call up-and-in con < K < ] [ K c r o uai ] [ K r r K r o r ] [ ] [ K r ] [ ] [ r r ] [ K K ] [ r K ] [ r

90 Appndic A 84 ] [ K ] [ 4 r T K K K rt 4 ] [

91 Appndic A 85 call up-and-ou con < K < K d K d c r o r o uao ] [ ] [ K d K d r o ] [ K K K r r r o K d ] [

92 Appndic A 86 ] [ K K r K d ] [ 4 K K ] [ K r

93 Appndic A 87 pu up-and-in con < K K p rt r uai ] [ ] [ ] [ ] [ K r r r r ] [ ] [ K r ] [ r ] [ ] [ K r T

94 Appndic A 88 r 4 ] [ pu up-and-ou con < K d d K p r uao K r ] [ ] [ ] [ d d K r ] [ T K r ] [ ] [ d ] [ K r

95 Appndic A 89 ] [ d ] [ K r pu up-and-ou con < K K p r o uao K r

96 Appndic A 9 ] [ [ ] [ K r o ] [ ] [ [ K r ] [ ] [ K ] [ K K r ] [ K 4 K K ] [ K r

97 Appndic A 9 pu up-and-in con < K K d d K p r o r uai K r r ] [ ] [ d d K r r ] [ [ ] [ K r o ] [ ] [ ] [ K r r r ] [ ] [ d ] [ K

98 Appndic A 9 ] [ K K r ] [ r K d T ] [ 4 K K ] [ K r r 4 ] [

99 Appndic A 93 pu down-and-ou con > K p dao

100 Appndic A 94 pu down-and-in con > K d d K p r r dai r ] [ ] [ d d K r r ] [ d r

101 Appndic A 95 d r 4 pu down-and-in > K < ] [ K p r o dai ] [ K r r ] [ ] [ K r o r ] [ ] [ T T rt T r r ] [ ] [ K

102 Appndic A 96 ] [ K K r r ] [ K 4 K K ] [ K r r 4

103 Appndic A 97 pu down-and-ou con > K > K d d K p r o r dao ] [ ] [ K r ] [ ] [ d d K r ] [ ] [ K r o ] [ ] [ K r K d ] [ ] [ K ] [ ] [ K r

104 Appndic A 98 K d ] [ 4 K K ] [ K r

105 Appndic B Dimosraion dlla sub-addiivià pr l Epcd horfall ia F una disribuion di probabilià di una variabil casual F Pr ob pr alcun probabilià, sia dfinio il -uanil { F } inf. F è coninua si ha ch F, mnr s F è disconinua in uindi la Prob{ } > si può avr F Prob{ } >. i dv prndr in considraion la mdia di dfinia com valor aso dlla disribuion nl - uanil. DEFIIZIOE: Pr una variabil casual pr uno spcifico livllo di probabilià, si dfinisc F { } E { } E 3 dov nll ulima sprssion vin inrodoa F ob{ }. 4 Pr Il scondo rmin è ro s Prob{ }. l sguio si farà uso dll sguni proprià: { } E

106 Appndic B L unica cosa da mosrar è 6 nl caso : { } { } [ ], Pr Pr ob F ob F 7 uando F F F { } Pr F F ob pr la dfiniion di. i può ora dimosrar il sgun orma fondamnal. TEOREMA: da du variabili casuali Y dfinndo Z Y, si ha 8 Dimosraion: { } Y Z Y Z E { } Y Z Z Y E 9 { } { } Y Z Z E E. lla disuguagliana si è usao il fao ch < > Z Z Z Z if if ch è una consguna di 6 vdr anch figura. CVD

107 Appndic B Figura. Il dominio dll funioni cararisich Com consguna si ha ch: COROLLARIO: pr ogni misura di rischio R dfinia com R f dov f è una funion linar, la proprià sub-addiiva sosin ch R Y R YR DEFIIZIOE: Pr uno spcifico orion mporal T, si dfinisc E,T com la misura di rischio al mpo di un porafoglio finaniario di valor : dfinio com diffrna ra il pro forward dl porafoglio la mdia dlla -coda dl porafoglio al mpo T E, : D, T : T. 3 T : Il prcdn corollario mosra ch E,T è sub addiiva.

