Sia dato un esperimento casuale individuato da uno spazio di probabilità S=

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1 Capiolo II CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DEI SEGNALI II. - Fuzioi di proailià del primo ordie. Sia dao u eperimeo cauale idividuao da uo pazio di proailià S (, F,Pr) Ω. Per egale aleaorio reale iede u applicazioe che fa corripodere a ciacu poiile riulao ζ Ω dell eperimeo cauale ua fuzioe (reale o complea) del empo ale da ideificare ua variaile aleaoria (, ζ ) per ogi fiao. ζ 3 Ω ζ ζ ζ (, ) ζ (, ) ζ (, 3) 0 ( 0, ζ) ( 0, ζ) 0 ( 0, ζ3) 0 Fig.II.- Segale aleaorio. I defiiiva da quao deo dicede che e i fia u valore di il egale aleaorio idividua ua variaile aleaoria u Ω ; mere e i fia u riulao ζ i oiee ua fuzioe della ola variaile, (, ζ ), che coiuice ua maifeazioe del egale com è chemaicamee idicao ella Fig. II.. I quel che egue, alvola, u egale aleaorio verrà deoao alvola co (), oiededo la dipedeza dal riulao dell eperimeo cauale ω. Dal coeo arà chiaro quado ci i a riferedo ad ua variaile cauale, aegao, o a ad ua paricolare maifeazioe, ζ fiao. Ad eempio i coideri il egale aleaorio la cui geerica maifeazioe è daa dalla: (, ϕ ) co( π f+ϕ ) dove ϕ è ua variaile cauale appareee all iervallo [ 0, π ). Le maifeazioi del egale oo coiuie da ue le poiili coiuoidi di frequeza f 0 oeue i corripodeza a ui i poiili valori di ϕ. E ζ: (, ζ) coiuio da ue le maifeazioi del egale Si coideri l eveo { } che all iae aumoo u valore o maggiore di. La proailià che i verifichi l eveo E è daa dalla: Pr E P ( ; ) (II..) { } La fuzioe P (;), coì defiia, coiuice la diriuzioe di proailià del primo ordie aociaa al egale (, ζ ). Ci i rede facilmee coo che la P (;) coicide co la fuzioe di diriuzioe di proailià della variaile aleaoria idividuaa dal valore auo dal egale all iae. 0

2 -8- G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche Alla P (;) i può aociare ua deià di proailià del primo ordie p (;) coì defiia: (II..) p (; ) P (; ) Sia p (;) ia P (;) oo i geere fuzioi ache dell iae i cui i oerva il egale. È opporuo iolre oolieare che la derivaa ella (II..) va iea i eo geeralizzao, la preeza d eveuali dicoiuià ella P (;) i raduce ifai ella preeza di dela di Dirac di peo e poizioe opporui ella corripodee deià p (;). È ovvio che le fuzioi di proailià P ( ; ) e p ( ; ) oddifao le ee proailià udiae el Cap. I a propoio delle variaili aleaorie moodimeioali. I paricolare: Se y di ha E E y e queo compora che è P( ; ) P( y; ). La diriuzioe di proailià del primo ordie è ua fuzioe o decrecee di. Perao, qualuque ia l iae, per ui i valori di i cui la P (;) è derivaile i eo ordiario, riula: (II..5) p (;) 0 Iolre i pei delle eveuali dela di Dirac preei ella p (;) o pooo eere egaivi. Valgoo le codizioi: (II..3) P ( ; ) 0 P ( + ; ) i quao l eveo { ζ (, ) } è l eveo impoiile e l eveo { (, ) } ζ + è l eveo cero. Teedo coo della prima delle (II..3), dalla (II..) i deduce: (II..4) P (;) p (ξ; )dξ Iolre, idipedeemee dal valore di la ecoda delle (II..3) i raduce per la p (;) ella codizioe di ormalizzazioe: (II..5) p(;)d La proailià che il egale, i u aegao iae, auma u valore appareee all iervallo ( a, ] vale: (II..6) { ( ]} a Pr (, ζ) a, P ( ; ) P ( a; ) p ( ; ) d I Taella II. oo riporae le proprieà fodameali delle fuzioi di proailià del primo ordie di u egale aleaorio. II. - Fuzioi di proailià del ecodo ordie. Si coideri, per ogi coppia di umeri reali (, ), E il ooiieme di Ω defiio dalla: (II..) E { ζ: ; } dove, per comodià di oazioe, (, ζ ) ed (, ζ ) idicao i valori aui dalla geerica maifeazioe del egale ripeivamee agli iai e. Come è ao o-

