LEZIONI DI ANALISI ECONOMETRICA

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1 LEZIONI DI ANALISI ECONOMETRICA Idice Lisa degli esempi applicaivi Iroduzioe Il modello lieare. Aalisi ecoomica ed aalisi ecoomerica Primi obieivi dell Ecoomeria. I modelli e il lugo periodo Modelli saici e diamici Il seiero di equilibrio di lugo periodo La edeza di lugo periodo come modello semilogariimico Approssimazioe del saggio di crescia Primi caraeri delle serie soriche: edeza, sagioalià e ciclo.3 La sima dei miimi quadrai (OLS) della edeza lieare.4 I residui.5 Il breve e il lugo periodo.6 Le sime dei miimi quadrai (OLS) el modello lieare semplice.7 L ierpreazioe saisica.8 La scomposizioe della deviaza e il coefficiee di deermiazioe Il coefficiee di deermiazioe o cerao Cauela ell uso del coefficiee di deermiazioe Elimiazioe della edeza lieare co ua differeza prima.9 Sima di ua fuzioe del cosumo Coefficiee di deermiazioe e scela del modello Omogeeià dei dai No liearià rispeo alle variabili. Propesioe media ed elasicià

2 L elasicià. Alri esempi La legge di Oku Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Appedice. Serie soriche, dai sezioali e logiudiali Dai logiudiali Appedice. Complemei aaliici Appedice.3 Appedice.4 Differeza prima logarimica Le codizioi sufficiei per la sima dei miimi quadrai Nullià del ermie miso ella scomposizioe della deviaza oale 3 L ambiee socasico 3. I residui come ei aleaori: le ipoesi deboli 3. Defiizioi e risulai ell approccio socasico Sime e simaori dei miimi quadrai Il eorema di Gauss-Markov 3.3 La correlazioe ra le variabili e ra gli simaori dei parameri La correlazioe ra gli simaori dei parameri 3.4 Le ipoesi fori sui residui Iervalli di cofideza Sima iervallare Verifiche (o es) di ipoesi Residui ormali Idipedeza i probabilià 3.5 Ifereza saisica per i parameri del modello lieare semplice Verifica di ipoesi 3.6 Ifereza saisica per la variaza dei residui Sima iervallare per σ Verifica di ipoesi lieari semplici per 3.7 Ifereza saisica per i parameri del modello lieare semplice co Errori sadard delle sime Verifica di ipoesi 3.8 Tre esempi σ Rea ierpolae il logarimo dei cosumi σ igoo

3 Fuzioe del cosumo Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Appedice 3. Complemei aaliici La variaza di ua somma di variabili aleaorie La sruura di variaza covariaza ivariae rispeo ad ua cosae addiiva Gli simaori dei miimi quadrai Le variaze degli simaori dei miimi quadrai La covariaza ra gli simaori dei miimi quadrai Campo di variazioe del coefficiee di correlazioe Idipedeza socasica del umeraore e del deomiaore elle di Sude Appedice 3. Disribuzioi di probabilià rilevai Disribuzioe ormale Disribuzioe del chi quadrao Disribuzioe della di Sude Disribuzioe della F di Fisher 4 La proiezioe 4. Proiezioe e proieore ei modelli lieari 4. La proiezioe co il crierio dei miimi quadrai L errore di proiezioe Proiezioi ex pos ed ex ae L errore quadraico medio di proiezioe 4.3 Iervalli di cofideza per le proiezioi 4.4 Tre esempi Rea ierpolae il logarimo dei cosumi Fuzioe del cosumo Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi 4.5 Idicaori dell accuraezza delle proiezioi Appedice 4. Complemei aaliici La variaza dell errore di proiezioe 5 La malaspecificazioe 5. Aspei variegai della malaspecificazioe 5. Eeroschedasicià dei residui La sima dei miimi quadrai poderai (WLS) 5.3 Tes di omoschedasicià 3

4 Il es di Breusch e Paga Il es del chi quadrao La formulazioe di Koeker 5.4 La correzioe per l eeroschedasicià di Whie 5.5 Foi e cosegueze dell auocorrelazioe 5.6 Tes di auocorrelazioe dei residui Il es di Durbi e Waso Tre esempi 5.7 Il raameo dell auocorrelazioe di ordie uo ϕ deermiao dalla saisica di Durbi e Waso Il meodo di Cochrae e Orcu 5.8 Tes di cambiameo sruurale per il modello semplice (Tes del Chow) Il caso > k, > k Il es della F di Fisher Il caso > k, k 5.9 Il es di ormalià di Jarque Bera Appedice 5. Complemei aaliici Uguagliaza ra coefficiee di auoregressioe del primo ordie e ρ 6 Il modello lieare muliplo 6. I veori e la moliplicazioe righe per coloe 6. Il modello lieare muliplo 6.3 I miimi quadrai el modello lieare muliplo 6.4 Veori e marici Veori Operazioi ra veori Marici 6.5 Operazioi ra marici La marice iversa Il deermiae 6.6 Le sime dei miimi quadrai Le sime dei residui 6.7 Il coefficiee di deermiazioe correo 4

5 Appedice 6. Complemei aaliici Codizioi per la miimizzazioe della deviaza residuale Orogoalià dei residui simai rispeo alle variabili esplicaive Appedice 6. L iversa di ua marice Il deermiae di ua marice quadraa L aggiua di ua marice quadraa Il modello lieare semplice i ermii mariciali Lisa degli esempi applicaivi. (Esempio.) Tedeza lieare del logarimo dei cosumi privai omiali i Ialia. (Esempio.) Tedeza espoeziale dei cosumi privai omiali i Ialia 3. (Esempio.) Tedeza lieare dei cosumi privai omiali i Ialia 4. (Esempio.3) PIL e propesioe media al cosumo (ipoesi del Dueseberr) 5. Fuzioe del cosumo (rispeo al reddio corree) i Ialia 6. (Esempio.) Elasicià del cosumo privao rispeo al reddio e al reddio dispoibile i Ialia 7. Legge di Oku per gli USA e per l Ialia 8. Relazioe ra asso di cambio omiale (valua ialiaa/$) e prezzi relaivi 5

6 CAPITOLO I INTRODUZIONE Per olre cique lusri i miei sudei del corso quadrieale di Ecoomeria ella Facolà di Ecoomia de La Sapieza si soo preparai essezialmee sulla Traccia, dispese dispoibili sia sulla ree che i forma caracea, foocopiabile. Ao dopo ao queso eso si è igradio, fio a raggiugere u migliaio di pagie, comprededo ache emi o raai el corso ma dichiaraamee uili agli sudei più avazai, come i modelli di serie soriche, lieari e o, quelli auoregressivi veoriali, o l aalisi sperale. Passado dal vecchio al uovo ordiameo, la didaica ha dovuo essere cambiaa, el seso di dover essere basaa su emi più circoscrii, direamee operaivi, fruibili da sudei ieressai a seori variegai dell Ecoomia, da quella macro all aziedale, dalle ricerche di mercao alla fiaza. Così è aa l esigeza di forire agli sudei del corso semesrale di base di Ecoomeria u eso che assemblasse gli elemei iroduivi della Traccia, curadoe i paricolare gli aspei ierpreaivi e quelli empirici, e relegado i appedice la maeria aaliicamee più avazaa. Quese Lezioi cosiuiscoo ale eso. La Traccia, uora dispoibile i ree, raccoglie emi di Ecoomeria esposi i forma a vole edezialmee meodologica e alre vole più orieaa alle applicazioi; quese Lezioi soo viceversa più omogeee e fializzae a redere semplice e appeibile l appredimeo di ua maeria che di per sé è complessa. La didaica, duque, e cosiuisce uo degli aspei domiai; co re caraerisiche che mi preme rimarcare. Prima: le ozioi che vegoo espose iizialmee lo soo i ermii più elemeari e disesi; ma mao che il eso procede, l esposizioe è faa i forma più compaa e immediaa. Queso affiché lo sudee sia faciliao ell impao iiziale dello sudio di ua maeria o semplice; assuefao al meodo e agli srumei, può appredere uleriori ozioi i modo più direo. Secoda: geeralmee, ei libri di eso di caraere aaliico l esposizioe di u argomeo è accompagaa da u ampia e il più possibile esausiva sequela 6

7 di specificazioi, complemei, corollari; i quese Lezioi si segue, viceversa, il crierio di esporre i cocei accompagai solao dalle caraerizzazioi che servoo al momeo. Si riuzia alla compleezza scieifica a favore dell efficacia didaica: prima di imparare le specificazioi, i complemei, i corollari di u argomeo, sia esso u coceo o u crierio o u eorema, lo sudee deve avere be chiari la moivazioe, l ierpreazioe, il domiio di applicabilià. Terza: l Ecoomeria è ua braca dell Ecoomia spiccaamee ierdiscipliare; comprede pari rilevai ache della Teoria delle probabilià, dell Ifereza saisica, dell Aalisi maemaica (oimizzazioe e algebra mariciale) e della Saisica ecoomica, che spesso soo sieizzae i capioli o i appedici specifici. I quese Lezioi, al corario, le ozioi (quelle sreamee ecessarie) di quese brache soo dissemiae el eso là dove servoo, co l idea di o cosiderare l Ecoomeria come somma di pezzi di disciplie disie, ma come iegrazioe aurale di cocei che solao per covezioe o coveieza soo aribuii a seori discipliari diversi. E così, e quesa porebbe essere cosideraa come ua quara caraerisica didaica, soo ache aggiue, spesso i specifici Box, ozioi probabilisiche, di Ifereza saisica, di Algebra delle marici, i forma o sempre complea ma immediaamee compresibile, iadaa forse a probabilisi, saisici e maemaici ma apposiamee elaboraa per chi deve occuparsi di Scieze umae. Curiosamee, oggi l Ecoomeria è rieua ua raccola di meodi; operaivamee poi, divea u alra cosa, l Ecoomeria applicaa. Esisoo moli buoi esi, i iglese e ache i ialiao, scrii da ialiai, di Ecoomeria meodologica; alcui soo di ipo eciclopedico, alri moografici, alri acora privilegiai l aspeo probabilisico o il rigore maemaico. Esisoo alri oimi esi, geeralmee i iglese, di applicazioi. Quese Lezioi, al corario, si pogoo u obieivo molo più limiao: isegare l Ecoomeria. No i suoi meodi, ma come l iese il suo fodaore, Ragar Frisch, ua seaia d ai fa. 7

8 Nello scrivere quese Lezioi soo sao esesamee aiuao dalla do.ssa Agieszka Niewiska. A lei va il mio più cordiale rigraziameo. 8

9 CAPITOLO II IL MODELLO LINEARE 9

10 . Aalisi ecoomica e aalisi ecoomerica Per illusrare co chiarezza il sigificao e gli obieivi dell Ecoomeria è opporuo parire da alcui coeui dell aalisi ecoomica ed effeuare poi u esesioe i ermii di elaborazioe ecoomerica; si riesce così più facilmee a meere i risalo le caraerisiche specifiche e ad evideziare le poezialià. U aalisi ecoomica di grade rilevaza fu faa da J.M. Kees (936) quado formulò la relazioe ra il cosumo c e il reddio rappreseabile ella forma c = µ + β (..) dove c ed soo variabili mere µ e β soo parameri, e la caraerizzò mediae le proposizioi seguei: - la fuzioe (..), che possiamo scrivere ella forma geerale c = f ( ), la fuzioe del cosumo, è sabile el empo; - l iercea µ è posiiva e la propesioe margiale al cosumo β è posiiva e iferiore all uià µ >, < β < (..) - la propesioe β è iferiore alla propesioe media c. Osservazioe. La sabilià della (..) idica che la fuzioe può essere cosideraa valida per periodi di empo relaivamee lughi, ad esempio per alcui decei. Queso, ovviamee, i media, perché da u empo all alro, ad esempio da u ao all alro, ci possoo essere leggere discrepaze ra il membro a siisra e quello a desra. Osservazioe. Maemaicamee parlado, µ è il ermie oo e β è il coefficiee agolare della rea (..). I alre parole, µ rappresea l iercea di c co l asse =, e β la pedeza della rea, che cresce se β > e decresce se β <. Osservazioe.3 Sempre maemaicamee, la propesioe margiale al cosumo è ( ) d f β = d

11 mere la propesioe media è daa dal rapporo c. Osservazioe.4 La forma (..) è lieare rispeo sia ai parameri che alle variabili. Per ipoizzare le relazioi (..)-(..) il Kees si basò essezialmee su cosiderazioi eoriche ed il fuzioameo reale del sisema ecoomico fu da lui esamiao, a queso proposio, solao i maiera descriiva. Sempre ell ambio dell aalisi ecoomica è possibile supporre che la fuzioe del cosumo offra ua descrizioe migliore della realà ecoomica se viee sosiuio dal reddio dispoibile che defiiamo ella semplice forma d = v (..3) dove v è l imposa complessiva sul reddio ( ) c = µ + β v (..4) i quao u esame ache semplificao del comporameo dei cosumaori può codurre a rieere che essi basio le decisioi di spesa sulla quaià di reddio che hao effeivamee a disposizioe ua vola che siao derae le impose. Le relazioi maemaiche (..) e (..4) soo modelli, molo semplici, rappreseaivi del modo di cosumare di ua famiglia, o di u gruppo di persoe o di ua popolazioe. Soo saiche, i quao legao le variabili c, e v allo sesso empo; ma si può presumere, sempre cogeurado i ermii di eoria ecoomica, che il cosumo c al empo sia piuoso fuzioe del reddio goduo ei periodi precedei come ella relazioe seguee c = µ + β µ >, < β < (..5) dove le variabili soo associae ad u idice (o pedice) emporale e c è fuzioe lieare del reddio riardao di u uià emporale, oppure ell alra c = µ + β + β + β (..6) dove la variabile sussise sia al empo corree che a quello riardao di ua e due uià. La relazioe (..6) può essere uleriormee geeralizzaa fio a cosiderare ifiii riardi del reddio c = µ + β + β + K + β k k

12 ma sorge i al caso u dissidio fra gli aspei eorici e quelli empirici dell aalisi, dovuo al fao che il umero di riardi k, pur essedo relaivamee semplice da deermiare i ermii empirici, è difficile da giusificare i ermii eorici (perché k e o k + o k -?). Quesa uleriore esesioe ha quidi u aspeo di arbirarieà (il umero di riardi k) che risula difficilmee cociliabile co le esigeze di geeralià dell aalisi eorica. Queso dissidio può essere i pare ricomposo se si geeralizza la (..6) fio a cosiderare ifiii riardi emporali, oeedosi lo schema a riardi disribuii ifiii c = µ + β + β + β +... = µ + β (..7) j j j= el quale la moivazioe ecoomica cosise el rieere che il cosumo sia fuzioe di ua la soria passaa ieree il reddio, co faori di proporzioalià all aumeare della loaaza del empo. β j decrescei I realà la giusificazioe della (..7) o è uicamee ecoomica, i quao è difficile poer supporre che esisao iflueze sigificaive dalle j sulla c per riardi j molo gradi; ua pare rilevae di ale moivazioe cosise, i effei, ella facilià co cui lo schema a riardi disribuii può essere rasformao, maemaicamee, i modo da ridurre il umero, ifiio, di parameri parsimoiosa. Ifai, se si fao le ipoesi β j presei ed oeere ua relazioe molo j β j = β ρ, ρ < < (..8) che soo foremee vicolai dal puo di visa ecoomico, sosiuedo ella (..7) si oiee c = (..9) µ β βρ βρ... che, riardaa di u uià emporale, divea c = (..) µ β βρ βρ 3... Soraedo, ifie, dalla (..9) la (..) moliplicaa per ρ si oiee cioè, poedo ( ρ ) µ = µ, ( ) c c = + (..) ρ ρ µ β c = µ ' + ρc + β (..) che mosra come lo schema (..7) co ifiii parameri u alro coeee solao µ, β e ρ. β j possa essere rasformao i

13 Duque, soo le ipoesi (..8) i due modelli (..7) e (..) soo equivalei, sebbee il secodo sia be più parsimoioso del primo. Dal puo di visa ecoomico, uavia, ribadiamo che o è affao deo che le (..8) siao aderei alla realà. Primi obieivi dell Ecoomeria All iero della eoria, a queso puo, è difficile, per o dire impossibile, deermiare quale sia la relazioe migliore, ra quelle espose, i ermii di adeguaezza alla rappreseazioe del fuzioameo reale del sisema ecoomico; i paricolare, la speculazioe eorica o è idoea a defiire compiuamee la diamica ecoomica e quidi a discrimiare ra le fuzioi (..5), (..6) e (..), che preseao il reddio ed il cosumo associai ad idici emporali diversi. Per effeuare ua scela razioale, allora, è ecessario esamiare la realà empirica o più solao i forma meramee descriiva, ma co u idagie più avazaa, che uilizzi coveieemee i meodi della Saisica. Quesi soo adoperai per simare (deermiare i valori sfruado dei dai campioari) i parameri µ, β, µ, ρ dei re modelli e per valuarli secodo u crierio di oimo presabilio. Dall aalisi ecoomica si passa, i al guisa, all aalisi ecoomerica. Durae le idagii empiriche accade sovee che si abbiao dei suggerimei o delle idicazioi sul come modificare le ipoesi ecoomiche di pareza, che quidi soo soggee ad essere uovamee deagliae ed aalizzae co la meodologia saisica, oppure, acora, daa ua formulazioe eorica di pareza, avviee frequeemee che l uso del procedimeo ecoomerico per covalidarla o per cofroarla co alre ipoesi o ao coduca ad ua sua coferma o egazioe ma piuoso possa suggerire, i virù dei rirovai empirici, modificazioi o ampliamei di caraere eorico che auralmee solao il ricercaore co adeguaa preparazioe ecoomica può sfruare iegralmee. La cosegueza di quese argomeazioi è che si sviluppa u aalisi ecoomerica composa da fasi di speculazioe ecoomica eorica e da fasi di idagie empirica o separabili besì foremee iegrae ra di loro. Duque o è sufficiee l uso dei dai osservai, come ad esempio l asserio da Spaos (986, p.3), a disiguere l ecoomeria dalle alre forme di sudio dei feomei ecoomici. L aalisi descriiva di quesi può esser effeuaa all iero di ua speculazioe ecoomica ma o è codizioe sufficiee a farla deomiare ecoomerica. No ha ragio d essere, quidi, idea, purroppo molo diffusa, secodo la quale la disamia ecoomerica è solao srumeale rispeo a quella ecoomica. 3

14 . I modelli e il lugo periodo Modelli saici e diamici Le relazioi (..) e (..4) ra le variabili c ed cosiuiscoo, come si è deo, dei modelli rappreseaivi 3 di ipoesi ecoomiche, e le disuguagliaze (..) cui soo soggei loro parameri µ e β e cosiuiscoo pare iegrae. Quesi modelli soo rappreseazioi formali ed idealizzae delle caraerisiche osservae di regolarià e di sabilià dei feomei ecoomici soo sudio e vegoo specificai i base al processo ieraivo di speculazioe eorica ed idagie empirica descrio el paragrafo precedee. Tali caraerisiche soo ache chiamae fai silizzai (si veda più avai la figura.). I modelli (..) ed (..4) soo dei saici poiché vi iervegoo solo variabili correi, cioè associae allo sesso empo ; i modelli (..5) (..6) (..7) e (..) soo dei diamici i quao coegoo variabili sia correi che riardae di ua o più uià emporali. Il seiero di equilibrio di lugo periodo Poiché i feomei ecoomici evolvoo el empo, i modelli diamici hao ua rilevaza be più grade degli saici, ma occorre eer presee che quesi ulimi possoo sovee essere cosiderai come rappreseaivi dei seieri di equilibrio di lugo periodo dei modelli diamici. Se, ad esempio, si cosidera la relazioe diamica (..) e si suppoe che il cosumo cresca al saggio cosae di γ per uià di empo, cosicché sia c ( γ ) c = + (..) sosiuedo, la (..) divea ( + γ ) ( + γ ) c = µ + β + γ ρ + γ ρ (..) che è aaloga al modello saico (..); ques ulimo, duque, può essere viso come la relazioe di equilibrio di lugo periodo ra il cosumo ed il reddio el caso i cui il modello di breve periodo sia quello diamico (..) e il comporameo di lugo periodo del cosumo sia defiio dalla (..). 3 Il coceo modero di modello può essere fao risalire i lavori di R. Frisch [935-36] e J. Tiberge [939]. 4

15 La (..) può essere scria ella forma c c = γ c (..3) o acora, più cocisamee, ell alra c = γ c (..4) dove l operaore Δ opera su c rasformadola ella differeza c c. Duque, se vale la (..) i u cero iervallo di empo, il cosumo aumea (se γ > ) o dimiuisce (se c γ < ) di ua porzioe di i ogi uià emporale, ad esempio i ogi ao se misuriamo il empo i ai. La porzioe di c è daa appuo dal saggio γ. La edeza di lugo periodo come modello semilogarimico Soffermiamoci uovamee sulla (..) che rappresea u modo molo frequee di evolvere el empo del cosumo c. Se γ > ( γ < ), il seiero di evoluzioe di lugo periodo per il reddio è di crescia (di decrescia), come spesso si ha i ecoomia. Iseredo ella (..) =, poi =, = 3,..., si oiee c = ( + γ ) c e quidi, sosiuedo ieraivamee, c = ( + γ ) c = ( + γ ) c... c = ( + γ ) c (..5) dove c è ua cosae, corrispodee al valore che c assume all origie dei empi ( = ). La c è dea rappreseare ua codizioe iiziale, al di fuori della serie sorica { c } { c, c,..., c } = (..6) cosiuia dalle osservazioi dispoibili. La fuzioe (..5) può essere coveieemee scria i u alro modo. Se prediamo il logarimo 4 dei due membri oeiamo l c = l c + l( + γ ) cioè l c = µ + β (..7) 4 I ecoomeria si usao solao i logarimi (aurali) i base e, idicai co l ; log idica il logarimo i base. 5

16 se chiamiamo le cosai l c = µ e l( + γ ) = β. Il modello (..7), deo semilogarimico perché esprime ua variabile logarimizzaa (la c ) i fuzioe di ua o rasformaa (il empo ), corrispode esaamee al (..5) e cosiuisce u esempio di forma o lieare elle variabili. Il saggio di crescia γ ra il empo e il è facilmee oeuo: ifai, se l( + γ ) = β, segue che γ = exp( β ) (..8) La forma (..7) esprime duque come l c evolve i fuzioe del empo; e deoa, cioè, la sua edeza di lugo periodo. Approssimazioe del saggio di crescia Il saggio di crescia γ ell uià di empo di ua variabile x. ( x x ) x γ (..9) = può essere coveieemee approssimao da ua differeza prima logarimica l x = l x l x (..) dove il simbolo Δ deoa appuo ua differeza prima. La differeza prima logarimica di x è alvola idicaa co la x sormoaa da u puo: x&. L approssimazioe di γ co la (..) è dimosraa aaliicamee ell appedice.. Quesa è molo buoa per valori piccoli di γ, diciamo ra e.6; per valori superiori a.6 lo è meo, come si può vedere dalla avola.: 7% è approssimao co 6.77%, 8% co 7.69% e così via. γ l x Tavola. Approssimazioe del saggio di crescia γ co la differeza prima logarimica. Primi caraeri delle serie soriche: edeza, sagioalià e ciclo La (..7) rappresea il modo di evolvere lieare della serie sorica { l c } ; e cosiuisce, cioè, la edeza lieare. La edeza, che può essere ache espoeziale, quadraica, cubica,, a secoda del ipo di fuzioe che la rappresea, forma ua prima coformazioe silizzaa delle serie soriche ecoomiche, ed è ad esempio visibile elle figure. (lieare) e.3 (espoeziale). 6

17 Ua secoda coformazioe silizzaa molo imporae è cosiuia, elle serie soriche ecoomiche deermiae co ua cadeza ifraauale, ad esempio mesile o rimesrale, dal fao che esisoo adamei ifraauali che si ripeoo similmee, ei empi così come elle dimesioi, ao dopo ao: le cosiddee sagioalià. Nella figura 3. si oa chiaramee il profilo sagioale che si ripee ogi ao (prescidedo dalle ampiezze delle oscillazioi che aumeao cosaemee all aumeare del empo) ella serie rimesrale. La erza coformazioe silizzaa che per il momeo viee cosideraa elle serie soriche ecoomiche è cosiuia dall alerarsi di fasi di espasioe dell aivià co fasi di recessioe, feomeo che viee idicao co il ome di ciclo ecoomico. La serie sorica del PIL ialiao depuraa della edeza lieare ella figura.8 mee be i rilievo il ciclo el periodo 97, co le recessioi (aree i grigio) egli ai 975 e (dovue alle crisi perolifere), e degli alri (dovua alla poliica moearia della Germaia a seguio della riuificazioe). Si può oare che i ui e re i casi la recessioe sia avveua repeiamee ( 3 ai), mere le fasi di ripresa 5 più espasioe si siao svole molo più leamee (i 5 7 ai). Ques alro fao silizzao cosiuisce l asimmeria del ciclo ecoomico. 5 I iglese: recover. 7

18 .3 La sima dei miimi quadrai (OLS) della edeza lieare Affroiamo ora il problema di simare (deermiare i valori de) i parameri µ e β della (..7) a parire da u campioe di dai cosiuia dalla serie sorica (..6) e uilizzado il crierio di sima dei miimi quadrai. Queso è facilmee illusrabile se i parameri da simare apparegoo ad u equazioe lieare o solo ei parameri ma ache elle variabili. Liearizziamo perao la (..7) poedo l c = z, =,, 3,..., ; si oiee il modello lieare semplice z = µ + β =,,..., (.3.) valido ei empi da fio al geerico. I dai z possoo essere disegai i u diagramma caresiao che ha i empi sull asse delle ascisse, come ella figura.; essi cosiuiscoo ua uvola di pui araverso la quale passa la rea (.3.). Quesa, auralmee, o può occare ui i pui (che ella figura. soo, a iolo di esempio, quaro), che quidi rimagoo ad ua disaza (misuraa lugo l asse delle ordiae) geeralmee oulla secoda del crierio che vicola quese disaze coeee cioè valori differei per i parameri µ e β. u dalla rea sessa. A u si oiee ua rea (.3.) diversa, Ovviamee, si ea di deermiare quella rea per la quale le disaze u siao globalmee le più piccole secodo u dao crierio. Ad esempio, si può pesare di usare il crierio di miimizzare la somma delle u 4 mi u (.3.) = ma queso o è buoo perché le u soo la rea (egaive) si possoo compesare co le u sopra la rea (posiive), e la somma (.3.) può essere molo piccola pur i preseza di disaze u molo gradi i valore assoluo. La miimizzazioe della (.3.) cosiuisce quidi u crierio che ha poco seso. Si porebbe pesare al crierio di miimizzare la somma delle u prese i valore assoluo 4 mi u (.3.3) = 8

19 eviado quidi il difeo di cui sopra. Queso crierio porebbe essere valido se o accadesse che la miimizzazioe (.3.3) o è facilmee eseguibile i maemaica. Allora si usa il crierio di miimizzare i quadrai delle mi 4 = u u (.3.4) che è maemaicamee raabile i forma semplice e o presea il difeo della compesazioe descrio sopra. È il crierio dei miimi quadrai e deermia ua rea i cui parameri soo dei sime dei miimi quadrai (OLS) 6. z z 4 u 4 z z 3 u u 3 z = µ + β z u Figura. Nuvola di pui rea z = µ + β. 3 4 z disai (lugo l asse delle ordiae) u da ua geerica Esempio. Esraiamo dal CD dell OECD (Saisical Compedium, Versioe 4 -) 7 la serie sorica { c } dei cosumi privai reali oali 8 dell Ialia ITACPV, espressi i milioi di euro. Moliplicado la serie per il deflaore dei cosumi privai ITAPCP oeiamo la serie dei cosumi privai i ermii omiali, e prediamo il logarimo e 6 Quesi miimi quadrai soo dei ordiari (i iglese Ordiar Leas Squares; OLS) per disiguerli da alri meo semplici, ad esempio i o lieari (i iglese No Liear Leas Squares; NLLS) oppure i geeralizzai, (i iglese Geeralized Leas Squares; GLS) che vedremo i seguio. 7 Alcui cei sull uso di quesa base di dai soo esposi ell Appedice.3 di queso capiolo 8 I base 995, quidi reali. 9

20 e cosruiamo il modello (..7); se simiamo 9 i parameri del modello (più semplicemee si dice: simiamo il modello) co gli OLS oeiamo l c = (.3.5) curva disegaa ella figura. isieme ai pui che defiiscoo la serie sorica { l c }. 7 l(c ) l(cosumi) Lieare (l(cosumi)) Figura. Serie sorica dei logarimi dei cosumi privai oali omiali i Ialia ierpolai co la rea (.3.5); ai Poiché la sima β =.9, il suo ailogarimo (cioè il valore della fuzioe iversa del logarimo, che è l espoeziale) è.38 e quidi il saggio di crescia auale è, per la (..8), γ =.38 =.38 cioè il 3.8% (il saggio sembra alo, ma si ricordi che i cosumi soo omiali). Nella figura.3 soo esposi i pui c (quidi gli ailogarimi dei pui della figura.) e la curva ierpolae, che ora o è più ua rea ma l espoeziale che deriva dalla (.3.5) c { } = exp (.3.6) 9 La sima è calcolaa co il sofware EasReg versioe.3, scria da H.J.Bieres, che uilizzeremo i uo il eso. Esisoo moli oimi programmi di ecoomeria el mercao ma si è scelo EasReg perché è grauio e facilmee scaricabile da Iere. Cei sul suo uso soo esposi ell Appedice.4.