108

109 Appndic C ll pagin succssiv sono ripora l formul dl pricing, dll grch dla gamma, di du approcci considrai, ossia ullo dla ullo dla-gamma, pr l opioni sandard barrira, ch sono sa uilia nl programma Mahcad. 3

110 Appndic C Lgnda: Pro po dl soosan K Pro d'srciio Barrira Rba Volailià r Tasso d'inrss Dividndo Via rsidua b r - d, K,,, b : ln b K d, K,,, b : ln b K µ b, : b : µ b, r r, b,,,,, b, r ln : r, b, 4

111 Appndic C, K,,, b : ln K µ b,,,,, b : ln µ b,,, K,,, b : ln K µ b,,,, b, : ln µ b, : ; A ;,, K, b, r,, : ; B ;,,, K, b, r,, br cnorm ;, K,,, b br cnorm ;,,,, b ; K r cnorm ;, K,,, b ; K r cnorm ;,,,, b ; ; : ; C ;,, b, r,,, K,, ; D ;,, b, r,, K,,, : br µ b, br µ b, cnorm,, K,,, b cnorm,,, b, ; K ; K r µ b, r µ b, cnorm,, K,,, b cnorm,,, b, 5

112 r E, r,,,,,, b F,,, b,, r,, : : cnorm,,,, b µ b, r, b, cnorm,,,, b, r Appndic C µ b, cnorm,,, b, r, b, µ b, cnorm,,,, b, r r, b, CALL TADARD br Call, b, r, K,, : Call, b, r,,, K <Call, b, r,,, K Variaionb, r, K,,,, cnorm d, K,,, b d : d Call, b, r, K,, d : d Call, b, r,,, K : Call, b, r,,, K K r cnorm d, K,,, b : Call, b, r,,, K Variaionb, r, K,,,, <Call, b, r,,, K 6

113 Appndic C CALL DOW-AD-I CO > E K : C ;,, b, r,,, K,, E, r,,,,,, b CallDIrikMa;,, b, r,,,, K,, CallDIrikMa;,, b, r,,, K,,, <CallDIrikMa;,, b, r,,, K,,, d : d CallDIrikMa;,, b, r,,,, K,, d : d CallDIrikMa;,, b, r,,, K,,, : CallDIrikMa;,, b, r,,, K,,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, : CallDIrikMa;,, b, r,,, K,,, <CallDIrikMa;,, b, r,,, K,,, CALL DOW-AD-I CO > E K : A ;,, K, b, r,, B ;,,, K, b, r,, CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, <CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, d : d CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, d : d CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, D ;,, b, r,, K,,, E, r,,,,,, b : CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, : CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, <CallDIrikMin;,, b, r,,,, K,, 7

114 Appndic C CALL UP-AD-I CO < E K < : B ;,,, K, b, r,, C ;,, b, r,,, K,, CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, <CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, d : d CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, d : d CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, : CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, D ;,, b, r,, K,,, E, r,,,,,, b : CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, <CallUIrikMin;,, b, r,,,, K,, CALL DOW-AD-OUT CO > E K : A ;,, K, b, r,, C ;,, b, r,,, K,, CallDOrikMa;,, b, r,,,, K,, CallDOrikMa;,, b, r,,,,,, K <CallDOrikMa;,, b, r,,,,,, K Variaion;, b, r,,,,, K,,, d : d CallDOrikMa;,, b, r,,,, K,, d : d CallDOrikMa;,, b, r,,,,,, K : CallDOrikMa;,, b, r,,,,,, K F,,, b,, r,, : CallDOrikMa;,, b, r,,,,,, K Variaion;, b, r,,, K,,,,, <CallDOrikMa;,, b, r,,,,,, K 8

115 Appndic C CALL DOW-AD-OUT CO > E K : B ;,,, K, b, r,, D ;,, b, r,, K,,, CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, <CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, Variaion;, b, r,,,,, K,,, d : d CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, d : d CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, : CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, F,,, b,, r,, : CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, <CallDOrikMin;,, b, r,,,, K,, CALL UP-AD-OUT CO < E K < : A ;,, K, b, r,, B ;,,, K, b, r,, CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, C ;,, b, r,,, K,, D ;,, b, r,, K,,, F,,, b,, r,, CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, <CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, d : d CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, d : d CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, : CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, Variaion;, b, r,,,,, K,,, Variaion;, b, r,,, K,,,,, : CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, <CallUOrikMin;,, b, r,,,, K,, 9

