Trasmissione in banda base: filtro adattato

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1 Trasmissioe i ada ase: filro adaao Fodamei di Seali e Trasmissioe Trasmissioe diiale i ada ase Daa ua sequeza di dai umerici, voliamo rasmeerla su u caale di rasmissioe i ada ase, uilizzado u impulso co ua forma oa (. Uo deli schemi piu efficiei per la rasmissioe diiale i ada ase e l uilizzo della ecica PAM (Pulse Ampliude Modulaio, che cosise el variare l ampiezza deli impulsi rasmessi, i accordo co il flusso dei dai da rasmeere. Fodamei di Seali e Trasmissioe

2 Schema del sisema di rasmissioe iario ( La sequeza iaria { } cosise di cifre iarie {,}, cerae eli isai T ; T e deo empo di i (velocia di rasmissioe R /T. Il modulaore PAM rasforma la sequeza i iresso i ua uova sequeza di impulsi (approssimaivamee ideali co area a, il cui valore, i rappreseazioe aipodale, vale a + se se Modulaore PAM Impulsi di cloc a rasmeiore Filro rasm. ( s( x ( x( y( Caale Filro ricez. h( + c( caale Rumore AWGN w( riceviore Disposiivo Solia di λ 3 Fodamei di Seali e Trasmissioe y( eli isai T ˆ Schema del sisema di rasmissioe iario ( La sequeza deli impulsi {a } viee iviaa all iresso di u filro di rasmissioe co risposa all impulso (, producedo i uscia il seale s( T a δ( T a a 3 ( s( a ( T T a a 3 a a a 4 T a a Modulaore PAM Impulsi di cloc a rasmeiore Filro rasm. ( s( x ( x( y( Caale Filro ricez. h( + c( caale Rumore AWGN w( riceviore Disposiivo Solia di λ 4 Fodamei di Seali e Trasmissioe y( eli isai T ˆ

3 Schema del sisema di rasmissioe iario (3 Il seale s( i eerale può veire modificao el passaio araverso il caale di rasmissioe, il quale viee modellizzao come u filro i ada ase co risposa all impulso h( x (s(*h( Il caale iroduce iolre u rumore w( addiivo, iaco e aussiao (AWGN siifica Addiive Whie Gaussia Noise che si somma al seale uile x ( all iresso del riceviore. Modulaore PAM Impulsi di cloc a rasmeiore Filro rasm. ( s( x ( x( y( Caale Filro ricez. h( + c( caale Rumore AWGN w( riceviore Disposiivo Solia di λ 5 Fodamei di Seali e Trasmissioe y( eli isai T ˆ Schema del sisema di rasmissioe iario (4 Il seale rumoroso x(x (+w( era el filro di ricezioe co risposa all impulso c(, producedo i uscia il seale y(x(*c( Il seale y(, all uscia del filro di ricezioe, viee campioao i maiera sicroa co il rasmeiore, eli isai T,mulipli del empo di i T ; li isai di campioameo soo deermiai ramie u opporuo seale di emporizzazioe che viee soliamee esrao dallo sesso seale y( (procedura di sicroizzazioe. Noa: Per essere precisi, i ricezioe, la sequeza deli isai di campioameo dovra eere coo di u riardo emporale rispeo alla emporizzazioe al rasmeiore, come effeo del riardo di propaazioe araverso il mezzo fisico. Per semplificare la raazioe assumiamo il riardo di propaazioe ullo. 6 Fodamei di Seali e Trasmissioe