21 c cos om Espo. (cos om) Figura.3 Serie sorica dei cosumi privai oali omiali i Ialia ierpolai co l espoeziale (.3.6); ai 96-98; dai i miliardi di euro. Osservazioe.5 Poiché la variabile cosumo omiale c è pari al prodoo del cosumo reale c per il prezzo p il suo saggio di crescia è approssimaivamee uguale alla somma dei saggi di crescia di Ifai c e p. c = c p da cui logarimizzado l c = l c + l p (.3.7) ed acora, riardado di u uià emporale l c (.3.8) = l c + l p per cui, facedo la differeza ra la (.3.7) e la (.3.8), si oiee l c = l c + l p che dimosra, cosiderado la (..), l affermazioe precedee. Si lascia al leore rovare che il saggio di crescia dei cosumi privai oali reali i Ialia el periodo è pari a.49 e quello del deflaore relaivo è pari a.85, per cui la loro somma è uguale a.34 approssimaivamee pari proprio a.38 (il saggio di crescia dei cosumi privai oali omiali).

22 L approssimazioe (e la o perfea uguagliaza) deriva dal fao che le re quaià, cosumo omiale, cosumo reale e deflaore, soo ciascua ua media (calcolaa separaamee dalle alre) el periodo campioario. Ovviamee queso risulao è del uo geerale: il saggio di crescia del prodoo di più faori è approssimaivamee pari alla somma dei loro saggi di crescia. Esempio. E isruivo cosruire il modello (.3.) seza logarimizzare preveivamee i cosumi c, e poedo quidi direamee z = c ella (.3.). Nella figura.4 soo esposi i risulai: i dai soo gli sessi della figura.3 ma la curva ierpolae è ua rea e o più u espoeziale. Il modello è sao simao co i miimi quadrai ma la somma dei quadrai delle disaze u, che è = u essedo =, il umero delle osservazioi dispoibili, è molo maggiore: 43686, ivece che 6787 (caso dell ierpolae (.3.6)). c cos om Lieare (cos om) Figura.4 Serie sorica dei cosumi privai oali omiali i Ialia ierpolai co la fuzioe lieare; ai 96-98, dai i miliardi di euro. Osservazioe.6 Coviee sempre presare aezioe al umero di cifre sigificaive (diverse dallo zero) che maeiamo ei calcoli. U umero roppo grade rede farragiosa la scriura ed è foriero di errori di

23 impuazioe dei dai (ad esempio ei compuer); u umero roppo piccolo può codurre ad approssimazioi imprecise. Dal puo di visa saisico della sigificaivià dei dai è difficile che possao servire più di quaro cifre sigificaive (ad esempio 53 oppure 5.3 o ache.53) perché già co esse si oiee u approssimazioe iferiore al millesimo. Da quello ecoomico, poi, già re cifre sigificaive dao u approssimazioe iferiore al ceesimo, più che sufficiee per ogi ipo di aalisi. I logarimi, uavia, soo molo sesibili ai decimali ed è quidi cosigliabile calcolarli co almeo cique cifre decimali. Ua sima precisa della (.3.5) forisce, ad esempio l c = che può essere coveieemee cosideraa migliore. Si ricordi, ad ogi modo, di approssimare alla cifra superiore o iferiore a secoda dei casi (el caso della (.3.5) è approssimao a e.9479 a.948). 3

24 .4 I residui Le disaze u ra i dai osservai z e quelli co la sessa ascissa sulla rea ella figura., dei eorici, soo chiamae i vario modo, il più frequee dei quali è errori, iededosi per errore il fao di aver sosiuio ai dai osservai alri valori da essi geeralmee (ed erroeamee, secodo quesa imposazioe) diversi. I realà di sbaglio o si raa, ma della osra voloà (perché ciò ci fa comodo) di ridurre la uvola dei pui ad ua rea; chiamiamo allora meglio le disaze u residui, derivai dall aver voluo approssimare i pui della uvola co quelli della rea. Se la realà è defiia, ad esempio miimizzado la somma dei quadrai dei residui (.3.4) (cioè co il crierio dei miimi quadrai), soo ache idividuae le sime µ e β dei parameri della rea (.3.), che scriviamo ella forma z = µ + β =,,..., (.4.) Ache i residui soo allora deermiai e li idichiamo co u per cui diveao u = z z = z µ β =,,..., (.4.) disaze ra i valori osservai e quelli eorici dai dalla rea (.4.). Dalla (.4.) si rae che u è deermiao ua vola che siao deermiae µ e β. Se quese acora o lo soo, ache u o lo è, per cui possiamo scrivere u = z µ β =,,..., (.4.3) oppure z = µ + β + u =,,..., (.4.4) voledosi iedere il residuo u come quel ermie da aggiugere (o sorarre, se egaivo) al valore eorico ( µ + β ) per aversi il dao osservao z. Le u, deermiae umericamee come differeze ra i valori osservai z e quelli eorici z, possoo essere cosiderae come sime delle u e quidi residui simai. E i geere molo uile rappreseare graficamee i residui, al fie di verificare più i deaglio, sia pure visivo, l adeguaezza dell ierpolazioe. Nelle figure.5,.6 e.7 soo esposi i residui (simai) delle re ierpolazioi l c = µ + β + u (.4.5) 4

25 c = exp{ µ + β } + u (.4.6) c = µ + β + u (.4.7) che ora scriviamo co i residui espliciai, rappreseae elle figure.,.3 e.4, rispeivamee. residui u Figura.5 Serie sorica dei residui simai { u } relaivi al modello (.4.5) dei cosumi privai oali omiali i Ialia; ai u Figura.6 Serie sorica dei residui simai { } u relaivi al modello (.4.6) dei cosumi privai oali omiali i Ialia; ai 96 98; dai espressi i miliardi di euro. 5

26 4 u residui Figura.7 Serie sorica dei residui simai { u } relaivi al modello (.4.7) dei cosumi privai oali omiali i Ialia; ai 96 98; dai espressi i miliardi di euro. Box Dai osservai { z z... z } I residui Rea geerica ierpolae (edeza lieare) i dai osservai z = µ + β Rea ierpolae simaa (co u cero crierio) da cui i dai eorici { z z... z } z = µ + β Residui simai u = z z = z µ β 6

27 .5 Il breve e il lugo periodo La differeziazioe ra il breve e il lugo periodo assume imporaza basilare o solao quado si raa la eoria ecoomica ma ache quado si cosruisce u modello ecoomerico. Si ebbe u esempio di queso coceo quado fu osservao che egli ai compresi ra le due guerre modiali egli USA la relazioe ra il cosumo e il reddio, piuoso che essere del ipo (..), risulava ale che: - el lugo periodo la propesioe media al cosumo c era cosae; - el breve periodo ale rapporo oscillava, aumeado elle fasi di recessioe e dimiuedo i quelle di espasioe. Iolre fu oao che per ogi dao idividuo ale rapporo dimiuiva all aumeare del reddio, fao queso che J.S. Dueseberr [949] spiegò co la ipoesi del reddio relaivo, secodo la quale la perceuale di reddio cosumao da ogi idividuo o dipedeva direamee dal suo reddio assoluo, ma dalla sua posizioe, i ermii di perceili (si veda il Box ), ella sua disribuzioe; i alre parole, dal suo reddio relaivo. Aaliicamee quesa ipoesi può essere scria, prescidedo da ua eveuale edeza, ella forma c = µ + β, µ >, < β ; = max( s ; s < ) (.5.) dove è il reddio massimo goduo dall idividuo el passao; el lugo periodo si può rieere che il reddio cresca ad u saggio cosae γ > per uià di empo ( + γ) (.5.) = aalogamee a quao ipoizzao ella (..) per il cosumo, per cui è =, e la (.5.) diviee c ( ) = µ + β + γ (.5.3) co rapporo c / cosae. Nel breve periodo, d alro cao, si ha che durae le fasi di recessioe è < e quidi c / aumea, mere i quelle di espasioe è > ed il rapporo cosumo su reddio dimiuisce.. 7

28 Box I quaili Per chiarire il sigificao di perceile (di ua disribuzioe, che el caso specifico riguarda i reddii) si pesi di ordiare i seso crescee i reddii, suddivisi i classi, e di associare a ciascua classe il umero degli idividui che lo oegoo. Il dispiegarsi di queso umero i fuzioe delle classi cosiuisce la disribuzioe dei reddii di quesi idividui. Il perceile -esimo di quesa disribuzioe idica il reddio oeuo da quell idividuo al di soo del quale si siua l per ceo degli idividui. Ovviamee può variare da a 99. Il coceo di perceile può essere eseso a quello di quarile, i cui il reddio è diviso i quaro pari, e i quello di decile, i cui la divisioe è i dieci. I quarili soo re e i decili ove. Il 5 perceile, uguale al quarile e al 5 decile, corrispode alla mediaa della disribuzioe. I perceili, i quarili, i decili, e gli alri valori oeui dividedo i classi uguali i dai di ua disribuzioe (qualsiasi, che o ecessariamee riguarda i reddii) soo geericamee chiamai quaili. Il secodo decile (corrispodee al perceile) della disribuzioe dei reddii può essere preso come idicaore della poverà (o della ricchezza) ecoomica i ua popolazioe: più è basso (alo) più poveri (ricchi) vi soo. Esempio.3 Verifichiamo l ipoesi del Dueseberr per l Ialia egli ai 97 co l aiuo della figura.8. I quesa soo raffigurae la serie { } del reddio oale ialiao (scala a siisra) che permee di idividuare gli ai di recessioe (aree i grigio) e la serie { } c della propesioe media al cosumo (scala a desra). Alla serie del reddio è saa soraa ua edeza espoeziale, deermiaa come ell esempio., mere al rapporo c è saa soraa ua edeza lieare. I periodi di recessioe segai i grigio soo cosegueze dei due shock peroliferi degli ai seaa (974 e 979) e mosrao ua chiara edeza al rialzo della propesioe media al cosumo, come previso dall ipoesi del Dueseberr. Negli ai di recessioe l ipoesi è acora covalidaa per il 99 e il 99; o lo è per il

29 Figura.8 Adameo del PIL (scala a siisra) e della propesioe media al cosumo (scala a desra) i Ialia egli ai 97 ; ambedue le serie soo sae depurae della edeza co fuzioi lieari. Le aree raeggiae idicao i periodi di recessioe degli ai seaa iescai dalle crisi perolifere; i quesi periodi la propesioe media aumea, come previso dall ipoesi del Dueseberr. 9

30 .6 Le sime dei miimi quadrai (OLS) el modello lieare semplice Vediamo ora come si oegoo le sime dei miimi quadrai el modello lieare (.4.4) che scriviamo i ua forma più geerale = µ + β x + u =,,..., (.6.) poedo al poso di z ua geerica variabile edogea e al poso di ua geerica esplicaiva x. Quesi due aggeivi derivao dal fao che el modello (.6.) la x spiega la, che è deermiaa edogeamee (all iero) al modello. Talvola la x è ache dea variabile esogea, i quao deermiaa esogeamee (all esero) al modello. Il modello lieare (.6.) è deo semplice perché coiee ua sola variabile esplicaiva olre l iercea. Se e coeesse di più sarebbe muliplo, caso che esamieremo i seguio. Ovviamee è ache = µ + β x e u = (.6.) Il crierio di sima dei miimi quadrai cosise el rovare i valori di µ e di β che redoo miima la somma dei quadrai dei residui (.3.4), cosa che el caso di dai si scrive u = mi x µ, β µ, β = = mi ( ) µ β (.6.3) iededosi co quesa scriura che la miimizzazioe avviee al variare di α e di β. La somma dei quadrai ella (.6.3) è ua fuzioe di µ e β che idichiamo co S( µ, β ) e la maemaica ci forisce le codizioi ecessarie (ma o sufficiei) per oeere il miimo (.6.3): occorre che siao uguali a zero le derivae parziali prime di S rispeo sia ad µ che a β S = ( µ β x )( ) = µ = S = ( µ β x )( x ) = β = cioè che sia 3

31 = µ + β x = = = + x µ x β x = = = (.6.4) che vegoo chiamae equazioi ormali. Se si poe x = x =, = =, m = xx x, mx = x = = (.6.5) dalla prima delle (.6.4) si ricava, dividedo per, = µ + β x (.6.6) e dalla secoda, sosiuedo il valore di µ dao dalla (.6.6), cioè = x m x = ( β x) x + β = x + β = ( m x ) xx = x dalle quali si oiee la sima dei miimi quadrai (ordiari) di β m β = m x xx x x m xx x (.6.7) e, sosiuedo ella (.6.6), quella di µ µ = β x (.6.8) Le codizioi sufficiei affiché µ e β cosiuiscao il miimo (.6.3) soo espose ell Appedice.. I due valori µ e β cosiuiscoo il puo di oimo ( µ β ) ella miimizzazioe (.6.3) e ad essi, ramie la (.6.), corrispodoo i valori dei residui simai. u = = µ β x =,,..., (.6.9) 3

32 Si ega be i mee che µ e β possoo essere deermiae solao se come risula dalla (.6.7). Osservazioe.7 Dalla (.6.6) segue che la rea = µ + β x m xx x passa sempre el puo ( x), quali che siao i valori di µ e β che soddisfao alle equazioi ormali (.6.4). Osservazioe.8 Si oi che i corrispodeza del puo di oimo le equazioi ormali possoo essere scrie come segue ( µ β ) x = u = = = ( ) µ β x x = u x = = = (.6.) La prima di quese mosra che la somma dei residui simai è ulla; la secoda deoa ua proprieà dei residui simai: la loro orogoalià ei cofroi della variabile esplicaiva. Osservazioe.9 Uilizzeremo el seguio il risulao che cosegue dalla caea di uguagliaze ( ) = µ + β x = µ β x µ β x = = + = + = che per l osservazioe.7 è pari a. Quidi si ha = = = = (.6.) 3

33 .7 L ierpreazioe saisica Il crierio dei miimi quadrai illusrao ei paragrafi precedei, che fu sviluppao idipedeemee da K. F. Gauss e A. M. Legedre ra la fie del dicioesimo e gli iizi del diciaovesimo secolo, uilizza cocei puramee maemaici (deermiisici e o probabilisici). Ad esso, uavia, possiamo dare ache u ierpreazioe saisica, che riguarda, quidi, solamee i omi. Il modello (.6.) viee deo di regressioe, la somma dei quadrai u = S ( µ, β ) soriche { x } e { } è la deviaza (dei residui o residuale), le serie = cosiuiscoo il campioe di dai, i valori x e soo le medie arimeiche delle due variabili x ed, m xx è il momeo secodo di x ed m x il momeo secodo miso. I valori µ e β soo acora delle sime, ma i seso saisico. Voledo uilizzare quesa ierpreazioe, allora, la (.6.7) idica che la sima β è daa dal rapporo (covariaza ra x e ) / (variaza di x ). I queso modo la (.6.) dell osservazioe precedee può essere lea el seso: la media arimeica della variabile osservaa è uguale a quella della variabile eorica. D ora i poi uilizzeremo ormalmee quesa omeclaura. 33

34 .8 La scomposizioe della deviaza e il coefficiee di deermiazioe Si è viso el paragrafo.3 che la serie del cosumo { c } può essere ierpolaa sia co u espoeziale (figura.3) sia co ua rea (figura.4), dado luogo a sime delle deviaze dei residui foremee diverse, 6787 el primo caso e el secodo. Ci domadiamo allora se sia possibile cosruire u idicaore basao sulle deviaze che permea di misurare il grado di adaameo (o di accosameo) di u modello al campioe di dai. La risposa è posiiva e passiamo alla deermiazioe di uo di ali idicaori, il più imporae, chiamao coefficiee di deermiazioe. Per defiirlo suppoiamo, ovviamee seza perdere i geeralià, che il modello coega l iercea (che, simaa, può ache valere zero) e scompoiamo la deviaza (la somma dei quadrai degli scari dalla media) delle el seguee modo = = ( = ( ) = ) = + ( = ( + ) ) + = = ( )( ) (.8.) dove = = come elle (.6.5) e si è ola e aggiua la sessa quaià. Il ermie miso è ullo, come dimosrao ell appedice. per cui vale la scomposizioe della deviaza (oale) TSS di ella deviaza di regressioe ESS ed i quella residuale RSS, essedo per la (.6.) la media sia delle che delle ( ) = ( ) + ( ) (.8.) Dev. oale Dev. di regress. Dev. residuale Se dividiamo i due membri della (.8.) per la deviaza oale oeiamo = (Dev. di regressioe)/(dev. oale) + (Dev. residuale)/(dev. oale) per mezzo della quale defiiamo il coefficiee di deermiazioe R = Dev. di regressioe Dev. residuale Dev. oale = Dev. oale (.8.3), I ligua iglese: Dev. oale = Toal Sum of Squares (TSS); Dev. di regressioe = Explaied Sum of Squares (ESS); Dev. residuale = Residual Sum of Squares (RSS). 34

35 pari al quadrao del coefficiee di correlazioe mulipla ra esplicaive. Quado ua la variabilià della e l isieme delle variabili (cioè l isieme di ue le sue deviazioi dalla media) è spiegaa da quella di regressioe (cioè dall isieme di ue le deviazioi della variabile eorica dalla media) si ha che l adameo del modello è perfeo, la deviaza residua è ulla ed R = ; el caso opposo la pare sisemaica del modello o spiega iee e la variabilià oale coicide co quella residua, per cui R =. I geerale duque, si ha R (.8.4) Il coefficiee di deermiazioe o cerao La deviaza oale (.8.) può essere scria ella forma ( ) = + = = = = per cui il coefficiee di deermiazioe (.8.3) diviee = = R = = u (.8.5) ed è deo cerao. Se si elimia cerao si oiee il coefficiee di deermiazioe o R = = u u (.8.6) dove il pedice u idica l aggeivo iglese uceered, che sigifica, appuo, o cerao. Geeralmee i programmi di calcolo ecoomerico foriscoo ambedue i coefficiei (.8.5) e (.8.6) ma mere il secodo è uile ell effeuare paricolari diagosi sul modello, come vedremo i seguio, il primo è direamee uilizzabile per valuare la boà di adaameo del modello ai dai, cioè per scegliere le variabili da eere i cosiderazioe. I iglese: goodess of fi. 35

36 Esempio.4 I coefficiei di deermiazioe o cerai per i re modelli della edeza ella serie sorica dei cosumi privai oali omiali i Ialia soo esposi ella avola.. Tra di essi il più grade è il primo e quidi si può asserire che il modello co migliore boà di adaameo sia il (.4.5). Modello Equazioe R l c = α + β + u (.4.5).968 c = exp{ α + β } + u (.4.6).93 c = α + β + u (.4.7).75 Tavola. Coefficiee di deermiazioe o cerao per i re modelli della edeza ella serie dei cosumi privai oali omiali i Ialia. Cauela ell uso del coefficiee di deermiazioe L ierpreazioe dell R (o dell R ) richiede ua paricolare aezioe, u specialmee se il modello coiee più di due variabili esplicaive. Ma ache el caso del modello semplice (.6.) può accadere che u valore molo alo (prossimo ad ) di dovuo ad µ e che ivece β sia poco sigificaivo, di fao che sia R sia = µ + u che sa ad idicare come sia sosazialmee pari ad ua cosae e che la variabile x (il empo o ua qualsiasi alra variabile esplicaiva) sia del uo iifluee. I queso modo il modello lieare semplice (.6.) o forisce alcua iformazioe uile all aalisi ecoomica pur essedo R alo. Queso problema assume ua paricolare rilevaza ache quado l e l esplicaiva x coegoo ambedue ua edeza: può accadere che u eveuale R alo sia la cosegueza di quesa e o di ua effeiva relazioe ecoomica ra le due variabili. Ua semplice verifica di queso fao può essere realizzaa simado la (.6.) elle differeze ed elimiado quidi, come mosreremo ra poco, u eveuale edeza lieare. Riardado, ifai, la (.6.) di ua uià emporale si oiee 36

37 = µ + β x + u (.8.7) e facedo la differeza ra la (.6.) e la (.8.7) si ha = β x + ε (.8.8) co il residuo rappreseao ora da ε = u u. Simado la (.8.8) si oiee u R o ifluezao dalla edeza; se è alo si può dire che sussise effeivamee ua relazioe ra x e. Elimiazioe della edeza lieare co ua differeza prima E semplice verificare che ua differeza prima elimia u eveuale edeza lieare. Ifai quesa eveualià è rappreseabile ella forma e prededo la differeza prima si ha = µ + β + u ( ) ( ) = = µ + β + u µ + β + u = β + ε (.8.9) co ε = u u. La (.8.9) o coiee più la edeza lieare ma iclude il coefficiee agolare β che ora è diveao il ermie oo. Qualora la o coeesse ua edeza lieare, il paramero β sarebbe ullo e ella (.8.9) semplicemee macherebbe. Si lascia al leore mosrare che ua differeza secoda = elimia u eveuale edeza parabolica (u poliomio di secodo grado i ) e che i geerale ua differeza d esima elimia u eveuale edeza rappreseabile mediae u poliomio di grado d el empo. 37

38 .9 Sima di ua fuzioe del cosumo E uile applicare i cocei esposi i precedeza i relazioe o più ad u equazioe del ipo (.4.4) che esprime il cosumo i fuzioe del empo (e rappresea la edeza ierpolae lieare), besì alla seguee z = µ + β + u (.9.) che esprime il cosumo reale z i fuzioe del reddio reale (come ella (..)). Al poso della figura. si ha la.6 che ripora il grafico, deo diagramma di dispersioe, delle coppie di valori ( z, ) rai da u campioe di osservazioi formao dalle due serie soriche dei cosumi { z z... z } e dei corrispodei reddii {... }, i quali ulimi predoo il poso dei empi coeui ella serie sorica {... }. I cosumi { z } soo cosiuii dalla serie ITACPV e il reddio { } dall alra ITAGDPV della base di dai OCSE, presi per gli ai 98. Le sime dei due parameri ella (.9.) deermiao la corrispodee della (.4.) z = =,,..., (.9.) che è cosiuia da ua rea che araversa la uvola di pui della figura.6 e per mezzo della quale si simao i residui (.4.), rappreseai graficamee ella figura.7. Si oi che l iercea è egaiva, corariamee a quao ipoizzao dal Kees; è queso uo dei ai casi i cui le ipoesi eoriche o rovao coferma ell aalisi empirica. La deviaza residuale (espressa i miliardi di euro) vale 3 3 ( ) z z u = = = = e il coefficiee di deermiazioe cerao è R =.993 (.9.3) Queso coefficiee è molo alo e può veire il dubbio che, come esposo el paragrafo precedee, sia derivao essezialmee dalla preseza della edeza, be chiara per i cosumi ella figura.3, elle serie delle due variabili. Allora calcoliamo le due serie delle differeze e simiamo l equazioe (.8.8); oeiamo 38