116

117 Appndic D i ripora la ablla ripilogaiva dll iposi fa circa il calcolo dll opioni, dl valor dll opion, dlla sua variaion dovua all aumno dl pro dl soosan, dlla sima dlla variaion onua con l approccio dla con ullo dla-gamma, dgli rrori rlaivi prcnuali pr ogni modo. Lgnda: r asso d inrss b cos of carr asso d inrss dividndo mpo alla scadna K pro d srciio igma volailià pro soosan al mpo pro dl soosan al mpo barrira rba P pro dll opion al mpo P pro dll opion al mpo Var Vra variaion vra Var Dla variaion con approssimaion dla Var Gamma variaion con approssimaion dla-gamma E Dla% rror rlaivo prcnual con approssimaion dla E Gamma% rror rlaivo prcnual con approssimaion dla-gamma

118 Appndic D TIPO OPZIOE r b K igma P P Var Vra Var Dla Var Gamma E Dla% E Gamma% Call andard Call andard,5,5,5,,3533,9374,5984,5596,5997 6,48397,85 Call andard,5,5, 5,9537 5,938,6367,679,63698,953,486 Call andard,5,5,5,,66385,63777,9739,964,97776,6993,9454 Call andard,5,5, 3,4593 4,866,89,78983,89,6733,4398 Call andard,5,5,5, 9 9,49,7478,368,56,369 3,3 3,3349 Call andard,5,5, 9 9,86,3688,46,554,43 7,3856,673 Call andard,5,5,5, 4,946 4,8597,56445,54479,5646 3,4845,755 Call andard,5,5, 9,69 9,7658,59866,589,59873,658,75 Call andard,5,5,5,,4679 3,956,7567,734,7545,847,634 Call andard,5,5, 5, ,4896,5446,574,5454,78566,5 Call andard,5,5,5, 9 9,874,98873,88,7333,8756 7,838,36 Call andard,5,5, 9 9 4,96 4,688,39,384,3999,7546,439 Call andard,5,5,5,35 7,668 7,879,568,5493,5634,7,93 Call andard,5,5,35 4, ,5949,68,5973,685,99,54 Call andard,5,5,5,35 3,856 5,335,5796,49577,5893,688,6355 Call andard,5,5,35,4837,8977,439,3966,448,698,95 Call andard,5,5,5,35 9 9,945 3,6888,3739,36,373 3,475,6 Call andard,5,5, ,59858,83,48453,4783,48455,38,47 Call andard,5,5,5, 5 9 5,979 9,6887 3,758 3,4795 3,87 6,35974,3 Call andard,5,5, 5 9 8,8337,5963 3,3366 3,3849 3,3634 5,979,7566 Call andard,5,5,5, 5 9 7,48799,684 3,3385,935 3,5735 7,34965,74979 Call andard,5,5, 5 9,3463 5,9365,85,779, ,5667,775 Call andard,5,5,5,35 5 9,854 3,639,77784,6465, ,547,556 Call andard,5,5, ,5,7897,679,675,6837,983,879 Call andard,5,5,5,5 5,8573 5,8467,5654,54479,5664,8964,97 Call andard,5,5,5,87,749,59674,589,59679,958,837 Call andard,5,5,5,5,58 3,84,6568,684,65799,744,5 Call andard,5,5,5 7,76 9,9,4799,45565,47979,598,339 Call andard,5,5,5,5 9 9,4379,68369,4639,358,466 5,6754,96 Call andard,5,5, ,3693 6,46775,438,43,4383,654,93

