Un segnale periodico è manifestamente un segnale a potenza finita. Infatti è: s t dt. kt0 kt0. T0 s t dt+

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1 Cpiolo II RAPPRESENAZIONE DEI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA REQUENZA. II. - Segli periodici. U segle, rppreseo d u fuzioe rele o compless s( di vribile rele, si dice periodico se esisoo vlori di li che, per ogi, si bbi: (II.. s( s( + È immedio verificre che se è u soluzioe dell (II.. ui i suoi mulipli soddisfo l (II... Il miimo vlore posiivo dei vlori di che soddisfo l (II.. è defiio periodo fodmele, o più semplicemee periodo, del segle. U segle periodico è mifesmee u segle poez fii. Ifi è: k +τ (II.. P lim s( d lim s( d k +τ k k +τ dove si è poso k +τ (k iero e τ <. Dll precedee si oiee: (II..3 k k k+τ P lim s( d k+τ k k k k + + +τ k k+τ k lim s( d+ lim ( ( s d+ s d k+τ k k k +τ k k +τ Poiché è (II..4 s ( d< gli ulimi due iegrli dell (II..3 si megoo limii, per cui risul: (II..5 P s( d Poiché u segle periodico o prese eergi specific fii, o è possibile pplicre le meodologie di lisi espose l Cp. I. uvi se si prede i cosiderzioe il segle roco s ( defiio poedo s( ( (rec s ( s s (II..6 ( si h (v. ig. II.: (II..7 s( s ( m m Ciò sigific che u segle periodico può ig. II. Segle periodico. Segle roco. essere cosidero come l ripeizioe periodic, co periodo, di u segle elemere s (, cofio i u iervllo di dur. Il segle s ( è mifesmee d eergi fii essedo: (II..8 s ( d<

2 - - G. Mmol: odmei Comuiczioi Eleriche cosicché, scegliedo l seguee bse di fuzioi oroormli: π (II..9 u ( e rec ( j (, ±, ±, che, come è possibile dimosrre, è comple per qulsisi segle d eergi fii e cofio ell iervllo (, può essere espso ell seguee serie di fuzioi: jπ (II.. s ( rec ( αe dove i coefficiei α vlgoo: (II.. α ( s, u ( ( ( jπ s u d se d Sosiuedo l (II.. ell (II..7 si oiee: (II.. m π s s m e m ( m ( j ( ( α rec m m jπ α e m rec αe jπ dove si è euo coo dell periodicià dell'espoezile complesso e j π rec m. m ( Poedo ifie (II..3 f e (II..4 S jπf s( e d e che è l (II.. ssume l form: jπ (II..5 s ( Se che cosiuisce l be o espsioe di u segle periodico i serie di ourier espress i form espoezile o euleri. È bee osservre che, cus dell periodicià del segle s(, l'iegrle che compre ell (II..4 può essere eseso d u qulsisi iervllo purché di dur. È opporuo precisre che l serie secodo membro dell (II..5 coverge l segle s( i medi qudric. Ciò sigific che l disz euclide fr il segle s( e l rido N -esim dell serie ede zero l crescere di N e cioè: (II..6 f N jπf lim s ( Se d N N Per quo rigurd l covergez puule è fcile dimosrre che l serie coverge d s( i ui i pui i cui il segle è coiuo; egli eveuli pui di discoiuià τ l cfr.:. G. ricomi: Isiuzioi di lisi superiore. Edizioi Cedm. Pdov. 964.