39 co R = z =.674 (.9.4).69, ma ache queso coefficiee di deermiazioe è relaivamee alo e si può cocludere che effeivamee sussise ua relazioe ecoomica ra il reddio e cosumi ell Ialia degli ai 8 e 9. fuzioe del cosumo z Foe: OECD (4) Figura.6 Diagramma di dispersioe che rappresea il cosumo z i fuzioe del reddio ; dai auali reali per l Ialia 98 espressi i miliardi di euro u Figura.7 Serie sorica dei residui reddio reali (auali) i Ialia, ai 98. u = z z della relazioe lieare ra il cosumo e il 39

40 Si osservi che l R è più basso quado si usao le differeze delle variabili al poso dei loro livelli. Queso fao è abbasaza geerale e quado ad u dei livelli superiore all 8% corrispode u rieere soddisfai. Coefficiee di deermiazioe e scela del modello R per u equazioe R elle differeze superiore al 6% ci si può Si è deo el paragrafo. che ua fuzioe del cosumo diversa dalla (.9.) porebbe essere oeua sosiuedo ad il reddio dispoibile d. Facciamolo, co l aiuo della serie ITAYDRH raa ache quesa dalla base di dai dell OCSE. Simiamo duque la (.9.) co i uovi dai e oeiamo z = d =,,..., (.9.5) co u coefficiee di deermiazioe cerao pari a R =.837 (.9.6) più basso del (.9.3) per cui è saisicamee preferibile scegliere il (.9.) come modello rappreseaivo della fuzioe del cosumo. E queso u semplice esempio di uso del coefficiee di deermiazioe per la scela del modello. Omogeeià dei dai La sima della fuzioe del cosumo ci permee di fare ua cosiderazioe rilevae ell aalisi ecoomica. Abbiamo simao la (.9.) suppoedo che essa sia valida, come forma, ell iero orizzoe campioario 98 e che i parameri µ e β o vario roppo i ale periodo; i paricolare che la propesioe margiale al cosumo sia approssimaivamee cosae. Abbiamo, i ulima aalisi, cogeurao che il campioe sia omogeeo i ale periodo: è u ipoesi che può valere ma che ache può o valere. Ifai proviamo a dividere il campioe i due pari, dal 98 al 994, e dal 99 al e simiamo la (.9.) co quesi due soocampioi (che i pare si sovrappogoo). Oeiamo per gli ai , e z = (.9.7) z = (.9.8) per gli ai 99. Quese equazioi soo be diverse dalla (.9.) e allora si deve dire che il modello (.9.) è sbagliao e deve essere sosiuio dalla coppia (.9.7), (.9.8)? No ecessariamee. 4

41 La scela dipede ifai dagli obieivi che l aalisa si poe. Se ha la ecessià di cosiderare il periodo 98 come u u uo e di oeere u dao medio (ad esempio la propesioe margiale media el periodo), deve preferire la (.9.) alla coppia (.9.7), (.9.8). Ma la scela può ache dipedere dalla umerosià del campioe: vedremo i seguio che più il campioe è umeroso e più precise soo le sime e porebbe accadere che la suddivisioe del campioe produca sime diverse sì, ma o affidabili. Ache la specificazioe dell equazioe da simare dipede dagli obieivi che ci si propoe di coseguire, dal grado di approssimazioe che si vuole oeere, e dal campioe di dai dispoibili. No liearià rispeo alle variabili U alra osservazioe è periee. Si è viso che la propesioe margiale al cosumo sembra i Ialia essere decrescee; allora, voledo essere molo precisi, poremo ierpolarla co ua rea β = γ + δ (.9.9) per cui la fuzioe del cosumo (.9.) verrebbe ad essere scria ella forma ( ) z = µ + γ + δ = µ + γ + δ o lieare rispeo alle variabili (a causa del prodoo ). Ma poremo porre w = oeedosi la forma z = µ + γ + δ w che è lieare ache rispeo alle variabili (e quidi facilmee simabile) ma coeee re parameri.. Propesioe media ed elasicià Simiamo ora l equazioe z = β + u (..) dove β rappresea ua sora di propesioe media al cosumo e ci propoiamo di deermiare come quesa sia variaa i Ialia egli ulimi quaraa ai. Prediamo dalla base di dai dell OCSE acora i cosumi ITACPV e il reddio GDPV, ma quesa vola rimesrali, el e el 4 rimesre di ogi ao dal 965 al, e dividiamo il campioe i cique soocampioi formai da 6 elemei ciascuo. Simiamo ed oeiamo 4

42 Soocampioe N osservazioi β R 965/-97/ /-98/ /-988/ /-996/ /-/ da cui si osserva che la propesioe media al cosumo è adaa sempre aumeado dalla meà degli ai sessaa fio alla fie degli oaa, dopodiché sembra essersi arresaa. L elasicià E di grade ieresse, ello sudio delle relazioi ecoomiche, la deermiazioe di quao ua variabile possa cambiare i fuzioe di ua variazioe dell esplicaiva ; se i due cambiamei soo valuai i ermii di variazioi perceuali queso equivale a calcolare l icremeo perceuale di c idoo dall icremeo perceuale uiario della variabile esplicaiva, cioè l elasicià della prima rispeo alla secoda. Ricordado che la variazioe perceuale è rappreseaa dalla differeza logarimica (..) si ha che l elasicià è l c η l (..) Passado dal discreo al coiuo si è più precisi sosiuedo al rapporo ra due icremei fiii la derivaa logarimica ( ) ( ) d l c d c / c d c η = = = (..3) d l d / c d corrispodee al paramero β dell equazioe l c = β l 4

43 che i ermii socasici scriviamo ella forma l c = β l + u (..4) Esempio.5 La sima dell equazioe (..) per l Ialia forisce l c =.96 l (..5) campioe 98-, R =.975 se si uilizza il reddio. L elasicià del cosumo privao oale rispeo al reddio reale è perao η =.96. Ad u icremeo dell % del reddio corrispode u icremeo dello.96% del cosumo privao. Se si uilizzasse il reddio dispoibile reale l elasicià varrebbe η =

44 . Alri esempi La legge di Oku L ecoomisa sauiese Arhur Oku, basadosi su dai USA relaivi al periodo deermiò ua relazioe ra il asso di disoccupazioe e la crescia ecoomica del ipo dove ( x γ ) u = β & (..) u = u u è la variazioe del asso di disoccupazioe ( ) x& = x x x è il asso di crescia ecoomica γ è il asso di crescia (medio) di lugo periodo. La (..) è oa come legge di Oku e uilizziamo quao illusrao fiora i queso capiolo per simarla co dai dapprima relaivi agli USA e poi all Ialia. Osservazioe. Si oi per iciso che l equazioe simaa dall Oku è del ipo (.8.8) e quidi priva dell iercea, implicado duque l oeimeo di u R o molo alo. Per quao riguarda l ecoomia degli USA, uilizzado la serie USAGDPV della base di dai OCSE dal 96 al 98 simiamo l equazioe l x = α + β del uo aaloga alla (..7) deermiaa per il cosumo. Si oiee l x = dalla quale, per mezzo della (..8), si rae il saggio di crescia di lugo periodo γ = exp(.36) =.37 =.37 Si deermia poi la variazioe aua del asso di disoccupazioe { } u raedo { u } acora dalla base di dai OCSE (USAUNR) e si sima l equazioe (..) oeedosi 44

45 u = 37.43( x&.37) (..) campioe 96 98, R =.758, la quale mosra che ogi puo perceuale di crescia del PIL degli USA sopra il 3.7% corrispode ad ua dimiuzioe del asso di disoccupazioe pari a.374. Oku rovò, per il periodo da lui cosiderao, u valore pari a circa.4. Osservazioe. Nella (..) la variazioe della disoccupazioe u è misuraa i pui perceuali (3, 5, ) mere l esplicaiva è misuraa i uià (.3,.5), per cui il paramero β della ((..)) deve essere diviso per al fie di poer essere ricodoo all uià di misura di u (essedo l esplicaiva vole più piccola, β è ella sima vole più grade). Ripeedo le operazioi per l ecoomia dell Ialia per gli ai dal 96 al 98 oeiamo u = 7. ( x&.46) (..3) campioe 96 98, R =.9 e per gli ai dal 98 al u =.594( x&.9) (..4) campioe 98, R =.88. I due coefficiei di deermiazioe così come le due dimiuzioi del asso di disoccupazioe soo molo piccoli (per i secodi rispeivamee lo.7 e lo.6 ei due periodi campioari) per cui si può cocludere che la legge di Oku ell ulimo mezzo secolo o vale per l Ialia. E u uleriore coferma del fao che spesso gli assui ecoomici valgoo solao per specifiche ecoomie e specifici periodi campioari. Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Siao ω il asso di cambio (valua azioale ialiaa)/$usa [ITAEXCHUD ella base di dai OCSE i euro/$] x il rapporo ra l idice dei prezzi al cosumo USA [USACPI] e l idice dei prezzi al cosumo per l Ialia [ITACPI] per gli ai 97. Si può simare la relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi 45

46 ω = µ + β x (..5) che mosra come il primo vari i fuzioe (lieare) dei secodi. Si oiee ω = x (..6) campioe 97, R =.74 ella quale il coefficiee agolare.35 idica che ad ogi dimiuzioe uiaria di x (che ede a dimiuire perché i prezzi dell Ialia crescoo più rapidamee di quelli USA) corrispode u aumeo (deprezzameo della valua ialiaa rispeo al dollaro USA) del asso di cambio. Su queso fao si basa il pricipio della parià dei poeri d acquiso (PPP). 46

47 Appedice. Serie soriche, dai sezioali e logiudiali Fi dall iizio è saa presa i cosiderazioe la semplice fuzioe del cosumo di derivazioe keesiaa (..) ella quale cosumo e reddio, legai da ua relazioe lieare, possoo essere riferii ad isai differei di empo, =,,,, oppure ad uià di cosumo e di reddio (ad esempio famiglie), i =,,, N, cosiderae allo sesso empo. Si possiede, allora, el primo caso u campioe di osservazioi che formao serie soriche mere el secodo le osservazioi compogoo dai sezioali c = µ + β =,,, (A...) c i = µ + β i =,,, N (A...) i U campioe emporale di ampiezza può essere cosruio mediae idagii che si proraggoo el empo, oppure ramie ua disaggregazioe emporale (ad esempio rimesralizzazioe o mesilizzazioe di dai auali), mere u campioe sezioale di ampiezza N può essere esrao da u ichiesa puuale el empo, ad esempio da u idagie sulla spesa di u gruppo di famiglie oppure da u cesimeo. I modelli (A...) e (A...) soo aaloghi e differiscoo uicamee el modo co cui i dai soo sai reperii. Nauralmee esisoo modelli i cui dai soo coemporaeamee sezioali e emporali, come ell esempio seguee c = µ + β =,,, ; i =,,, N (A...3) i i i i rappreseaivo di ua fuzioe del cosumo ella quale ciascua famiglia i possiede ua propria fuzioe defiia dai parameri osservazioe campioario, cioè per =,,,. Se poiamo µ i e β i, cosiderai cosai el periodo di N c = c i, i= N N =, i = i= i= µ µ i Le serie soriche (o emporali) vegoo dee i ligua iglese ime series mere i dai sezioali soo dei cross-secio daa. 47

48 e ell ipoesi che ue le propesioi margiali al cosumo siao uguali, β = β =... = β N = β, le equazioi (A...3) possoo essere sommae membro a membro i modo da dare c = µ + β =,,, cosiuedo quesa l aggregazioe sezioale delle (A...3). U alro modo di aggregare le equazioi (A...3) è quello che si basa sulla coosceza della disribuzioe del reddio. Se la quoa di reddio esima famiglia i ogi empo è λ i, co il vicolo possedua dalla i - N λ i= i = si ha che i = λ... =,,..., ; i =,,..., N (A...4) i per cui, sosiuedo le (A...4) elle (A...3) e eedo coo del vicolo, si oiee, sommado membro a membro c = µ + β dove β = N i= λ i β i, di uovo del ipo (A...) ma co u alra aggregazioe sezioale. Dai logiudiali Se il campioe di famiglie cosiderao ella (A...3) rimae cosae egli empi, i dai ad esso relaivi, { c i } e { i } soo chiamai logiudiali, alludedo al fao che u campioe di più idividui viee seguio lugo il empo 3. Per il raameo dei dai logiudiali si usao procedure ecoomeriche specifiche. 3 I ligua iglese i dai logiudiali vegoo geeralmee chiamai pael daa (dal ermie pael, che idica u gruppo di idividui). 48

49 Appedice. Complemei aaliici Differeza prima logarimica Dimosriamo che ( ) l x = l x l x x x x (A...) dove il simbolo " " sigifica approssimaivamee pari a. Sviluppado i serie di Talor la fuzioe l ( γ ) + si ha e poedo si oiee l 3 4 ( γ) = γ γ + γ 3 γ (A...) γ = x x ( x x ) ( x x ) x... l = + cioè la (A..) L approssimazioe (A...) è ao migliore quao più piccolo è il valore (compreso ra e ) di γ : ifai i ermii di secodo, erzo, grado ella (A...) soo ao più piccoli quao miore è γ. Le codizioi sufficiei per la sima dei miimi quadrai Le sime µ e β cosiuiscoo effeivamee u puo di miimo per (, ) soo soddisfae ache le codizioi sufficiei, dae dalle S µ β i quao S µ >, S β >, S S S > µ β µ β ; Ifai si ha S = >, µ S, = x > β = S = x µ β = dalle quali segue che x x = 4 ( mxx x ) = 4 ( x x ) > = = = 49

50 5 Nullià del ermie miso ella scomposizioe della deviaza oale Il ermie miso ella (.8.) è ullo perché ) )( ( = = = = = = = = = = β = = β = = i k i i k i i i u u x u x u u u avedo applicao ambedue le (.6.).

51 CAPITOLO III L AMBIENTE STOCASTICO 5

52 3. I residui come ei aleaori: le ipoesi deboli Fiora i residui eorici di ua variabile u soo sai cosiderai come scari ra i valori osservai e quelli per ogi empo. I queso approccio deermiisico soo sae ricavae le sime dei miimi quadrai dei parameri e quidi esso è sao sufficiee per percorrere mola srada ella cosruzioe dei modelli ecoomerici. Molo alro puruavia resa acora da fare: come è possibile sabilire se le sime oeue soo buoe (rispeo ad u dao crierio) oppure caive? E possibile decidere se le sime dei parameri si ifluezao reciprocamee? Se i residui soo legai i qualche modo ra di loro? Se il campioe è sufficieemee omogeeo? A quese domade, e ad alre acora o meo imporai, si può dare risposa se i modelli soo cosiderai i u ambiee socasico, o più deermiisico. Vediamo di farlo. Si è viso che i residui variao di valore al variare di µ e β ; o soo oi fiché µ e β o vegoo fissai; quidi prima di oeere µ e β essi possoo essere cosiderai variabili aleaorie u% 4, =,,,. Box 3 Le variabili aleaorie E aleaoria ua variabile ~ x che può assumere diversi valori e o si sa quale ha assuo o assumerà. La variabile associaa al risulao del lacio di u dado è aleaoria e può assumere il valore da a 6. I valori che ua variabile può assumere vegoo chiamai realizzazioi; così ell esempio del dado si possoo avere sei realizzazioi. I queso caso ciascua realizzazioe ha la sessa probabilià di realizzarsi; i alri casi alcue hao maggiore probabilià di alre. Ad esempio l alezza di u idividuo è ua variabile aleaoria; se la misuriamo i ceimeri, i valori 5, 63, 8,, soo sue realizzazioi. Quelle comprese ra 6 e 7 hao, ovviamee, maggiore probabilià di verificarsi di quelle comprese ra 4 e 5. Quese variabili aleaorie soo dee discree perché le loro realizzazioi possoo essere o fiie o ifiie ma umerabili. Quado le realizzazioi hao la poeza del coiuo (i modo grossolao possiamo dire che apparegoo ad u iervallo) le variabili aleaorie soo dee coiue. La media delle realizzazioi poderae co la probabilià che si verifichio cosiuisce 4 Idichiamo co ua ilde ua variabile aleaoria. Tale simbolo è uilizzao solao quado la variabile è cosideraa i u coeso dichiaraamee socasico (ad esempio soo il simbolo di valor medio E). I coesi più geerali (ad esempio i u modello) è soliamee omesso. 5

53 il valor medio della variabile aleaoria ed è idicao co il simbolo E ( x% ), dove E è l iiziale della parola iglese expecaio. Duque il valor medio è u idice di localizzazioe delle realizzazioi. La quaià ( ) E x% E x% (3..) che è pari alla media dei quadrai degli scari ra le realizzazioi e il valor medio di x%, poderai co la probabilià che esse si verifichio, ed è chiamaa variaza della variabile aleaoria x%, è u idice di dispersioe delle realizzazioi ioro al valor medio. Tao più grade è la variaza e ao più soo disperse le realizzazioi di x% rispeo al suo valor medio. La quaià ( ) ( ) E x% E x% % E % (3..) chiamaa covariaza ra le variabile aleaorie x% e %, è u idicaore del legame lieare esisee ra le due variabili aleaorie rilevai. La variaza di ua variabile aleaoria x% è ache idicaa co Var ( x% ) ; la covariaza % %. ra x% e % co Cov( x, ) I appedice si dimosra l uile risulao ( ± ) = ( ) + ( ) ± (, ) Var x% % Var x% Var % Cov x% % (3..3) Se el modello lieare (.6.) i residui soo cosiderai aleaori il modello sesso è iserio i u ambiee socasico e si scrive % = µ + β x + u% (3..4) I effei se u% è ua variabile aleaoria ache il membro a desra della (3..3) è aleaorio, e quidi lo è ache quello a siisra, cioè la %, idicado il sego di uguagliaza l uguagliaza delle caraerisiche (ache socasiche) dei due membri. Quese muao a secoda del grado di approfodimeo co cui si vuole sudiare il modello (3..4) oppure della diversa coformazioe dei dai campioari. 53

54 Suppoedo che l equazioe (3..4) rimaga ialeraa el periodo campioario, l isieme più semplice di ipoesi socasiche che possoo essere formulae rispeo ad essa è dao da i) x valori oi ii) E ( ~ ) = iii) u E( u~ u~ s ) = σ s = s (3..5) La prima ipoesi idica che la variabile esplicaiva x è coosciua. I paricolare, quidi, essa compora che la x, a differeza della, sia misuraa seza errori. La secoda ipoesi o è affao resriiva i quao se fosse E( u% ) = k,, ci si porebbe sempre ricodurre a queso caso di valor medio ullo semplicemee aggiugedo k al ermie oo dell equazioe (3..4). La prima delle (.6.) idica che l iroduzioe dell iercea garaisce che i residui simai abbiao media campioaria ulla, proprieà che è appuo il corrispeivo campioario della secoda delle (3..5). La erza ipoesi delle (3..5) è, viceversa, resriiva i quao presuppoe sia che i residui i empi diversi o siao legai liearmee ra di loro (la loro covariaza è sempre ulla) o, come si dice, siao icorrelai, sia che abbiao ui la sessa variaza σ. Ambedue quese sooipoesi soo raramee verificae ella realà, ma soo molo uili ell iroduzioe didaica della (.6.) i ambiee socasico. E l aalogo di quao si isega i ecoomia a proposio della cocorreza perfea: quesa sussise raramee ma forisce u buo srumeo didaico prelimiare all illusrazioe dei mercai co cocorreza imperfea, più realisici ma meo semplici da defiire. Le ipoesi (3..5) o presuppogoo alcua forma di disribuzioe di probabilià (si veda il Box 4) per le u% e soo per queso moivo dee deboli; el caso corario, che esamieremo el paragrafo 3.4, di assuzioe di ua disribuzioe di probabilià, le ipoesi che vegoo assue soo chiamae fori. Il Box 5 racchiude alcue semplici ozioi sul valor medio di ua disribuzioe. 54

55 Box 4 Disribuzioi di probabilià Ogi variabile aleaoria può assumere dei valori, che abbiamo chiamao realizzazioi, ciascuo dei quali si può verificare co ua daa probabilià. L isieme di quese forma la disribuzioe di probabilià della variabile aleaoria. Nel caso del lacio di u dado, el quale la variabile aleaoria è cosiuia dal umero della faccia che si presea, ogua delle sei possibili realizzazioi ha la sessa probabilià di uscire e quidi la disribuzioe è cosiuia da { / 6, / 6, / 6, / 6, / 6, / 6 } se per covezioe assumiamo, come i geerale viee fao, che la somma delle probabilià di ue le realizzazioi possibili sia uo. Queso caso forisce u esempio di disribuzioe discrea. U alro ipo di disribuzioe è quella coiua, u esempio del quale è dao da ua variabile aleaoria che assume u valore cosae i u cero iervallo; se queso vale b a ale valore è p = / ( b a) qualora, sempre per covezioe, si assuma che b b a a ( ) p dx = p dx = p b a = Nel caso discreo la fuzioe di disribuzioe di probabilià idica come quesa si riparisce elle varie realizzazioi che la variabile aleaoria discrea può assumere. Ad esempio el caso della variabile aleaoria associaa al lacio di u dado ale fuzioe è dove P ( x = ) ( ) = ( % = ) = 6 =,, K,6 f x P x x i i ~ x idica la probabilià dell eveo i x = x i i ~. Nel caso coiuo, ivece, alla fuzioe di disribuzioe di probabilià corrispode la fuzioe di desià di probabilià, che ha lo sesso sigificao ma defiisce la probabilià che la variabile aleaoria coiua x% assume u valore coeuo i u dao iervallo x ( % ) ( ) P x x < x = f x dx x Ad esempio, se cosideriamo la variabile aleaoria coiua cosae, la probabilià che x% assume u valore coeuo ell iervallo [ x, x ] x x x P( x x% < x ) = dx = x b a b a, co a x < x b, è 55

56 Box 5 Valor medio di ua disribuzioe Dalle idicazioi dae elle Box 3 e Box 4 si rae che el caso discreo il valor medio di ua variabile aleaoria è dao da ( %) = i i E x x p i dove la sommaoria è esesa a ue le realizzazioi possibili x i, ciascua moliplicaa per la probabilià p i che si verifichi. Nell esempio del lacio di u dado ( %) E x Nel caso coiuo, d alro cao, è = xi = 7 6 x ( %) ( ) E x = x f x dx x i dove x e x soo gli esremi dell iervallo di variazioe di x%. Nell esempio della variabile cosae i [ a, b ] b a E x x dx a b a b a b a b ( %) = = = ( + ) 56

57 3. Defiizioi e risulai ell approccio socasico Le ipoesi ii) e iii) vegoo alora sieizzae dicedo che il residuo della (3..4) è u rumore biaco, dove per rumore biaco si iede appuo ua successioe emporale di variabili aleaorie icorrelae co valor medio ullo e variaza cosae. Si è deo che l immersioe del modello (..6) ell ambiee socasico produce come risulao che ache % deve essere cosideraa come ua variabile aleaoria. L equazioe (3..4) idica chiaramee come l edogea ~ sia rappreseaa da u modello scisso i ua compoee sisemaica daa dalla combiazioe lieare µ + β x ed i ua compoee aleaoria formaa dal residuo i quao rappresea la sruura di u ~. La prima compoee è dea sisemaica i fuzioe dei parameri, cosiderai ivariabili el empo i virù dell omogeeià (el seso illusrao el paragrafo.9) del campioe, e dell esplicaiva, supposa oa per la prima delle (3..5). La compoee sisemaica quidi o coiee alcu elemeo aleaorio e deoa i fai silizzai della relazioe ra la variabile edogea e le esplicaive. Quesa cosiderazioe è imporae ache perché mee i luce che le ipoesi socasiche (3..5), che per moivi didaici e sorici vegoo spesso espose i ermii dei residui o osservabili u%, i effei possoo essere vise come ipoesi sulle variabili osservabili, cosiderae come realizzazioi di ua variabile aleaoria %. Allora, i virù della secoda delle (3..5) possiamo rovare il valor medio di % ( ) ( ) E % = E µ + β x + u% = µ + β x (3..) pari cioè alla sua compoee sisemaica, e dove abbiamo uilizzao il semplice risulao del calcolo delle probabilià che il valor medio di ua cosae è pari alla cosae sessa. Duque è ( ) u% = % E % (3..) % % soo e la variaza Var ( % ) oché la covariaza Cov(, s ) ( ) ( ) ( ) ( ) Var % = E E = E u = σ % % % (3..3) 57

58 (, ~ ) = E[ ( ~ E( ~ ))( ~ E( ~ ))] = E( u ~ u ~ ) = s Cov ~ (3..4) s s s s Quese due ulime relazioi idicao che la sruura di variaza covariaza ipoizzaa per la u% si applica ache alla %, dao che le due variabili aleaorie differiscoo solao per ua cosae addiiva, la compoee sisemaica µ + β x, come dimosrao ell appedice 3.. L ipoesi che alcue variabili aleaorie abbiao la sessa variaza è dea di omoschedasicià 5, mere quella aleraiva di variaze diverse è chiamaa di eeroschedasicià. La (3..3) mosra che quado l ua o l alra di quese ipoesi vale per i residui vale ache per la variabile edogea. Si è deo che la variaza è u idicaore di dispersioe (o di variabilià). Nella figura 3., che ripora le reribuzioi lorde complessive rimesrali i Ialia dal 97 al 996, è evideziao il caso, eeroschedasico e molo frequee i ecoomia, di ua variabilià (l ampiezza media della oscillazioe) che cresce co il empo. Si ricordi che spesso, come ella serie della figura 3., la cresceza della variabilià è associaa alla cresceza della edeza Reribuzioi lorde Ialia Figura 3. Le reribuzioi lorde complessive i Ialia; dai rimesrali grezzi dal 97 al 996 (foe ISTAT). Si può oare che sia la edeza che la variabilià soo crescei el empo. 5 Dai ermii greci οµοιοσ, uguale, e σκεδασισ, dispersioe. Ua defiizioe più rigorosa di omoschedasicià richiede l impiego delle disribuzioi di probabilià codizioae. 58

