2. Fondamenti sui segnali analogici

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1 INFO-COM Dp. Diparimeo di Scieza e ecica dell Iormazioe e della Comuicazioe Uiversià degli Sudi di Roma La Sapieza. Fodamei sui segali aalogici ELECOMUNICAZIONI per Igegeria Iormaica (secodo ao caale A-LA Pro. Robero Cusai

2 Segali aalogici (/ Collegamei aalogici puo-puo uidirezioali (es. radiodiusioe Sorgee Aalogica S A Caale di rasmissioe D A Desiazioe Aalogica Esempi: Voce eleoo Video segale di pressioe acusica segale elerico segale oico S rasduore di emissioe Caale isico (mezzo rasmissivo rasduore di ricezioe D R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

3 Segali aalogici (/ 3 Segale: gradezza isica variabile el empo che raspora iormazioe (, < < ( Esempi di segale coiuo, empo-coiuo (aalogico: Voce, emperaura ambiee, musica, elevisioe Sudio dei segali ramie uzioi maemaiche reali o complesse R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

4 Esempi di segali aalogici (/3 4 Siusoide: ( A cos( π 0 ϕ A ampiezza; requeza; ase (radiai; 0 0 ω0 π 0 ϕ o / periodo (sec; pulsazioe (rad/sec; ( ( 0 A cos( ϕ 0 R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

5 Esempi di segali aalogici (/3 5 Espoeziale reale: β ( A e, < < Reagolo: ( rec ( 0 > / / β < 0 ( β > 0 A. ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

6 Esempi di segali aalogici (3/3 6 riagolo: Gradio: ( ri / ( / 0 0 < < > 0 ( u ( 0 0 < 0 ( ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

7 I umeri complessi (/4 7 Radice di - e umeri complessi (uià immagiaria; Esempio: a b c 0 b± b a 4ac Se b < 4ac si ha la radice quadraa di u umero egaivo le radici, soo umeri complessi R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

8 I umeri complessi (/4 8 Numero complesso: α β e ϕ α ϕ arg α β β β arca g α cos ϕ si ϕ β α Relazioi iverse β ϕ. α R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

9 9 ϕ β α e * ( ( ( ( δ β γ α δ γ β α y ( ( ( ϑ ϕ αδ βγ βδ αγ ye y Somma e prodoo ra umeri complessi: Complesso coiugao:, ϕ β α e ϑ δ γ ye y Reciproco di u umero complesso: ϕ ϕ β α β β α α β α β α β α e e I umeri umeri complessi complessi (3/4 (3/4 R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

10 0 Rapporo ra due umeri complessi: ( ( ( ϑ ϕ δ γ αδ βγ δ γ βδ αγ δ γ δ γ β α δ γ β α e y y Formule di Eulero: e e e e e si, cos si cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ± ± ; e y e ϕ ϑ α β γ δ I umeri umeri complessi complessi (4/4 (4/4 R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

11 Segali complessi (/ Coppia di segali reali, associai come pare reale R ( e pare immagiaria I ( di u segale complesso ( R ( I ( I aleraiva, può essere viso come ua coppia di segali reali, associai al modulo ( ed alla ase arg(( di u segale complesso ( ( ep[ arg((] ( R ( I ( I ( arg( ( arcg R ( NB: Nel calcolo dell argomeo di ( devo eer coo del sego di di R ( ed di I ( per calcolare u agolo ra 0 e π R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

12 Segali complessi (/ Espoeziale complesso: π ϕ ( Ae Acos(π 0 ϕ Asi(π 0 ( 0 ϕ R I ( ( A cos( π A si( π 0 R ( 0 ϕ ϕ ( A arg[ ( ] π ϕ A ( 0 I ( arg[ ( ] ϕ R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

13 Operazioi sui segali (/ 3 Somma, Prodoo: Prodoo per cosae: Ribalameo: z ( ( y(, z( ( y( z ( c( (ampliicazioe, aeuazioe z( ( ( z( ribalameo R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

14 Operazioi sui segali (/ 4 raslazioe z ( ( τ ( τ z ( z( τ τ < 0 aicipo τ > 0 riardo Dilaazioe e corazioe z( ( α, > 0 α ( z ( z( α < dilaazioe α > corazioe R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

