Complementi sulle applicazioni della trasformata di Fourier alla risoluzione di problemi per equazioni a derivate parziali

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1 Complmnti sull applicazioni dlla trasformata di ourir alla risoluzion di prolmi pr quazioni a drivat parziali Marco Bramanti March, 00 Nll applicazioni all quazioni a drivat parziali, spsso una funzion di du o più variaili vin ourir trasformata risptto ad una dll su variaili. Ad smpio, data u (x; ) possiamo porr x u (; ) () = u (x; ) ix dx; in cui svolg il ruolo di un paramtro. E ciò ch accad ni prossimi du smpi. Equazion di Laplac nl smipiano Considriamo il prolma di Dirichlt pr l quazion di Laplac nl smipiano S = f(x; ) : x ; 0 < < g: u (x; ) = 0 pr (x; ) S () u (x; 0) = f (x) pr x : La funzion f è il dato al ordo, ch supponiamo intgrail. Applichiamo la trasformata di ourir risptto ad x all quazion di Laplac, ponndo Si ha: u (; ) = x u (; ) () : 0 = x (u (; )) () = x x + u (; ) () : icordiamo ora ch pr l proprità dlla trasformata di ourir è x u (; ) () = (i) u (; ) = 4 u (; ) : x

2 Invc, la trasformata risptto ad x la drivata risptto ad si scamiano smplicmnt tra loro: u (x; ) x u (; ) () = ix dx = = u (x; ) ix dx = u (; ) : Quindi l quazion divnta: 4 u (; ) + u (; ) = 0 pr ; (0; ) : Ora vdiamo qust quazion com un quazion di rnzial ordinaria nlla funzion incognita u (; ) ; dov è pnsato com paramtro. Intgrandola (q. dl ordin linar omogna a co. costanti) ottniamo l intgral gnral: u (; ) = a () + () () dov a () ; () sono "costanti aritrari" cioè quantità indipndnti dalla variail risptto a cui risolvo l quazion di rnzial (ma dipndnti dal paramtro ). Ora imponiamo la condizion di Dirichlt. Trasformando risptto a x la condizion u (x; 0) = f (x) ottniamo u (; 0) = f () : (3) Dunqu doiamo crcar u (; ) compatiil con ()-(3). icordiamoci ch (0; ) ; pr! + vogliamo ch u (; ) rimanga limitata (altrimnti non è la trasformata di ourir di una funzion rgolar intgrail). Qusto implica a () = 0 pr > 0 (altrimnti a ()! pr! +), () = 0 pr < 0 (altrimnti ()! pr! +), ch insim danno ch insim alla (3) dà u (; ) = c () jj ; u (; ) = f () jj : L ultima uguaglianza dtrmina univocamnt u; quindi u: Pr antitrasformar qusta rlazion, ricordiamoci la formula di trasformazion dlla convoluzion: (f g) = f g il fatto ch ajxj a () = a + 4 ;

3 (v. tsto, pp ), da cui si ottin a a + 4 x () = ajj, pr a = ; x () = ( + x ) u (; ) = x ( + x ) f () = jj () in n, antitrasformando, ottniamo la formula risolutiva ch assgna la soluzion u com convoluzion dl dato al ordo f con un nuclo ssato: u (x; ) = ( + x ) f (x) = f (x t) + (x t) dt: La funzion k (x; ) = ( + x ) ch compar in qusta formula di rapprsntazion è dtta nuclo di Poisson pr il smipiano. Esmpio La soluzion dl prolma () con pr jxj f (x) = 0 pr jxj > è data da: u (x; ) = dt + (x t) = arctan x + arctan + x : Si noti ch pr! 0 la soluzion tnd al dato inizial, trann ni punti di discontinuità x = in cui tnd a =. (Vri car qust a rmazioni pr srcizio). Equazion dl calor sulla rtta Considriamo il prolma di Cauch pr l quazion dl calor sulla rtta: ut u xx = 0 pr x ; t > 0 u (x; 0) = f (x) pr x con dato inizial (tmpratura) f. Il co cint dnota la conduciilità dl mzzo ( lo in nito, ad s.), supposto omogno. Com nll smpio prcdnt, applichiamo la trasformata di ourir parzial risptto a x: Ponndo: u (; t) = x u (; t) () 3

4 l quazion divnta t u (; t) (i) u (; t) = 0 t u (; t) + 4 u (; t) = 0 ch possiamo risolvr com quazion di rnzial ordinaria in u (; ) ; vdndo com paramtro; si ha: u 0 = 4 u u (; t) = c () 4 t (4) dov il co cint c (v) ; indipndnt da t, è la "costant di intgrazion" (risptto a t). Pr dtrminar c () trasformiamo la condizion inzial, ottnndo: u (; 0) = f () ch sostituita nlla (4) dà u (; t) = f () 4 t : Ora pr procdr com nll smpio prcdnt dovrmmo conoscr una funzion (x; t) tal ch x (; t) () = 4 t : Nota qusta ; lo stsso ragionamnto dll smpio prcdnt dà: u (; t) = f () x (; t) () = x [f (; t)] () quindi antitrasformando si ha: u (x; t) = [f (; t)] (x) = f (x s) (s; t) ds (5) ch è una formula ch rapprsnta la soluzion dl prolma crcato. Apriamo quindi ora una parntsi crchiamo una funzion la cui trasformata sia la funzion di tipo gaussiano 4 t : Cominciamo dalla sgunt: Proposizion Pr ogni a > 0;, si ha: ax +x dx = p Dimostrazion. icordiamo l intgral notvol dlla gaussiana: x dx = p 4

5 a partir da qusta ricaviamo il valor dll intgral dsidrato. Considriamo l idntità ax +x = a x a x+ + = a(x a) Prciò ax +x dx = = a(x p a d = a) pa dx = x r a : = a Usando mtodi di variail complssa (in cui non possiamo qui ntrar) si dimostra ch l idntità dlla proposizion prcdnt continua a valr pr a > 0 C qualsiasi. Applichiamo dunqu l idntità con: = i aiamo Confrontando con l idntità voluta si vd ch occorr porr ottnndo r r ax () = a = a =a : x x (; t) () = 4 t a = x () = p 4 t in n x! x p () = 4 t : Quindi il nuclo crcato è: (x; t) = p x : (6) iassumndo: la soluzion dl prolma considrato è la funzion u assgnata dalla (5) con com in (6); la formula risultant è quindi u (x; t) = p (x ) f () d la funzion prnd il nom di nuclo dl calor. apprsnta la tmpratura dl lo in corrispondnza ad una condizion inizial di tipo dlta di Dirac, cioè: tmpratura in nita nl punto 0 nulla altrov. 5