3 Cp. II Rppresezioe dei segli el domiio dell frequez - - serie coverge l vlore + s( τ + s( τ e cioè l vlore medio fr i limii desro e siisro i corrispodez dell discoiuià. S ϑ b Il coefficiee S è u quià compless cosicché può essere poso ell form: j (II..7 S S e ϑ i ermii cioè del modulo S e dell'rgomeo ϑ. Si deduce dll (II..5 che l cooscez dell'isieme dei coefficiei S cosee di ricosruire il segle s(. Ciò suggerisce u pricolre rppresezioe grfic del segle oeu co dei digrmmi i cui soo ripori i moduli S e gli rgomei ϑ di S i fuzioe di. li digrmmi ormlmee idici come speri di mpiezz e di ig. II. - Speri di mpiezz e di fse b di u segle rele. fse del segle s(, soo che rppresei i ermii dell frequez f f dell geeric rmoic del segle s(. Esempio E.II.. Si cosideri l sequez periodic di impulsi regolri di dur e periodo mosr i ig. E.II.. Nell iervllo ( (, s ( rec. Il coefficiee vle:. Il segle è descrio dll S si π j π ( ( S e d π s( ig. E.II. che, ricorddo l defiizioe dell fuzioe sic( x, può essere riscrio come segue: S sic II. - Somm di Poisso. Si cosideri l seguee successioe di dele di Dirc rsle. (II.. δ δ( Ess cosiuisce u disribuzioe periodic di periodo. Poiché il coefficiee dello sviluppo i serie di ourier dell (II.. vle: (II.. jπ S ( e d δ lo sviluppo i serie di ourier dell (II.. dà luogo ll seguee somm di Poisso: jπ (II..3 e δ(

4 - - G. Mmol: odmei Comuiczioi Eleriche II.3 L rsform di ourier. Si s( u segle d eergi fii e si s ( il corrispodee segle roco defiio dll (v. ig. II.: (II.3. s ( s( rec( Il segle s ( olre d eergi fii è dur limi e s ( pero, come già osservo l pr II., può essere espso i ermii del seguee isieme di fuzioi oro-orli: jπ (II.3. u ( e rec ( (, ±, ±, come segue: (II.3.3 ( j π rec ( j π s Se Se rec ( co (II.3.4 S jπ s( e d È evidee che se si f edere d ifiio s ( ede s( : (II.3.5 s( lim s ( s( ig. II. Segle d eergi fii e segle roco. Per effeure il pssggio l limie su idico bs osservre che, l crescere di, le quià f edoo ddesrsi el seso che l differez Δ f r due ermii cosecuivi ede zero; f ede così d ideificrsi co u vribile coiu f e il corrispodee icremeo df. I bse li cosiderzioi, dll (II.3.4 si deduce che l quià S ede, l divergere di, ll seguee fuzioe di f : (II.3.6 jπf S( f s( e d mere, dll (II.3.5, eedo coo dell (II.3.3, discede: (II.3.7 ( S( f e j π f s df Le (II.3.6 e (II.3.7 cosiuiscoo le espressioi dell rsform e irsform di ourier rispeivmee. È opporuo precisre che l rsform di ourier di u segle d eergi fii è defii dll: jπf (II.3.8 S( f lim s( e d dove il limie deve iedersi i ccordo co l meric defii ello spzio dei segli. Ciò equivle dire che l rsform di ourier del segle s( si deve iedere quell fuzioe S ( f l cui disz euclide d s(e jπ d ede zero l crescere di ; e cioè se: (II.3.9 uvi se il segle s( è rppreseo d u fuzioe sommbile e cioè le che risuli: j lim S( f s( e d df π co

5 Cp. II Rppresezioe dei segli el domiio dell frequez - 3- (II.3. s ( d< poiché è: (II.3. jπf S( f s( e d s( d < il limie (II.3.9 può essere effeuo come segue: (II.3. jπf lim S( f s( e d che equivle dire che l covergez dell iegrle s(e jπ d è uiforme. Cosiderzioi loghe vlgoo per l irsform di ourier. L rsform e l irsform di ourier, el coeso, vegoo vole idice come segue: j (II.3.3 { } (II.3.4 { } πf S( f s ( se ( d ( ( ( j π f s S f S f e l rsform di ourier di u segle è, i geerle u fuzioe compless. Ess pero può essere rpprese i u delle due forme seguei: j ( f (II.3.5 S( f S ( f + js ( f S( f e ϑ R I I digrmmi che riporo gli dmei di S( f e ϑ( f i fuzioe dell frequez predoo il ome di speri di mpiezz e di fse del segle s(. df Esempio E.II. Impulso regolre. Impulso espoezile. { ( } ( jπf jπf rec rec e d e d sic( f ( π + πf { ( } ( j f ue ue e d e d + j π f Impulso cisoidle empo limio. j ( { ( } π j f π rec e e d sic( f II.4 Proprieà dell rsform di ourier. I quel che segue soo dedoe lue fodmeli proprieà dell rsform di ourer di u segle. Proprieà. Segli reli. Se s( è rele dll codizioe s( s( discede; (II.4. j πf j f j f j f S( f e df π S( f e d π S( f e df π S( f e df dove si è oper l rsformzioe f f (II.4. S( f S( f. Dll precedee si deduce che compor che (II.4.3 S( f S( f ϑ ( f ϑ( f