59 Osservazioe 3. E ieressae oare, uavia, che da u puo di visa empirico cresceza della edeza e cresceza della variabilià, pur preseadosi spesso isieme ella sessa serie sorica, soo da raarsi i modo be diverso, prescidedo dal fao che ua idica la localizzazioe e l alra la dispersioe. Ifai la (3..) mosra che u eveuale edeza ella { } può essere spiegaa dalla compoee sisemaica per cui l ipoesi E ( u% ) può valere; viceversa ua variabilià o approssimaivamee cosae (eeroschedasicià) ella { } si riflee i ua variabilià aaloga ei residui. Sime e simaori dei miimi quadrai Le sime dei parameri della (3..4) soo acora quelle dae dalle (.6.7) e (.6.8) se si uilizza il crierio dei miimi quadrai. Ifai la miimizzazioe è la sessa e ciò che cambia è semplicemee la aura della serie sorica dei residui { u u K u } cosiuia da variabili aleaorie. Duque, che ora è m β = m x xx x x µ = % β x (3..5) co le posizioi (.6.5). Ma ell ambio socasico è ache possibile rieere che % sia ua variabile aleaoria defiia dalle (3..) per cui, sosiuedo µ + β x + u% al poso della elle posizioi, si oiee β = β + ( x x ) u% mxx x = ( ) = (3..6) µ = µ + x β β + u % (3..7) come mosrao ell appedice 3.. I effei elle (3..6) e (3..7) µ e β soo variabili aleaorie e, seguedo la osra covezioe, dovrebbero essere idicae co ua ilde, sovrapposa al cappello. Per semplicià di oazioe, però, omeiamo la ilde, per cui µ e β possoo idicare, i fuzioe del coeso, sia le sime (3..5) sia le variabili aleaorie (3..6) e (3..7). I quesa vese µ e β soo dee simaori. Si è deo che l immersioe del crierio dei miimi quadrai ell ambio socasico è uile, ra l alro, a valuare le sime oeue: la versioe socasica (3..6) - (3..7) delle 59

60 sime ci permee di verificare immediaamee ua prima loro buoa proprieà, la o disorsioe, defiia el Box 6. Ifai, prededo i valori medi (dei membri a siisra e a desra) elle (3..6) e (3..7) si oiee E ( β ) per cui gli simaori µ e β soo o disori. = β E ( µ ) = µ (3..8) Box 6 La proprieà di o disorsioe Uo simaore ϑ % del paramero ϑ è deo o disoro se E( ϑ % ) = ϑ. La o disorsioe è ua buoa proprieà per uo simaore se, come spesso avviee, la sua disribuzioe di probabilià è coceraa ioro al valor medio. I queso caso le sime, che possoo essere cosiderae come realizzazioi dello simaore, hao ala probabilià di rovarsi vicio al valore vero θ del paramero. Le (3..8) foriscoo d alra pare i loro valori medi; le loro variaze e la covariaza soo di calcolo leggermee più complicao per cui vegoo deermiae ell appedice 3.. Il eorema di Gauss Markov Gli simaori OLS per i parameri del modello lieare o solao soo o disori ma godoo di u alra proprieà che spiega la loro diffusa applicazioe: essi possiedoo variabilià miima el seso del eorema di Gauss Markov che euciamo di seguio e che dimosreremo quado raeremo i modelli co più di due variabili esplicaive. Vale duque per essi il Teorema 3. (di Gauss Markov) - Tra ui gli simaori lieari rispeo alle % e o disori, se µ e β soo gli simaori dei miimi quadrai defiii dalle (3..6) e (3..7) rispeivamee e µ% e β % soo qualsiasi alri simaori, si ha Var c µ + c β Var c µ % + c β% (3..9) ( ) ( ) dove c e c è ua qualsiasi coppia di cosai reali o ambedue ulle. 6

61 Si osservi che la proprieà di variabilià miima, daa dalla (3..9), o riguarda direamee i sigoli simaori µ e β ma la loro geerica combiazioi lieare poiché la variaza opera su di ua sola variabile aleaoria e o su due (o più). Gli simaori co variabilià miima el seso del eorema di Gauss Markov soo dei oimi; sieicamee essi soo chiamai BLU, dalle iiziali dei ermii iglesi Bes (oimi), Liear (lieari), Ubiased (o disori). Osservazioe 3. - La liearià degli simaori µ e β dei miimi quadrai rispeo ad e quidi rispeo alle che cosiuiscoo come somma poderaa è idicaa dalle (.6.7) e (.6.8). La loro o disorsioe è idicaa dalla (3..8) e la loro oimalià dal eorema 3.. 6

62 3.3 La correlazioe ra le variabili e ra gli simaori dei parameri Si è deo el Box 3 che la covariaza ra due variabili aleaorie % e x% deoa la relazioe lieare esisee ra di loro; essa uavia dipede dalla dimesioe delle due variabili e quidi o può essere uilizzaa come u idicaore dell iesià della loro relazioe. Se, viceversa, la ormalizziamo per escludere la dipedeza dalla dimesioe oeiamo u idicaore adimesioale uilizzabile per misurare il loro grado di associazioe lieare. La ormalizzazioe viee effeuaa dividedo la covariaza per la radice quadraa del prodoo delle variaze delle due variabili aleaorie ( % %) ( % ) Var ( x% ) Cov x ρ = = Var σ, x oeedosi il coefficiee di correlazioe, ale che σ σ x (3.3.) ρ (3.3.) come dimosrao ell appedice 3.. Se ρ è vicio allo zero o vi è relazioe lieare ra le due variabili; se ρ è vicio all uià la relazioe è molo fore e posiiva; se ρ è vicio a - è ugualmee fore ma egaiva: se ua variabile aumea l alra dimiuisce e viceversa. Il coefficiee di correlazioe può essere simao a parire da u campioe di osservazioi per e di alreae per x facedo uso delle sime campioarie, aaloghe a quelle dei momei primi e secodi preseai ella (.6.5) valori medi campioari variaze campioarie x = x = = = σ σ covariaza campioaria σ ( ) x = x x = x x = mxx x = = ( ) = = = m = = = x x = x x = m x x ( )( ) x = = 6

63 Esempio 3. Si lascia al leore verificare che il coefficiee di correlazioe, simao, ra il cosumo e il reddio del paragrafo.9 vale ρ =.998 e quello ra il cosumo e il reddio dispoibile ρ =.95. Esempio 3. Si lascia al leore verificare che il coefficiee di correlazioe ra la variazioe della disoccupazioe e la crescia del PIL reale dell Ialia vale ρ =.45. La correlazioe ra gli simaori dei parameri E di fodameale imporaza che gli simaori µ e β o siao correlai ra di loro, alrimei accade che la sima di u paramero sia ifluezaa da quella dell alro, posiivamee se ρ >, egaivamee se ρ <. Nella avola 3. si riporao le sime dei coefficiei di correlazioe dei parameri dei re modelli di edeza per i cosumi cosiderai i precedeza e della fuzioe del cosumo (.9.) co il reddio Modello Equazioe ρ l c = µ + β + u (.4.5) c = exp{ µ + β } + u (.4.6) -.5 c = µ + β + u (.4.7) z = µ + β + u (.9.) -.99 Tavola 3. Sime dei coefficiei di correlazioe dei parameri dei re modelli di edeza per i cosumi e di quello per la fuzioe del cosumo. 63

64 3.4 Le ipoesi fori sui residui È opporuo, a queso puo, riassumere le ipoesi di vario ipo siora fae i relazioe al modello lieare semplice: i) il campioe è omogeeo e i parameri µ e β soo ivariabili el ii) empo; i valori di x soo oi, cioè o aleaori; iii) ~ s E ( u ) =, E( u~ u~ s ) =, s σ = s (3.4.) Co la i) si suppoe che la sruura dell ecoomia rimaga ivariaa el periodo campioario e che quidi sia possibile cosiderare validi per ui i empi =,,,, i modelli da simare. La ii) è u ipoesi semplificarice, che i seguio elimieremo, che limia gli elemei socasici del modello al residuo ed alla variabile edogea. Ifie, le ipoesi deboli iii) soo uilizzae per deermiare alcue caraerisiche degli simaori: la o disorsioe e l efficieza, oché le marici di dispersioe e di correlazioe, di quelli dei miimi quadrai e la disorsioe della variaza σ campioaria dei residui. Se desideriamo simare i parameri co il crierio dei miimi quadrai occorre aggiugere la quara ipoesi (deermiisica) iv) m x xx (3.4.) Le ipoesi socasiche precedei, uavia, o permeoo di effeuare u ifereza saisica complea sul modello lieare; ad esempio, o soo sufficiei per deermiare iervalli di cofideza o per fare verifiche di ipoesi. Iervalli di cofideza Ambedue quesi cocei soo semplici, sebbee di grade rilevaza. L iervallo di cofideza riguarda u paramero ϑ ma è coveiee iiziare a defiirlo a parire da uo simaore ϑ %. I seguio mosreremo come da ϑ % si possa passare a ϑ. I effei, u iervallo di cofideza per ϑ % è u idicaore della probabilià p che ua realizzazioe di ϑ %, cioè ua sima ϑ, sia vicia a ϑ : più l iervallo è coro, fissao p, maggiore è la osra cofideza che esso coega ale valore vero ϑ. Se idichiamo co ϑ e ϑ gli esremi dell iervallo e co P la probabilià che u eveo si verifichi (i queso caso che ϑ % sia compresa ra ϑ e ϑ ), formalmee scriviamo 64

65 P ( ϑ ϑ ϑ ) < % = p (3.4.3) dove p è u umero compreso ra zero ed uo, essedo la probabilià di u eveo assoggeaa per covezioe a ali limii. Geeralmee p viee moliplicao per ed espresso i perceuali; allora si dice che l iervallo è al p %. L iervallo di 6. cofideza defiio dalla (3.4.3) è geeralmee idicao co ( ϑ, ϑ ] L imporaza dell iervallo di cofideza risiede el fao che, fissaa la probabilià p, esso esprime il osro grado di fiducia (cofideza) sulla boà della sima ϑ, cioè sul fao che essa sia vicia al valore effeivo ϑ. La probabilià p è geeralmee presa (soggeivamee) pari a.95; alvola la si prede pari a.9 e alalra a.99; alri valori soo rari. I due esremi soo deermiai i modo ale che la disaza ϑ ϑ sia la più cora. E d uso, poi, porre p = α, co α quidi che divea.5,.,.; il valore α è deo rappreseare il livello di sigificaivià dell iervallo di cofideza. Sima iervallare Si è viso el paragrafo 3. che ua sima ϑ (ad esempio dei miimi quadrai) di u paramero può essere cosideraa come ua realizzazioe di uo simaore ϑ % (acora ad esempio dei miimi quadrai). Ma al poso della sima possiamo uilizzare u suo iervallo di cofideza ( ϑ, ϑ ] che olre a localizzare ϑ (all iero dell iervallo co probabilià α ) forisce u idicazioe (deoaa dalla lughezza ϑ ϑ ) della precisioe di quesa localizzazioe. Si oiee allora la sima iervallare (o per iervalli) ( ϑ, ϑ ] di ϑ mere ϑ e è la sua sima puuale. Verifiche (o es) di ipoesi Le ipoesi che vegoo fae sui modelli di regressioe riguardao geeralmee i suoi parameri e il campioe a disposizioe può essere usao per verificare se esso spige a redere vera o falsa ale ipoesi. Ad esempio el modello lieare semplice (3..3) ci può ieressare verificare l ipoesi che l iercea µ sia uguale a zero oppure che la pedeza β sia pari a uo. Quese ipoesi soo chiamae ulle e idicae co H ; così le due ipoesi soo, rispeivamee, 6 Co la pareesi oda si idica che l iervallo è apero a siisra ( ϑ ϑ) che è chiuso a desra ( ϑ % ϑ ). < % mere co la quadra 65

66 H : µ =, H : β = e vegoo soopose a es coro delle ipoesi aleraive H, ad esempio H : µ, H : β ei due casi. Quese due ipoesi aleraive soo dee bilaerali i quao equivalgoo a dire µ > (primo lao) oppure µ < (secodo lao) el primo caso, e β > oppure β < el secodo. Se il lao è uo solo, come el caso della H : µ <, l ipoesi è dea moolaerale. Più i geerale, duque, e prescidedo dai lai, dao u paramero ϑ, l ipoesi (lieare) ulla che si iede verificare è mere l ipoesi aleraiva è H : H : ϑ = r (3.4.4) ϑ r Le verifiche di ipoesi soo più comuemee chiamae es di ipoesi. La sadardizzazioe dell iervallo di cofideza La deermiazioe dell iervallo ( ϑ, ϑ ] è resa osica dal fao che lo simaore ϑ % ha u valore medio E ( ϑ % ) ed ua variaza Var ( ϑ % ) che variao ogi vola che si ha a che fare co u campioe diverso. Per ovviare a quesa siuazioe problemaica si usa rasformare ϑ % i modo che abbia u ipo sadard di disribuzioe di probabilià: si sadardizza ϑ %, cioè le si oglie il valor medio e la si divide per la radice quadraa (presa co il sego posiivo) della variaza ( ϑ ) ( ϑ% ) ϑ% E % z% = Var è La variabile aleaoria sadardizzaa è chiamaa z% e l iervallo ( ϑ, ϑ ] rasformao ell alro ( z, z ] o dipedoo dal campioe. Si ha allora che per la quale è ( ), di immediaa deermiazioe poiché gli esremi z e z z < z% z P z < z% z = p dove z e z soo presi i modo ale che la disaza z z sia le più cora. Duque è ϑ% % z < z σ E ( ϑ) 66

67 dove si è poso Var ( ϑ ) % = σ. Cioè acora ( ) ( ) ( ) ϑ% + z σ < E ϑ% ϑ% + z σ ϑ% z σ > E ϑ% ϑ% z σ ϑ% z σ E ϑ% < ϑ% z σ (3.4.5) che è ua doppia disuguagliaza che ecessia di due oazioi. Iaziuo essa defiisce u iervallo di cofideza o più per lo simaore ϑ % ma per il suo valor medio E ( ϑ % ), che però è fuzioe di ϑ ; così l iervallo di cofideza limia ϑ e o più ϑ %. I secodo luogo l iervallo è diveuo aleaorio ϑ z σ, ϑ z σ ) ed è quidi difficilmee uilizzabile ella praica. Si usa allora sfruare il fao che si possiede ua realizzazioe (la sima di ϑ ) di ϑ % e la si sosiuisce, oeedosi al poso della (3.4.5) la ( %) ϑ z σ E ϑ < ϑ z σ L iervallo di cofideza per E ( ϑ % ) è allora ) (3.4.6) ϑ z σ, ϑ z σ (3.4.7) Nel Box 7 soo riassui i passi che porao all iervallo (3.4.7). Per lo simaore geerico ϑ % di ϑ è ( ϑ, ϑ ] Si sadardizza ϑ % e si oiee Box 7 L iervallo di cofideza ale che ( % ) P z < z z = p ϑ% % P z < z = p σ E ( ϑ ) da cui si rae l iervallo di cofideza per E ( ϑ % ), che è aleaorio ( ) ϑ% z σ E ϑ% < ϑ% z σ 67

68 Ieressa di più u iervallo per E ( ϑ % ) che per ϑ % poiché E ( ϑ % ) coiee ϑ. Si sosiuisce, co ua forzaura che è uilizzaa ella praica, lo simaore ϑ % co la sima ϑ che è ua sua realizzazioe L iervallo di cofideza per ( ) ( %) ϑ z σ E ϑ < ϑ z σ E ϑ % è duque ϑ z σ, ϑ z σ ). Residui ormali Al fie di effeuare ifereze saisiche sul modello lieare, duque, o soo sufficiei le ipoesi (3.4.) ma occorre aggiugere l ipoesi fore che i residui siao disribuii ormalmee co media ulla e variaza cosae u ~ N (, σ ) (3.4.8) cioè che la loro fuzioe di desià di probabilià sia del ipo ormale (o di Gauss o gaussiaa) { / } f ( ) = (πσ ) / exp σ (3.4.9) u u Quesa fuzioe di desià di probabilià può a prima visa sembrare u po complicaa dal puo di visa maemaico, ma i realà gode di mole proprieà che la redoo facilmee raabile. E fuzioe di due parameri solao: il valor medio della variabile aleaoria u% che abbiamo supposo pari a zero [ipoesi iii) ella (3.4.)], e la sua variaza che abbiamo supposo uguale a Si oi che se il valor medio di σ [acora ipoesi iii)]. u% fosse diverso da zero, E ( u ) = k %, la (3.4.9) assumerebbe la forma più geerale (A.3...). Se k =, come ella (3.4.9), e σ =, la variabile aleaoria che e deriva, u% / σ = z%, è dea sadardizzaa e la figura 3. ripora il grafico della sua fuzioe di desià di probabilià quado quesa è ormale. La moivazioe fodameale per imporre l ipoesi fore (3.4.8) è cosiuia dal fao che da u lao è ecessario per effeuare l ifereza saisica sui parameri dei modelli lieari (3..3) e dall alro lao o è molo resriiva i quao la gra pare dei loro residui si disribuisce appuo ormalmee e queso è u derivao di u eorema del calcolo della probabilià che per la sua imporaza è deo cerale: 68

69 Teorema 3. Dao u umero di variabili aleaorie idipedei e ideicamee disribuie, la disribuzioe (di probabilià) della loro somma ede ad essere ormale al edere di verso ifiio. Figura 3. Grafico della fuzioe di desià di probabilià ormale sadardizzaa, N,. ( ) E allora, poiché il residuo u% può essere assimilao ad ua somma molo grade di forze della diamica ecoomica (variabili aleaorie che suppoiamo abbiao la sessa disribuzioe) che hao effeo sull edogea al di fuori dell esplicaiva x, ecco che il eorema cerale può essere applicao 7 e da queso deriva la (approssimaa) ormalià di u%. Idipedeza i probabilià Nell euciao del eorema cerale si è faa l ipoesi che le variabili aleaorie siao idipedei (i probabilià). I maiera approssimaiva ma chiarificarice queso vuol dire che o c è alcu ipo di relazioe probabilisica ra di esse; più precisamee si dice che esse soo idipedei (i probabilià) se la loro disribuzioe di probabilià cogiua è uguale al prodoo delle loro disribuzioi semplici, e da queso deriva che la fuzioe di desià di probabilià cogiua f ( u u u ) fuzioi di desià semplici,, K, è uguale al prodoo delle 7 Ovviamee i modo approssimao. 69

70 ( ) = ( ) ( ) ( ) f u, u, K, u f u f u K f u (3.4.) Si dimosra i eoria delle probabilià che se due variabili aleaorie soo idipedei esse soo ache icorrelae, ma o vale il viceversa a meo che esse abbiao disribuzioe ormale. Poiché le ipoesi fori (3.4.8) assumoo la ormalià dei residui e poiché quesi soo icorrelai [ipoesi deboli iii) ella (3.4.)], deriva dalla succiaa dimosrazioe che le ipoesi fori (3.4.8) assumoo impliciamee che i residui siao idipedei (i probabilià). 7

71 3.5 Ifereza saisica per i parameri del modello lieare semplice Applichiamo le ozioi del paragrafo precedee, da aalizzare co diligeza perché sia gli iervalli di cofideza che i diversi es di ipoesi soo cosruii ui i modo aalogo, al caso del modello lieare (3..4) suppoedo dapprima, per semplicià didaica, che σ sia oo. Per deermiare gli esremi di u iervallo di cofideza per il paramero µ oppure il β del modello (3..4) occorre deermiare iaziuo la disribuzioe di probabilià degli simaori µ e β. I loro valori medi soo dai dalla (3..8) e le variaze dalle (A.3..3) e (A.3..4), che scriviamo per brevià dove Var a = β ( β ) σ a β Var = a µ (3.5.) =, ( µ ) σ ( xx x ) m, x a = + µ m x (3.5.) ( xx ) Sosiuedo quesi valori ella (3.4.6) si oiee per l iercea µ e µ z σ a µ < µ z σ a µ µ (3.5.3) β z σ a β β < β z σ aβ (3.5.4) per il paramero β. Si oi che i virù della o disorsioe degli simaori le (3.5.3) e (3.5.4) ideificao iervalli di cofideza per µ e β. Gli esremi z e z soo facilmee ricavabili dalla avola saisica dei quaili della disribuzioe ormale sadardizzaa i quao la disribuzioe sia di µ che di β è ormale. Ifai quesi simaori soo combiazioi lieari di variabili aleaorie ormali (disribuie ormalmee), e ella eoria delle probabilià si dimosra che quado queso accade le variabili aleaorie che e soo combiazioi lieari soo ach esse ormali. Allora µ N ( µ, σ a µ ), N (, a β ) β β σ (3.5.5) 7

72 per cui le due variabili aleaorie rasformae µ µ σ a µ hao la sessa disribuzioe N (,). e β β σ a β (3.5.6) I due esremi z e z dell iervallo di cofideza per la variabile aleaoria sadardizzaa z% valgoo e.658 se α = e.678 se α = e.63 se α =. Le operazioi che coducoo agli iervalli di cofideza (3.5.5) e (3.5.6) soo riassue el Box 8. Box 8 Iervalli di cofideza per µ e β ) Si sceglie il livello di sigificaivià α = p desiderao. ) Si raggoo dalle avole della variabile aleaoria ormale sadardizzaa gli esremi z e z. 3) Si sadardizzao le variabili aleaorie µ e β, cioè le si rasformao ella ormale sadardizzaa µ µ σ a µ, β β σ a β dove a µ e a β soo defiie elle (A.3..3) e (A.3..4). 4) Si cosruiscoo gli iervalli di cofideza µ σ a z µ < µ σ a z µ µ β σ a z β < β σ a z β β Esempio 3.3 Cosruiamo gli iervalli di cofideza (la sima iervallare) per i parameri µ e β della fuzioe del cosumo (.9.) ell ipoesi di cooscere σ = 4 Allora ramie le (A. 3..4) e (A. 3..3) calcoliamo a =.639, a =.9 µ β (3.5.7) 7

73 per cui gli iervalli (3.5.5) e (3.5.6) al 95% soo 655 µ < β <.665 e quelli al 99% soo 67 µ < β <.665 Verifica di ipoesi Nella figura 3.3 è riporao uovamee il grafico della fuzioe di desià ormale sadardizzaa, ma quesa vola co l idicazioe dell iervallo di cofideza preso al 95%. Si oi che la probabilià residua pari al 5% è divisa a meà elle due code. P( z%.96 )=.5 P( z% +.96 )=.5 Figura 3.3 Grafico della fuzioe di desià di probabilià ormale sadardizzaa, N,, co gli esremi dell iervallo di cofideza al 95%. ( ) Queso iervallo di cofideza (e gli alri presi co probabilià diverse) può essere uilizzao per cosruire u es di ipoesi; azi l uso più frequee degli iervalli di cofideza è proprio quello della verifica delle ipoesi. Riprediamo l esempio fao el paragrafo precedee per mosrare queso uso, che i pare abbiamo aicipao el paragrafo

74 Suppoiamo duque di voler verificare l ipoesi ulla H : µ = coro l aleraiva H : µ. Se è valida l ipoesi ulla (si dice: soo H ) la prima delle (3.5.6) (che è ua variabile aleaoria) divea µ z% = σ a µ (3.5.8) che ha probabilià pari al 95% di cadere ell iervallo [ z, z ) ; e allora si è spii ad acceare l ipoesi ulla H se il valore z = µ σ a µ che si deermia co il campioe di dai (ed è quidi ua realizzazioe di z% ) cade ell iervallo, mere si è spii a rifiuarla (e quidi ad acceare l aleraiva H ) se il valore z che si oiee cade fuori dell iervallo, cioè elle code. Queso è il es della z, chiamao così per via delle variabili sadardizzae (3.5.6), idicae appuo co ua z%. Per ovvi moivi, allora, l iervallo di cofideza è ache deo regioe di acceazioe del es, mere le due code formao la sua regioe di rifiuo. I due esremi z e z predoo il ome di valori criici del es. Il fao più imporae da eere presee quado si effeua u es di ipoesi è che esso opera i u ambiee socasico e che la realizzazioe z associaa all ipoesi ulla cade ell iervallo di acceazioe [ z, z ) co ua cera probabilià (ad esempio il 95%) ma o co la cerezza. E per queso moivo che si è deo si è spii ad acceare H e o si accea H co cerezza. I effei c è la possibilià che z cada ella regioe di rifiuo (cioè i ua delle code) e quidi che si sia spii a rifiuare H oosae che essa sia vera; i queso caso si commee u errore, che è deo di I specie, e la probabilià di commeere queso errore è evideemee α. Ma già che ci siamo defiiamo ache l errore di II specie, che è quello di acceare H oosae che sia falsa. L ipoesi H : µ = è saa sooposa a verifica iseredola ella prima delle (3.5.6) e corollado quidi che la z che così si oiee cada ella regioe di acceazioe o i quella di rifiuo. U es del uo simile può essere fao quado l ipoesi H riguarda l uguagliaza di µ ad ua cosae qualsiasi m H : µ = m (3.5.9) 74

75 Di uovo, si iserisce la (3.5.9) ella prima delle (3.5.6) e si corolla che ( ) z = µ m σ a µ cada ell ua o ell alra regioe. Aalogamee, se si vuole verificare l ipoesi ulla H : β = b (3.5.) Le operazioi che coducoo a quese verifiche di ipoesi soo riassue el Box 9. Esempio 3.4 Cosideriamo la fuzioe del cosumo (.9.) ell ipoesi di cooscere σ = 635 e verifichiamo le due ipoesi ulle H : µ = H : β = I valori a µ e a β soo dai dalle (3.5.7) per cui la sadardizzazioe è semplice e ei due casi coduce a = ( µ ) σ = z ( β ) z a µ = σ = 5.78 La regioe di acceazioe al 95% è [.96, +.96) e sia la prima z che la secoda e soo fuori. Si è quidi spii a rifiuare ambedue le ipoesi ulle. a β Box 9 Tes di ipoesi ) Si debba verificare l ipoesi ulla H : ϑ = r suppoedo che ϑ sia uo simaore o disoro (di ϑ ) co disribuzioe ormale di valor medio ϑ e di variaza (oa) σ ϑ. ) Si sadardizza ϑ co la rasformazioe ( ) z% = ϑ ϑ σ (3.5.) ϑ 3) Si poe ϑ = r e si sosiuisce la sima ϑ al poso del suo simaore ella (3.5.) oeedosi la realizzazioe ( ϑ ) z = r σϑ 4) Si sceglie il livello di sigificaivià α (che ora è del es). 5) Si raggoo dalle avole della variabile aleaoria ormale sadardizzaa i valori. criici z e z, e si cosruisce la regioe di acceazioe [ z, z ) 6) Se z [ z, z ) si è spii ad acceare H, alrimei si è idoi a rifiuarla. 75