15 Eergia di u segale (/3 5 De: ε ( d 0 De: Segale di eergia : 0 < ε < De: Segale impulsivo : ( d < R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

16 Eergia di u segale (/3 6 Espoeziale egaivo uilaero: α α Ae 0 ( Ae u ( 0 < 0 α > 0 ( ε ( α α α Ae d A e d e 0 A α A 0 0 α α A α A ( d Ae d e impulsivo 0 α 0 α di eergia R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

17 Eergia di u segale (3/3 7 Espoeziale decrescee bilaero: α ( Ae, α > 0 ( ε A, ( d α A α Impulsivo e di eergia R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

18 Poeza di u segale 8 De: De: P lim / / ( 0 < d Segali di poeza : < P 0 Segale cosae: ( c P / lim c d c lim / c R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

19 Segali Periodici (/3 9 ( ( 0, ±, ±,... ( g( periodo ( g( (periodo pricipale Calcolo della poeza di u segale periodico / P ( d / U segale periodico è u segale di poeza R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

20 0 Siusoide: 0 0 /, cos( ( A ϕ π ulla area coseo ha (il 0 cos(4 ] cos(4 [ ( cos / / / / 0 / / 0 / / 0 A A d A d A d A d A P ϕ π ϕ π ϕ π Segali Periodici (/3 Segali Periodici (/3 R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

21 Segali Periodici (3/3 reo di impulsi reagolari: ( rec ( τ / "duy cycle" τ ( τ P / τ / τ τ [ rec ( ] d d / τ / τ τ R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

22 Relazioe ra segali di eergia, di poeza e periodici (/ Segali di eergia Segali impulsivi Segali di poeza Segali periodici R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

23 Relazioe ra segali di eergia, di poeza e periodici (/ 3 Segale Eergia Impulsivo Poeza Periodico reagolo SI SI NO NO Impulso maemaico /( 0 < NO SI NO NO SI NO NO NO se( NO NO SI SI segale vocale NO NO SI NO R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

24 L impulso maemaico 4 E u segale di duraa brevissima (al limie, zero e di ampiezza elevaissima (al limie, iiia co iegrale uiario i u iervallo compredee l origie uiario δ ( lim 0 rec ( δ ( area rec ( δ ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

25 Proprieà odameali dell impulso maemaico 5 ε 0 0 ε δ ( d δ( d, per ogi ε > 0 0 ( δ( d ( 0 0 (l impulso maemaico ha area uiaria (proprieà di campioameo R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

26 Covoluzioe Deiizioe e calcolo 6 De: τ z( ( y( ( τ y( τ dτ τ. Graicare i due segali (. e y(. come uzioi di τ oeedo così (τ ed y(τ. Ribalare il segale y(τ rispeo all asse delle ordiae oeedo y(- τ 3. raslare y(- τ della quaià lugo l asse τ. Quado > 0 allora y(- τ va raslao di verso desra. Quado ivece < 0, h(- τ va raslaa di verso siisra τ (, ( τ y( τ 4. Per ogi valore di si calcola il prodoo τ ( τ y( τ ( τ y( τ 5. Si iegra rispeo a la uzioe e cioè si calcola l area soesa dalla uzioe. La suddea area è proprio il valore z( assuo dalla covoluzioe all isae. R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

27 Covoluzioe Esempio di Calcolo 7 ( τ y( τ -4 4 τ y( τ > y( τ τ 0 3 τ y( τ < 0-3 τ z( 6-3 τ R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

28 Proprieà di base della Covoluzioe 8 L operazioe di covoluzioe è commuaiva, ossia ( * y( y( * ( L operazioe di covoluzioe è associaiva, cioè [ ( * y( ]* z( ( *[ y( * z( ] L operazioe di covoluzioe è disribuiva rispeo alla somma di segali La covoluzioe di ( co δ( rasla ( di 0, ossia Dai due segali, di duraa,la covoluzioe dei due segali ha duraa [ ( z( ]* y( [ ( * y( ] [ y( * z( ] ( * δ( ( ( y( e y y R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