6 - 4 - G. Mmol: odmei Comuiczioi Eleriche S(f ϑ( f ig. II. Speri di mpiezz e fse di u segle rele. e reciprocmee, dll (II.3.4 si oiee: S( i i f i Si( f i i (II.4.5 { } Proprieà 3. Are del segle. Poedo f ell (II.3.3 si h: (II.4.6 S( s( d Proprieà 4. Are dell rsform. Poedo ell (II.3.4 si h: (II.4.7 s( S( f df Proprieà 5. Simmeri. (II.4.8 Cmbido i ell (II.3.4 si h: f e cioè gli speri di mpiezz e di fse soo fuzioi rispeivmee pri e dispri dell frequez come è idico schemicmee i ig. II.. Proprieà. Lierià. Dll (II.3.3 si h ovvimee: (II.4.4 s i i( i{ si( } i i jπf s( S( f e df che, operdo l sosiuzioe f e f si mu ell: jπf (II.4.9 s( f S( e d { S( } Proprieà 6. Segle coiugo. Risul: (II.4. { } Proprieà 7. rsform coiug. Si h: (II.4. { } jπf j πf s ( s ( e d s( e d S ( f j f j f S ( f S ( f e df S( f e df s ( π π Proprieà 8. rslzioe el domiio del empo. È: jπf jπf jπfτ jπf (II.4. { } s( s( e d e s( τ e dτ e S( f dove si è irodoo il seguee cmbimeo di vribili τ. Proprieà 9. rslzioe el domiio dell frequez. È: jπf jπf jπϕ jπf ϕ ϕ (II.4.3 { } vedo poso ϕ f f. S( f f S( f f e df e S( e d e s(

7 Cp. II Rppresezioe dei segli el domiio dell frequez - 5- Proprieà. Cmbimeo di scl. Si h, per > : (II.4.4 { s ( } se ( f j πf j ( f d s e π τ d S τ τ ( vedo poso τ. I modo logo risul, per < : f (II.4.5 { s ( } S ( e quidi i geerle: f (II.4.6 { s ( } S ( Proprieà. Derivzioe el domiio del empo. s ( ( Derivdo vole l (II.3.4 rispeo l empo e suppoedo che il segle derivo si coiuo ed d eergi fii, si h: d s( j (II.4.7 ( ( πf j π f S f e df {( j πf S( f } d Proprieà. Derivzioe el domiio dell frequez. Derivdo vole l (II.3.3 rispeo ll frequez e suppoedo che il segle derivo S ( ( f si coiuo ed d eergi fii, si h: d S( f j (II.4.8 ( ( πf j π s e d {( j π s( } df Proprieà 3. Iegrzioe el domiio del empo. Si h: j (II.4.9 { s( τ dτ } s( τ dτ e che, iegro per pri forisce: (II.4. Se si suppoe che è πf { } ( ( j f s d s d π d( e τ τ τ τ jπf j f π jπf e s( τ dτ s( e d jπf sd ( S(, l precedee diviee: S( f (II.4. { s( d } τ τ jπf Proprieà 4. Iegrzioe el domiio dell frequez. I modo logo può dimosrrsi che se è S( f df s(, è f (II.4. { S( d } s( ϕ ϕ jπ Proprieà 5. Covoluzioe el domiio del empo. L rsform di ourier dell covoluzioe vle: f ( s( s( d π φ e s( s( d τ τ τ d τ τ τ j (II.4.3 { } { } che, iveredo l ordie di iegrzioe e eedo successivmee coo dell proprieà 7, è: j (II.4.4 { } f j { } f ( s( π s( e d d s( π τ φ τ τ τ s( τ e dτ d