4 Schema del sisema di rasmissioe iario (5 La sequeza dei campioi {y( } viee uilizzaa per ricosruire i dai iari oriiari { } i u disposiivo di che uilizza ua sraeia a solia y( Disposiivo ˆ se y( >λ se y( <λ { } Solia di λ Tao più la sequeza ˆ, coeee i dai iari ricosruii, sarà uuale alla sequeza { } dei dai iari oriiari, ao miliore sarà la qualià del sisema di rasmissioe. Noa: L ampiezza di oi campioe i iresso al decisore viee cofroaa co ua solia λ, che el caso iario aipodale vale λ: se l ampiezza e maiore della solia, la e a favore di u simolo iario ; se l ampiezza e miore della solia, la e a favore di u simolo (se l ampiezza coicide co la solia, la viee effeuaa i maiera casuale, come il risulao del lacio di ua moea. 7 Fodamei di Seali e Trasmissioe Il prolema del ricooscimeo di ua forma d oda oa immersa i rumore Ipoizziamo di rasmeere u solo i di iformazioe uilizzado u impulso isolao co forma d oda ( ed ampiezza ±. Assumiamo che la rasmissioe dell impulso ( sia disuraa solamee dal rumore w( irodoo dal caale, cioe che al riceviore arrivi il seale x((+w(. Il disposiivo per il ricooscimeo oimo di u impulso isolao co forma oa (, a cui si e sommao u rumore iaco w(, e u sisema lieare empoivariae, oo come filro adaao. 8 Fodamei di Seali e Trasmissioe

5 Il filro adaao ( L iresso del filro di ricezioe e il seale x((+w(: l impulso ( rappresea u simolo iario, ad esempio il simolo ; la forma dell impulso (, oa al riceviore, e defiia i u iervallo di osservazioe <<T. w( e ua realizzazioe di u processo di rumore iaco, cioe u processo casuale a valor medio ullo e co desia sperale di poeza cosae S w (fn /; l icerezza ella deriva dalla compoee di rumore w(. ( x( y( y(t Filro ricez. + c( ell isae T Rumore iaco w( 9 Fodamei di Seali e Trasmissioe Il filro adaao ( L uscia del filro di ricezioe e il seale y( (+(: ( e la compoee di seale uile ; si ricava filrado il seale ( co la risposa all impulso c( ( (*c(; ( e la realizzazioe di u processo casuale a valor medio ullo, e co desia S (f e poeza P S (f S w (f C(f (N / C(f ( x( y( y(t Filro ricez. + c( eli isai T Rumore iaco w( Fodamei di Seali e Trasmissioe

6 Il filro adaao (3 Ifie, il campioaore preleva il valore del seale y( ell isae T, alla fie dell iervallo di osservazioe, y(t (T +(T : jπf jπf G( f e df G( f C( f e df T T jπft ( T ( G( f C( f e df ; T (T e ua variaile casuale co poeza uuale alla poeza del processo ( P N N N [ ( T ] S( f df C( f df c( d Ec E ( x( y( y(t Filro ricez. + c( eli isai T Rumore iaco w( Fodamei di Seali e Trasmissioe Il filro adaao (4 U crierio semplice per miimizzare, i ermii saisici, l effeo del disuro sulla compoee di seale uile, all uscia del filro, e quello di massimizzare il rapporo seale-rumore η, sul seale campioao alla fie dell iervallo di osservazioe ( T η E[ ( T ] (T e la poeza isaaea del campioe di seale; E[(T ]P e la poeza della variaile casuale (T che rappresea il campioe di rumore. Fodamei di Seali e Trasmissioe

7 Il filro adaao (5 Riscriviamo η ( T P G( f e N jπft C( f C( f df df ; applicado la disuualiaza di Schwarz, che per due eeriche fuzioi X(f e Y(f afferma che X(f Y(f df X(f Y(f df X(f df X(f df Y(f df; Y(f df; X(f,Y(f ; * Y(f X(f ; al umeraore della frazioe [poedo X(fG(fe jπft e Y(fC(f ], oeiamo G( f C( f e jπft df G( f df C( f df ; G( f, C( f ; G( f C( f e jπft df G( f df C( f df ; jπft * C( f ( G( f e ; 3 Fodamei di Seali e Trasmissioe cosi si ricava Il filro adaao (6 η G( f N La pare desra della disuualiaza dipede solo da G( f df N ; Il rapporo seale-rumore sara massimo, ηη max, quado varra il seo di uualiaza, cioe quado la risposa i frequeza del filro adaao C(f sara leaa alla rasformaa di Fourier G(f, dell impulso di seale i iresso, dalla seuee relazioe (sesso modulo, eveualmee scalao di u faore posiivo, e fase camiaa di seo; il coriuo di fase lieare serve per redere causale il filro E C( f G( f e j πft η η max N 4 Fodamei di Seali e Trasmissioe df ( d E ;