3 Cap. II - Caraerizzazioe aiica dei egali -9- ervao a propoio delle variaili aleaorie idimeioali, u ale iieme coiuice u eveo i Ω ; la proailià che eo i verifichi: (II..) { E } Pr P (, ;, ) defiice la diriuzioe di proailià del ecodo ordie aociaa al egale aleaorio (, ζ ) relaiva ai due iai di oervazioe,. Taella II. Proprieà delle fuzioi di proailià del primo ordie di u egale aleaorio Diriuzioe di proailià Deià di proailià Oervazioi P ( ; ) Pr { ζ: (, ζ) } P ( ; ) p ( ; ) y P ( ; ) P ( y; ) p ( ; ) 0 P P ( ; ) 0 P ( ; ) p( ξ; d ) ξ ( ; ) p (;) ξ dξ { ζ a < ζ } P P a { } Pr : (, ) ( ; ) ( ; ) Pr ζ : a< (, ζ) p ( ξ; ) dξ a Nei pui di coiuià Codizioe di ormalizzazioe Ache i queo cao è poiile idividuare ua deià di proailià del ecodo ordie daa dalla: (II..3) p (, ;, ) P (, ;, ) ella quale la derivazioe è da iederi i eo geeralizzao. La P (, ;, ) deve eceariamee oddifare le uguagliaze: P (+, +;, ) P (, ;, ) 0 (II..4) P (, ;, ) 0 P (, ;, ) 0 la prima delle quali eprime la proailià aociaa all eveo cero; le reai quelle di evei impoiili, idipedeemee dagli iai d oervazioe coiderai. La proailià che all iae il valore (, ζ ), auo dalla geerica maifeazioe del egale, ia compreo ell iervallo (, ] uo dalla ea maifeazioe, apparega all iervallo (, ] uo dei eguei modi: (II..5) {{ ( a ] ( a ] }} Pr (, ),, a e che a il valore a a (, ζ ), a- a i può calcolare i P ( a, ;, ) P ( a, ;, ) P ( a, ;, ) + P ( a, ;, ) p (, ξ η;, ) dξdη È iolre evidee che i ha: (II..6) P (, ;, ) p ( ξ, η;, ) dξdη Se y (II..7) e y l eveo E è coeuo ell eveo P (, ;, ) P ( y, y ;, ) E yy per cui deve eere:

4 -0- G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche od ache: (II..8) p (, ;, ) 0 i ui i pui i cui la derivaa (II..3) eie i eo ordiario, iolre, i pei delle dele di Dirac, eveualmee preei ella p (, ;, ), o pooo eere egaivi. Richiamado le (I.9.3) del Cap. I, i può crivere: P (, ;, ) P ( ; ) (II..9) P (, ;, ) P ( ) che, ricordado le (II..6), diveao: P ( ; ) p (, ;, ) d d ξη ξ η (II..0) P ( ) p ( ξ, η;, ) dξdη dalle quali, derivado, i deducoo le: p ( ; ) p (, ξ ;, ) dξ (II..) p ( ; ) p (, η;, ) dη La deià di proailià del primo ordie di u egale aleaorio è direamee deduciile da quella del ecodo ordie per margializzazioe. Si coiderio gli evei: Δ Δ E ζ: (, ζ) ; E ζ: < (, ζ) + (II..) { } { } La proailià dell eveo E codizioaa dal maifeari dell eveo E, per la formula di Baye, vale: (II..3) Pr { E E } { E E} Pr{ E } Δ + Δ Δ + Δ p Pr p (, y;, ) ddy ( ; ) d Se i fa edere Δ a zero, ammeo che la p ( ; ), ia coiua i, E i riduce E ζ : (, ζ ) e i ha: all eveo igolare { } Δ + Δ Δ 0 0 Δ p ( ; ) d (II..4) { E E } lim Pr lim Δ Δ + p (, y;, ) ddy p (, y;, ) dy p ( ; ) Si oi il limie (II..4) eie fiio e riula p ( ; ) 0 e defiice ua fuzioe della variaile che oddifa ue le proprieà di ua diriuzioe di proailià. Tale fuzioe, che i deoa co P (, ;, ) e prede il ome di diriuzioe di proailià codizioaa. Alla P (, ;, ) corripode la deià di proailià codizioaa daa dalla: (II..5) p (, ;, ) P (, ;, ) È facile rederi coo che ale deià di proailià può eprimeri i ermii delle deià del primo e del ecodo ordie aociae al egale (,ζ) come egue: (II..6) p (, ;, ) p ( ; ) p (, ;, )