119 Appndic D TIPO OPZIOE r b K igma P P Var Vra Var Dla Var Gamma E Dla% E Gamma% Down and in > K< DaI > K<,5,5,5, 5,946,74 -,5 -,59 -,58 6,683 3,8946 DaI > K<,5,5, 5,884, ,465 -,5867 -,4595 8,9958,3876 DaI > K<,5,5,5, 5,73546,9554 -,899 -,345 -,867 6,747,3486 DaI > K<,5,5, 5 4,46 3,377 -,4348 -,94 -,349,8499,83 DaI > K<,5,5,5, 8 5 3,969, ,843 -, ,734,549,864 DaI > K<,5,5, 8 5 5,9765 4,46 -, ,6356 -,446,96,748 DaI > K<,5,5,5, 5,577,8996 -,5854 -,6968 -,586 7,557,493 DaI > K<,5,5, 5 4,869 4, ,3353 -,377 -,3338,9473,4566 DaI > K<,5,5,5, 5 4,363 3,358 -,9479 -,3638 -, ,339,35 DaI > K<,5,5, 5 9,83 8,8 -,5848 -,378 -,57 5,48,94 DaI > K<,5,5,5, 8 5 5, ,363 -,886 -,3 -,739 8,33999,338 DaI > K<,5,5, 8 5,3533 9,83 -,783 -,37 -,744 5,7,88 DaI > K<,5,5,5,35 5 3,838 3,5674 -,796 -,798 -,785 3,73,436 DaI > K<,5,5,35 5,37766,34 -,3546 -, ,35458,4759,8 DaI > K<,5,5,5,35 5 7,5854 6, ,957 -,963 -,954 4,95965,73 DaI > K<,5,5,35 5 5,5468 4,6549 -,938 -, ,934,8854,46 DaI > K<,5,5,5, ,5933 7,5854 -,783 -,553 -,77 4,698,5579 DaI > K<,5,5, ,533 5,5468 -, ,5 -,98346,775,3968 DaI > K<,5,5,5, 4 8 5,449,793 -,3637 -,6876 -,345 88,54 35,565 DaI > K<,5,5, 4 8 5,433,534 -,7958 -, ,349 3,8744 4,75538 DaI > K<,5,5,5, 4 8 5,5779,4463 -,398 -,458 -,563 4,338,485 DaI > K<,5,5, ,6955 5,5473 -,64 -,8666 -,66,3567,63 DaI > K<,5,5,5, ,8495 4,4333 -,46 -,5756 -,4388,338,47753 DaI > K<,5,5, ,73545,87 -,6674 -,78 -,638 5,896,858 DaI > K<,5,5,5,35,4573,338 -,63 -,339 -,6 4,899,95 DaI > K<,5,5,35 7, ,9746 -,688 -,6634 -,683,737,77 DaI > K<,5,5,5,35 3,468,93 -,5579 -,55 -,546 7,97,94 DaI > K<,5,5,35,67 9,963 -,7845 -,746 -,78 3,868,67 DaI > K<,5,5,5,35 8 4,667 3,468 -,5959 -,6336 -,5894 6,73448,98 DaI > K<,5,5,35 8,3876,67 -, ,7948 -,766 3,535,5879

120 Appndic D TIPO OPZIOE r b K igma P P Var Vra Var Dla Var Gamma E Dla% E Gamma% Up and in < K< UaI < K<,5,5,5,,6997,573,3676,349, ,886,54 UaI < K<,5,5, 4,6794 5,7655,6686,64354, ,74965,547 UaI < K<,5,5,5, 4 6,993 5,97,399,7794,493 5,435,5 UaI < K<,5,5, 4 6 7,5663 9,857,794,64985,7657 4,39,377 UaI < K<,5,5,5, 9 9,89,7,8,8,7 36,99 8,6735 UaI < K<,5,5, 9 9,698,888,885,75,8785 9,66,3566 UaI < K<,5,5,5, 3, ,694,583,557,583 4,47639,888 UaI < K<,5,5, 9,4363 9,655,6888,59889,6896,63978,369 UaI < K<,5,5,5, 4 6 6,7795 7,8779,59384,595, ,93,977 UaI < K<,5,5, 4 6,59468,97993,3856,357,3868,5537,597 UaI < K<,5,5,5, 9 9,4685,6668,386,43,375,7866,4788 UaI < K<,5,5, 9 9 4, 4,553,3993,3879,399,8336,497 UaI < K<,5,5,5,35 7,9674 7,6699,5737,563,5735,8,489 UaI < K<,5,5,35 4, ,5787,65,59958,653,94,539 UaI < K<,5,5,5, ,5794,8753,34738,3536,3484 3,8,759 UaI < K<,5,5, ,458 8,75594,354,848,354,5574, UaI < K<,5,5,5,35 9 9,798 3,5399,348,38,34 3,7333,644 UaI < K<,5,5, ,55559,464,4865,47969,4867,3776,434 UaI < K<,5,5,5, 94 98,8,646,434,645, ,64 39,89 UaI < K<,5,5, 94 98,6843 3,444,74,33765,778 3,864,86 UaI < K<,5,5,5, 94 98,979,63476,4497,477,3873 6,5,7866 UaI < K<,5,5, ,8784 7,88674,589,88394,63 8,49776,644 UaI < K<,5,5,5, ,75 6,95,84794,6455,8486,9547,637 UaI < K<,5,5, , ,7898,4,845,59 4,388,873 UaI < K<,5,5,5,35 9 9,948 3,6868,374,364,3733 3,477,6 UaI < K<,5,5, ,59855,838,48453,4783,48455,38,47 UaI < K<,5,5,5, ,3898 6,44,8458,6357,8465,3579,386 UaI < K<,5,5, ,67 3,8738,6,5,783 4,3857,78 UaI < K<,5,5,5, ,35374,948,58753,54369, ,465,787 UaI < K<,5,5, , ,59855,93,9543,935,7488,465