29 Araversameo di u sisema empo-coiuo da pare di u segale aalogico 9 U sisema S è u blocco che rasorma u segale di igresso: ( i uo di uscia: y( (( ( S y( ( ( Sisema Lieare: ( ( y y ( ( a ( b( ay( by( (sovrapposizioe degli eei Sisema Permaee: ( y( ( τ y( τ (ivariaza el empo U sisema lieare e permaee (LP è deo ilro R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

30 Risposa impulsiva di u sisema lieare e permaee 30 ( δ( Filro y( h( La risposa impulsiva h( di u sisema lieare e permaee (ilro è deiia come l uscia y( del sisema quado all igresso è applicao u impulso maemaico (d( Proprieà elemeari di h( Permaeza Liearià ( ( δ( y( h ( ( ( aδ ( bδ( y( ah bh R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

31 Uscia da u sisema LP (/ 3 ( h( y( Se il sisema è LP co risposa impulsiva h(, allora l uscia y( corrispodee ad u geerico segale di igresso ( è pari a τ y( ( τ h( τ dτ ( h(, < < τ L uscia è daa dall iegrale di covoluzioe ra l igresso ( e la risposa impulsiva h( del ilro. R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

32 Uscia da u sisema LP (/ 3 ( Filro h( y( ( * h( campioameo dell impulso maemaico permaeza del sisema liearià del sisema ( ( τ δ( τ dτ dτ ( τ δ( τ dτ ( τ h( τ ( ( τ δ( τ dτ ( τ h( τ dτ y( ( δ( τ y( h( τ R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

33 33 Causalià e sabilià di u ilro De: il sisema rispode solo dopo che è sao ecciao U ilro causale ha ua risposa impulsiva ulla per < 0 h( De: Filro sabile: ( < M y( < M ' Ad igressi limiai corrispodoo uscie limiae R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

34 34 rasormazioi isaaee (seza memoria Riardo Moliplicazioe per cosae Quadraore Lieare Sego ( y( ( è LP co h( δ( 0 0 ( y( c( è LP co h( cδ( c y ( ( o L, sì P y( a( b sì L, sì P, se ( 0 y( sig[(] o L, sì P -, se ( < 0 R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

35 Sviluppo i serie di Fourier (SdF( SdF per segali periodici (/7 35 Segale periodico di periodo : Frequeza odameale: Frequeza armoica -esima: Sviluppo i serie di Fourier: F F / ( X - X / / e g( ( ( π ( e π d R I M e ϕ { } { X, X,,...} X..., 0 X è ua rappreseazioe di ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

36 Sviluppo i serie di Fourier (SdF( SdF per segali periodici (/7 36 ( segale reale e periodico di periodo R / ( cos(π d R (pari M M / (pari I / ( si(π / d I (dispari ϕ ϕ (dispari X X * (simmeria coiugaa R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

37 37 Sviluppo Sviluppo i i serie serie di di Fourier ( Fourier (SdF SdF per per segali segali periodici periodici (3/7 (3/7 U segale periodico reale è esprimibile come somma di cosei co requeze armoiche cos( ( ( Ricosruzioe reale e periodico di periodo : 0 ( ( 0 0 M R e M e M R e X e X X ϕ π ϕ π ϕ π π π ( ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

38 Sviluppo i serie di Fourier (SdF( SdF per segali periodici (4/7 38 eorema di Parseval per segali periodici: P d X e / / π ( / / X X X e d / π ( m / m m X X è la poeza della armoica a requeza / R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

39 Sviluppo i serie di Fourier (SdF( SdF per segali periodici (5/7 39 Esempio di sviluppo i serie di Fourier ( A rec ( / π / A τ π X ( e d e d / τ / πτ / πτ / A e e A si( πτ π π τ si( πτ τ A A sic( πτ π τ si( sic( τ X 6 X X ( τ A X X X X 5 X X 3 3 X 5 X 4 X 0 τ X 4 X 6 τ R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