76 3.6 Ifereza saisica per la variaza dei residui L ifereza descria el paragrafo precedee è molo valida dal puo di visa didaico, ma o da quello empirico per il semplice moivo che la variaza σ dei residui o è geeralmee oa. Deve essere quidi sosiuia co ua sima, che può essere quella campioaria σ = (3.6.) u = che ha però il demerio di essere disora. Dimosreremo i seguio che el caso del modello semplice (.9.) co due parameri di regressioe basa iserire al poso di ella (3.6.) per oeere ua sima o disora σ = (3.6.) u = Ovviamee, meo i valori dell edogea soo dispersi ioro alla rea di regressioe e più piccola è σ (o ache σ ) e migliore è l adaameo della rea alle ; allora la sua radice quadraa σ (o σ ) presa posiivamee, chiamaa errore sadard (SE) (dei residui) della regressioe, può essere uilizzaa come u idicaore della boà di adaameo del modello ai dai, alla sessa sregua del coefficiee di deermiazioe R. Più piccolo è l errore sadard e meglio la regressioe si adaa ai dai per cui, cosiderado le sime (3.6.) oppure (3.6.), dal puo di visa saisico è coveiee che sia il più grade possibile. Il umero ( ) idica i gradi di liberà (g.d.l.) co cui si sima σ e deoa il fao che, poiché la sima (3.6.) dipede dai residui simai u e quesi a loro vola dipedoo dalle due sime µ e β, el processo che dagli dai di pareza coduce alla (3.6.) soo impose due resrizioi che limiao ad ( ) il umero di dai osservai che possoo essere uilizzai ella sima di Sima iervallare per σ σ. Dimosreremo i seguio che lo simaore u ha la sessa disribuzioe di u%, cioè che è ( ) u N, σ e che le u soo idipedei se lo soo u%. Allora le variabili aleaorie u σ soo variabili aleaorie ormali sadardizzae idipedei e per la (A.3..4) la somma dei 76

77 loro quadrai si disribuisce come u ( 8 ), perao χ%. Dimosreremo che il umero dei g.d.l. è σ u %χ = (3.6.3) da cui l iervallo di cofideza al livello (di sigificaivià) α per la variaza dei residui è dao, raedolo direamee dalla (3.4.3), da dove χ e P χ < u χ = α σ = (3.6.4) χ soo i quaili di probabilià α e α della disribuzioe del chi quadrao co gradi di liberà. Dalla (3.6.4) si oiee l iervallo di cofideza u σ < χ u χ (3.6.5) che cosiuisce ache la sima iervallare per σ. Nella figura 3.4 soo riporai i grafici delle fuzioi di desià di probabilià del per i re umeri di g.d.l. =,, 3. χ Per α =.5 e per i re umeri di g.d.l. =,, 3, i quaili χ valgoo 3.5, 9.95 e 7., e gli alri χ.7, 35. e rispeivamee, evideziado umericamee il fao che i quaili a siisra e a desra ell iervallo di cofideza differiscoo i valore assoluo (perché, ovviamee, la disribuzioe del χ è o simmerica). Verifica di ipoesi lieari semplici per co L ipoesi ulla H : σ σ = r (3.6.6) r cosae posiiva, può essere verificaa coro l aleraiva H : σ uilizzado l iervallo di cofideza (3.6.5): se queso coiee r si è spii ad acceare H, alrimei si è idoi a rifiuarla e ad acceare l aleraiva. Si osservi che lo sesso es può essere codoo iseredo σ = r ella (3.6.3) r 8 Si dice che la disribuzioe del χ ha gradi di liberà. 77

78 χ = u = r (3.6.7) e verificado che il valore oeuo χ sia compreso ella regioe di acceazioe per H formao dall iervallo ( χ, χ oppure i quello di rifiuo composo dalle due pari χ χ χ χ (3.6.8) < e > dove i due quaili χ e χ soo di probabilià α e α, rispeivamee. Queso è il es del χ per la variaza dei residui. Si oi che ella (3.6.7) le u soo cosiderae come sime mere ella (3.6.3) come simaori. Figura 3.4 Fuzioe di desià di probabilià del -=,, 3. χ per i re umeri di g.d.l. Nelle applicazioi, i virù del fao che la variabile aleaoria %χ assume solao valori o egaivi, geeralmee si preferisce predere χ = per cui la regioe di acceazioe divea (, χ e quella di rifiuo è composa dal solo iervallo per cui χ χ. Il es divea quidi moolaerale. > Esempio 3.5 Riprediamo la fuzioe del cosumo (.9.) e verifichiamo l ipoesi ulla H : σ = (3.6.9) 78

79 I g.d.l. soo = ed il es moolaerale forisce i seguei iervalli di acceazioe (, ], (, 3.67 ] e ( ] rispeivamee. Il valore χ dao dalla (3.6.7) vale χ =., 9.6 per α =.,.5 e. che è coeuo i ui e re gli iervalli di acceazioe per cui si è spii ad asserire che l ipoesi ulla (3.6.9) è acceaa a ui e re i livelli di sigificaivià. 79

80 3.7 Ifereza saisica per i parameri del modello lieare semplice co σ igoo Duque dobbiamo cosruire gli iervalli di cofideza (3.5.3) per µ e (3.5.4) per β oché i es di verifica dell ipoesi (3.5.9) e (3.5.) el caso i cui σ o sia oo e sia sosiuio da ua sima che possiamo predere o disora, la (3.6.). Comiciamo co gli iervalli di cofideza, che si basao sulle sadardizzazioi (3.5.6) che ora possiamo scrivere elle due forme µ µ σ a µ = µ µ σ a u σ = µ ( ) (3.7.) β β σ a β = β β σ a u σ = β ( ) (3.7.) dalle quali si vede che sia µ che β sadardizzai mediae la sima (3.6.) corrispodoo al rapporo ra ua variabile aleaoria ormale sadardizzaa e la radice quadraa di u'alra variabile aleaoria che per la (3.6.3) ha la disribuzioe del χ, divisa per il umero dei g.d.l. Ma el calcolo delle probabilià si dimosra che ale rapporo è ua variabile aleaoria chiamaa di Sude cerale 9, fuzioe del umero dei g.d.l., se umeraore e deomiaore soo variabili aleaorie idipedei. Ma quesa idipedeza è dimosraa ell appedice 3. per cui le due variabili aleaorie (3.7.) e (3.7.) si disribuiscoo come ua % µ µ σ a µ % ~ β β σ a β % ~ (3.7.3) e gli iervalli di cofideza (3.5.3) e (3.5.4) diveao µ σ aµ µ < µ σ aµ (3.7.4) β σ aβ β < β σ aβ (3.7.5) 9 Sabilia el 98 da uo saisico della birreria Guiess di Dublio, W. S. Gosse, che pubblicò i suoi rirovamei soo lo pseudoimo Sude. Di qui il ome della disribuzioe. 8

81 dove i due quaili e soo di probabilià α e α, rispeivamee. Errori sadard delle sime I due deomiaori σ a µ e σ a β elle (3.7.3) soo dei errori sadard di µ e β, rispeivamee. Le operazioi che coducoo agli iervalli di cofideza (o sime iervallari) (3.7.4) e (3.7.5) soo riassue el Box. Box Iervalli di cofideza per µ e β co ) Si sceglie il livello di sigificaivià α = p desiderao. σ igoo ) Si raggoo dalle avole della di Sude cerale co g.d.l. i valori criici. e 3) Si sima la variaza co la σ = u ( ) = 4) Si calcolao gli errori sadard σ a µ e σ a β dove a µ e a β soo defiii elle (A.3..3) e (A.3..4). 5) Si rasformao le variabili aleaorie µ e β ella di Sude µ µ σ a µ, β β σ a β 6) Si cosiuiscoo gli iervalli di cofideza µ σ a µ < µ σ a µ µ β σ a β < β σ a β β I iglese Sadard Error, da cui l acroimo SE. 8

82 Verifica di ipoesi Per verificare l ipoesi ulla H : µ = m, oppure l alra H : β µ m σ a µ quese ipoesi elle (3.7.3) e corollare che ( ) siao compresi ell iervallo [, ) = b, basa iserire m σ a β oppure che ( β ), dove e soo dai dalle avole dei quaili della disribuzioe della % di Sude co g.d.l.; geeralmee ali avole soo cosruie per i livelli di sigificaivià α pari al %, 5% e %. Se soo compresi si è spii ad acceare le ipoesi ulle; alrimei si è idoi a rifiuarle e ad acceare le aleraive H : µ m e H : β b La disribuzioe della di Sude è più schiacciaa della ormale, alla quale si avvicia progressivamee all aumeare dei gradi di liberà. Dao allora che le code della disribuzioe della % soo più ale, i quaili, a parià di area, soo ao più eseri rispeo a quelli della ormale quao miore è il umero di gradi di liberà. Ad esempio, per α =.5 i due quaili e valgoo ±.57, ±.86 e ±.98 per i re umeri dei gradi di liberà = 5,,, rispeivamee, mere i relaivi quaili di ua ormale sadardizzaa valgoo ±.96 (quidi ai fii praici ua è praicamee equivalee a ua ormale sadardizzaa). Queso sigifica che gli iervalli di cofideza e le regioi di acceazioe defiii usado la disribuzioe della soo maggiori di quelli cosruii usado la ormale. Queso risulao ha u fodameo iuiivo, dao che quado il paramero σ è igoo l icerezza relaiva al modello è maggiore, e quidi i margii di icerezza elle sime (gli iervalli di cofideza) soo più ampi. Per ovvi moivi quesa verifica di ipoesi è ache dea es della di Sude. Le operazioi che coducoo alle verifiche di ipoesi appea espose soo riassue el Box. 8

83 Box Tes di ipoesi co σ igoo ) Si debba verificare l ipoesi ulla H : ϑ = r suppoedo che ϑ sia uo simaore o disoro (di ϑ ) co disribuzioe ormale di valore medio ϑ e di variaza (o oa) σ ϑ. ) Si calcola la variaza campioaria dei residui e l errore sadard SE della sima ϑ. 3) Si rasforma lo simaore ϑ co la rasformazioe ( ϑ ϑ ) % = SE (3.7.4) 4) Si poe ϑ = r e si sosiuisce la sima ϑ al poso del suo simaore ella (3.7.4) oeedosi la realizzazioe ( ϑ ) = r SE 5) Si sceglie il livello di sigificaivià α (che ora è del es!) 6) Si raggoo dalle avole della variabile aleaoria di Sude co g.d.l. gli esremi e 7) Se [, ). e si cosiuisce la regioe di acceazioe del es [, ) si è spii ad acceare H, alrimei si è idoi a rifiuarla. 83

84 3.8 Tre esempi Ogi vola che si sima u equazioe è praicamee obbligaorio verificare l ipoesi ulla che ciascu paramero sia uguale a zero, i quao esremamee sigificaiva ell aalisi ecoomica: se si è spii ad acceare l ipoesi ulla si è idoi ad elimiare (l effeo di) ua variabile esplicaiva! Nel caso del modello lieare semplice che H : µ =, H : β = (3.8.) Iseredo quese ipoesi elle (3.7.3) si oegoo, suppoedo che i dai siao, = µ SE µ e = β SE β, dove SE µ e SE β soo gli errori sadard delle due sime. è compreso ell iervallo [, ) Se si è spii ad acceare l ipoesi ulla (il paramero vale zero e quidi l iercea oppure la variabile esplicaiva x viee elimiaa), alrimei a rifiuarla. Tui i programmi di calcolo ecoomerico foriscoo il valore olre alla sima del paramero, oppure il relaivo SE; i queso secodo caso il valore è immediaamee deermiao dividedo la sima per il suo SE. Nauralmee è lasciao al ricercaore il compio di effeuare il es di ullià dei parameri, sulla base del valore oppure dell errore sadard. Di seguio vegoo esposi re esempi illusraivi del modo di preseare i risulai delle sime di equazioi già espose i precedeza, compresivi dei valori e degli SE. Rea ierpolae il logarimo dei cosumi Il modello è il (.3.5), che ora esediamo co i risulai ifereziali esposi siora l c = SE: (.66 ) (.5 ) : (.6 ) ( 4.74 ) (3.8.) campioe ; R =.97 SE dei residui =.45 ; RSS =.4 ; TSS = 3.3 Tra pareesi ode, ella prima riga soo riporai gli errori sadard delle sime e ella secoda i valori i modo da redere faibile l ifereza sui parameri del 84

85 modello. I geerale soo riporai solao i primi o i secodi, co l avviso di cosa coegoo le pareesi ode. Dall ampiezza del campioe si rae poi il valore di. Per la (3.8.) = 9 e le avole saisiche dao le seguei regioi di acceazioe [.86,.86) se α =. [.93,.93) se α =.5 [.79,.79) se α =. per la. Così, sia quella relaiva all iercea ( =.6 ) sia quella relaiva a β ( = 4.74 ) cadoo fuori da ue e re regioi e quidi si è idoi a rieere che i due parameri siao ambedue oulli a ui e re i livelli di sigificaivià. Fuzioe del cosumo Per il modello (.9.) la sima OLS forisce i risulai seguei campioe 98, z = SE : (366) (.) : (-5.79) (55.9) R =.993 (3.8.3) SE dei residui =694 ; RSS = ; TSS =759 Si lascia al leore il compio di effeuare il es della di Sude sui parameri. Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Per il modello (..6) la sima OLS forisce i risulai ω =.56.35x (3.8.4) campioe 97 ; SE : (.56) (.34) : (.543) (-9.444) R =.74 SE dei residui =.8 ; RSS =.5 ; TSS =.98 Ache i queso caso l ifereza saisica è lasciaa al leore. 85

86 Appedice 3. Complemei aaliici La variaza di ua somma di variabili aleaorie Dimosriamo la (3..3) ( % + % ) = % + % ( %) ( % ) = E{ x% E ( x% ) % E ( % ) } Var x E x E x E Aalogamee si dimosra che = + = { } % ( %) % ( %) % ( %) % ( % ) ( %) ( % ) ( %, % ) = E x E x + E E + E x E x E = = Var x + Var + Cov x ( % % ) = ( %) + ( % ) ( %, % ) Var x Var x Var Cov x La sruura di variaza covariaza ivariae rispeo ad ua cosae addiiva Sia % = a + x%, cioè % e x% differiscao per ua cosae addiiva a. Allora e ( % ) = + ( % ) E a E x ( %, % s ) = { % ( % ) % s ( % s ) } = { % ( % ) % s ( % s ) } { % ( % ) % s ( % s ) } ( %, % s ) Cov E E E = E a + x a E x a + x a E x = = E x E x x E x = Cov x x da cui l ivariaza per la covariaza. Se per la variaza. Gli simaori dei miimi quadrai Dimosriamo le (3..6) e (3..7) = s si ha Var ( % ) = Var ( x% ), cioè l ivariaza β = ( m x ) = ( x x ) = m x m x xx x xx = = + + = mxx x = ( x x )( µ β x u% ) = ( x x )( µ + β x ) + ( x x ) u% = m x m x xx = xx = = β + x u% mxx x = ( x ) (A.3..) 86

87 µ = β x = ( x ) µ + β + u% β x = = ( ) = µ + β x β x + u% = µ + x β β + u% = = (A.3..) Le variaze degli simaori dei miimi quadrai Calcoliamo la variaza di β paredo dalla (3..6) Var( β ) = E[( β β ) ] = E ( x ) x u% = mxx x = ( x x) = σ ( xx ) xx σ = m x = m x = σ a avedo uilizzao la relazioe = ( x x) = ( m e la variaza di µ paredo dalla (3..7) xx β x ) (A.3..3) = = + = Var( µ ) E[( µ µ ) ] E x( β β ) u% = = E x ( β β ) + ( ) ( ) u% + x β β u% = = = x x E[( β β ) ] E[( u ) ] ( = + ) ( ) % + E β β u = = % = σ x σ σ = + = + = σ mxx x mxx x dove ell ulimo passaggio si è uilizzao il fao che x a µ (A.3..4) E[( β β ) u% ] = E ( x ) x u% u% = = mxx x = = = E xu~ u ~ xe u~ = mxx x = = = σ x m x = xx σ x dove a sua vola ell ulimo passaggio è saa impiegaa la o correlazioe delle idici diversi. La covariaza ra gli simaori dei miimi quadrai Calcoliamo la covariaza ra µ e β u ~ per 87

88 ( ) ( )( µ, β µ µ β β ) ( % ) ( β β β β ) Cov = E = E u x = = ( β β ) ( β β ) E u σ = % x E x = = m x ( xx ) (A.3..5) dove el secodo passaggio è saa uilizzaa la (A.3..) e el quaro la (A.3..3) oché il fao che è ( β β ) E u = % = Campo di variazioe del coefficiee di correlazioe Dimosriamo la doppia disuguagliaza ella (3.3.). Siao µ = E ( % ), µ = E ( x% ), σ = Var ( % ), σ = Var ( x% ), σ = Cov( %, x% ) x x Cosideriamo poi la variabile aleaoria % µ x% µ x + σ σ x co cosae reale, e prediamoe il valor medio ( %, %) ( % ) Var ( x% ) ( % µ ) ( % µ )( x% µ x ) ( x ) + = + + = % µ x% µ % x µ x E E σ σ x σ σ σ x σ x Cov x Var = + + = + ρ + che è sempre oegaiva i virù del quadrao. Allora deve essere sempre ρ, da cui la (3.3.). Idipedeza socasica del umeraore e del deomiaore ella di Sude Uilizzado le (.6.) oeue dalle equazioi ormali si ha che ( ) u = µ + β x u = µ u + β x u = = = = = per cui le sime dei residui soo icorrelae co quelle della pare sisemaica e, i paricolare, co quelle di µ e di β. Dao poi che gli simaori sia dei residui che dei coefficiei soo disribuii ormalmee, la loro o correlazioe implica la loro idipedeza socasica. 88

89 Appedice 3. Disribuzioi di probabilià rilevai Disribuzioe ormale La disribuzioe di probabilià (di ua variabile aleaoria x% ) più imporae è quella dea ormale (o di Gauss o gaussiaa) che ha la forma della sezioe di ua campaa co i lembi ifiii come ella figura 3.. Essa dipede da due parameri µ e σ che soo rispeivamee il suo valor medio µ = E ( x% ) e la sua variaza = E ( x% ) σ µ ; è simmerica e quidi il suo puo più alo (la sua moda) si ha i corrispodeza di µ. La disribuzioe di probabilià ormale è immediaamee defiia dalla sua fuzioe di desià di probabilià, che maemaicamee è f = exp ( x) ( πσ ) ed è idicaa co il simbolo (, ) ( x µ ) N µ σ. σ (A.3..) La forma campaulare della disribuzioe ormale è daa dall espoeziale; ( πσ ) è u faore di ormalizzazioe che serve semplicemee a fare i modo che + sia f ( x) dx =, covezioe che si segue i ue le disribuzioi di probabilià. Di seguio soo espose alcue proprieà di quesa disribuzioe, che o dimosriamo: a) Ma mao che ci si alloaa dal valor medio µ la probabilià che x% assuma i valori coeui i u iervallo ifiiesimale a desra o a siisra di µ dimiuisce. b) Approssimaivamee, la superficie che giace soo la curva ormale defiia dalla (A.3..) vale 68 ell iervallo [ µ σ, µ σ ) [ µ σ, µ + σ ) e 99.7 i [ µ 3 σ, µ 3σ ) + ; vale 95 i +, come idicao ella figura 3.5. c) La combiazioe lieare di due o più variabili aleaorie ormali è ormale; i paricolare, el caso di due si ha che se x% N ( µ x, σ x ) % N ( µ, σ ) allora w% = a x% + b % è ua variabile aleaoria ormale co valor medio e co variaza ( %) ( % ) µ = E a x = E b = a µ + b µ w x 89

90 w = E ( w% ) w = E{ ( a x% + b % ) ( a x + b ) } = { a( x% x ) b( ) µ % µ } a Var ( x% ) b Var ( % ) ab Cov ( x%, % ) σ µ µ µ = + = + + = x ( % % ) = a σ + b σ + ab Cov x, (A.3..) Da quesa relazioe si oa che se x% e % soo icorrelae allora σ = a σ + b σ w x µ 3σ µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ µ + 3σ 68/ 95/ 99.7/ Figura 3.5 Fuzioe di desià della disribuzioe ormale del valore approssimao di re superfici soo di essa. N ( µ, σ ) co l idicazioe d) Miore è la variaza al valor medio µ. σ e più coceraa è la disribuzioe ormale ioro e) Se due o più variabili aleaorie ormali x%, x%, K, x% k soo icorrelae ra di loro, allora soo idipedei, cioè la loro fuzioe di desià mulivariaa è uguale al prodoo delle fuzioi di desià sigole ( K ) = ( ) ( ) K ( ) f x, x,, xk f x f x f xk 9

91 f) Se µ = e σ =, la variabile aleaoria ormale è dea sadardizzaa e, ovviamee, è deoaa co N (,). Disribuzioe del chi quadrao Cosideriamo k variabili aleaorie ormali sadardizzae idipedei z%, z%, K, z% k, eleviamole al quadrao e sommiamole z% + z% + K + z% k = w% (A.3..3) Oeiamo ua variabile aleaoria che ha ua paricolare disribuzioe, dea del chi quadrao, che dipede da k, il suo umero dei gradi di liberà (g.d.l.) w% χ k (A.3..4) I grafici delle fuzioi di desià di probabilià del χ per re umeri di g.d.l. soo riporai ella figura 3.4. Alcue proprieà di quesa disribuzioe, che o dimosriamo, soo: a) Il valor medio della disribuzioe del χ co k g.d.l. è k e la sua variaza è k. b) Se w% e w% soo due variabili aleaorie idipedei co disribuzioe del di k e k g.d.l. rispeivamee, la loro somma è ua variabile aleaoria co χ disribuzioe del χ co g.d.l. pari alla somma k k +. c) Come si vede dalla figura 3.4 la disribuzioe del χ è asimmerica, co il grado di asimmeria che dipede dal umero di g.d.l. Più grade è queso e meo asimmerica è la disribuzioe; al edere di queso all, la disribuzioe del Disribuzioe della di Sude χ ede alla disribuzioe ormale. Il rapporo di ua variabile aleaoria sadardizzaa e la radice quadraa di ua variabile aleaoria disribuia come u %χ diviso per il suo umero k di g.d.l. possiede ua disribuzioe dea di Sude, se le due variabili aleaorie soo idipedei (i probabilià). Nella figura 3.6 soo disegae re fuzioi di desià di queso ipo per k =, 3, g.d.l. Di seguio soo espose alcue proprieà di quesa disribuzioe che o dimosriamo: a) La disribuzioe della di Sude è simmerica ioro allo zero, che è ache il suo valor medio. 9

92 b) La variaza della di Sude è k ( k ) dove k è il umero dei g.d.l. c) All aumeare di k la disribuzioe della di Sude si avvicia alla disribuzioe ormale sadardizzaa. Dal puo di visa delle applicazioi la di Sude co k > 6 è da cosiderarsi praicamee uguale alla ormale sadardizzaa. Disribuzioe della F di Fisher Il rapporo di due variabili aleaorie disribuie come u χ, ciascua divisa per il proprio umero di g.d.l., possiede ua disribuzioe dea F di Fisher, se le due variabili aleaorie soo idipedei. Quesa disribuzioe dipede dai due g.d.l. dei ed è quidi idicaa co queso ipo per re coppie di g.d.l. χ, k e k, F k,k. Nella figura 3.7 soo disegae re fuzioi di desià di Alcue proprieà di quesa disribuzioe, che o dimosriamo, soo: a) La disribuzioe della F di Fisher è asimmerica, come quella del b) Il suo iervallo di variazioe va da zero ad ifiio. χ. c) Al edere ad ifiio dei suoi g.d.l. la disribuzioe della F di Fisher ede a quella ormale. d) La disribuzioe della F di Fisher co e k g.d.l. è uguale a quella del quadrao di ua di Sude co k g.d.l. 9

93 CAPITOLO IV LA PROIEZIONE 93

94 4. Proiezioe e proieore ei modelli lieari Ricosideriamo il modello lieare semplice (.6.) e poiamoci il problema di proieare = µ + β x + u (4..) fuori dal campioe che percorre il empo =,, K, ; i alre parole vogliamo deermiare + h per h =,, K,, dove l iervallo emporale +, +, K, + è deo periodo di proiezioe. Se uilizziamo il modello (4..), simao el periodo campioario, per proieare e se suppoiamo che: - la sruura dell ecoomia, già ipoizzaa sosazialmee ivariae el campioe, rimaga la sessa ei due periodi, rededo così possibile l uilizzazioe delle sime ache ella proiezioe; - i valori dell esplicaiva x per i empi = +, +, K, +, siao oi; - valgao ache per il fuuro le ipoesi deboli per i residui E ( ~ ) =, u +h per ogi h, ( ~ ~ σ s = + h E u h us ) = (4..) + s + h; s =,,..., + per cui risula aurale predere come proiezioi dei residui il loro valor medio, che è ullo, la proiezioe al empo +h è + h = µ + β x h h =,, K, (4..3) + h + I effei o è ao la proiezioe di quao quella della sua compoee + h sisemaica, poiché la proiezioe di u è saa posa arbirariamee uguale a zero. Quesa procedura, uavia, può essere giusificaa i seso probabilisico se si cosidera, come ad esempio fao dal de Fiei [97] i ambio soggeivisa, la proiezioe di ua variabile aleaoria come suo valor medio; i queso caso si ha + h µ β x + h = + h =,, K, (4..4) e i parameri µ e β, scoosciui, devoo essere sosiuii da sime. Se ella (4..3) i valori µ e β vegoo cosiderai come simaori e o come sime, la di divea ua variabile aleaoria che chiamiamo proieore della pare sisemaica + h + h (o di uo + h poiché, ripeiamo, u + h è sao poso arbirariamee uguale a zero). 94