121 Appndic D TIPO OPZIOE r b K igma P P Var Vra Var Dla Var Gamma E Dla% E Gamma% Down and ou > K> DaO > K>,5,5,5, 95,7557,8954,6597,583,6578 5,47633,97 DaO > K>,5,5, 95 4, ,659,8733,88,8644,543,663 DaO > K>,5,5,5, 95,6638,63776,97395,963,97777,6937,9365 DaO > K>,5,5, 95,964 4,8674,8555,83465,85658,43,588 DaO > K>,5,5,5, ,86,385,43744,476,434 4,5377,7379 DaO > K>,5,5, ,8763,666,85837,877,85678,367,853 DaO > K>,5,5,5, 95 3,464 4,7466,744,777,738,9336,6 DaO > K>,5,5, 95 4,8685 5,7685,944,9444,94,387,99 DaO > K>,5,5,5, 95,3758 3,6355,78775,75838,78934,643,8856 DaO > K>,5,5, 95 4,77 5,94985,8477,8458,8466,88,545 DaO > K>,5,5,5, ,3774,65,68779,6865,6874,848,799 DaO > K>,5,5, ,95978,938,9643,96885,9638,49957,355 DaO > K>,5,5,5, ,549 4,9838,836,8987,8347,878,535 DaO > K>,5,5, ,9759 5,9563,98444,98588,9844,4575,43 DaO > K>,5,5,5,35 95,65 4,3674,7494,7388,749,6375,734 DaO > K>,5,5, ,7834 6,6495,937,9335,9399,73,98 DaO > K>,5,5,5, ,66453,4947,8954,83,8937,6898,967 DaO > K>,5,5, ,99956,9936,9944,99586,994,89,46 DaO > K>,5,5,5, ,574 6,8664 3,8643,86 3,3646,97537,368 DaO > K>,5,5, ,9938 9,3857 3,399 3,334 3,36584,756,76866 DaO > K>,5,5,5, ,935 7, ,94,9479 3,799 4,6597,35453 DaO > K>,5,5, ,7436,448 3,797 3,7356 3,764,6859,4467 DaO > K>,5,5,5, ,8563 9,7757 3,3695 3, ,35595,89,788 DaO > K>,5,5, ,93775,848 3,946 3,978 3,985,4539,5643 DaO > K>,5,5,5,35 99,,666,645,86,639,796,673 DaO > K>,5,5,35 99,847,6387,798,89,7976,948,37 DaO > K>,5,5,5,35 99,96485,9394,9749,9754,97395,634,46 DaO > K>,5,5,35 99,7963 3,84,977,9587,96,444,85 DaO > K>,5,5,5, ,976 7,59 3,9866 4,6 3,9846,53,98 DaO > K>,5,5, ,3958 7,5535 4,6576 4,9497 4,6387,6848,443 3