8 - 6 - G. Mmol: odmei Comuiczioi Eleriche e cioè: (II.4.5 { φ ( } { s ( } { s ( } I lre prole l rsform dell covoluzioe di due segli è ugule l prodoo delle loro rsforme. Proprieà 6. Covoluzioe el domiio dell frequez. I modo logo si può dimosrre che se: (II.4.6 Φ ( f S( ϕ S( f ϕ dϕ deo l covoluzioe r S ( f e S ( f, l irsform di Φ( f vle: (II.4.7 φ ( s( s( Il prodoo di due segli h come rsform l covoluzioe delle rsforme dei segli compoeei. Le proprieà dell rsform di ourier, sopr defiie, soo ripore ell seguee bell III.. bell II. Proprieà dell rsform di ourier Proprieà Segle rsform Noe Lierià i s i ( i i S i ( f i i cosi Are del segle s(d S( Are dell rsform s( S( f df Simmeri S( s( f Segle coiugo s ( S ( f rsform coiug s ( S ( f rslzioe el domiio del empo s( e j πf S( f qulsisi rslzioe el domiio dell frequez e j πf s( S( f f f qulsisi Cmbimeo di scl s( f S Derivzioe el domiio del empo Derivzioe el domiio dell frequez Iegrzioe el domiio del empo s( τ d τ Iegrzioe el domiio dell frequez S( ϕ dϕ f Covoluzioe el domiio del empo Covoluzioe el domiio dell frequez d s( d ( jπf S( f ( jπ s( d S( f df s (τs ( τdτ s ( τs (τdτ s ( s ( S( f jπf s( jπ S ( f S ( f S (ϕs ( f ϕdϕ S ( f ϕs (ϕdϕ sd ( S( S( f df s(

9 Cp. II Rppresezioe dei segli el domiio dell frequez - 7- Esempio E.II.3 Segle sic. Applicdo ll Esempio E.II. l proprieà 4, si h: f { sic( B } rec rec B B B Impulso gussio. Si s ( e u impulso gussio. Derivdo il segle s( si h: ds( ( e s( d dll qule, eedo presee le proprieà e, si deduce: ds( f f π S( f df L rsform di ourier S( f obbedisce d u equzioe differezile dello sesso ipo di quell ( soddisf dl segle s(, solo che i l cso, l cose che compre ell equzioe dovrà essere sosiui co π /.È pero: S( f ke dove l cose k può deermirsi uilizzdo l proprieà dell re del segle. Dll codizioe S( s( d, uilizzdo l formul e x π f dx π, si h: S( f π e π f II.5 rsforme e irsforme di ourier pricolri. II.5. - rsform dell del di Dirc vle eedo presee l proprieà (5. dell Iroduzioe, l rsform dell del di Dirc (II.5. { } j II.5. - Airsform dell del di Dirc Risul: (II.5.3 { } e cioè: δ ( δ ( e d πf - j πf (II.5.4 { } δ ( f δ ( f e d δ( f II rsform dell del di Dirc rsl Si h: jπf (II.5.5 { } δ ( ± δ ( ± e d e II Airsform dell del di Dirc rsl Si h: - jπf ( ( f B ± jπf jπf (II.5.6 { } e cioè δ f ± f δ f ± f e d e ± jπf (II.5.7 { e } δ( f f