95 Nelle applicazioi occorre eer sempre presee quali soo le foi di icerezza per la proiezioe (4..3): - i parameri µ e β soo sime e o i valori veri; - la variabile esplicaiva x + h o è geeralmee oa e va sosiuia co ua sua propria proiezioe; - ella proiezioe + h si aulla arbirariamee il residuo u + h ma ella realà o è affao deo che valga zero. Cosiderado quese si valuao più correamee le proiezioi che si oegoo. L errore di proiezioe Rimarchiamo il fao che, a meo di o acceare l imposazioe del de Fiei, il proieore (4..3) o è uo simaore o disoro di + h defiio dalla (4..), mere lo è della sua compoee sisemaica. Esso, uavia, può essere cosiderao o disoro i u alro seso, che illusriamo facedo ricorso all errore di proiezioe defiio ella maiera seguee ( ) e = = µ µ + β β x + u + h + h + h + h + h Poiché il valor medio dell errore (4..5) cosiderao come variabile aleaoria è ullo (4..5) ( µ µ ) ( β β ) ( ) E( e% + h ) = E + E x+ h + E u+ h = (4..6) il proieore può essere cosiderao come uo simaore o disoro di + h el + h seso che il valor medio dell errore di proiezioe è ullo. I queso caso si dice che è + h u proieore icodizioaamee o disoro buoa proprieà delle proiezioi oeue co i miimi quadrai. Proiezioi ex pos ed ex ae ed i queso fao cosise u alra La relazioe (4..5) che defiisce l errore di proiezioe idica ache che queso può essere cosiderao come ua variabile aleaoria oppure come ua sua realizzazioe. L errore è aleaorio se è espresso i ermii di simaori µ e β olreché di residuo u + h ; è u umero se al corario è la proiezioe (4..3) e x + h è oo. I queso secodo + h caso si proiea i empi + h, h =,, K,, per i quali le realizzazioi + h soo coosciue e la proiezioe viee chiamaa ex pos ; el caso i cui o siao oe (e quidi gli errori o possoo essere umericamee calcolai) la proiezioe è chiamaa ex ae. 95

96 4. La proiezioe co il crierio dei miimi quadrai Suppoiamo d ora i poi che il crierio di sima dei parameri sia quello dei miimi quadrai. I queso caso il proieore (4..3) gode della proprieà di essere BLU, i quao è lieare rispeo alle poiché lieari soo gli simaori OLS; è o disoro rispeo alla pare sisemaica di + h ( ) ( ) ( ) ( ) E + h = E µ + β x+ h = E µ + E β x+ h = µ + β x+ h h =,, K, (4..) dove el secodo passaggio si è sfruaa la liearià dell operaore E e el erzo il fao che se x + h è ua cosae (oa) allora ed è oimo i quao ( β x+ h ) = E( β ) x h E + ( ) ( + h = µ + β + h ) ( µ + β % + h ) Var Var x Var x % h =,, K, dove µ% e β % soo simaori qualsiasi ra i lieari e o disori, valedo la (3..9) se si predoo le cosai c e c pari a e a x + h, h =,, K,, rispeivamee. L errore quadraico medio di proiezioe La variaza dell errore di proiezioe ci permee di sabilire u eorema di fodameale imporaza per la proiezioe. Essa vale come dimosriamo ell Appedice 4.. ( x x ) σ + h Var( e% + h ) = + + (4..) mxx x La variaza (4..) è dea errore quadraico medio di proiezioe ed è geeralmee cosideraa come u idicaore della precisioe della proiezioe. Tao più piccolo è queso errore e ao più precisa è la proiezioe, per cui quado il proieore (4..3) viee oeuo co il crierio dei miimi quadrai esso gode di u oima proprieà poiché vale il seguee Teorema 4. Tra i proieori lieari (rispeo alle ) e icodizioaamee o disori, se µ e β soo gli simaori dei miimi quadrai il proieore (4..3) è quello che possiede errore quadraico medio miimo. La dimosrazioe sarà faa el caso dei modelli lieari mulipli. I iglese: Mea square error of predicio. 96

97 4.3 Iervalli di cofideza per le proiezioi Si è viso che esise ua cera simmeria ra le sime e le proiezioi: i ambio socasico esse si rasformao i simaori e proieori, rispeivamee. E la simmeria coiua egli iervalli di cofideza, che come sussisevao per le sime così sussisoo per le proiezioi. Ma le proiezioi iervallari assumoo u sigificao più rilevae delle sime iervallari i quao i ecoomia soo di uilizzazioe più immediaa. Si può ache asserire che se occorre effeuare ua proiezioe di variabili ecoomiche è bee che sia iervallare e o puuale. Vediamo duque come si cosruiscoo iervalli di cofideza per le h =,, K,., + h Iaziuo suppoiamo che valgoo le ipoesi fori per i residui sia el periodo campioario che i quello di proiezioe, per cui è ache (, ) u% + h N σ h =,, K, I queso caso l errore di proiezioe (4..5) è ua variabile aleaoria cosiuia da ua combiazioe lieare degli simaori µ e β disribuii ormalmee e di ~ ach essa u + h ormale, per cui è ~ e + h (, ) N σ a + h h =,, K, se poiamo a + h ( x x ) + h = + + mxx x (4.3.) i virù delle (4..6) e (4..). Voledo rovare gli iervalli di cofideza per le + h, che i realà hao u sigificao leggermee diverso dal cosueo i quao la (fuzioe di ~ u + h ), cosideriamo che ~ è ua quaià aleaoria + h e% % = σ a σ a + h + h + h + h + h N (,) h =,, K, e che 97

98 % % = a+ h u k + h + h + h + h / a+ hσ % /( ) = + h h =,, K, poiché ~ e e + h = u% soo variabili aleaorie socasicamee idipedei. Ifai per la (4..5) e ~ + h è formaa dalle µ e β o correlae co le u% e dalla u ~ + h o correlaa co le u per la (4..); essedo ue quese variabili disribuie ormalmee, vale l asseria idipedeza socasica. L iervallo di cofideza al livello α è rovao paredo dalla codizioe % + h + h P = α a+ hσ dove e soo i quaili di probabilià α e α rispeivamee, forii dalle avole della di Sude co gradi di liberà. L iervallo risula, duque, + a σ % + a σ + h + h + h + h + h per h =,, K,, e va ierpreao come l iervallo più coro che coiee il valore aleaorio ~ co probabilià α. + h 98

99 4.4 Tre esempi Riprediamo le equazioi simae el paragrafo 3.8 ed effeuiamo la proiezioe iervallare ex pos per re empi al livello α =.5. Rea ierpolae il logarimo dei cosumi Il modello simao è il (3.8.), = 9 per cui = -.93 e =.93. Si hao poi i risulai h + h effeivo + h previso errore di SE di previsioe previsioe che graficamee soo esposi ella figura 4.. Fuzioe del cosumo Il modello simao è il (3.8.3), = per cui = -.8 e =.8. Si hao poi i risulai h + h effeivo + h previso errore di SE di previsioe previsioe che graficamee soo esposi ella figura 4.. Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Il modello simao è il (3.8.4), = 3 per cui = -.4 e =.4. Si hao poi i risulai h + h effeivo + h previso errore di SE di previsioe previsioe che graficamee soo esposi ella figura

100 4.5 Idicaori dell accuraezza delle proiezioi Quado le proiezioi soo effeuae ex pos è possibile valuare umericamee gli errori di proiezioe (4..5) e misurare così l accuraezza delle proiezioi sesse. A al fie soo sai cosiuii alcui idici, dei quali i cique più comui soo l errore medio e + h h= MPE = (4.5.) che è ella sosaza la media arimeica degli errori di proiezioe; l errore medio assoluo e+ h h= MAE = (4.5.) che è la media arimeica degli errori presi i valore assoluo (i modo da cosiderarli simmericamee, sia i posiivi che i egaivi, mere ell MPE gli ui si elidoo co gli alri); l errore quadraico medio e + h h= MSE = (4.5.3) che è la sima campioaria dell errore quadraico medio di proiezioe e che spesso è cosiderao soo radice quadraa arimeica dado luogo alla radice dell errore quadraico medio RMSE = MSE (4.5.4) i modo da oeere u idice della sessa dimesioe dell errore; ed ifie il coefficiee di disuguagliaza di Theil / e + h h= / / + h + + h h= h= U = (4.5.5) che vale zero quado ui gli errori di proiezioe soo ulli e ede ad uo ma mao che l accuraezza delle proiezioi peggiora. Spesso è uile valuare alcui degli idicaori precedei i ermii perceuali rispeo ad + h al fie di disporre di ua misura di errore idipedeemee dalla I ligua iglese gli idicaori soo: Mea predicio error (MPE), mea absolue error (MAE), mea square error (MSE), roo mea square error (RMSE), Theil s iequali coefficie (U), rispeivamee.

101 dimesioe della variabile che si proiea: sosiuedo elle (4.5.) e (4.5.3) al poso degli errori e + h i rappori e + h / + h si oegoo l errore medio assoluo perceuale (MAPE) e l errore quadraico medio perceuale (MSPE). Nella avola 4. soo esposi i valori di alcui di quesi idici per le proiezioi dei re esempi mosrai el paragrafo 4.4. Modello MAE MSE RMSE U MAPE MSPE Rea ierpolae il log dei cosumi Fuzioe del cosumo Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Tavola 4. Errore medio assoluo, errore quadraico medio, radice quadraa dell errore quadraico medio, coefficiee di Theil, errore medio assoluo perceuale ed errore quadraico medio perceuale per le proiezioi uo, due e re empi i avai di re modelli. Appedice 4. Complemei aaliici La variaza dell errore di proiezioe Dimosriamo la (4..) ( ) ( + h µ µ β β + h + h µ µ β β ) + h ( + h ) ( µ µ ) ( ) ( )( + h β β µ µ β β ) + h σ Var( e% ) = Var + x + u% = Var + x + Var u% = = Var + x Var + Cov x + = σ x σ x σ = + x + + h x + h + σ = mxx x mxx x mxx x ( x x ) σ + h = + + mxx x ( ) dove el secodo passaggio abbiamo uilizzao la o correlazioe ra u % + h e i residui del periodo campioario e quidi µ e β, el erzo la (3..3) e el quaro le (A.3..3), (A.3..4) e (A.3..5).

102 CAPITOLO V LA MALASPECIFICAZIONE

103 5. Aspei variegai della malaspecificazioe Riprediamo le ipoesi socasiche soo le quali abbiamo effeuao le aalisi precedei. Sia dao il modello lieare semplice = µ + β x + u (5..) per il quale abbiamo supposo cha valgao le ipoesi deboli: i) il campioe è omogeeo e i parameri µ e β soo ivariabili el ii) empo; i valori x soo oi ; iii) E ( u ) = % (5..) iv) E ( u% u% ) σ K s = = K σ s σ K M O σ = s (5..3) oché quelle fori: u% N (5..4) v) (, σ ) I queso capiolo verifichiamo, ramie es, se quese ipoesi, dao u campioe, possoo essere cosiderae valide. Quesi es soo chiamai di malaspecificazioe, i quao verificao che i dai campioari co cui si simao i parameri della (5..) soddisfao alle ipoesi i) v). La prima ipoesi che soopoiamo a verifica è quella dell omoschedasicià dei residui, cioè del fao che ue le loro variaze siao uguali. La secoda ipoesi che soopoiamo a verifica è quella della ullià della covariaza ra u qualsiasi residuo e quello seguee (o il precedee), cioè dell auocorrelazioe di ordie uo. La erza ipoesi è quella della ormalià dei residui (la v) e la quara è relaiva alla omogeeià del campioe: se queso è omogeeo per ui i empi precedei u cero isae ed è ache omogeeo, ma diverso dal precedee, per ui i empi successivi, si dice che i quell isae si è avuo u cambiameo della sruura ecoomica, e mosreremo alcui es che permeoo di verificare l esiseza di queso cambiameo sruurale. 3

104 5. Eeroschedasicià dei residui Nelle variabili ecoomiche accade spesso che la variabilià o sia cosae el empo, ma crescee o più raramee decrescee, oppure acora crescee e poi decrescee a rai. Se ua ale siuazioe vale per la (5..) e se il ermie β x o rappresea sufficieemee ale variabilià o cosae, quesa si rasferisce sui residui u per cui l ipoesi iv) si rasforma ella caraerizzadoe la eeroschedasicià. s E( u~ u~ s ) = (5..) σ = s I ale caso l aalisi svola i precedeza mosra come o possao essere più uilizzai gli simaori dei miimi quadrai ordiari, per i quali è ecessario che valgao le (5..). La sima dei miimi quadrai poderai (WLS 3 ) Viee aurale ipoizzare che l eeroschedasicià dei residui sia causaa da alcue variabili oe che idichiamo co z, z,, zs. Soo l uleriore ipoesi che σ sia fuzioe crescee (l adaameo al caso decrescee è baale) di quese variabili, possiamo porre σ = exp( αz ) exp( α z )... exp( α s zs ) (5..) dove la cresceza è rappreseaa mediae l espoeziale per comodià di sviluppo aaliico. Sempre per comodià è coveiee specializzare uleriormee la (5..) seza che le ipoesi addizioali codizioio roppo le siuazioi reali. Suppoiamo, duque, i primo luogo che siao s = e z =, per cui la (5..) divea σ = exp( α ) exp( α α z ) = σ w (5..3) avedo poso σ = exp ( α ) z = l w I secodo luogo suppoiamo che α =, per cui i coclusioe si ha 3 Weighed Leas Squares, i iglese. 4

105 σ = σ w (5..4) Se w =,, si riora all ipoesi sadard di omoschedasicià. Soo l ipoesi (5..), per elimiare l eeroschedasicià basa dividere il modello (5..) per w x u = µ + β + (5..5) w w w w che si può simare co gli OLS; ifai u~ E = E u = w ( ~ ) w u ~ E w u ~ s = ws w w s ~ ~ E( u ) us = σ = σ w s = s avedo fao uso della (5..). Valgoo duque le ipoesi deboli (3..5). La sima effeuaa i queso modo è dea dei miimi quadrai poderai o WLS, poiché ogi elemeo -esimo del campioe viee pesao co u faore; i queso specifico caso w. Esempio 5. Possiamo cosiderare uovamee la (.9.) ma suppoedo che sia il cosumo che il reddio siao omiali. La figura 5. mosra l adameo del cosumo omiale i Ialia, co ua eeroschedasicià che suppoiamo solao parzialmee spiegaa dal reddio omiale. Se ipoizziamo che essa sia sosazialmee dovua dall iflazioe, possiamo predere come privai ITAPCP e simare l equazioe (5..5), dove w la serie OCSE del deflaore dei cosumi è il cosumo omiale e x è il reddio omiale (ITAGDP, prodoo iero lordo ai prezzi di mercao). La sima dei miimi quadrai forisce i risulai campioe 98-, x = w w w : (-4.863) (3.84) R =.993 SE dei residui=654 ; RSS=89589 ; TSS=759 abbasaza differei da quelli ella (3.8.3). 5

106 8 c Figura 5. Serie sorica auale del cosumo omiale i Ialia espressa i migliaia di miliardi; ai

107 5.3 Tes di omoschedasicià Il es di Breusch e Paga Prima di effeuare operazioi vole a simare la (5..) i preseza di eeroschedasicià è ecessario ovviamee verificare che quesa sussisa. Illusriamo allora, seza le dimosrazioi che possoo essere rovae egli aricoli origiali, alcui es comuemee usai per verificare l eeroschedasicià dei residui. Il primo es è dovuo a Breusch e Paga [979] e presuppoe che soo l aleraiva H : σ σ valga ua relazioe del ipo di (5..) ( K ) σ = h α z + α z + + α z s s dove h è ua fuzioe ideermiaa poiché il es e è idipedee. Se suppoiamo che z = ed s =, l ipoesi ulla suggerisce omoschedasicià poiché i queso caso è H : α = (5.3.) ( ) σ = h α = σ = cosae I passi da percorrere i queso es soo i seguei: ) si sima il modello (5..) co gli OLS e si calcolao i residui simai u ; ) si calcolao le quaià σ = u = u σ 3) si uilizza la u / σ come variabile prox di σ e quidi si simao i parameri della regressioe 4 ausiliaria u σ = α αz v (5.3.) 4) si calcola la deviaza residua v = 5) soo H la ESS, differeza ra deviaza oale e deviaza residua della (5.3.), è ale che, approssimaivamee e per u campioe grade, 4 La divisioe per la cosae σ serve uicamee a semplificare le elaborazioi meodologiche coeue el lavoro origiale di Breusch e Paga. 7

108 ESS % χ (5.3.3) per cui si può effeuare u es del chi quadrao per la verifica dell omoschedasicià. Il es del chi quadrao La (5.3.3) idica che soo la H la variabile aleaoria ESS % ha disribuzioe χ e quidi el 95% dei casi si collocherà ella regioe di acceazioe del es, che cosideriamo moolaerale,, χ ) dove χ è il quaile di probabilià 95%, mere el 5% dei casi si collocherà ella regioe di rifiuo χ, + ). Basa allora calcolare il valore ESS e rovare il quaile ell iervallo, χ ) χ dalle avole del χ co u g.d.l.; se ESS cade si è spii ad acceare l ipoesi ulla di omoschedasicià (5.3.), alrimei a rifiuarla (ed acceare quidi l ipoesi di eeroschedasicià). Ovviamee il 95% di probabilià può essere sosiuio co il 99% o il 9%, a secoda degli obieivi che si poe il ricercaore. Esempio 5. Cosideriamo l equazioe che lega i cosumi privai omiali c i Ialia co il empo, come effeuao ell esempio. e verifichiamo che i residui siao omoschedasici, suppoedo che resposabile di ua eveuale eeroschedasicià porebbe essere il deflaore dei cosumi privai (ITAPCP ella base dai OCSE; z ella (5.3.)). Simiamo il modello co gli OLS e calcoliamo ausiliaria c = µ + β + u σ oché la serie { } u σ = + z α α ν (5.3.4) u σ. Simiamo quidi la regressioe e calcoliamo ESS = 4.96 che è maggiore di 3.84, quaile al 95% della disribuzioe del χ co g.d.l. Siamo quidi spii a rifiuare l ipoesi ulla di omoschedasicià. La formulazioe di Koeker Il sigificao iuiivo del es è queso: se sussise l eeroschedasicià, e se quesa è effeivamee spiegaa dalla variabile forirà ua buoa spiegazioe dell adameo della z prescela, allora quesa sessa variabile u ella (5.3.), per cui la / σ 8

109 deviaza spiegaa è abbasaza elevaa e la saisica ESS è maggiore del valore soglia, cadedo quidi ella regioe di rifiuo del es del Queso fodameo iuiivo è alla base di ua formulazioe aleraiva del es, proposa da Koeker [98], che risula di più rapida implemeazioe del precedee i quao prescide dal calcolo di miimi quadrai il modello χ. σ. Per effeuare il es basa ifai simare co i u = α + α z + ν (5.3.5) e i al caso si dimosra che asioicamee e per u campioe grade: dove R χ (5.3.6) u R u è il coefficiee di deermiazioe o cerao (.8.6) della (5.3.5). Si è quidi spii a rifiuare l ipoesi di omoschedasicià se la variabile l adameo del quadrao dei residui. z prescela spiega bee Osservazioe 5. La (5.3.) e (5.3.5) soo esempi di regressioe ausiliaria, iededosi co queso ermie ua regressioe priva di direo sigificao ecoomico, che viee simaa geeralmee usado gradezze derivae dalla sima di u modello ecoomerico (ad esempio, i residui derivai da ua sima OLS) per permeere o semplicemee per faciliare il calcolo delle saisiche di deermiai es. La eoria modera della verifica delle ipoesi uilizza largamee le regressioi ausiliarie. Esempio 5.3 I macaza di ipoesi a priori specifiche sulla aura dell eveuale eeroschedasicià, come effeuao ell esempio 5., è possibile predere come z il quadrao dei valori dell edogea simaa. Nel caso del modello (5.3.4) l equazioe ausiliaria (5.3.5) simaa è u = +.c = R u =.79 per cui R u = Il valore soglia della disribuzioe del precedee, 3.84, per cui la saisica spii a rifiuare l ipoesi ulla di omoschedasicià. χ è lo sesso dell esercizio R u cade ella regioe di rifiuo del es e si è così 9

110 5.4 La correzioe per l eeroschedasicià di Whie Si è deo che la preseza di eeroschedasicià compora che le sime oeue co i miimi quadrai ordiari o siao buoe e da queso si rae che i loro errori sadard, così come le di Sude, o siao affidabili. H. Whie (98) ha uavia sviluppao u meodo che permee di oeere gli errori sadard delle sime eedo coo dell eeroschedasicià: il vaaggio è quidi oevole, sebbee la procedura valga solao approssimaivamee e per u campioe umeroso. Il meodo sarà esposo più i avai, ella raazioe del modello di regressioe mulipla, e per il momeo ci fermiamo solao ad evideziare le differeze ei valori oeui per gli errori sadard e per le di Sude cosiderado e o cosiderado la correzioe di Whie. La semplice sima dei miimi quadrai della (5.3.4), che abbiamo verificao coeee eeroschedasicià forisce i risulai campioe 96 98; c = SE: (6736) (53646) : (-.98) (7.837) R =.764 SE dei residui =48868; RSS = 43686; TSS = 7848 (5.4.) mere quelli correi per l eeroschedasicià co il procedimeo di Whie soo campioe 96 98; c = SE: (644) (66359) : (-.36) (6.336) R =.764 (5.4.) SE dei residui =48868; RSS = 43686; TSS = 7848 Ovviamee le sime (5.4.) e (5.4.) soo differei solao egli errori sadard e elle di Sude ma l affidabilià dell ifereza saisica effeuaa co i risulai (5.4.) è maggiore, sebbee la umerosià campioaria, =, o sia ala come dovrebbe.

111 5.5 Foi e cosegueze dell auocorrelazioe Ache l ipoesi di covariaze ra i residui ulle è molo resriiva e cercheremo di rilassarla. Vedremo come le procedure di raameo della covariaza dei residui, cioè della loro auocorrelazioe (correlazioe di u residuo co se sesso riardao di τ uià emporali), codurrao a modelli di caraere diamico. I effei l'auocorrelazioe dei residui deriva dall'esiseza di relazioi diamiche ei valori dell'edogea che o vegoo spiegae dalla pare sisemaica dell'equazioe (5..). Quese relazioi o spiegae porao all'auocorrelazioe dei residui ad esempio i seguio a: - preseza di edeza ella serie { }, - preseza di auocorrelazioe già ella { }, - specificazioe iesaa della (5..), dovua o a omissioe di variabili o alla scela di ua forma fuzioale erraa, - errori di misurazioe ei valori della { }. Le cosegueze dell'auocorrelazioe dei residui sugli simaori possoo essere periciose. I effei, se si sima la (5..) co gli OLS seza redersi coo che i residui soo correlai ra di loro, geeralmee si soosimao le variaze degli simaori, per cui: - gli errori sadard degli simaori dei parameri soo soosimai, - le di Sude soo sovrasimae, - gli idicaori R soo sopravvaluai. I coclusioe soo cosiderai sigificaivamee diversi da zero ache parameri di regressioe o sigificaivi e complessivamee buoe equazioi (5..) che o lo soo. I sovrappiù, le correlazioi ra gli simaori dei parameri di regressioe soo simae i modo iesao.