122 Appndic D TIPO OPZIOE r b K igma P P Var Vra Var Dla Var Gamma E Dla% E Gamma% Down and ou > K< DaO > K<,5,5,5, 5,5937,657,,5,53,3844,459 DaO > K<,5,5, 5,66386,7954,38,48,383,9978,45 DaO > K<,5,5,5, 5 8,9839,7,79383,99475,7784 7,938,5565 DaO > K<,5,5, 5 8,58473,5485, ,85,957 3,93,494 DaO > K<,5,5,5, 8 5 5,7664 8,9839 3,75 3, ,744 7,86,339 DaO > K<,5,5, 8 5 5, , ,4 3, ,3 4,7853,358 DaO > K<,5,5,5, 5 9,695,85,345,433,346,7697,5 DaO > K<,5,5, 5 9,8,475,8995,949,8989,476,59 DaO > K<,5,5,5, 5 7,677 9,8635,69958,74977,74,8596,44 DaO > K<,5,5, 5 6, ,36679,63,638,65,6495,73 DaO > K<,5,5,5, 8 5 4, ,677,798,8459,79974,683,559 DaO > K<,5,5, 8 5 4,395 6,76369,65974,6897,659,39,34 DaO > K<,5,5,5,35 5 8,55 9,3583,5368,579,5367,347,5 DaO > K<,5,5,35 5 7,55 8,647,3669,384,3668,58, DaO > K<,5,5,5,35 5 6,76 8,668,44367,45689,44397,544,3 DaO > K<,5,5,35 5 5, ,859,3447,353,34459,35393,477 DaO > K<,5,5,5, , ,76,46947,4869,46986,4946,56 DaO > K<,5,5, , ,93689,365,376,364,3659,498 DaO > K<,5,5,5, ,856 8,5443 4,3586 4,6757 4,35 7,83,83574 DaO > K<,5,5, ,3473 9,3349 5,776 5,399 4, ,99336,8494 DaO > K<,5,5,5, 4 8 5, ,3664 4,9657 5,96 4, ,8655,796 DaO > K<,5,5, 4 8 5,9676 6,8775 4, ,49 4,94963,9993,8798 DaO > K<,5,5,5, ,77 5,833 4,746 4,848 4,74679,374,665 DaO > K<,5,5, ,63 5,4 4,6 4,6435 4,63,65564,763 DaO > K<,5,5,5,35,5394,5489,895,94,894,448,33 DaO > K<,5,5,35,4334,4678,4395,449,4393,946,3 DaO > K<,5,5,5,35,37648,4,4375,4777,4354,9675,38 DaO > K<,5,5,35,86,99445,335,38,39,745,769 DaO > K<,5,5,5,35 8 8,345,37648,53,569,599,86,67 DaO > K<,5,5,35 8 8,7788,86,44,549,444,97,83 4

123 Appndic D TIPO OPZIOE r b K igma P P Var Vra Var Dla Var Gamma E Dla% E Gamma% Up and ou < K< UaO < K<,5,5,5, 99,797,377,5565,47686,566 7,539,7956 UaO < K<,5,5, 99 3,997 3,3455,548,358,656 4,5455,47634 UaO < K<,5,5,5, 3 5 4,6536 5,77586,55,4655, ,89,9375 UaO < K<,5,5, 3 5 3,8366 3,98474,4868,355,547 58,8 3,76 UaO < K<,5,5,5, 9 9,49,7477,368,56,369 3,4 3,336 UaO < K<,5,5, 9 9,97797,6693,8896,796,89 5,3649,759 UaO < K<,5,5,5, 99,659,8955,46,45,49,9743,4989 UaO < K<,5,5, 99,67,4853 -,37 -,3 -,38,79875,4 UaO < K<,5,5,5, 3 5 3,5433 3,768,5575,389,6334 8,63,9699 UaO < K<,5,5, 3 5,75,999 -,76 -,6557 -,763 3,7498,3678 UaO < K<,5,5,5, 9 9,7748,8736,5388,44,5384 6,353,66 UaO < K<,5,5, 9 9,36,6938,336,358,333 5,7983,58 UaO < K<,5,5,5,35 99,44988,4568,694,9,7 6,78,8844 UaO < K<,5,5,35 99,9567,853 -,37 -,7 -,38,898,487 UaO < K<,5,5,5,35 3 5,4474,3588 -,6646 -,4843 -,6656 7,334,443 UaO < K<,5,5,35 3 5,583,538 -,545 -,453 -,549 3,6575,7548 UaO < K<,5,5,5,35 9 9,7443,366,683,63,696,354,639 UaO < K<,5,5,35 9 9,3584, ,396 -,356 -,396,8697,544 UaO < K<,5,5,5, 93 96,678,7758,579,8964,455 4,6447 9,9 UaO < K<,5,5, 93 96,59983,3457,74587,6987,7694 6,486,8935 UaO < K<,5,5,5, 93 96,369,987,678,637,6863,36,687 UaO < K<,5,5, 93 96,3,6694,439,6673,454 5,995,7687 UaO < K<,5,5,5, ,494,3849,36,564,345 9,6459,4879 UaO < K<,5,5, ,3443,33 -, -,778 -, 5,8397,4574 UaO < K<,5,5,5, 87 89,56,53,693,839,46 5,4478 6,93848 UaO < K<,5,5, 87 89,3497,49558,4588,399,476 8,83479,893 UaO < K<,5,5,5, 87 89,568,3796,8,648,7,4763,3537 UaO < K<,5,5, 87 89,7679,8685,6,96,9 8,7473,795 UaO < K<,5,5,5, ,346,339,674,974,77,434,478 UaO < K<,5,5, ,87,786 -,346 -,35 -,347,963,399 5

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