8 Il filro adaao (7 Il filro oimo ha risposa all impulso c( j πft [ C( f ] IFT[ G( f e ] ( T c( IFT + La forma della risposa all impulso c( risula essere ua versioe rialaa (eveualmee ache scalaa di u faore posiivo e riardaa (i modo da risulare causale della forma dell impulso ( i iresso. Per queso moivo il filro di ricezioe oimo e deo ADATTATO. ( (- (-+T c( ((*c( T (T T -T T T 5 Fodamei di Seali e Trasmissioe Il filro adaao (8 Quidi, el caso di filro adaao [c( (-+T ] si oiee (T E E[(T ]P (N / E Il rapporo seale-rumore η max E /N dipede solamee dal rapporo ra l eeria del seale E e la desia sperale di poeza N del rumore all iresso del filro. Nei riuardi dell efficacia della rasmissioe rispeo al rumore addiivo irodoo dal caale, ui li impulsi che hao la sessa eeria soo equivalei, idipedeemee dalla loro forma. Il rapporo E /N e adimesioale (ifai [J ][W]/[Hz]. Per rasmissioi iarie, E E (eeria spesa per la rasmissioe di u i. Noa: el seuio, seza perdere eeralià ma per semplificare la raazioe, verrà poso, cioe c( (-+T. 6 Fodamei di Seali e Trasmissioe

9 Proailia di errore ( L effeo pricipale del rumore w( irodoo dal caale e quello di irodurre deli errori sui i ricosruii dal decisore. La qualia di u sisema di rasmissioe diiale si misura i ermii di proailia di errore media sul i P, dea ache Bi Error Rae o BER. Se ( e ˆ o ( e ˆ erroresul i 7 Fodamei di Seali e Trasmissioe x ( ( Proailia di errore ( T x ( -( x ( x( y( y( Filro ricez. + c( eli isai T Disposiivo ˆ - T Rumore AWGN w( Solia di λ + ( + w( x ( < < ( + w( 8 Fodamei di Seali e Trasmissioe T

10 c( T x ( Proailià di errore (3 Filro ricez. c( + y( y ell isae T Disposiivo ˆ x (*c( ( (T Rumore AWGN filrao ( Solia di λ T x (*c( - ( + ( + ( y ( ; < < ( + ( T ; - - (T y + ( T y( T ( T + ( T + ( T + E E + + se se 9 Fodamei di Seali e Trasmissioe Proailia di errore (4 Avedo ricevuo il campioe y, la miliore, per quao riuarda le due ipoesi di rasmissioe ( ( o (, coicide co cosideo il crierio di massima proailia a poseriori: decido per se la proailia di aver rasmesso uo a poseriori, cioe avedo ricevuo y, e maiore della proailia di aver rasmesso uo, sempre avedo ricevuo y, cioe Pro(/y>Pro(/y. Nel caso di simoli equiproaili i rasmissioe, e applicado due vole la reola di Bayes P(a/P(,a/P(P(/aP(a/P( alla disuualiaza, si ricava il crierio della massima verosimiliaza, di piu semplice realizzazioe, cioe decido per se la proailia di aver ricevuo y codizioaa all eveo di aver rasmesso e maiore della proailia di aver ricevuo y codizioaa alla rasmissioe di u, Pro(y/>Pro(y/. La sessa relazioe si puo scrivere co le desia di proailia (ivece delle proailia, cioe f(y/>f(y/. Ricaviamo le desia di proailia codizioae. Fodamei di Seali e Trasmissioe

11 Proailia di errore (5 Poiche, per ipoesi, il rumore w( che iroduce il caale e aussiao a valor medio ullo, ache il rumore filrao (, e i paricolare la variaile casuale (T, ha disriuzioe aussiaa co valor medio ullo e ua cera poeza P. Siamo i rado allora di rappreseare raficamee le desia di proailia del campioe ricevuo y, codizioae rispeivamee all eveo che sia sao rasmesso u i o u i : f(y/f(y-e +, e f(y/f(y+ E +. Poiche e ua variaile casuale aussiaa co valor medio ullo e variaza σ, ache le due desia di proailia codizioae risulao essere aussiae, co valor medio rispeivamee m e + m, e sessa variaza σ Y σ. Si rappreseao raficamee come due campae cerae i m e +m, ao piu sree quao piu e piccola la variaza σ. Fodamei di Seali e Trasmissioe f ( πp e P Proailia di errore (6 f ( y E + e πp f ( y E + e πp ( y m P ( y+ m P f(y/ f(y/ σ y P σ y P -m m y Fodamei di Seali e Trasmissioe