112 5.6 Tes di auocorrelazioe dei residui Dovedo simare u equazioe è allora ecessario dapprima accerarsi dell'esiseza dell auocorrelazioe dei residui e poi procedere alla sima, eedo eveualmee i cosiderazioe ale auocorrelazioe el caso che i es di esiseza abbiao dao resposo posiivo. Illusriamo i queso paragrafo il es di auocorrelazioe più comuemee uilizzao. Negli ai ciquaa e sessaa i modelli ecoomerici avevao ua sruura diamica semplice e l'auocorrelazioe che veiva rieua più rilevae era quella di riardo uo, ra u residuo ed il suo precedee oppure il suo seguee. Più ardi, co il deagliarsi della diamica delle equazioi, è aumeao il umero delle auocorrelazioi dei residui da cosiderare e da rilevare come eveualmee differei da zero mediae es. Illusriamo, allora, dapprima il es più usuale di verifica dell'esiseza di auocorrelazioe di riardo uo, dea ache del primo ordie, per poi passare, i alri capioli, ai es per l'auocorrelazioe di riardi superiori Il es di Durbi e Waso J. Durbi e G.S. Waso (95 e 95) cosruiroo u es per verificare l'ipoesi di esiseza di auocorrelazioe del primo ordie H ( ~, ~ : Corr u u ) = ρ() = (5.6.) coro l'aleraiva H ( ~, ~ : Corr u u ) = ρ() ma si accorsero subio di u problema comue a ui es di auocorrelazioe. L'ipoesi ulla (5.6.) riguarda il processo { u ~ } ma a disposizioe dell'ecoomerico o c'è ale processo besì la serie sorica { u } dei residui simai. La relazioe ra processo e serie sorica è duque fuzioe del campioe { x x x },, K, delle variabili esplicaive e così occorrerebbe cosruire u es di auocorrelazioe specifico per ogi campioe, cosa possibile ma chiaramee iacceabile. Vediamo come Durbi e Waso abbiao sviluppao u es che è sì basao sulle cosruiscoo la saisica u ma che supera queso problema. Essi

113 d = = ( u u = u ) u + u u u = = = = u = u = = u = u u = [ ρ()] (5.6.) dove il simbolo idica l'uguagliaza approssimaa e u u ρ = = u u = = u u = = (5.6.3) è la sima campioaria del coefficiee di auocorrelazioe del primo ordie. L'approssimazioe ella (5.6.) deriva dal fao che le due sommaorie u e u = o soo perfeamee uguali ma differiscoo per il primo e l'ulimo ermie. Se però è sufficieemee grade e poiché E ( ) =,, l'approssimazioe è geeralmee buoa. Si ha allora che se ρ ( ) = d = se ( ) ρ < + < d + 4 se ( ) ρ > d < + e l'ipoesi ulla (5.6.) è acceaa se la saisica 5 d è vicia a. Per sviluppare il es, Durbi e Waso deermiaroo umericamee la disribuzioe di d ~, che o è sadard, e e abularoo i valori al variare di e del umero delle variabili esplicaive che però per ora soo solao ua. Se o esisesse il problema della dipedeza di d dalla variabile esplicaiva, esposo sopra, dalle avole di Durbi e Waso sarebbe possibile rarre co precisioe gli esremi d e d dell'iervallo che coerrebbe il valore co ua daa probabilià. Così si acceerebbe l'ipoesi (5.6.) se la saisica d fosse compresa ra d e d; la si rifiuerebbe el caso corario. Malauguraamee, però, la disribuzioe di d ~ dipede dal campioe { x x x } u =,, K, e quidi d e d soo fuzioi di esso; ma Durbi e Waso si accorsero che, al variare del campioe, d si muoveva i u iervallo abbasaza risreo, delimiao da due valori 5 Viee chiamao così l elemeo pivo che si cosruisce ei es per la verifica delle ipoesi. 3

114 dl e du 6, e che similmee d, suo simmerico rispeo al puo d=, si muoveva ell'iervallo delimiao da 4 du e 4 dl. Cosruiroo, perao avole saisiche i cui porre la coppia di valori dl e du i fuzioe di, di k e del livello % o 5% di probabilià del es. Quesa viee eseguio facilmee sulla base del grafico seguee: d: d L d U 4- d U 4- d L 4 ρ ( ) + - Se la saisica d, idicaa spesso co le iiziali DW, è compresa ra du e 4 du il es suggerisce di acceare l'ipoesi ulla (5.6.) di asseza di auocorrelazioe di primo ordie.se d<dl il es suggerisce di rifiuare ale ulla e di acceare l'aleraiva di auocorrelazioe posiiva. L auocorrelazioe divea egaiva se 4 dl d<4. Se d cade i uo dei due iervalli [dl,du), [4 du,4 dl), il risulao del es è ideermiao. Durbi e Waso deermiaroo la disribuzioe della d ~, e quidi le avole, soo le due codizioi: i) la (5..) coiee l'iercea, ii) la variabile esplicaiva x o è socasica. e iolre soo l ipoesi che i residui u siao geerai dallo schema iii) u = ϕu + ε ϕ + (5.6.4) co ε ale che E ( ) = E %ε (5.6.5) s % % (5.6.6) σ ε = s ( ε ε s ) = Osservazioe 5. La codizioe ii) implica che x o può essere l edogea riardaa (di u qualsiasi riardo τ ) poiché % è sempre socasica (i τ quao fuzioe di u% τ ). 6 L=lower; U=upper; i iglese. 4

115 Osservazioe 5.3 L ipoesi iii) è eoricamee limiaiva i quao o ecessariamee l auocorrelazioe di riardo deriva dallo schema (5.6.4), che è deo auoregressivo del primo ordie (o di Markov) ed idicao co AR() 7. Nella praica la limiazioe (5.6.4) o è presa i cosiderazioe (el seso che o si verifica l esiseza dello schema (5.6.4) sui residui). Durbi e Waso cosruiroo avole per la saisica d co compreso ra 5 e, e co umero di esplicaive k iferiore o uguale a 5. N.E. Savi e K.J. Whie esesero le avole i modo da far variare ra 6 e, e k fio a compreso. Le avole che soo geeralmee espose ei esi di Ecoomeria coceroo il coribuo di quesi due auori, co livelli di sigificaivià dell' e del 5%. Riassumiamo i passi per l'esecuzioe del es: ) si sima l'equazioe (5..) e si deermia la serie { u }; ) si calcola il valore della saisica d mediae la (5.6.); 3) i fuzioe di, k = (o cosiderado quidi l iercea) e del livello di sigificaivià del es, ad esempio il 5%, si esraggoo dalle avole saisiche i due valori dl e du; 4) se d [du, 4 du) si è idoi ad acceare l'ipoesi ulla (5.6.), Tre esempi se d [, dl) si è idoi ad acceare l'aleraiva co ρ()>, se d [4 dl, 4) si è idoi ad acceare l'aleraiva co ρ()<, se d [dl, du) oppure d [4 du, 4 dl) il risulao del es è ideermiao. Osservazioe R.W. Farehoher (98) ha abulao i valori per il es di Durbi e Waso per il caso i cui l'iercea o sia presee ella (5..). Calcoliamo le saisiche d (DW) per re i modelli simai el paragrafo 3.8; essa è riporaa ella Tavola 5. isieme alla umerosià del campioe. I ui e re i casi d [, dl), per cui si è spii a rieere che i residui siao posiivamee auocorrelai di ordie uo. 7 Dall iglese Auo Regressive. 5

116 Modello d L d U DW Rea ierpolae il log dei cosumi Fuzioe del cosumo Relazioe ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi Tavola 5. Saisica DW e umerosià del campioe per i re modelli simai el paragrafo 3.8. I valori criici d L e d U soo di Savi e Whie. 6

117 5.7 Il raameo dell auocorrelazioe di ordie uo Suppoiamo che si debba simare il modello di regressioe semplice (5..) e che il es di Durbi e Waso abbia suggerio la preseza di auocorrelazioe del primo ordie, di fao idicado che i residui seguoo uo schema AR() del ipo (5.6.4) e che la sima dei miimi quadrai della (5..) verosimilmee è soggea ai difei elecai el paragrafo 5.5. I primo luogo è possibile che il modello o sia specificao correamee e che lo si debba compleare co alre variabili esplicaive; qualora o sia così oppure o si desideri aumeare il umero delle esplicaive è uile rasformare la (5..) i modo che la sima dell equazioe rasformaa o abbia quesi difei. Iaziuo se ϕ = ella (5.6.4) si ha che u = ε e le ipoesi socasiche deboli sui residui u% soo quelle classiche. Se ϕ possiamo riardare di ua uià emporale la (5..) oeedosi poi la moliplichiamo per ϕ = µ + β x + u ϕ = ϕ µ + ϕ β x + ϕ u (5.7.) e soraiamo ifie membro a membro la (5.7.) alla (5..) ( ) ( ) ϕ = µ ϕ + β x ϕ x + ε (5.7.) avedo fao uso della (5.6.4). Si dice che sulla (5..) si è operao co ua quasi differeza, come del reso avevamo fao el paragrafo. co lo schema a riardi disribuii (..7). Qualora si cooscesse ϕ la (5.7.) porebbe essere simaa co i miimi quadrai ordiari i quao il residuo soddisfa alle ipoesi deboli. Sorge quidi il problema di deermiare ϕ. ϕ deermiao dalla saisica d di Durbi e Waso U meodo molo semplice ma efficace per deermiare ϕ si basa sul fao che ello schema AR() il paramero ϕ è proprio uguale al coefficiee di auocorrelazioe del primo ordie ρ ( ), come mosrao ell Appedice 5.. Allora dalla (5.6.) roviamo la sua sima ( ) ρ = d (5.7.3) 7

118 che o è molo precisa ma è immediaamee oeua dao che praicamee ui i programmi di calcolo ecoomerico deermiao d mediae la (5.7.3) a ρ ( ) { ϕ } e { x ϕ x } olreché ( ϕ ) = DW. Da quesa saisica si risale = ϕ e quidi si possoo calcolare le serie di quasi differeze, ecessarie per simare la (5..). Si oi che così facedo oeiamo sime che o soffroo dei difei idicai el paragrafo 5.5 ma o simiamo più la (5..) besì la (5.7.) che possiamo scrivere ella forma ( ) ( ) = ϕ + µ ϕ + β x ϕ x + ε (5.7.4) Esempio 5.4 Cosideriamo la relazioe (3.8.4) ra asso di cambio omiale e prezzi relaivi per la quale è saa calcolaa ua saisica d pari a.359 (avola 5.). Dalla (5.7.3) si rae che approssimaivamee è ϕ ρ ( ) = =.8 per cui la (5.7.4) simaa divea ( ) ( x x ) ω =.8ω (5.7.5) cioè ( x x ) ω =.8ω campioe 97 ; R =.74 SE dei residui =.8; RSS =.5; TSS =.98 Il meodo di Cochrae e Orcu Sempre el caso di schema auoregressivo sui residui AR(), i due ecoomerici sauiesi D. Cochrae e G.H. Orcu (949) svilupparoo, per deermiare ϕ, ua procedura ieraiva che uilizzava per la sima gli OLS. Tale procedura viee iescaa da u valore iiziale arbirario per ϕ, prosegue co il calcolo delle quasi differeze, quidi co la sima OLS dell'equazioe e dei residui. Tramie quesi e la sima campioaria (5.6.3) si perviee ad u uovo valore per ϕ e la procedura viee ieraa i u uovo passo. E così via fio a che il migliorameo di ϕ è iferiore ad ua soglia prefissaa (ad esempio.). Il razioale di queso meodo si basa sul fao che ad ogi ierazioe il valore simao di ϕ è sempre più vicio al valore effeivo. Nel deaglio, i passi della procedura soo: 8

119 ) si prefigura u valore ϕ arbirario (il umero i apice idica l ierazioe); ad esempio ϕ = oppure il valore che deriva dalla serie { u } deermiaa simado la prima delle (5..) co gli OLS; ) si calcolao le serie delle quasi differeze co ϕ = ϕ e si sima co gli OLS l'equazioe (5.7.) 3) si calcola la serie { ε } e su di essa si sima ϕ = ϕ ; 4) si ierao i passi ) e 3) fiché la differeza ϕ i i ϕ sia miore di ua soglia prefissaa. Queso meodo può avere due difei. I primo luogo è possibile che la covergeza o vega raggiua, cioè che ϕ i i ϕ o arrivi ed essere miore della soglia. Per ovviare a queso difeo è ecessario cambiare il valore di ϕ di iesco. I secodo luogo è possibile che la covergeza sia sì raggiua, ma su di u miimo locale, e o globale, per la deviaza dei residui. I alre parole, esise u valore per ϕ diverso da quello di covergeza per il quale la deviaza è acora iferiore. Per ovviare a queso possibile difeo è uile ripeere la procedura più vole co valori di iesco differei e verificare che i ciascua la deviaza fiale sia sempre uguale. Se o lo è si sceglie il valore di covergeza al quale corrispode la deviaza miima. Il meodo di Cochrae-Orcu ha il grade vaaggio compuazioale di uilizzare per la sima solao gli OLS. Possiede, iolre, ua grade efficacia didaica poiché coiee, i uce, gli elemei delle procedure ieraive di oimizzazioe (i paricolare degli OLS o lieari), co l'ideificazioe dei possibili difei. I effei l equazioe = e β i (5.7.4) che si vuole simare è o lieare ei re parameri ϕ, µ µ ( ϕ ) quao esise ache il prodoo β ϕ. Il meodo ieraivo che hao uilizzao Cochrae e Orcu, di fissare i ogi ierazioe u paramero e poi simare gli alri due i u modello lieare fio al raggiugimeo di ua forma di covergeza, è u modo semplice ma efficace di raare la o liearià, valido didaicamee sempre, e operaivamee soprauo quado o c erao le capacià di calcolo che soo oggi dispoibili. 9

120 5.8 Tes di cambiameo sruurale per il modello semplice (Tes del Chow) Affroiamo ora il erzo ipo di malaspecificazioe, quello che deriva dalla possibilià che il campioe o sia uo omogeeo ma presei u puo i cui cambia. Suppoiamo, i alre parole, che dal empo all esimo, il primo sooperiodo, valga la sruura ecoomica rappreseaa dall equazioe = µ + β x + u =,, K, (5.8.) e dal empo ( + ) -esimo fio all ( ) sruura ecoomica, rappreseaa dall equazioe + -esimo, il secodo sooperiodo, valga u alra = µ + βx + u = +, +, K, + (5.8.) I ciascuo dei due sooperiodi, di lughezza ed rispeivamee, suppoiamo che il campioe sia omogeeo, ma vogliamo verificare che i due campioi siao ache omogeei ra di loro. I queso caso valgoo le ipoesi ulle H : µ = µ = µ, β = β = β (5.8.3) che o ci sia cambiameo sruurale e le due equazioi (5.8.) e (5.8.) soo ideiche = µ + β x + u =,, K, + (5.8.4) I cambiamei sruurali soo molo comui ei sisemi ecoomici: u esempio classico è dao dal cambiameo del regime di cambio, da fisso a flessibile e viceversa; u alro dal cambiameo della quoa di imposizioe fiscale, sulle imprese o sulle persoe fisiche; u alro acora dall improvvisa scarsià di cere risorse i caso di guerra; ecc. Se si cosidera la relazioe ra il asso di cambio omiale (valua azioale ialiaa)/$usa e i prezzi relaivi, simaa ella (..6) e ella (3.8.4) è possibile che mosri u cambiameo di sruura el 979, quado l Ialia aderì ad u sisema (lo SME) di cambi fissi ma aggiusabili (i Europa). I queso caso il primo soocampioe adrebbe dal 96 al 979 e l equazioe simaa sarebbe ω =.6.x = 96,96, K,979 : (7.349) (-7.647) (5.8.5) campioe ; R =.764 SE dei residui =.4 ; RSS =. ; TSS =.46

121 mere il secodo soocampioe adrebbe dal 98 al 99 (ao i cui l Ialia uscì dallo SME) e l equazioe simaa sarebbe ω =.6.49x = 98,98, K,99 : (4.537) (-.39) (5.8.6) campioe 98-99; R =.5 SE dei residui =.34; RSS =.97 ; TSS =.3 Ci si può domadare se le due equazioi (5.8.5) e (5.8.6) soo effeivamee differei (cioè se el 979 c è u cambiameo di sruura ecoomica) oppure o, e si può simare u equazioe sola su uo il periodo ω =.953.4x = 96,96, K,99 (5.8.7) campioe 96-99; R =.788 SE dei residui =.94 ; RSS =.7 ; TSS =.8 Il caso > k, > k Per rispodere a quesa domada è opporuo ricorrere a dei es, che ella sosaza cofroao le variabilià della ω ei due soocampioi: se esse soo uguali, i es ci spigoo a cosiderare omogeeo l iero campioe; se soo sigificaivamee diverse, i es ci spigoo ad acceare il cambiameo sruurale. sia Illusriamo il primo di quesi es, che si basa sulla deviaza dei residui RSS ; quesa RSS V el caso del modello (5.8.4), dove il pedice v idica il fao che la sima è saa effeuaa soo il vicolo dell ipoesi ulla (5.8.3); il umero di g.d.l. associao a quesa deviaza è evideemee uguale alla umerosià dell iero campioe, +, meo il umero dei parameri da simare, che el caso del (5.8.4) è ma che el es prediamo geericamee pari a k per poer usare queso ache i relazioe ai modelli mulipli. D alro cao la deviaza RSS NV del modello i cui o vale la ulla (5.8.3), e quidi è formao dalle due equazioi (5.8.) e (5.8.), è daa dalla somma delle deviaze dei residui delle due equazioi, e il umero di g.d.l. associao è dao dalla somma dei due g.d.l., k e k, cioè + k. Facciamo la differeza di quese due deviaze e dividiamola per la differeza dei umeri di g.d.l. relaivi

122 RSS RSS V NV ( + k ) ( + k ) ( ) = RSS RSS k V NV (5.8.8) che dimosreremo el caso dei modelli mulipli possedere disribuzioe del il proprio umero di g.d.l. che è proprio k. Acora disribuzioe del proprio umero di g.d.l. è avua da RSS ( k ) NV χ divisa per χ divisa per il +, come acora dimosreremo el caso dei modelli mulipli, di modo che il rapporo ( RSSV RSSNV ) k ( + ) RSS k NV (5.8.9) ha disribuzioe della F di Fisher co k e ( k ) + g.d.l., come idicao ell appedice 3.. Ache l idipedeza del umeraore e del deomiaore della (5.8.9) sarà dimosraa i seguio. Tramie il rapporo (5.8.9) è possibile verificare l ipoesi ulla (5.8.3) co il cosiddeo es della F di Fisher. Il es della F di Fisher Poiché soo la H il rapporo (5.8.9) ha disribuzioe F + el 95% dei casi si k, k colloca ella regioe di acceazioe del es, F ) dove F è il quaile di probabilià 95%, mere el 5% dei casi si colloca ella regioe di rifiuo F, + ). Basa allora calcolare il valore (5.8.9) e rovare il quaile F dalle avole della F di Fisher co k, ( + k ) g.d.l.; se ale valore cade ell iervallo, F ) si è spii ad acceare l ipoesi (5.8.3) di omogeeià, alrimei a rifiuarla (ed acceare quidi l ipoesi di cambiameo sruurale). Ovviamee il 95% di probabilià può essere sosiuio co il 99% o il 9%, a secoda dei desideri del ricercaore. L effeuazioe del es procede quidi per i passi seguei: ) Si sima l equazioe (5.8.4) e si deermia RSS V (co + k g.d.l.) ) Si sima l equazioe (5.8.) e si deermia RSS (co k g.d.l.) 3) Si sima l equazioe (5.8.) e si deermia RSS (co k g.d.l.) 4) Si deermia RSSV = RSS + RSS (co + k g.d.l.) 5) Nel caso del modella (5.8.4) si calcola il rapporo (5.8.9) co k =.

123 6) Si rova il valore soglia F elle avole della F + avedo scelo il livello di, 4 sigificaivià al 9 o al 95 o al 99%. 7) Se il rapporo (5.8.9) cade ell iervallo, F ) si è spii ad acceare l ipoesi ulla (5.8.3) di omogeeià del campioe; se cade i F, + ) si è spii ad acceare l ipoesi aleraiva di cambiameo sruurale. Nel caso dell esempio precedee si oiee RSS V =.7, RSSNV RSS RSS = + =.+.97 =.8, k =, =, = 3 per cui il rapporo (5.8.8) vale Queso valore cade ell iervallo F, + ), dove F è il quaile al 95% della disribuzioe della F, 3.33,9, e quidi si è spii ad acceare l ipoesi di cambiameo sruurale. Il caso > k, k Spesso accade che uo dei due sooperiodi sia molo coro, co u umero di osservazioi iferiore o uguale a k, che el caso dei modelli semplici vale. Se suppoiamo, come i geere accade e seza perdere i geeralià, che queso sooperiodo sia il secodo, si ha che la deviaza residua relaiva è ulla e quidi RSS NV si riduce alla sola deviaza residua RSS della prima equazioe, co k g.d.l. La (5.8.7) divea allora e la (5.8.8) RSS V RSS ( + k ) ( k ) ( V ) RSS ( k ) RSS RSS ( ) = RSS RSS V (5.8.9) (5.8.) per cui i passi del es precedee diveao ora ) e ) Come sopra. 3) e 4) RSS = per cui RSSNV = RSS. 5) Si calcola il rapporo (5.8.) co k =. 6) Si rova il valore soglia F elle avole della F, avedo scelo il livello di sigificaivià al 9 o al 95 o al 99%. 7) Come sopra, sosiuedo il valore di (5.8.) a quello di (5.8.9). 3

124 Il fao che il rapporo (5.8.) abbia disribuzioe della F di Fisher è sao dimosrao dal Chow (96) ed è per queso che il es relaivo è deo es del Chow. Per esesioe si usa dare lo sesso ome ache al es che uilizza la saisica (5.8.8). 4

125 5.9 Il es di ormalià di Jarque Bera Ci occupiamo ora di verificare l ipoesi v) che impoe ai residui di avere disribuzioe ormale per poersi fare ifereza saisica sulle sime. Il es che uilizziamo, sviluppao da Jarque e Bera (987), corolla due caraerisiche della ormale, dee simmeria e curosi, di defiizioe ovvia la prima e coceree la piaezza del picco la secoda. Misurado le due caraerisiche co due idici apposii, e cooscedo i valori di quesi idici per la ormale, il es di Jarque e Bera suggerisce di cosiderare o ormale la disribuzioe co valori degli idici loai da quelli della ormale. L idice di asimmeria 8 è dao semplicemee da co E ( x) α E ( x ) 3 3 = % 3 µ (5.9.) σ µ = % cioè dal valor medio dello scaro x % µ al cubo, diviso per il cubo di σ. Si E x µ σ = E x% µ e che oi che ( % ) 3 ha la sessa coformazioe della variaza ( ) 3 σ serve solao per ormalizzare α 3. Ovviamee è α 3 = per la ormale. L idice di curosi 9 è defiio i modo del uo aalogo α E x 4 = 4 µ σ ( % ) 4 sosiuedo al cubo la poeza quara. Si può dimosrare che per la ormale è α 4 = 3. Jarque e Bera hao dimosrao che soo l ipoesi ulla di ormalià la variabile aleaoria JB% = α α 4 ( ) dove α 3 ed α 4 soo gli simaori campioari di α 3 ed α 4, rispeivamee, approssimaivamee e per grade ha disribuzioe del χ co g.d.l., per cui ua vola deermiao il valore JB, queso viee uilizzao ero u semplice es del chi quadrao per verificare la ormalià dei residui. Si oi che il valore JB dei residui di u equazioe è geeralmee forio ei risulai della sima della maggior pare dei programmi di calcolo ecoomerico. 8 Skewess coefficie, i iglese. 9 Kurosis coefficie, i iglese. 5

126 Appedice 5. Complemei aaliici Uguagliaza ra coefficiee di auocorrelazioe del primo ordie e ρ Tale uguagliaza è facilmee mosraa co l uso del cosiddeo operaore di riardo s L, ale che applicao ella geerica variabile z la riarda di s uià emporali s L z = (A.5..) z s e per il quale valgoo le proprieà ( ) s L a z b w a z s b w s + = + (A.5..) ( ) s s s a L + b L = a + b L (A.5..3) s ν L L s+ ν = L (A.5..4) co a e b cosai arbirarie. Iolre da cui, ovviamee, s L a = a (A.5..5) s L = Applicado la (A.5..) ella (5.6.4) si oiee ( ϕl) u u = ε ϕl = ε (A.5..6) = ( + ϕl + ϕ L +...) = ε se ϕ< e dove è saa uilizzaa la somma ifiia dei ermii di ua successioe geomerica di ragioe ϕ ; allora E u ~ ( ) = ( + ϕl + ϕ L +...) E( ~ ε ) = (A.5..7) Cov( u~, u~ ) E( u ~ u~ ) = E[( ϕu~ + ~ ε ) u ~ = ϕσ (A.5..8) = ] u ρ( ) = ϕσ u / σ u = ϕ (A.5..9) 6

127 CAPITOLO VI IL MODELLO LINEARE MULTIPLO 7

128 6. I veori e la moliplicazioe righe per coloe Le sesse argomeazioi che hao porao a cosruire il modello (.6.) el quale c è ua sola variabile esplicaiva x possoo essere uilizzae el caso i cui di esplicaive ce e siao più di ua. I effei ello sesso (.6.) possiamo supporre che siao presei due variabili esplicaive, x ed x, i al guisa che esso divei = µ x + β x + u (6..) e che sia cosaemee x = (6..) Il modello cosiuio dalle due equazioi (6..) e (6..) è esaamee equivalee al (.6.) ma ci permee di irodurre u uovo modo di scriura maemaica che agevola oevolmee i calcoli: il modo veoriale e mariciale, relaivo cioè ai veori e alle marici. Nella (6..) abbiamo due parameri, µ e β, che possiamo meere i fila, l uo accao all alro, [ µ β ] (6..3) formado quello che si chiama veore riga (dei due parameri). Aaloga operazioe può essere effeuaa co le due variabili x ed [ ] x x x (6..4) oeedosi il veore riga delle variabili. Si oi che i due veori soo defiii ramie pareesi quadre. I due parameri ella (6..3) così come le due variabili ella (6..4) cosiuiscoo gli elemei dei veori riga. I ambio veoriale (e mariciale) quesi elemei (umeri o leere) soo dei scalari. Il umero degli elemei compoei u veore e cosiuisce la dimesioe. Se i due elemei soo messi uo sopra l alro ivece che accao, si ha u uovo ipo di veori, quelli chiamai coloa; il veore coloa dei parameri è allora µ β (6..5) e il veore coloa delle variabili esplicaive è l alro x x (6..6) 8

129 che deoiamo, per essere brevi, co ua sola leera, ma i grasseo per far capire che è u veore, per i parameri e x per le variabili µ = β, x x = x (6..7) Chiamai i quesa maiera i due veori coloa, ci si aspeerebbero alri omi per i due veori riga, ma, sempre per essere sieici, usiamo gli sessi simboli, e x, sebbee quesa vola co u apice, e x, = [ µ β ], = [ x x ] x (6..8) I effei i veori riga differiscoo fodamealmee da quelli coloa, come i seguio sarà meglio evideziao, e quidi è ecessario differeziarli i qualche modo, appuo co u apice. I veori riga (6..8) soo dei rasposi dei veori coloa (6..7) e viceversa. Il passaggio dai primi ai secodi, o da quesi a quelli, forma u operazioe, che è dea di rasposizioe. Tramie i veori (6..7) e (6..8) è possibile scrivere i maiera semplificaa la combiazioe lieare µ x + β x del modello (6..): defiiamo ifai ua secoda operazioe, la moliplicazioe righe per coloe ra u veore riga ed u veore coloa, che si effeua moliplicado ciascu elemeo del veore riga per l elemeo di poso corrispodee el veore coloa e sommado i prodoi oeui x µ β µ x β x x = + [ ] (6..9) Il risulao della moliplicazioe è allora uo scalare che viee appuo chiamao prodoo scalare; facedo uso della prima delle (6..8) e della secoda della (6..7) possiamo scrivere queso come x. Poiché è si ha che µ x + β x = x µ + x β x = x (6..) che è u alro modo di scrivere il prodoo scalare x. I effei se usiamo della proprieà dell operazioe di rasposizioe secodo la quale il rasposo di u prodoo 9

130 (scalare di due veori) è uguale al prodoo dei rasposi dei due veori iverii di poso oeiamo x = x = x ( ) ( ) (6..) dove ell ulimo passaggio abbiamo uilizzao l ovvio fao che il rasposo di u veore rasposo è uguale al veore sesso. La (6..) idica u alro ovvio fao: che il rasposo di uo scalare (u umero o ua leera) è lo scalare sesso. Sfruado la (6..9), allora, la (6..) può essere scria i ermii veoriali ella forma = x + u (6..) oppure, per la (6..), ell alra = x + u (6..3) 3