5 Cap. II - Caraerizzazioe aiica dei egali -- I modo aalogo, iroducedo la deià di proailià codizioaa p (, ;, ) i deduce: (II..7) p ( ;, ) p ( ; ) p (, ;, ) Si oi ifie che riula: (II..8) lim p (, ;, ) lim p (, ;, ) δ( ) che dicede immediaamee dal fao che ua ea maifeazioe del egale o può aumere due valori diii ello eo iae. Iolre euo coo delle codizioi di ormalizzazioe: (II..9) p (, ;, )d p (, y;, )dy dalle (II..6) e (II..7) i deduce che le deià del primo ordie del egale valgoo ripeivamee: (II..0) p ( ; ) p (, y;, )dy (II..) p (, ) p (, ;, )d dalle quali i evice che la deià di proailià del primo ordie di u egale aleaorio è direamee deduciile da quella del ecodo ordie per margializzazioe. È iolre evidee che: (II..) P ( ; ) lim P + (, ;, ) (II..3) P (, ) lim P + (, ;, ) I Taella II. oo riporae le proprieà fodameali delle fuzioi di proailià del ecodo ordie di u egale aleaorio. Taella II. Proprieà delle fuzioi di proailià del ecodo ordie di u egale aleaorio. Diriuzioe di proailià Deià di proailià Oervazioi P (, ;, ) P (, ;, ) p ( Pr { ζ: (, ζ) ; (, ζ), ;, ) } y; y p (, ;, ) 0 Nei pui di coiuià P (, ;, ) P ( y, y;, ) P (, ;, ) 0 P (, ;, ) P (, ;, ) 0 p (, ξ η;, ) dξdη P (, ;, ) { a a } Pr ζ : < ; < P ( a, ;, ) P ( a, ;, ) + P ( a, ;, ) + P ( a, ;, ) P ( ; ) P (, ;, ) P ( ; ) P (, ;, ) p (, ξη;, ) dξdη { a a } Pr ζ : < ; < p (, ξ η;, ) dξdη a a p ( ; ) p (, η;, ) dη p ( ; ) p ( ξ, ;, ) dξ Codizioe di ormalizzazioe Margializzazioe

6 -- G. Mamola: Fodamei di Comuicazioi Eleriche II.3 - Fuzioi di proailià d ordie uperiore. I maiera aaloga a quao fao ei paragrafi precedei, i può deoare co (II.3.) P (,, ;,,, ) la proailià dell iieme (II.3.) E {,,, } coiuio da ui i riulai ζ che dao luogo a maifeazioi del egale (, ζ ) che, i corripodeza agli iai di empo,,,, aumoo valori ripeivamee o uperiori a,,. La P (,, ;,,, ) deoa la diriuzioe di proailià di ordie aociaa al egale. La relaiva deià di proailià di ordie è: (II.3.3) p (,,, ;,,, ) P (,, ;,,, ) Dalla p (,,, ;,,, ) i pooo dedurre ue le deià d ordie iferiore per ucceiva margializzazioe. Si ha ifai, geeralizzado le (II..): (II.3.4) p (,, ;,,, ) p (,, ;,,, ) p (,,ξ ;,,, )dξ p (,, ξ ;,,, )dξ dξ p ( ; ) p (,,ξ ;,,, )dξ dξ dξ La deià di proailià d ordie deve iolre oddifare la eguee codizioe di ormalizzazioe: (II.3.5) p (,,, ;,,, )d d d d Si ha: (II.3.6) P (,, ;,,, ) p (ξ,, ξ ;,,, )dξ dξ e oo oddifae le uguagliaze: (II.3.7) P (,, ;,,, ) 0, P (,,;,,, ) Si ha ifie: (II.3.8) p (,,, ;,,, ) 0 i ui i pui i cui P (,, ;,,, ) è derivaile i eo ordiario; iolre i pei delle eveuali dela di Dirac ella p (,,, ;,,, ) o pooo eere egaivi. Quado oo oe le fuzioi di proailià fio a all ordie di u egale aleaorio, i dice che eo è aiicamee oo fio all ordie. È evidee che quao più è elevao ao maggiori oo le iformazioi che i hao ulla aura del egale. II.4 - Segali diii. Fuzioi di proailià cogiue. Siao (,ζ) e y(,ζ) due egali aleaori defiii ullo eo pazio di proailià. Si preda i coiderazioe l iieme E y compoo da ui i riulai ali che il valore auo dalla geerica maifeazioe del egale (, ζ ) all iae auma u valore o

7 Cap. II - Caraerizzazioe aiica dei egali -3- uperiore a e che, all iae, il valore di y(, ζ ) o ia uperiore a y. Tale iieme coiuice u eveo dao che può eere oeuo dall ierezioe dei due evei : (, ) ζ: y (, ζ) y ; la proailià ad eo aociaa, olre che da e da y, { ζ ζ } e { } dipede evideemee ache dagli iai di oervazioe e e riula: (II.4.) P y (, y;, ) Pr{ E y } La fuzioe P y (, y;, ), coì defiia, rappreea la diriuzioe di proailià cogiua aociaa ai due egali. Nauralmee ale diriuzioe di proailià, idipedeemee dagli iai di empo coiderai, oddifa le codizioi: Py ( +, + ;, ) (II.4.) P (, ;, ) P (, y;, ) 0 y y La corripodee fuzioe di deià di proailià cogiua p y (, y;, ) è la derivaa ecoda mia, eveualmee iea i eo geeralizzao, della P y (, y;, ) e oddifa le codizioi: (II.4.3) + + p (, ξη;, ) dξdη y y (II.4.4) P y (, y;, ) p y (ξ, η;, )dξdη Si oiee ifie (II.4.5) p (, ) p y (, η;, )dη e (II.4.6) p y (y, ) p y (ξ, y;, )dξ che coeoo di deermiare le deià di proailià del primo ordie aociae ai egali (, ζ ) e y(, ζ ) oa che ia la loro deià di proailià cogiua. Se riula: (II.4.8) p y (, y;, ) p (, ) p y (y, ) i egali i dicoo cogiuamee aiicamee idipedei.