40 Sviluppo i serie di Fourier (SdF( SdF per segali reali e periodici (7/7 40 X F0 armoica -esima Spero di ampiezza (complessa F0 coiua F P X odameale Spero di poeza { P, 0, ±, ±,...} R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

41 rasormaa di Fourier (/6 4 U segale ( impulsivo ammee ua rasormaa di Fourier (F F : X( ( e π d F{ ( }, < < F - π : ( X( e d F { X( }, < < X( è ua rappreseazioe di ( el domiio della requeza (domiio sperale aziché del empo R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

42 rasormaa di Fourier (/6 4 F[(]X( deiia da due segali reali: X( R( I( M(e Segale el empo somma di compoei requeziali iiiesime: ( ( π ϕ ( M ( e ϕ( d R( M( I( ϕ ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

43 rasormaa di Fourier di segali reali (3/6 43 ( segale reale: X ( ( cos(π d ( si(π d Simmeria coiugaa: R( R( I( I( M( M( ϕ( ϕ ( X ( X * ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

44 rasormaa di Fourier di segali reali (4/6 44 Per segali reali si può are rierimeo alle sole requeze posiive della X(, che gode di simmeria coiugaa M( M( ϕ ( ϕ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

45 rasormaa di Fourier Bada di u segale di bada base (4/6 45 U segale reale ( si dice limiao ella bada [-W,W] se la sua rasormaa di Fourier X( è ideicamee ulla per [-W,W] X( -W W La quaià W si misura i Hz (o suoi mulipli e cosiuisce la Larghezza di Bada del segale ( Poiché X( 0 i u ioro [-W,W] di 0, il segale ( si dice segale di bada base R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

46 rasormaa di Fourier Bada di u segale di bada base (6/6 46 U segale reale ( si dice limiao i bada, co bada W ceraa ioro alla requeza 0 (i Hz/sec se: 0 >W; X( è ideicamee ulla per [- 0 -W,- 0 W]U [ 0 -W, 0 W] X( - 0 -W - 0 W- 0 -W W La quaià W (Hz cosiuisce la larghezza di bada del segale ( Poiché X( 0 i u ioro di ± 0 o adiacee all origie 0, il segale ( si dice segale i bada raslaa. R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

47 rasormaa di Fourier e eorema di Parseval 47 E possibile calcolare l eergia di u segale ( mediae la sua rasormaa X(. I paricolare, vale il seguee risulao oo come eorema di Parseval per segali di eergia: ε X( d R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

48 rasormaa di Fourier: esempi (/4 48 Esempio ( rec ( X( e π d π e π e π e π π si( π π sic( π e z essedo si( z ( e z X ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

49 rasormaa di Fourier: esempi (/4 49 Esempio ( δ ( X( ( X( Esempio 3 ( c X( cδ ( c ( c X ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

50 rasormaa di Fourier: esempi (3/4 50 Esempio 4 ( A cos ( π o π A A X ( A cos( π o e d δ ( o δ ( o ( A X ( A o o R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

51 rasormaa di Fourier: esempi (4/4 5 Esempio 5 ( e τ u ( X ( τ grade ( τ π τ τ M ( 4π ϕ ( arcg ( π τ τ M ( X ( τ piccolo ( M ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

52 Relazioi empo/requeza 5 Segali brevi (i bada larga (i Segali lughi (e lei bada srea (i Segali rapidamee variai i ( bada larga (i M( ( M( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

53 Proprieà della rasormaa di Fourier 53 Liearià: ( X ( y( Y( F{ α ( β y( } (liearià α X ( βy ( Riardo: ( X ( Modulazioe: ( X ( Derivazioe: y( d( / d F X e π τ { ( τ } ( (sasaura F e X Y ( π X ( πo { ( } ( 0 (modulazioe R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

54 df di u segale periodico 54 Segale periodico: g( ( ( SdF: ( X e π X X ( df: X ( X ( δ R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

55 Proprieà odameale della covoluzioe 55 La rasormaa di Fourier della covoluzioe è pari al prodoo delle rasormae dove y( ( * h( Y ( X ( H ( Y ( F{ y( } X ( F{ ( } H ( F{ h( } R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