131 6. Il modello lieare muliplo L uilià di scrivere la (6..) ei ermii veoriali (6..) o è molo evidee; ma lo divea quado ivece di avere solao due variabili esplicaive e abbiamo u umero maggiore, k Se poiamo = β x + β x + K + β x + u (6..) k k = [ β β K β ], = [ x x x ] k x K (6..) k il prodoo scalare (6..9) divea ora x x x = [ β β K β ] = β x + β x + K+ β x M xk k k k (6..3) e la (6..) può essere scria ella forma veoriale (6..), molo più sieica e quidi più uile. Il modello (6..) è lieare e muliplo, perché coiee u umero di variabili esplicaive k superiore ad uo (più l iercea). I Saisica esso forma ua regressioe lieare mulipla. Il ermie addiivo u misura uo quao o è spiegao dalle variabili esplicaive x i e per queso moivo è chiamao residuo; esso è cosiuio ra l alro dalla possibile aggregazioe di: - variabili che o soo sae iserie ra le esplicaive (omesse) e che ivece spiegherebbero pare di, - impulsi accideali prodoi dal sisema ecoomico su, validi solao per alcue e o i modo sisemaico per uo il campioe, - elemei caraerisici di, ad esempio le sagioalià, che o si riesce a spiegare per mezzo delle x i, - errori ella misurazioe della, - elemei di disurbo dovui al fao che la specificazioe della (6..) è lieare, mere avrebbe dovuo essere o lieare rispeo ad alcue delle variabili esplicaive. 3

132 Osservazioe 6. - Da quesa caraerizzazioe segue che o ha seso cosiderare u come u errore, ache se i ale modo sovee viee chiamao a seguio delle prime uilizzazioi del modello (6..) i demografia e elle scieze fisiche. Quesa deomiazioe, i ecoomeria, è chiaramee u errore. Facciamo due esempi di applicazioe della (6..) che coiee la (.6.) come caso paricolare: quesa è saa esposa prima ai fii esclusivamee didaici. Nel primo esempio rappresea ua fuzioe delle esporazioi ella quale l = β + β l x + β l x + β l x + β l x + u (6..5) esise l iercea β per cui la variabile esplicaiva corrispodee è saa posa cosaemee uguale ad uo, = imporazioi di bei e servizi, x = cosumi fiali ieri delle famiglie più cosumi colleivi, x 3 = ivesimei fissi lordi più esporazioi di bei e servizi più variazioe x 4 delle score, = deflaore implicio delle imporazioi, x 5 = deflaore implicio del PIL, per cui β >, β 3 >, β 4 <, β 5 >. La (6..5) è u equazioe log lieare, cioè lieare ei logarimi delle variabili, ed è facilmee liearizzabile sosiuedo ua variabile o logarimizzaa dove w al poso di ogi logarimizzaa. I u secodo esempio la (6..) rappresea ua fuzioe della domada di moea l = β + β l x + β x + u (6..6) 3 3 = domada di moea i ermii reali x = prodoo iero lordo i ermii reali x 3 = asso d ieresse a breve per cui β >, β 3 <. 3

133 6.3 I miimi quadrai el modello lieare muliplo I residui presei ella (6..) hao lo sesso sigificao illusrao el paragrafo.6 per il modello semplice: rappreseao la disaza ra i pui osservai e (o più la rea fuzioe di ua sola variabile esplicaiva ma) l iperpiao idividuao dalla combiazioe lieare β x + β x + K + βk xk. Se k =3 e x =,, l iperpiao divea u piao classico, fuzioe di due variabili solao, la x e la x 3. Sorge, a queso puo, il problema di deermiare le sime dei parameri β, β,, β k co u paricolare crierio (illusreremo i seguio quello dei miimi quadrai); rovae quese, si simao ache i residui secodo la sessa regola del paragrafo.4. ( β β β ) u = = x + x + K + x (6.3.) k k Ache i queso caso di modello muliplo, che per maggiore semplicià scriviamo ella forma veoriale (6..), la combiazioe lieare del modello mere ramie la (6.3.). x è la compoee sisemaica u% e rappresea la compoee aleaoria, che può essere simaa Per arrivare a queso possiamo uilizzare il crierio dei miimi quadrai, che abbiamo già irodoo el paragrafo.3: dobbiamo deermiare i valori dei parameri coeui el veore i modo che sia miimizzaa la deviaza dei residui S ( ) mi = mi = mi = = ( x ) ( ) u S (6.3.) caea di uguagliaze che geeralizza la (.6.). Per rovare l espressioe di S ( ) i modo da poer effeuare la miimizzazioe (6.3.) scriviamo la (6..) ella forma (6..3) per ogi del campioe, da a, [ K k ] [ K ] = x x x + u = x x x + u K = [ x x K x ] + u k k (6.3.3) sisema di equazioi che possiamo scrivere acora ell alra forma 33

134 x xk xk u x x x k u K = + M M M M M x x K xk u (6.3.4) dove le [ x x x ] k soo sae racchiuse i u veore coloa, così come le u, e i veori riga K soo sai racchiusi i u veore coloa che ha per elemei i veori riga di cui sopra; queso veore di veori è chiamao marice, è idicao co X e vale acora per esso la moliplicazioe righe per coloe, che avviee i ogi riga x xk xk β x β xkβk xk x x K xk β x β x Kβk xk X = = M M M M M M x x K x β x β x Kβ x k k k (6.3.5) Se idichiamo co il veore delle quidi essere scria ella forma compaa e co u quello dei residui u, la (6.3.4) può = X + u (6.3.6) che chiamiamo mariciale. I quesa forma abbiamo uilizzao ua uova operazioe ra veori, la erza dopo quelle di rasposizioe e di moliplicazioe righe per coloe. E l operazioe di addizioe ra veori che hao la sessa dimesioe, quello X dao dalla (6.3.5) e il veore u : il risulao dell addizioe di due o più veori della sessa dimesioe è u veore (somma) che ha come elemei le somme degli elemei dello sesso poso ei veori addedi. Per rovare S ( ) effeuiamo la moliplicazioe righe per coloe di u per se sesso u u u u = u u Ku = u + u + K+ u = u M = [ ] u (6.3.7) dalla quale si vede che la deviaza dei residui è proprio uguale al prodoo scalare u u, per cui il crierio dei miimi quadrai (6.3.) impoe la miimizzazioe, rispeo a, di S ( ) = u = u u = ( - X) ( - X ) = (6.3.8) dove ell ulimo passaggio si è poso 34

135 u = - X (6.3.9) raa dalla (6.3.6) co lo sposameo di X all alro membro. 35

136 6.4 Veori e marici Rivediamo ora eoricamee i cocei di algebra mariciale, cioè riguardai i veori e le marici, uilizzai ei re paragrafi precedei e che uilizzeremo el seguee. Veori Se meiamo i fila gli elemei di ua successioe (di umeri, di leere, ), co idice variabile da a, a a a (6.4.) oeiamo u veore. Parimei, cosiuiscoo u veore gli elemei di ua serie sorica {x} x x x che si differeziao da quelli i (6.4.) semplicemee perché soo associai ad u idice emporale. I geerale u veore è formao da ua eupla di elemei (ad esempio umeri reali) idicaa co ua leera i ereo, ad esempio a. Il umero iero cosiuisce la dimesioe del veore. U veore reale di dimesioe è uo scalare, ovvero u umero reale. Per covezioe, gli elemei soo orgaizzai i coloa a a a =... a I alri ermii, i macaza di idicazioi corarie i veori che cosidereremo sarao ui veori coloa. Dao u veore a, si uilizza u apice per deoare il rasposo, ovvero u veore che coiee gli sessi elemei di a, ma orgaizzai i riga a =[a a a]. Traspoedo uovamee u veore riga si oiee u veore coloa, ed è quidi possibile scrivere ad esempio a = [a a a]. Il veore è quello i cui elemei soo ui ulli. Operazioi ra veori Due veori della sessa dimesioe a = [a a a] e b = [b b b] soo dei uguali se ai = bi per ogi i; la loro somma è il veore il cui elemeo i-esimo è dao dalla somma degli elemei di poso i i a e i b 36

137 c = a + b = [a+b, a+b,, a+b] Quese defiizioi si esedoo immediaamee al caso di più di due veori (di uguale dimesioe). Dai re veori a, b e c, si verificao facilmee le proprieà a+b = b+a, (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c Il prodoo d a del veore a per lo scalare d è il veore il cui elemeo i-esimo è dao dal prodoo di d per l'elemeo di poso i i a: da = [da, da, da]. Dai due veori di uguale dimesioe a e b e due scalari d ed f, si verificao immediaamee le proprieà d(a+b) = da+db, (d+f)a = da+fa d(fa) = f(da) = dfa, (da+fb) = da +fb L operazioe di moliplicazioe di u veore per uo scalare ci permee di defiire la differeza fra due veori a e b, che si oiee moliplicado il secodo per lo scalare e sommadolo al primo: a b = a + (-) b = [ a b, a b,, a b ]. Si chiama prodoo scalare (o iero) a b di due veori a e b che hao la sessa dimesioe lo scalare uguale alla somma dei prodoi degli elemei che hao lo sesso poso ei due veori a b = a b + a b + K + a b (6.4.) Poiché a è u veore riga e b è ua coloa quesa operazioe è dea moliplicazioe riga per coloa. Dalla (6.4.) si rae che la somma dei quadrai degli elemei di u veore a=[a a a] può essere espressa mediae il prodoo scalare a i i= a a = (6.4.3) La deviaza oale e la residuale di u modello di regressioe cosiuiscoo esempi di prodoo scalare del ipo (6.4.3). Marici Ua avola a doppia eraa di elemei (ad esempio umeri reali) disposi su righe ed m coloe, co ed m ieri posiivi, è dea marice ed è idicaa co ua leera maiuscola i ereo 37

138 a a A =... a a a a am a m... a m (6.4.4) Tale marice è dea avere ordie m ed è composa dagli elemei aij, i =,,,, j =,,, m. Se = m, la marice è dea quadraa, di ordie. U veore riga ad dimesioi è ua paricolare marice di ordie, mere u veore coloa della sessa dimesioe è ua marice di ordie. Gli elemei aii, i =,,,, di ua marice quadraa apparegoo alla diagoale pricipale e soo dei elemei diagoali; l'alra diagoale di ua marice quadraa è dea secodaria. Ua marice quadraa di ordie è uo scalare. Se ui gli elemei di ua marice soo ulli, essa è dea marice ulla ed è idicaa co. Se ui gli elemei di ua marice quadraa soo ulli salvo quelli dislocai sulla diagoale pricipale, la marice è dea diagoale ed è idicaa co d D =... d d (6.4.5) dove le dj soo gli elemei o ulli della marice, dei elemei diagoali. Se gli elemei diagoali soo ui pari ad uo, la marice è dea uiaria o ideica (o uià) ed è idicaa co I = (6.4.6) dove l'idice, che rappresea l'ordie della marice quadraa, può essere omesso. 38

139 6.5 Operazioi ra marici Due marici dello sesso ordie soo uguali se gli elemei corrispodei (dello sesso poso) soo uguali. La somma C = A+B di due marici che hao lo sesso ordie è ua marice acora dello sesso ordie che ha per elemeo geerico cij = aij+bij. Quesa defiizioe è immediaamee geeralizzaa al caso della differeza e a quello della somma di più di due marici. Si può facilmee verificare che valgoo le proprieà A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C Il prodoo di ua marice A per uo scalare d è la marice che ha per elemeo geerico daij. La rasposizioe di ua marice A di ordie m e di elemeo geerico aij è ua operazioe che rasforma A ella marice A di ordie m e di elemeo geerico aji; i alre parole, ella rasposizioe si scambiao le righe co le coloe, ovvero il j- esimo veore riga di A è il rasposo del j-esimo veore coloa di A. La marice A è dea rasposa di A. Esempio 6. - La rasposa di 4 A = è 3 A = 4 3 Esempio 6. - Sia A la rasposa della marice A dell'esempio precedee ed iolre sia B = (6.5.) 3 Allora la loro marice somma C è daa da 3 C = A + B = Se A è quadraa ed uguale alla sua rasposa, è dea simmerica (è aij=aji). Se d ed f soo due scalari, valgoo le proprieà (A ) =A, (da) =da, (da+fb) =da +fb (6.5.) 39

140 4 Si dice prodoo righe per coloe A B della marice A, m, per la B, m k, la marice C = A B di ordie k co elemeo geerico sj m s is ij b c a = =. Il ome di queso prodoo deriva dal fao che ogi elemeo di C è cosiuio dalla combiazioe lieare degli elemei di ua coloa di B co pesi dai dagli elemei di ua riga di A. Si oi che cij è il prodoo scalare (6.4.) dell i-esima riga di A per la j-esima coloa di B. Esempio Se A e B soo le marici degli esempi precedei il loro prodoo righe per coloe è = = B A (6.5.3) A meo che o sia k= il prodoo B A o esise; iolre, per k=, i geerale è A B B A, cioè o vale per le marici la proprieà commuaiva della moliplicazioe. Esempio Dae le marici A e B dell'esempio precedee, si ha = = A B (6.5.4) Allora il prodoo di A, 3, per B, 3, è ua marice di ordie ; il prodoo B A è ua marice di ordie 3 3. Osservazioe 6. - Poiché i veori soo casi paricolari di marici, il veore riga a di elemei può essere cosiderao come il rasposo del veore coloa a. Il prodoo scalare a b ra due veori che hao la sessa dimesioe è quidi ua marice di dimesioe, cioè uo scalare. Ivece il prodoo ab è ua marice quadraa di ordie. Esempio Dao il veore a=[ ] di dimesioe cique, il prodoo aa vale = = ] [ a a marice quadraa di ordie cique.

141 Se A è di ordie m, B e C soo di ordie m k e D è di ordie k v, valgoo le seguei proprieà, co d, f, h scalari e co le marici ed I di ordie appropriao, A = A =, I A = A I = A A(fB + hc) = fab + hac (da)b = A(dB) = d(ab) = dab (A B) = B A, come facilmee si verifica. (AB)D = A(B D) = A B D (6.5.5) Osservazioe 6. - Se A è ua marice di ordie m, il prodoo A A è ua marice quadraa di ordie m simmerica, cioè ale che aij = a ji. Ifai essa è uguale alla sua rasposa per la prima delle (6.5.5) (A A) =A A dove abbiamo ache sfruao la prima delle (6.5.). Se A è ua marice di ordie m e b è u veore m, il prodoo Ab è u veore coloa. Esempio Siao la marice A ed il veore b defiii egli esempi precedei; allora Ab = = Se A è ua marice di ordie m e b è u veore, il prodoo b A è u veore riga m. Esempio Sia la marice A degli esempi precedei e b =[ 3]; allora La marice iversa Si defiisce co per la quale b A = 3 4 [ 3] = [ 3 ] - A la marice iversa siisra della marice quadraa A, cioè quella Aalogamee si può defiire la marice iversa desra i modo ale che sia - A A = I (6.5.6) - AA = I - A della marice quadraa A - - Poiché AA = A A = I, l iversa desra e l'iversa siisra di ua marice quadraa coicidoo e soo semplicemee dee iversa. 4

142 Il deermiae Daa ua marice quadraa A di ordie, si dimosra che la sua iversa cosise el prodoo dell'iverso del suo deermiae, che è uo scalare, per la sua marice aggiua, ache quesa di ordie, che defiiremo ell appedice 6.. Segue da queso che ache la marice iversa è di ordie. Se idichiamo co de A il deermiae e co agg A l'aggiua, si ha, duque, A = agga (6.5.7) dea dalla quale segue che se de A allora esise l'iversa è dea o sigolare. Se de A =, la marice è chiamaa sigolare. - A ; i queso caso la marice A 4

143 6.6 Le sime dei miimi quadrai S è deo el paragrafo 6.3 che le sime del veore di parameri oeue co il crierio dei miimi quadrai impogoo la miimizzazioe della deviaza S ( ) daa dalla (6.3.8). Nell appedice 6. si dimosra che queso avviee se valgoo le equazioi ormali ( ) X X = X (6.6.) dalle quali si rae il veore delle sime dei parameri moliplicado a siisra per la marice quadraa ( ) X X se queso esise ( ) = X X X (6.6.) Quese sime vegoo chiamae dei miimi quadrai ordiari (OLS) per differeziarle da alre, acora oeue co il crierio dei miimi quadrai, che esporremo i seguio. Poiché l iversa della marice ( X X ) esise se il suo deermiae è oullo, la sima (6.6.) esise se vale l ipoesi Le sime dei residui ( ) de X X (6.6.3) Dalla sima dei parameri defiia dalla (6.6.) si raggoo immediaamee la eorica che fa da coroalare alla osservaa defiia dalla (6.3.6) geeralizzae la prima delle (.6.), e il residuo simao geeralizzae la secoda delle (.6.). = X (6.6.4) u = = X (6.6.5) Se il modello (lieare muliplo) coiee l iercea, ua delle coloe di X è formaa da ui uo per cui i virù dell orogoalià X u = dimosraa ella (A.6..4), ua delle equazioi del sisema (6.6.6) è cioè [ K ] u u = M u (6.6.6) 43

144 u = (6.6.7) = proprieà fodameale dei residui simai che geeralizza la prima delle (.6.). Poiché poi dalla (6.6.5) si rae che u = (6.6.8) ideica alla secoda delle (.6.) el caso del modello semplice, addizioado per ogi ella (6.6.8) e eedo coo della (6.6.7) si ha da cui = = = = = = = (6.6.9) cioè la media campioaria delle (eoriche) è uguale a quella delle variabili osservae. 44

145 6.7 Il coefficiee di deermiazioe correo Se el modello co k variabili esplicaive se e aggiuge ua che o spiega alcuché il modello co k+ esplicaive possiede u R leggermee maggiore di quello co k ma i suoi parameri vegoo simai co u umero iferiore di g.d.l. e quidi le sime soo più imprecise. E perciò uile disporre di u idice che valui la boà di adaameo di u modello ai dai come l R ma ega ache coo della umerosià delle variabili esplicaive: dimiuedo all aumeare di quese. U ermii ecici) può essere rovao ella maiera seguee. Se si dividoo per le due deviaze ella (.8.3) si oiee R ( ) = = = ( ) = = = ( u ) R così modificao (correo, i (6.7.) che mosra chiaramee come l R misuri la proporzioe di variaza oale spiegaa dal modello di regressioe. Tuavia ella (6.7.) si uilizzao gli simaori cosiuii dalle variaze campioarie, che soo disori. Se a ali simaori disori si sosiuiscoo quelli o disori si oiee u coefficiee di deermiazioe leggermee diverso dal (6.7.), deo correo rispeo ai gradi di liberà, R u k = ( ) c = = (6.7.) Siamo così passai dal rapporo fra deviaze (6.7.) al rapporo fra variaze (campioarie) (6.7.), ell ulimo dei quali si iee esplicio coo del umero di variabili esplicaive k. Se, dao u modello, gli si aggiuge ua variabile esplicaiva qualsiasi, assoluamee o sigificaiva, cioè o legaa da alcua effeiva relazioe co la variabile dipedee, l R comuque aumeerà. Al limie, iseredo el modello variabili esplicaive (cioè ae quae soo le osservazioi dispoibili) si oerrà u adaameo perfeo ai dai ( R = ), i cosegueza del fao che ua uvola di pui può essere ierpolaa esaamee da u iperpiao a dimesioi. L R ivece c dimiuisce, poiché a parià di deviaze è R c < R come si può ricavare comparado la (6.7.) co la (6.7.). I quesa maiera il cofroo ra due modelli co u diverso umero di variabili esplicaive, effeuao ricercado quale dei due possiede u 45

146 coefficiee di deermiazioe maggiore, divea più sigificaivo i quao al modello co k più grade si aribuisce uo svaaggio, fuzioe appuo della sua maggiore dimesioe. Talvola La relazioe esisee ra R ed R c è idicao mediae ua soprallieaura: R c è preso rovaa R. k R c = ( R ) = + R (6.7.3) k k k la quale mosra, ra l alro, che quado k si avvicia molo a il coefficiee correo divea egaivo ededo a meo ifiio. Si oi che oosae quesa pealizzazioe possa apparire molo severa, i realà è possibile dimosrare che ache il coefficiee R R c può aumeare (ache se o aumea ecessariamee) quado al modello vegoo aggiue variabili irrilevai. Di cosegueza le misure di boà dell ierpolazioe, ache se cosiuiscoo u uile idicaore sieico della boà complessiva del modello, o possoo essere cosiderae come uica guida ella sraegia di specificazioe ecoomerica. Appedice 6. Complemei aaliici Le codizioi per la miimizzazioe della deviaza residua Deermiiamo le codizioi per miimizzare la deviaza residua (6.3.8) che possiamo scrivere ella forma seguee S = = = = ( ) u u u ( - X) ( - X) = ( - X X - X) ( - X X - X) = + + = ( ) ( - X X ) ( - X ) X( ) = = ( ) ( ) ( - X - X ) X X( ) = + + ( ) ( ) ( - X X ) X ( - X ) + + (A.6..) dove el quaro passaggio abbiamo sorao e addizioao la sessa quaià X. Ma quesa espressioe è miima perché si aullao i due ulimi ermii se valgoo le equazioi ormali 46

147 ( X X) = X Ifai ( ) ( ) ( ) ( ) X - X = X X X = (A.6..) dove ell ulimo passaggio è saa uilizzaa la (A.6..), e raspoedo ( ) ( ) - X X = (A.6..3) Duque soo ulli gli ulimi ermii della (A.6..). Orogoalià dei residui simai rispeo alle variabili esplicaive Teedo presee la (6.6.5), la (A.6..) può essere scria ella forma ( ) X u = (A.6..4) che, essedo i geerale, mosra che è X u =, proprieà di orogoalià dei residui simai ei cofroi delle variabili esplicaive, coeue i X, geeralizzazioe della secoda delle (.6.). La sessa proprieà viee oeua dalla (A.6..3) ( ) u X = coseguibile ache raspoedo la (A.6..4). Appedice 6. L iversa di ua marice Il deermiae di ua marice quadraa Nel caso di ua marice di ordie due a A = a a a il deermiae è semplicemee dao dal prodoo degli elemei della diagoale pricipale meo il prodoo degli elemei della secodaria dea = aa aa Esempio Il deermiae della marice quadraa (6.5.3) è 48 4 = 4. 47

148 Nel caso, ivece, di ua marice quadraa A di ordie re è coveiee scrivere di seguio alle re coloe della marice uovamee le prime due 3 a a a 3 a a a 3 a a a a a a 3 a a a 3 (A.6..) calcolado il deermiae come somma dei re prodoi che si oegoo dalla diagoale pricipale di A e dalle due sue parallele ella abella di re righe e cique coloe (A.6..) aaa33 + aa3a3 + a3aa3 (A.6..) alla quale vao sorai i re prodoi che si oegoo dalla diagoale secodaria di A e dalle due sue parallele a3aa3 + a3a3a + a33aa (A.6..3) Duque, il deermiae della marice quadraa di ordie re è dao dalla somma (A.6..) meo la (A.6..3). Esempio 6. - Il deermiae della marice quadraa (6.5.4) è calcolabile mediae la abella per cui vale = da cui si oa che la marice (6.5.4) è sigolare. I geerale chiamiamo deermiae della marice quadraa A di ordie daa dalla (6.4.4) per m = l'espressioe de A = ±... a (A.6..4) h ( ) a h a h h h,..., dove gli aij soo gli elemei di A e la sommaoria è esesa a ue le permuazioi (h,h,,h) della eupla (,,,). Il sego più vale se la permuazioe è pari e quello meo se è dispari 3. Valgoo per i deermiai le seguei proposizioi: 3 È la regola dea di Sarrus. 3 La permuazioe è pari se il umero delle iversioi del secodo idice rispeo all'ordie aurale è pari; la permuazioe è dispari se ale umero è dispari. Ad esempio, el prodoo a a 3 a 3 il umero delle iversioi è due e quidi la permuazioe è pari, mere el prodoo a 3 a a 3 il umero delle iversioi è re e la permuazioe è dispari. 48

149 Teorema 6. - Il deermiae di ua marice riagolare è uguale al prodoo degli elemei diagoali. Teorema 6. - Daa ua marice quadraa A, si ha - - de dea A = ( ) Osservazioe Dal eorema 6. segue che il deermiae di ua marice diagoale (che è ache riagolare, sia iferiore che superiore) è uguale al prodoo degli elemei diagoali. L aggiua di ua marice quadraa L aggiua di ua marice quadraa A è la rasposa di u alra marice quadraa dello sesso ordie il cui elemeo geerico di poso (i,j) si calcola come deermiae della soomarice di A oeua elimiado la i-esima riga e la j-esima coloa, moliplicao per ( ) i+ j. Esempio 6. - L aggiua della marice (6.5.3) è ( ) 3 3 ( ) 4 3 ( ) 6 3 = 4 ( ) mere l aggiua della marice (6.5.4) può essere rovaa solao calcolado i ove deermiai de = 6 3 de = 6 6 de = de = 3 3 de = 3 6 de = de = de = de = per cui l aggiua è ( ) ( 6) 3 ( ) ( 3) 4 ( ) 3 ( ) 6 4 ( ) 3 5 ( ) 4 ( ) 8 5 ( ) 9 6 ( ) 6 = (A.6..5) La marice iversa della (6.5.3) è 49

150 5 = mere l'iversa della (6.5.4) o può essere calcolaa poiché il suo deermiae è ullo. Osservazioe Dalla defiizioe di aggiua segue che se ua marice è simmerica ale è ache la sua iversa. Il modello lieare semplice i ermii mariciali Abbiamo ora ui gli elemei per raare il caso del modello lieare semplice (.6.) i ermii mariciali. La (6.3.6) è i forma esplicia + β β = u u u x x x per cui la marice X X è, effeuado la moliplicazioe righe per coloe, = = = = x x x X X co deermiae ) de( = = = x x X X e aggiua = = = = x x x agg ( X) X Si ha, allora, facedo uso delle posizioi (.6.5) ( ) xx x xx x x xx xx m xm m x m m x x m x m x µ β = = = X X X sime uguali alle (.6.8) e (.6.7), rispeivamee. Si osservi che la codizioe xx m x soo la quale poevao essere rovae le sime (.6.7) e (.6.8) corrispode i ermii mariciali alla (6.6.3), codizioe di o sigolarià della marice X X.

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