10 - 8 - G. Mmol: odmei Comuiczioi Eleriche II rsforme dei segli siusoidli. Per le formule di Eulero si può scrivere: (II.5.8 ( jπf jπf j ( jπf jπf cos( π f e + e si( π f e e che, rsforme secodo ourier e eedo coo dell (II.5.7, foriscoo: { cos( π f } [ δ( f f +δ ( f + f ] (II.5.9 { si( π f } [ δ( f f δ ( f + f ] j II rsform di u segle periodico. Sull bse dei precedei risuli è fcile dedurre che l rsform di u segle periodico di periodo jπ (II.5. s ( Se vle: (II.5. { s (} Sδ( f II rsform dell fuzioe sego. Si (v ig. II.3 > (II.5. sg( < l cosidde fuzioe sego. Ess è u fuzioe poez fii essedo P. Per clcolre l su rsform di ourier è coveiee prire dll fuzioe sg( e > (II.5.3 φ ( ( > e < e / e / rpprese i reggio ell sess ig. II.3. Si h: > (II.5.4 sg( lim φ ( < ig. II.3 uzioe sego (II.5.5 { } { } Quidi è per f : Di coseguez risul sg( lim φ ( lim + jπf jπf (II.5.6 { sg( } mere, per f,sull bse dell proprieà 3 è: (II.5.7 { } e quidi (II.5.8 { sg( } j π f sg( lim sg( d f j π f f f che, ricorddo l proprieà dell fuzioe geerlizz Pf f :

11 (II.5.9 Cp. II Rppresezioe dei segli el domiio dell frequez - 9- Φ ( f Pf f df lim + f Φ( f df ε ε ε vlid per ogi fuzioe Φ( f o ifiiesim ell origie, si può rppresere el modo seguee: (II.5. { sg( } Pf jπf II rsform del grdio uirio. Poichè si h, com è fcile ricooscere: (II.5. u ( + sg( risul, ricorddo le (II.5.3 e (II.5.6: (II.5. { u (} δ ( f + Pf jπf Nell bell II. soo ripore le rsforme (irsforme fi qui cosidere. bell II. rsforme di ourier oevoli. uzioe rsform δ( δ ( ± j f j f e ± δ( f e ± π cos(πf si(πf δ( f f [ δ( f f +δ( f + f ] j δ( f f δ( f + f [ ] jπ Se Sδ( f sg( Pf jπf u( δ ( f + Pf jπf II.6 - Vluzioe dell rsform di ourier. Per l vluzioe dell rsform di ourier è molo spesso uile, ricorrere ll deriv del segle come qui di seguio mosro. Ifi de s ( l deriv del segle s(, si può scrivere: (II.6. s ( s( τ dτ+ s( che, iroducedo il grdio uirio, può ssumere l form di covoluzioe: (II.6. s ( s ( τ u ( τ dτ+ s( s u+ s( cedo uso dell proprieà 5, si h: (II.6.3 { } { } s( s ( δ ( f + Pf + s( δ ( f jπf

12 - 3 - G. Mmol: odmei Comuiczioi Eleriche eedo coo ifie dell proprieà dell del di Dirc secodo l qule l'espressioe f(δ( equivle ll f(δ(, si deduce: s( s ( ( f s ( Pf s( ( δ + + f δ f jπf (II.6.4 { } { } { } Poiché risul, per l proprieà 3: (II.6.5 { } f si h: s ( s ( d s( + s( ( ( + ( δ ( + ( Pf jπf (II.6.6 { s} [ s s ] f { s } che cosee di clcolre l rsform di ourier di u segle prire dll rsform di ourier del segle derivo. L regol (II.6.6 llor cosiuisce u urle esesioe dell proprieà 3 el cso i cui è S(. Esempio E.II.4 L rsform di ourier del regolo uirio s ( rec ( si clcol fcilmee osservdo che, essedo rec ( ( ( s ( δ ( + δ( d cui, eedo coo dell proprieà 8 e dell (II.5., è: e quidi, pplicdo l (II.6.6: { } jπf jπf s ( e e jsi( πf { ( } δ + δ è: si( πf rec sic( f πf si( πf Si oi che si può scrivere { s ( } Pf essedo l fuzioe si( π f jπf πf πf f. coiu i