12 Proailia di errore (7 y Disposiivo se y> se y< Il crierio di co solia λ corrispode al crierio di massima verosimiliaza : Solia di λ scelo ˆ scelo ˆ se f(y/ > f(y/; cioe se y>; se f(y/ > f(y/; cioe se y<. f(y/ f(y/ -m m f(y/>f(y/ f(y/>f(y/ 3 Fodamei di Seali e Trasmissioe Calcolo della proailia di errore ( P P( ˆ, + P( ˆ, P( P( ˆ / + P( P( ˆ / P( ˆ / + P( ˆ / P( y > / m f ( y / dy Q σ P( ˆ / y f(y/ P (y > / -m 4 Fodamei di Seali e Trasmissioe

13 Calcolo della proailia di errore ( Ipoizzado che i i i rasmissioe siao equiproaili e che la proailia di saliare o dipeda dal i che si sa rasmeedo, si ricava la formula della proailia di errore. Idipedeemee dal proeo del filro di ricezioe, la proailia di errore del sisema dipede dal rapporo ra il valore della compoee di seale E e il valore della deviazioe sadard del rumore σ all iresso del decisore. I eerale, queso rapporo si puo vedere come il rapporo ra la semidisaza ra i due possiili livelli di seale e la deviazioe sadard del rumore filrao. Nel caso cosiderao, di rasmissioe aipodale (li impulsi che codificao i simoli iari e soo uuali ed opposi i seo, i livelli soo +/-m, e la semidisaza e proprio m. 5 Fodamei di Seali e Trasmissioe Calcolo della proailia di errore (3 All uscia del filro adaao η ( T P E N Proailia di errore di u sisema di rasmissioe iario aipodale P m Q σ Q ( E E η Q Q N N Nel caso di rasmissioe aipodale e di filro adaao i ricezioe, si oiee il massimo rapporo E /N, e quidi il filro adaao araisce la miima proailia di errore, al variare del proeo del filro di ricezioe. Quesa proailia di errore (miima dipede solo dal rapporo (E /N, cioe dall eeria del seale uile i iresso al riceviore e dalla desia sperale di poeza del rumore iaco. 6 Fodamei di Seali e Trasmissioe

14 Calcolo della proailia di errore (4 Riporado su u rafico l adameo del BER i fuzioe del rapporo E /N, si oa che il BER decresce molo rapidamee al crescere di E /N, ao che u piccolo icremeo el valore dell eeria rasmessa (e quidi della poeza rasmessa P x E R puo comporare ua dimiuzioe cosiderevole del BER, i praica ua ricezioe seza errori. D alrode, u icremeo ad esempio di 3dB ell eeria del seale, che equivale a raddoppiare la poeza, è più facilemee realizzaile per assi valori di eeria, dove il uadao i ermii di BER e miore Proailia di errore P E /N [db] 7 Fodamei di Seali e Trasmissioe Uleriori cosiderazioi sul filro adaao ( L uso di u sisema di ricezioe asao sul filro adaao o è limiao al caso di rasmissioe di impulsi aipodali. Possiamo codificare ad esempio il simolo co l ampiezza ed il simolo co l ampiezza (impulsi moopodali. Le cosiderazii fiora fae soo sempre valide, camia solo il valore della solia λ, che i queso caso varra m /. La proailià d errore sarà: P Q E N Q E Q N E N Verificare la formula 8 Fodamei di Seali e Trasmissioe

15 P Uleriori cosiderazioi sul filro adaao ( E possiile uilizzare due forme d oda diverse per codificare i simoli ed : ad esempio α ( e β (. Lo schema del riceviore oimo si asa ache i queso caso sull uso di filri adaai. r( + Rumore AWGN filrao ( Eα E β E Q + + N αβ ; Filro ricez. c α ( Filro ricez. c β ( E αβ ( (d 9 Fodamei di Seali e Trasmissioe α ell isae T Se E α E β E ed E αβ (seali orooali β Disposiivo Solia di P ˆ Q E N