56 Risposa i requeza di u sisema LP (ilro( ilro 56 Covoluzioe (el empo: y ( ( τ h( τ dτ τ Prodoo (i requeza: Y ( H ( X ( ( h( y( X ( H ( Y ( h (: risposa impulsiva del ilro H( : risposa i requeza del ilro o uzioe di raserimeo del ilro y ( Y ( e d H ( X e π π ( d R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

57 Filraggio aalogico (/ 57 Meccaismo di ilraggio: Filro passa-basso: X ( H ( (LP, low-pass Filro H ( Filro passa-alo H ( (HP, high-pass Y ( Filro passa-bada H ( (BP, bad-pass R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

58 Filraggio aalogico (/ 58 h( reale H ( H ( (simmeria coiugaa E suiciee cooscere H ( solo per le requeze posiive, perché le egaive si deducoo dalla simmeria coiugaa H ( ϕ( R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

59 Risposa di u ilro al segale siusoidale 59 Le siusoidi soo largamee impiegae elle rasmissioi (esempi: a, asiera eleoo, GSM, ( H ( y( ( A cos( π θ o y( A H ( o cos(π o θ ϕ( o o A o A H ( o R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

60 Proprieà duale della F 60 Proprieà della F: alla covoluzioe i corrispode il prodoo i y ( ( τ h( τ dτ τ Y ( H ( X ( La covoluzioe i aumea la duraa emporale del segale Proprieà duale: al prodoo i corrispode la covoluzioe i y ( ( h( Y ( H ( σ X ( σ d σ X ( * H ( σ Il prodoo i aumea la bada (occupazioe i requeza del segale R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

61 Spero di u segale di poeza 6 Spero di u segale periodico Serie di Fourier o rasormaa di Fourier geeralizzaa co impulsi maemaici Spero di u segale di eergia rasormaa di Fourier Spero di u segale di poeza o periodico rasormaa di Fourier o deiia, eache geeralizzaa i ermii di sequeza di impulsi maemaici Necessià di ua modalià aleraiva per deiire lo spero el caso di u segale o di eergia e are ua aalisi sperale dei segali di eergia Si iroduce la uzioe di auocorrelazioe per u segale di poeza e lo spero di desià di poeza R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

62 Fuzioe di auocorrelazioe e spero del segale (/ Segali di eergia: reppreseazioe aleraiva Fuzioe di auocorrelazioe / * * ρ ( ( ( ( τ ( τ dτ lim / Fuzioe reale pari co massimo i 0 Per 0 si oiee l eergia del segale ( rasormaa di Fourier è lo spero di desià di eergia { } E ( F ρ ( X ( 6 Dao u ilro co uzioe di raserimeo H( co igresso ( ed uscia y(. Lo spero di desià di eergia dell uscia è dao dalla relazioe E ( Y ( H ( X ( H ( E ( y R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

63 Fuzioe di auocorrelazioe e spero del segale (/ Segali di poeza Fuzioe di auocorrelazioe / * ( lim ( ( / ρ τ τ dτ Fuzioe reale pari co massimo i 0 Per 0 si oiee la poeza del segale ( rasormaa di Fourier è lo spero di desià di poeza { } P ( F ρ ( X ( 63 Dao u ilro co uzioe di raserimeo H( co igresso ( ed uscia y(. Lo spero di desià di poeza dell uscia è dao dalla relazioe P ( Y ( H ( X ( H ( P ( y R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

64 Segale aleaorio (Gaussiao 64 Segale aleaorio: ( p( Fuzioe desià di probabilià di ua variabile: p ( esprime la probabilià che la variabile assume u valore ell ioro di Desià di probabilià gaussiaa: σ (media ulla, variaza p σ ( e πσ Soo più probabili i valori piccoli e meo probabili i valori gradi (posiivi e egaivi i ugual misura R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009

65 Segale aleaorio (Gaussiao: esempi 65 Esempi di segale co disribuzioe Gaussiaa: Voce umaa Suoi rumore caoico (voci da sadio, radio uori sioia, I segali aleaori soo ipicamee segali di poeza R. Cusai - Fodamei sui segali aalogici, Roma, Marzo 009